Риманн коллекторы - Riemannian manifold

Жылы дифференциалды геометрия, а Риманн коллекторы немесе Риман кеңістігі (М, ж) Бұл нақты, тегіс коллектор М позитивті-анықтамамен жабдықталған ішкі өнім жб үстінде жанасу кеңістігі ТбМ әр сәтте б. Жалпыға ортақ конвенция ж тегіс болу керек, бұл кез-келген тегіс үшін дегенді білдіреді координаттар кестесі (U, x) қосулы М, n2 функциялары

болып табылады тегіс функциялар. Дәл осылай ойлануға болады Липшиц Риман метрикасы немесе өлшенетін Риман метрикасы, көптеген басқа мүмкіндіктермен қатар.

Отбасы жб ішкі өнімдер а деп аталады Риман метрикасы (немесе Риман метрикасы тензоры). Бұл терминдер неміс математигінің есімімен аталады Бернхард Риман. Римандық коллекторларды зерттеу аталған тақырыпты құрайды Риман геометриясы.

Риман метрикасы (тензор) Риман коллекторында бірнеше геометриялық түсініктерді анықтауға мүмкіндік береді, мысалы. бұрыш қиылысында, ұзындығы а қисық, аудан беттік және жоғары өлшемді аналогтар (көлем және т.б.), сыртқы қисықтық және суб ішкі қисықтық коллектордың өзі.

Кіріспе

1828 жылы, Карл Фридрих Гаусс оны дәлелдеді Егрегия теоремасы (керемет теорема беттердің маңызды қасиетін белгілей отырып, латын тілінде). Теорема бейресми түрде дейді беттің қисаюы толығымен жер бетіндегі жолдар бойымен қашықтықты өлшеу арқылы анықтауға болады. Яғни, қисықтық беттің 3 өлшемді кеңістікке қалай енуіне байланысты емес. Қараңыз Беттердің дифференциалды геометриясы. Бернхард Риман Гаусс теориясын коллекторлар деп аталатын жоғары өлшемді кеңістіктерге дейін кеңейтіп, арақашықтықтар мен бұрыштарды өлшеуге және қисықтық ұғымын анықтауға мүмкіндік береді, бұл қайтадан коллекторға тәуелді және оның жоғары деңгейге енуіне тәуелді емес. өлшемді кеңістіктер. Альберт Эйнштейн теориясын қолданды жалған-риманналық коллекторлар (Риманн коллекторларын жалпылау) оны дамыту жалпы салыстырмалылық теориясы. Атап айтқанда, оның гравитация теңдеулері болып табылады шектеулер ғарыш уақытының қисықтығы туралы.

Анықтама

The тангенс байламы а тегіс коллектор әр нүктеге тағайындайды туралы векторлық кеңістік деп аталады жанасу кеңістігі туралы кезінде Риман метрикасы (оның анықтамасы бойынша) әрқайсысына тағайындалады позитивті-анықталған ішкі өнім онымен бірге норма келеді арқылы анықталады The тегіс коллектор осы көрсеткішке ие Бұл Риманн коллекторы, деп белгіленді .

Біртекті жүйе берілген кезде жергілікті координаттар қосулы берілген нақты бағаланатын функциялар векторлар

векторлық кеңістіктің негізін құрайды кез келген үшін Осы негізге қатысты әр нүктеде метрикалық тензордың «компоненттерін» анықтауға болады арқылы

Оларды келесі деп санауға болады жеке функциялар немесе жалғыз матрица-мәні бар функция «Риман» жорамалы оның симметриялық позитивті-анықталған матрицалардан тұратын ішкі жиында бағаланатындығын айтады.

Жөнінде тензор алгебрасы, метрикалық тензор терминдерімен жазылуы мүмкін қосарланған негізх1, ..., г.хnкотангенс байламының}

Изометриялар

Егер және екі римандық коллектор болып табылады диффеоморфизм деп аталады изометрия егер яғни егер

барлығына және

Біреуі карта дейді диффