Дифференциалды форма - Differential form

Ішінде математикалық өрістері дифференциалды геометрия және тензор есебі, дифференциалды формалар деген көзқарас болып табылады көп айнымалы есептеу тәуелді емес координаттар. Дифференциалдық формалар анықтауға бірыңғай тәсілді ұсынады интегралдар қисықтар, беттер, қатты денелер және жоғары өлшемді коллекторлар. Дифференциалды формалардың заманауи ұғымы алғашқы болды Эли Картан. Оның көптеген қосымшалары бар, әсіресе геометрия, топология және физика.

Мысалы, өрнек f(х) dx бір айнымалы есептеуден a-ға мысал келтіруге болады 1-форм, және болуы мүмкін интеграцияланған бағытталған интервал арқылы [а, б] доменінде f:

Сол сияқты, өрнек f(х, ж, з) dxdy + ж(х, ж, з) dzdx + сағ(х, ж, з) dydz Бұл 2бар формасы беттік интеграл астам бағдарланған беті S:

Таңба дегенді білдіреді сыртқы өнім, кейде деп аталады сына өнімі, екі дифференциалды формада. Сол сияқты, а 3-форм f(х, ж, з) dxdydz білдіреді көлем элементі бұл кеңістіктің бағдарланған аймағына біріктірілуі мүмкін. Жалпы, а к-форм - бұл а-ға интеграциялануы мүмкін объект к-өлшемді бағытталған, және дәрежесі бойынша біртекті к координаталық дифференциалдарда.

The алгебра дифференциалды формалары табиғи түрде көрінетін етіп ұйымдастырылған бағдар интеграциялау саласы. Операция бар г. деп аталатын дифференциалды формаларда сыртқы туынды берілген кезде, а к-кіріс ретінде қалыптасады, а шығарады (к + 1)-шығарма түрінде. Бұл әрекет кеңейтеді функцияның дифференциалдылығы, және тікелей байланысты алшақтық және бұйралау жасайтын тәсілмен векторлық өрістің есептеудің негізгі теоремасы, дивергенция теоремасы, Грин теоремасы, және Стокс теоремасы осы контексте жалпыланған ретінде белгілі жалпы нәтиженің ерекше жағдайлары Стокс теоремасы. Бұл теорема тереңірек түрде топология дифференциалды формалардың құрылымына интеграциялау саласының; дәл байланыс ретінде белгілі де Рам теоремасы.

Дифференциалдық формаларды зерттеуге арналған жалпы жағдай а дифференциалданатын коллектор. Дифференциалды 1-формалар табиғи түрде қосарланған векторлық өрістер коллекторда және векторлық өрістердің жұптасуы 1-формалар ерікті дифференциалдық формаларға интерьер өнімі. Дифференциалды формалардың алгебрасы, онда анықталған сыртқы туындымен бірге сақталады кері тарту екі коллектордың арасындағы тегіс функциялардың астында. Бұл мүмкіндік геометриялық өзгермейтін ақпаратты кері драйвер арқылы бір кеңістіктен екінші кеңістікке ауыстыруға мүмкіндік береді, егер ақпарат дифференциалды формалармен көрсетілген болса. Мысал ретінде айнымалылар формуласының өзгеруі интеграл үшін кері интеграл сақталады деген қарапайым тұжырымға айналады.

Тарих

Дифференциалды формалар - сызықтық алгебра әсер ететін дифференциалдық геометрия өрісінің бөлігі. Дифференциал ұғымы әлдеқайда ескі болғанымен, дифференциалдық формаларды алгебралық ұйымдастырудың алғашқы әрекеті әдетте есептеледі Эли Картан оның 1899 жылғы қағазына сілтеме жасай отырып.[1] Кейбір аспектілері сыртқы алгебра дифференциалды формалар пайда болады Герман Грассманн жұмыс 1844, Die Lineale Ausdehnungslehre, eu neuer Zweig der Mathematik (Сызықтық кеңейту теориясы, математиканың жаңа тармағы).

Тұжырымдама

Дифференциалдық формалар тәсілін қамтамасыз етеді көп айнымалы есептеу тәуелді емес координаттар.

Интеграция және бағдар

Дифференциал к-форманы бағдар бойынша интеграциялауға болады көпжақты өлшем к. Дифференциал 1-форманы шексіз аз бағытталған ұзындықты немесе 1 өлшемді бағытталған тығыздықты өлшеу деп санауға болады. Дифференциал 2-форманы шексіз бағдарланған аумақты немесе 2 өлшемді бағытталған тығыздықты өлшеу деп санауға болады. Және тағы басқа.

Дифференциалды формалардың интеграциясы тек жақсы анықталған бағдарланған коллекторлар. 1-өлшемді коллектордың мысалы - интервал [а, б], және интервалдарды бағдар беруге болады: егер олар оң бағдарланған болса а < б, ал басқаша жағымсыз. Егер а < б онда дифференциалдық 1-форманың интегралы f(х) dx аралықта [а, б] (өзінің табиғи позитивті бағдарымен) болып табылады

ол қарама-қарсы бағдармен жабдықталған кезде бірдей аралықтағы бірдей дифференциалды форманың интегралының теріс мәні болып табылады. Бұл:

Бұл геометриялық контексті береді конвенциялар бір өлшемді интегралдар үшін интервалдың бағытын өзгерткен кезде белгі өзгеретіні. Мұны бір айнымалы интеграция теориясындағы стандартты түсіндіру интеграцияның шектері қарама-қарсы тәртіпте болған кезде (б < а), өсім dx интеграциялау бағытында теріс болып табылады.

Жалпы, ан м-форм - бұл интеграцияланатын бағытталған тығыздық м-өлшемді бағытталған коллектор. (Мысалы, а 1-форманы бағытталған қисық бойынша біріктіруге болады, а 2-форманы бағытталған бетке біріктіруге болады және т.б.) Егер М бағытталған м-өлшемді коллектор, және М қарама-қарсы бағдармен бірдей коллектор болып табылады ω болып табылады м-форм, содан кейін біреуінде:

Бұл конвенциялар интегралды а-ға интегралданған дифференциалды форма ретінде түсіндіруге сәйкес келеді шынжыр. Жылы өлшем теориясы, керісінше, интегралды функция ретінде түсіндіреді f шараға қатысты μ және ішкі жиын бойынша біріктіріледі A, бағдар туралы ешқандай түсініксіз; бірі жазады ішкі жиын арқылы интеграцияны көрсету үшін A. Бұл бір өлшемдегі кішігірім айырмашылық, бірақ жоғары өлшемді коллекторларда нәзік болады; қараңыз төменде толық ақпарат алу үшін.

Бағдарланған тығыздық туралы, демек, дифференциалды форма туралы ұғымды қабылдау мыналарды қамтиды сыртқы алгебра. Координаттар жиынтығының дифференциалдары, dx1, ..., dxn бәріне негіз бола алады 1-формалар. Бұлардың әрқайсысы а ковектор коллектордың әр нүктесінде сәйкес координаталық бағытта аз орын ауыстыруды өлшеу деп ойлауға болады. Генерал 1-form - бұл дифференциалдардың әр түрлі нүктелердегі сызықтық комбинациясы:

қайда fк = fк(х1, ... , хn) барлық координаталардың функциялары болып табылады. Дифференциал 1-форм сызықты интеграл ретінде бағытталған қисық бойымен біріктірілген.

Өрнектер dxменdxj, қайда мен < j барлық екі форма үшін коллектордың әр нүктесінде негіз бола алады. Мұны параллельге шексіз бағытталған шаршы деп қарастыруға болады хменхj-планет. Жалпы екі форма - бұл коллектордың әр нүктесінде сызықтық комбинациясы: және ол беттік интеграл сияқты интеграцияланған.

Дифференциалды формаларда анықталған негізгі операция болып табылады сыртқы өнім (белгісі - сына ). Бұл ұқсас кросс өнім векторлық есептеуден, бұл ауыспалы өнім. Мысалы,

өйткені бірінші жағы квадрат dx1 екінші жағы dx2 бірінші жағы болатын квадрат ретінде қарама-қарсы бағдарланған ретінде қарастырылуы керек dx2 және оның екінші жағы dx1. Сондықтан біз тек өрнектерді қорытындылауымыз керек dxменdxj, бірге мен < j; Мысалға: а(dxменdxj) + б(dxjdxмен) = (аб) dxменdxj. Сыртқы өнім төменгі деңгейлерден жоғары дәрежелі дифференциалды формаларды жасауға мүмкіндік береді, дәл сол сияқты кросс өнім векторлық есептеулер параллелограмның екі жаққа бағытталған векторлардан аудан векторын есептеуге мүмкіндік береді. Ауыстыру дегенді білдіреді dxменdxмен = 0, шамасы параллелограмның сол векторлармен созылған ауданы болатын параллель векторлардың айқас көбейтіндісі нөлге тең болатыны сияқты. Жоғары өлшемдерде, dxмен1 ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dxменм = 0 егер индекстердің екеуі болса мен1, ..., менм тең болады, дәл осылай а-мен қоршалған «көлем» сияқты параллелопат оның векторлары сызықтық тәуелді нөлге тең.

Көп индексті жазба

Бастапқы элементтердің сына өнімі үшін жалпы белгі 1-формалар осылай аталады көп индексті жазба: ан n-өлшемдік контекст, үшін , біз анықтаймыз .[2] Тағы бір пайдалы белгі барлық ұзындықтың көп индексінің жиынтығын анықтау арқылы алынады к, өлшем кеңістігінде n, деп белгіленді . Содан кейін жергілікті жерде (координаттар қолданылатын кез келген жерде), дифференциал кеңістігін қамтиды к- коллектор түрінде қалыптасады М өлшем n, сақина үстіндегі модуль ретінде қарастырылған кезде C(М) тегіс функциялар қосулы М. Өлшемін есептеу арқылы модуль к-формалар n-өлшемді коллектор, және жалпы кеңістікте к- векторлар n-өлшемді векторлық кеңістік, болып табылады n таңдаук: . Бұл сондай-ақ негізгі коллектордың өлшемінен үлкен дәреженің нөлдік емес дифференциалды формалары жоқ екенін көрсетеді.

Сыртқы туынды

Сыртқы өнімнен басқа, бар сыртқы туынды оператор г.. Дифференциалды форманың сыртқы туындысы - бұл жалпылау функцияның дифференциалдылығы, сыртқы туындысы деген мағынада fC(М) = Ω0(М) дәл дифференциал болып табылады f. Жоғары формаларға жалпылау кезінде, егер ω = f dxМен қарапайым к-форм, содан кейін оның сыртқы туындысы Бұл (к + 1)- коэффициент функцияларының дифференциалын алу арқылы анықталатын форма:

жалпыға дейін кеңейтумен к-сызықтық арқылы қалыптасады: егер , онда оның сыртқы туындысы болып табылады

Жылы R3, бірге Ходж жұлдыз операторы, сыртқы туынды сәйкес келеді градиент, бұйралау, және алшақтық, дегенмен, бұл сәйкестік, кросс өнім сияқты, жоғары өлшемдерді жалпыламағандықтан, оларға сақтықпен қарау керек.

Сыртқы туынды өзі өлшемдердің ерікті ақырлы санында қолданылады және кең қолданылатын икемді және қуатты құрал болып табылады. дифференциалды геометрия, дифференциалды топология және физиканың көптеген салалары. Сыртқы туындының жоғарыда көрсетілген анықтамасы жергілікті координаттарға қатысты анықталғанымен, оны толығымен координатасыз түрде анықтауға болады антидеривация бойынша 1 дәрежелі сыртқы алгебра дифференциалды формалардың Бұл жалпы тәсілдің артықшылығы - бұл интеграцияға табиғи координатсыз тәсіл жасауға мүмкіндік береді коллекторлар. Бұл сонымен қатар. Табиғи қорытуға мүмкіндік береді есептеудің негізгі теоремасы, (жалпыланған) деп аталады Стокс теоремасы, бұл коллекторлар бойынша интеграция теориясының орталық нәтижесі.

Дифференциалдық есептеу

Келіңіздер U болуы ашық жиынтық жылы Rn. Дифференциал 0-форм («нөлдік форма») а деп анықталған тегіс функция f қосулы U - жиынтығы белгіленеді C(U). Егер v кез келген вектор болып табылады Rn, содан кейін f бар бағытталған туынды v f, бұл тағы бір функция U оның мәні нүктеде бU - өзгеру жылдамдығы (at б) of f ішінде v бағыт:

(Бұл ұғымды нақты жағдайда кеңейтуге болады v Бұл векторлық өріс қосулы U бағалау арқылы v нүктесінде б анықтамада.)

Атап айтқанда, егер v = ej болып табылады jмың координаталық вектор содан кейін v f болып табылады ішінара туынды туралы f қатысты jкоординаталық функция, яғни, f / ∂хj, қайда х1, х2, ..., хn координат функциялары болып табылады U. Өзінің анықтамасы бойынша ішінара туындылар координаттарды таңдауға байланысты: егер жаңа координаттар болса ж1, ж2, ..., жn енгізілген, содан кейін

Дифференциалды формаларға әкелетін бірінші идея - бұл байқау v f (б) Бұл сызықтық функция туралы v:

кез келген векторлар үшін v, w және кез-келген нақты сан c. Әр сәтте б, бұл сызықтық карта бастап Rn дейін R деп белгіленеді dfб және деп атады туынды немесе дифференциалды туралы f кезінде б. Осылайша dfб(v) = ∂v f (б). Барлық жиынтықта, нысан бойынша кеңейтілген df векторлық өрісті қабылдайтын функция ретінде қарастыруға болады U, және әр нүктесінде мәні функцияның векторлық өрісі бойындағы туынды болатын нақты мәнді функцияны қайтарады f. Әрқайсысында екенін ескеріңіз б, дифференциалды dfб нақты сан емес, тангенс векторларындағы сызықтық функционалды және дифференциалдың прототиптік мысалы 1-форм.

Кез-келген вектордан бастап v Бұл сызықтық комбинация vjej оның компоненттер, df арқылы анықталады dfб(ej) әрқайсысы үшін j және әрқайсысы бU, бұл тек ішінара туындылары f қосулы U. Осылайша df ішінара туындыларын кодтау тәсілін ұсынады f. Оны координаттар екенін байқау арқылы шешуге болады х1, х2, ..., хn функциялар болып табылады U, сондықтан дифференциалды анықтаңыз 1-формалар dx1, dx2, ..., dxn. Келіңіздер f = хмен. Бастап хмен / ∂хj = δиж, Kronecker delta функциясы, бұдан шығады

 

 

 

 

(*)

Бұл өрнектің мәні екі жағын да ерікті нүктеде бағалау арқылы беріледі б: оң жағында қосынды анықталды «бағытта «, сондай-ақ

Екі жағын да қолдану ej, екі жақтың нәтижесі jішінара туындысы f кезінде б. Бастап б және j ерікті болды, бұл формуланы дәлелдейді (*).

Жалпы кез-келген тегіс функциялар үшін жмен және сағмен қосулы U, біз дифференциалды анықтаймыз 1-форм α = ∑мен жмен dhмен бағытталған

әрқайсысы үшін бU. Кез-келген дифференциал 1-формалар осы жолмен және қолдану арқылы пайда болады (*) бұл кез-келген дифференциалды 1-форм α қосулы U сияқты координаттармен көрсетілуі мүмкін

тегіс функциялар үшін fмен қосулы U.

Дифференциалды формаларға әкелетін екінші идея келесі сұрақтан туындайды: дифференциалды 1-форм α қосулы U, функция қашан болады? f қосулы U осындай α = df? Жоғарыдағы кеңейту бұл сұрақты функцияны іздеуге дейін азайтады f ішінара туындылары f / ∂хмен тең n берілген функциялар fмен. Үшін n > 1, мұндай функция әрдайым бола бермейді: кез-келген тегіс функция f қанағаттандырады

сондықтан ондай адамды табу мүмкін болмайды f егер болмаса

барлығына мен және j.

The қисықтық-симметрия сол жақтағы мен және j антисимметриялық өнімді енгізуді ұсынады дифференциал бойынша 1-формалар, сыртқы өнім, сондықтан бұл теңдеулерді бір шартқа біріктіруге болады

қайда келесідей анықталады:

Бұл дифференциалдың мысалы 2-форм. Бұл 2-форм деп аталады сыртқы туынды туралы α = ∑n
j=1
fj dxj
. Оны береді

Қорытындылау үшін: = 0 функцияның болуының қажетті шарты болып табылады f бірге α = df.

Дифференциалды 0-формалар, 1-формалар, және 2-формалар - бұл дифференциалды формалардың ерекше жағдайлары. Әрқайсысы үшін к, дифференциалдық кеңістік бар к-формалар, оларды координаталар түрінде көрсетуге болады

функциялар жиынтығы үшін fмен1мен2⋅⋅⋅менк. Антисимметрия, ол қазірдің өзінде болған 2-қолданатын көрсеткіштердің жиынтығын шектеуге мүмкіндік береді мен1 < мен2 < ... < менк−1 < менк.

Дифференциалдық формаларды сыртқы өнімді қолдану арқылы көбейтуге болады және кез келген дифференциал үшін к-форм α, дифференциал бар (к + 1)-форм сыртқы туындысы деп аталады α.

Дифференциалдық формалар, сыртқы өнім және сыртқы туынды координаттарды таңдаудан тәуелсіз. Демек, олар кез-келгенінде анықталуы мүмкін тегіс коллектор М. Мұны істеудің бір жолы - мұқаба М бірге координаталық диаграммалар және дифференциалды анықтаңыз к-қосу М дифференциалды отбасы болу к- қабаттасулар туралы келісетін әр диаграммада. Алайда, координаттардың тәуелсіздігін анықтайтын ішкі анықтамалар бар.

Ішкі анықтамалар

Келіңіздер М болуы а тегіс коллектор. Дәреженің тегіс дифференциалды түрі к Бұл тегіс бөлім туралы кмың сыртқы қуат туралы котангенс байламы туралы М. Барлық дифференциалдардың жиынтығы к- коллекторда пайда болады М Бұл векторлық кеңістік, жиі белгіленеді Ωк(М).

Дифференциалды форманың анықтамасын келесідей түрде қайта қарауға болады. Кез келген сәтте бМ, а к-форм β элементті анықтайды

қайда ТбМ болып табылады жанасу кеңістігі дейін М кезінде б және Тб*М оның қос кеңістік. Бұл кеңістік талшыққа табиғи түрде изоморфты б қос дестесінің ксыртқы күші тангенс байламы туралы М. Бұл, β сонымен қатар сызықтық функционалды болып табылады , яғни ксыртқы күші изоморфты болып табылады кекіліктің сыртқы күші:

Сыртқы күштердің әмбебап қасиеті бойынша бұл эквивалентті ауыспалы көп сызықты карта:

Демек, дифференциалды к-форманы кез-келгеніне қарсы бағалауға болады к- жанасу векторларының бір нүктеге дейін жетуі б туралы М. Мысалы, дифференциал 1-форм α әр нүктеге тағайындайды бМ а сызықтық функционалды αб қосулы ТбМ. Қатысуымен ішкі өнім қосулы ТбМ (индукцияланған а Риман метрикасы қосулы М), αб мүмкін ұсынылған а бар ішкі өнім ретінде жанасу векторы Xб. Дифференциалды 1-формалар кейде деп аталады ковариантты векторлық өрістер, ковекторлы өрістер немесе «қос векторлы өрістер», әсіресе физика.

Сыртқы алгебра кезектесетін карта арқылы тензор алгебрасына енуі мүмкін. Альтернативті карта карта ретінде анықталады

Нүктедегі тензор үшін б,

қайда Sк болып табылады симметриялық топ қосулы к элементтер. Альтернативті карта симметриялы 2-формалармен құрылған тензор алгебрасындағы идеалдың косметикасында тұрақты болады, сондықтан ендіруге түседі

Бұл карта экспонаттар β сияқты толығымен антисимметриялық ковариант тензор өрісі дәреже к. Дифференциалды формалары М осындай тензор өрістерімен бір-біріне сәйкес келеді.

Операциялар

Векторлық кеңістіктің құрылымынан туындайтын скалярлық амалдармен қосу және көбейту сияқты, дифференциалдық формаларда анықталған бірнеше басқа стандартты операциялар бар. Ең маңызды операциялар: сыртқы өнім екі дифференциалды формадан тұрады сыртқы туынды бір дифференциалды түрдегі интерьер өнімі дифференциалды және векторлық өрістің, Өтірік туынды және векторлық өріске қатысты дифференциалды форманың ковариант туынды байланысы анықталған коллектордағы векторлық өріске қатысты дифференциалды форманың.

Сыртқы өнім

А-ның сыртқы өнімі к-форм α және ан -форм β Бұл (к + ) -формамен белгіленеді αβ. Әр сәтте б коллектордың М, нысандары α және β котангенс кеңістігінің сыртқы күшінің элементтері болып табылады б. Сыртқы алгебра тензор алгебрасының квоты ретінде қарастырылған кезде, сыртқы туынды тензор көбейтіндісіне сәйкес келеді (сыртқы алгебраны анықтайтын эквиваленттік қатынас модулі).

Сыртқы алгебраға тән антисимметрия дегеніміз, қашан αβ көп сызықты функционалды ретінде қарастырылады, ол кезектесіп отырады. Алайда, сыртқы алгебра кезектесетін карта арқылы тензор алгебрасының ішкі кеңістігін енгізгенде, тензор көбейтіндісі αβ ауыспалы емес. Бұл жағдайда сыртқы өнімді сипаттайтын нақты формула бар. Сыртқы өнім

Бұл сипаттама нақты есептеу үшін пайдалы. Мысалы, егер к = = 1, содан кейін αβ болып табылады 2- нүктенің мәні кімнің формасы б болып табылады ауыспалы білеулік форма арқылы анықталады

үшін v, w . ТбМ.

Сыртқы өнім белгісіз: егер α, β, және γ кез келген дифференциалды формалар болып табылады, және егер f бұл кез-келген тегіс функция

Бұл коммутативті (сонымен бірге коммутативті) нұсқасын қанағаттандыратындығын білдіреді антикоммутативтілік бұл формалардың дәрежесіне байланысты: егер α Бұл к-форм және β болып табылады -форм, содан кейін

Риманн коллекторы

Үстінде Риманн коллекторы, немесе жалпы түрде а жалған-риманналық коллектор, метрика тангенс пен котангенс шоғырларының талшыққа негізделген изоморфизмін анықтайды. Бұл векторлық өрістерді ковекторлық өрістерге және керісінше түрлендіруге мүмкіндік береді. Сияқты қосымша операцияларды анықтауға мүмкіндік береді Ходж жұлдыз операторы және кодифференциалды , дәрежесі бар −1 және сыртқы дифференциалға байланысты г..

Өрістердің векторлық құрылымдары

Псевдо-риманналық коллекторда, 1-формаларды векторлық өрістермен анықтауға болады; векторлық өрістер қосымша алгебралық құрылымдарға ие, олар контекст үшін және шатастырмау үшін осында келтірілген.

Біріншіден, әрбір (ко) жанасу кеңістігі а түзеді Клиффорд алгебрасы, мұндағы a (co) векторының көбейтіндісі квадраттық форманың мәнімен берілген - бұл жағдайда табиғи индукция метрикалық. Бұл алгебра айқын бастап сыртқы алгебра квадраттық форма жоғалып кететін Клиффорд алгебрасы ретінде қарастыруға болатын дифференциалды формалардың (кез келген вектордың сыртқы көбейтіндісі нөлге тең болғандықтан). Клиффорд алгебралары сыртқы алгебраның антикоммутативті емес («кванттық») деформациясы болып табылады. Олар оқылады геометриялық алгебра.

Тағы бір балама - векторлық өрістерді туынды ретінде қарастыру. Алгебрасы дифференциалдық операторлар олар жасайды Вейл алгебрасы және -ның деформациялануы («кванттық») емес симметриялы векторлық өрістердегі алгебра.

Сыртқы дифференциалды кешен

Сыртқы туындының маңызды қасиеттерінің бірі г.2 = 0. Бұл дегеніміз, сыртқы туынды а-ны анықтайды кока кешені:

Бұл кешен де-Рам кешені деп аталады, ал оның когомология анықтамасы бойынша де Рам когомологиясы туралы М. Бойынша Пуанкаре леммасы, de Rham кешені жергілікті дәл басқа уақытта Ω0(М). Ядросы Ω0(М) кеңістігі жергілікті тұрақты функциялар қосулы М. Демек, кешен тұрақтысының ажыратымдылығы болып табылады шоқ RБұл өз кезегінде де Рам теоремасының формасын білдіреді: де Рам кохомологиясы есептейді шоқ когомологиясы туралы R.

Кері тарту

Айталық f : МN тегіс. Дифференциалды f тегіс карта df : ТМTN тангенс байламдарының арасында орналасқан М және N. Бұл карта да белгіленеді f және деп атады алға. Кез-келген нүкте үшін бМ және кез келген vТбМ, жақсы анықталған вектор бар f(v) жылы Тf(б)N. Алайда, векторлық өріске қатысты дәл солай емес. Егер f инъекциялық емес, өйткені айтыңыз qN екі немесе одан да көп алғышарттары болса, онда векторлық өріс екі немесе одан да көп векторларды анықтай алады ТqN. Егер f сурьективті емес, содан кейін нүкте болады qN қай уақытта f жанама векторды мүлдем анықтамайды. Векторлық өріс болғандықтан N анықтамасы бойынша әр нүктесінде бірегей тангенс векторын анықтайды N, векторлық өрістің алға жылжуы әрдайым бола бермейді.

Керісінше, әрдайым дифференциалды форманы тартуға болады. Дифференциалды формасы N әрбір жанама кеңістікте сызықтық функционалды ретінде қарастырылуы мүмкін. Бұл функционалды дифференциалмен бірге жасау df : ТМTN әрбір жанама кеңістігінде сызықтық функционалды анықтайды М сондықтан дифференциалды форма М. Кері тартулардың болуы - дифференциалдық формалар теориясының негізгі белгілерінің бірі. Бұл кері жағдайдағы карталардың болуына әкеледі, мысалы, де-Рам когомологиясындағы кері тарту гомоморфизмдері.

Ресми түрде, рұқсат етіңіз f : МN тегіс болыңыз және рұқсат етіңіз ω тегіс болыңыз к-қосу N. Содан кейін дифференциалды форма бар fω қосулы М, деп аталады кері тарту туралы ω, мінез-құлқын түсіретін ω қатысты көрінеді f. Кері тартуды анықтау үшін нүктені түзетіңіз б туралы М жанасу векторлары v1, ..., vк дейін М кезінде б. Кері тарту ω формуласымен анықталады

Бұл анықтаманы қараудың тағы бірнеше дерексіз тәсілдері бар. Егер ω Бұл 1-қосу N, содан кейін оны котангенс байламының бөлімі ретінде қарастыруға болады ТN туралы N. Қолдану қос карта, дифференциалға қосарлы белгілеу f болып табылады (df) : ТNТМ. Кері тарту ω құрама ретінде анықталуы мүмкін

Бұл котангенс байламының бөлімі М демек, дифференциалды 1-қосу М. Толық жалпылама түрде, рұқсат етіңіз белгілеу кҚос картаның сыртқы күші дифференциалға дейін. Содан кейін а к-форм ω құрама болып табылады

Кері тартуды көрудің тағы бір абстрактілі тәсілі а-ны көруден туындайды к-форм ω жанама кеңістіктерде сызықтық функционалды ретінде. Осы тұрғыдан алғанда, ω морфизмі болып табылады байламдар

қайда N × R бұл бір байламның маңызды емес дәрежесі N. Композиттік карта

әрбір жанама кеңістігінде сызықтық функционалды анықтайды М, демек, бұл тривиальды байлам арқылы әсер етеді М × R. Векторлық шумақ морфизмі осылайша анықталады fω.

Pullback формалардағы барлық негізгі операцияларға құрметпен қарайды. Егер ω және η формалары болып табылады және c - бұл нақты сан

Форманың кері тартылуын координаттармен де жазуға болады. Мұны ойлаңыз х1, ..., хм координаттар болып табылады М, сол ж1, ..., жn координаттар болып табылады N, және бұл координаталық жүйелер формулалармен байланысты жмен = fмен(х1, ..., хм) барлығына мен. Жергілікті N, ω деп жазуға болады

қайда, әр таңдау үшін мен1, ..., менк, ωмен1⋅⋅⋅менк нақты бағаланатын функциясы болып табылады ж1, ..., жn. Кері тарту сызықтығы және оның сыртқы өніммен үйлесімділігі, кері тарту ω формуласы бар

Әрбір сыртқы туынды dfмен тұрғысынан кеңейтуге болады dx1, ..., dxм. Нәтижесінде к-форманы қолдану арқылы жазуға болады Якобиан матрицалар:

Мұнда, жазбалары болатын матрицаның детерминантын белгілейді , .

Интеграция

Дифференциал к-форманы бағытталған бағытталған интеграциялауға болады к-өлшемді коллектор. Қашан к-формасы анықталады n-өлшемді коллектор n > к, содан кейін к-форманы бағдар бойынша интеграциялауға болады к-өлшемді субмандықтар. Егер к = 0, бағытталған 0-өлшемді субөлшемдер бойынша интеграция - бұл тек нүктелердің бағаланғанына сәйкес, нүктелерде бағаланған интегралдың қосындысы. Басқа мәндері к = 1, 2, 3, ... сызықтық интегралдарға, беттік интегралдарға, көлемдік интегралдарға және т.б. сәйкес келеді. Дифференциалды форманың интегралын формальды түрде анықтайтын бірнеше эквивалентті әдістер бар, олардың барлығы эвклид кеңістігінің жағдайына дейін азаюына байланысты.

Евклид кеңістігіндегі интеграция

Келіңіздер U ашық ішкі бөлігі болуы Rn. Беріңіз Rn оның стандартты бағыты және U сол бағытты шектеу. Барлық тегіс n-форм ω қосулы U формасы бар

тегіс функция үшін f : RnR. Мұндай функция кәдімгі Риман немесе Лебег мағынасында интегралға ие. Бұл интегралды анықтауға мүмкіндік береді ω интегралды болуы f:

Бағдарлау бұл нақты анықталуы үшін қажет. Дифференциалдық формалардың қисаю-симметриясы интегралдың, айталық, dx1dx2 интегралының теріс мәні болуы керек dx2dx1. Риман мен Лебес интегралдары бұл тәуелділікті координаталардың реттелуіне қарай алмайды, сондықтан интегралдың белгісін анықталмаған күйінде қалдырады. Бағдарлау бұл түсініксіздікті шешеді.

Тізбектер бойынша интеграция

Келіңіздер М болуы n-көптік және ω ан n-қосу М. Біріншіден, параметрлеу бар деп есептеңіз М Евклид кеңістігінің ашық бөлігі арқылы. Яғни, диффеоморфизм бар деп ойлаңыз

қайда Д.Rn. Беріңіз М бағытталған индукция φ. Содан кейін (Рудин 1976 ж ) интегралын анықтайды ω аяқталды М интегралды болуы φω аяқталды Д.. Координаттарда бұл келесі өрнекке ие. Диаграмманы түзетіңіз М координаттары бар х1, ..., хn. Содан кейін

Айталық φ арқылы анықталады

Онда интеграл координаттар түрінде келесі түрде жазылуы мүмкін

қайда

анықтаушысы болып табылады Якобиан. Якобиан бар, өйткені φ дифференциалды.

Жалпы, ан n-көлемді ашық ішкі жиыны арқылы параметрлеу мүмкін емес Rn. Бірақ мұндай параметрлеу әрдайым жергілікті жерде мүмкін болады, сондықтан оларды ерікті коллекторлар бойынша интегралдарды локальді параметрлерлеу жиындарындағы интегралдардың қосындысы ретінде анықтау арқылы анықтауға болады. Сонымен, параметрін анықтауға болады к-өлшемді ішкі жиындар к < n, және бұл интегралдарын анықтауға мүмкіндік береді к-формалар. Мұны дәл жасау үшін стандартты доменді түзету ыңғайлы Д. жылы Rк, әдетте текше немесе қарапайым. A к-шынжыр тегіс ендірудің формальды жиынтығы болып табылады Д.М. Яғни, бұл тегіс ендірулер жиынтығы, олардың әрқайсысына бүтін еселік беріледі. Әрбір тегіс ендіру а к-өлшемді субманифольд М. Егер тізбек болса

онда а к-форм ω аяқталды c шарттары бойынша интегралдардың қосындысы ретінде анықталады c:

Интеграцияны анықтаудың бұл тәсілі бүкіл көпжақты интеграцияға тікелей мағына бермейді М. Дегенмен, мұндай мағынаны жанама түрде тағайындау мүмкін, себебі әр тегіс коллектор тегіс болуы мүмкін үшбұрышты мәні бойынша ерекше және интегралды М триангуляциямен анықталатын тізбектің интегралы ретінде анықталуы мүмкін.

Бірліктің бөлімдерін қолданып интеграциялау

Түсіндірілген тағы бір тәсіл бар (Диудонне 1972 ж ), бұл интеграцияның тікелей мағынасын береді М, бірақ бұл тәсіл бағытын бекітуді қажет етеді М. Интегралды n-форм ω бойынша n-өлшемді коллектор диаграммаларда жұмыс жасау арқылы анықталады. Алдымен солай делік ω бір позитивті диаграммада қолдау көрсетіледі. Бұл диаграммада оны an қалпына келтіруге болады n-ның ашық ішкі жиынтығында Rn. Мұнда форма бұрынғыдай жақсы анықталған Риман немесе Лебес интегралына ие. Айнымалылар формуласының өзгеруі және диаграмма бірге оң бағдарланған деген болжам интегралдың болуын қамтамасыз етеді ω таңдалған диаграммаға тәуелді емес. Жалпы жағдайда жазу үшін бірлік бөлімін қолданыңыз ω қосындысы ретінде n-формалар, олардың әрқайсысы бір позитивті диаграммада қолдау көрсетіледі және интегралын анықтайды ω бірлік бөлуіндегі әр тоқсанның интегралдарының қосындысы болу керек.

Интеграциялауға да болады к-бағдар бойынша қалыптасады к- осы ішкі әдісті қолданатын өлшемді субманифольдтер. Форма субманифольдқа қайта тартылады, мұнда интеграл бұрынғыдай диаграммалар көмегімен анықталады. Мысалы, жол берілген γ(т) : [0, 1] → R2, интегралдау а 1-жолдағы форма жай форманы формаға кері тарту болып табылады f(т) дт қосулы [0, 1], және бұл интеграл функцияның интегралы болып табылады f(т) аралықта.

Талшықтар бойындағы интеграция

Фубини теоремасы жиынтыққа интеграл өнім болатын екі фактордың үстінен қайталанатын интеграл ретінде есептелуі мүмкін екенін айтады. Бұл дифференциалды форманың өнімге интегралын қайталанатын интеграл ретінде есептеуге болатындығын көрсетеді. Дифференциалды формалардың геометриялық икемділігі бұны тек бұйымдар үшін ғана емес, жалпы жағдайларда да мүмкін болатындығына кепілдік береді. Кейбір гипотезалар бойынша тегіс картаның талшықтары бойымен интеграциялануға болады, ал Фубини теоремасының аналогы - бұл картаның өнімнің оның факторларының біріне проекциясы болатын жағдай.

Дифференциалды пішінді субманифельге интеграциялау бағдарды бекітуді қажет ететіндіктен, талшықтар бойымен интеграцияланудың алғышарты - бұл талшықтарға нақты анықталған бағдардың болуы. Келіңіздер М және N таза өлшемдердің екі бағытталған коллекторы болыңыз м және nсәйкесінше. Айталық f : МN бұл сурьективті су асты. Бұл әр талшықты білдіреді f−1(ж) болып табылады (мn)-өлшемді және сол, әр нүктенің айналасында М, онда диаграмма бар f өнімнің оның факторларының біріне проекциясы сияқты көрінеді. Түзету хМ және орнатыңыз ж = f(х). Айталық

және сол ηж жоғалып кетпейді. Келесі (Диудонне 1972 ж ), бірегей бар

фибральды бөлігі ретінде қарастырылуы мүмкін ωх құрметпен ηж. Дәлірек, анықтаңыз j : f−1(ж) → М қосу. Содан кейін σх қасиетімен анықталады

қайда

кез келген (мn)- ол үшін вектор

Пішін σх сонымен қатар ескертуге ие болуы мүмкін ωх / ηж.

Сонымен қатар, бекітілгенге арналған ж, σх қатысты біркелкі өзгереді х. Яғни, солай делік

бұл проекция картасының тегіс бөлімі; біз мұны айтамыз ω тегіс дифференциал м-қосу М бойымен f−1(ж). Содан кейін тегіс дифференциал бар (мn)-форм σ қосулы f−1(ж) әрқайсысында хf−1(ж),

Бұл форма белгіленеді ω / ηж. The same construction works if ω болып табылады м-form in a neighborhood of the fiber, and the same notation is used. A consequence is that each fiber f−1(ж) бағдарланған. In particular, a choice of orientation forms on М және N defines an orientation of every fiber of f.

The analog of Fubini's theorem is as follows. Алдындағыдай, М және N are two orientable manifolds of pure dimensions м және n, және f : МN is a surjective submersion. Fix orientations of М және N, and give each fiber of f the induced orientation. Келіңіздер θ болуы м-қосу Мжәне рұқсат етіңіз ζ болуы n-қосу N that is almost everywhere positive with respect to the orientation of N. Then, for almost every жN, форма θ / ζж is a well-defined integrable мn form on f−1(ж). Moreover, there is an integrable n-қосу N арқылы анықталады

Denote this form by

Содан кейін (Dieudonne 1972 ) proves the generalized Fubini formula

It is also possible to integrate forms of other degrees along the fibers of a submersion. Assume the same hypotheses as before, and let α be a compactly supported (мn + к)-қосу М. Сонда а к-форм γ қосулы N which is the result of integrating α along the fibers of f. Пішін α is defined by specifying, at each жN, Қалай α pairs against each к-вектор v кезінде ж, and the value of that pairing is an integral over f−1(ж) бұл тек байланысты α, v, and the orientations of М және N. More precisely, at each жN, there is an isomorphism

defined by the interior product

Егер хf−1(ж), содан кейін а к-вектор v кезінде ж determines an (мк)-covector at х by pullback:

Each of these covectors has an exterior product against α, сондықтан бар (мn)-форм βv қосулы М бойымен f−1(ж) арқылы анықталады

This form depends on the orientation of N but not the choice of ζ. Содан кейін к-форм γ is uniquely defined by the property

және γ is smooth (Dieudonne 1972 ). This form also denoted α және деп атады integral of α along the fibers of f. Integration along fibers is important for the construction of Gysin maps in de Rham cohomology.

Integration along fibers satisfies the projection formula (Dieudonne 1972 ). Егер λ is any -қосу N, содан кейін

Stokes's theorem

The fundamental relationship between the exterior derivative and integration is given by the Стокс теоремасы: Егер ω бұл (n − 1)-form with compact support on М және ∂М дегенді білдіреді шекара туралы М with its induced бағдар, содан кейін

A key consequence of this is that "the integral of a closed form over homologous chains is equal": If ω жабық к-form and М және N болып табылады к-chains that are homologous (such that МN is the boundary of a (к + 1)-chain W), содан кейін , since the difference is the integral .

Мысалы, егер ω = df is the derivative of a potential function on the plane or Rn, содан кейін ω over a path from а дейін б does not depend on the choice of path (the integral is f(б) − f(а)), since different paths with given endpoints are гомотоптық, hence homologous (a weaker condition). Бұл жағдай деп аталады градиент теоремасы, and generalizes the есептеудің негізгі теоремасы. This path independence is very useful in contour integration.

This theorem also underlies the duality between де Рам когомологиясы және гомология of chains.

Relation with measures

Үстінде жалпы differentiable manifold (without additional structure), differential forms мүмкін емес be integrated over subsets of the manifold; this distinction is key to the distinction between differential forms, which are integrated over chains or oriented submanifolds, and measures, which are integrated over subsets. The simplest example is attempting to integrate the 1-форм dx аралықта [0, 1]. Assuming the usual distance (and thus measure) on the real line, this integral is either 1 немесе −1, байланысты orientation: , ал . By contrast, the integral of the өлшеу |dx| on the interval is unambiguously 1 (i.e. the integral of the constant function 1 with respect to this measure is 1). Similarly, under a change of coordinates a differential n-form changes by the Якобиялық детерминант Дж, while a measure changes by the абсолютті мән of the Jacobian determinant, |Дж|, which further reflects the issue of orientation. For example, under the map х ↦ −х on the line, the differential form dx pulls back to dx; orientation has reversed; ал Лебег шарасы, which here we denote |dx|, pulls back to |dx|; it does not change.

In the presence of the additional data of an бағдар, it is possible to integrate n-forms (top-dimensional forms) over the entire manifold or over compact subsets; integration over the entire manifold corresponds to integrating the form over the негізгі класс of the manifold, [М]. Formally, in the presence of an orientation, one may identify n-forms with densities on a manifold; densities in turn define a measure, and thus can be integrated (Folland 1999, Section 11.4, pp. 361–362).

On an orientable but not oriented manifold, there are two choices of orientation; either choice allows one to integrate n-forms over compact subsets, with the two choices differing by a sign. On non-orientable manifold, n-forms and densities cannot be identified —notably, any top-dimensional form must vanish somewhere (there are no көлем формалары on non-orientable manifolds), but there are nowhere-vanishing densities— thus while one can integrate densities over compact subsets, one cannot integrate n-forms. One can instead identify densities with top-dimensional pseudoforms.

Even in the presence of an orientation, there is in general no meaningful way to integrate к-forms over subsets for к < n because there is no consistent way to use the ambient orientation to orient к-dimensional subsets. Geometrically, a к-dimensional subset can be turned around in place, yielding the same subset with the opposite orientation; for example, the horizontal axis in a plane can be rotated by 180 degrees. Салыстырыңыз Грам анықтаушы жиынтығының к vectors in an n-dimensional space, which, unlike the determinant of n vectors, is always positive, corresponding to a squared number. An orientation of a к-submanifold is therefore extra data not derivable from the ambient manifold.

On a Riemannian manifold, one may define a к-өлшемді Хаусдорф шарасы кез келген үшін к (integer or real), which may be integrated over к-dimensional subsets of the manifold. A function times this Hausdorff measure can then be integrated over к-dimensional subsets, providing a measure-theoretic analog to integration of к-forms. The n-dimensional Hausdorff measure yields a density, as above.

Ағым

The differential form analog of a тарату or generalized function is called a current. Кеңістігі к-currents on М is the dual space to an appropriate space of differential к-forms. Currents play the role of generalized domains of integration, similar to but even more flexible than chains.

Физикадағы қосымшалар

Differential forms arise in some important physical contexts. For example, in Maxwell's theory of электромагнетизм, Faraday 2-form, немесе electromagnetic field strength, болып табылады

қайда fаб are formed from the electromagnetic fields және ; мысалы, f12 = Eз/c, f23 = −Bз, or equivalent definitions.

This form is a special case of the curvature form үстінде U (1) негізгі байлам on which both electromagnetism and general өлшеу теориялары may be described. The байланыс формасы for the principal bundle is the vector potential, typically denoted by A, when represented in some gauge. One then has

The current 3-форм болып табылады

қайда jа are the four components of the current density. (Here it is a matter of convention to write Fаб орнына fаб, i.e. to use capital letters, and to write Джа орнына jа. However, the vector rsp. tensor components and the above-mentioned forms have different physical dimensions. Moreover, by decision of an international commission of the Халықаралық таза және қолданбалы физика одағы, the magnetic polarization vector is called since several decades, and by some publishers Дж, i.e. the same name is used for different quantities.)

Using the above-mentioned definitions, Максвелл теңдеулері can be written very compactly in геометрияланған бірліктер сияқты

қайда дегенді білдіреді Hodge star оператор. Similar considerations describe the geometry of gauge theories in general.

The 2-форм , қайсысы қосарланған to the Faraday form, is also called Maxwell 2-form.

Electromagnetism is an example of a U (1) калибр теориясы. Мұнда Өтірік тобы болып табылады U (1), the one-dimensional унитарлық топ, which is in particular абель. There are gauge theories, such as Янг-Миллс теориясы, in which the Lie group is not abelian. In that case, one gets relations which are similar to those described here. The analog of the field F in such theories is the curvature form of the connection, which is represented in a gauge by a Алгебра - бір форма бойынша бағаланады A. The Yang–Mills field F содан кейін анықталады

In the abelian case, such as electromagnetism, AA = 0, but this does not hold in general. Likewise the field equations are modified by additional terms involving exterior products of A және F, арқасында structure equations калибрлі топтың.

Applications in geometric measure theory

Numerous minimality results for complex analytic manifolds are based on the Виртингердің 2-формадағы теңсіздігі. A succinct proof may be found in Герберт Федерер классикалық мәтін Геометриялық өлшемдер теориясы. The Wirtinger inequality is also a key ingredient in Громовтың күрделі проективті кеңістік үшін теңсіздігі жылы systolic geometry.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Cartan, Élie (1899), «Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure: 239–332
  2. ^ Ту, Лоринг В. (2011). Коллекторларға кіріспе (2-ші басылым). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  9781441974006. OCLC  682907530.

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер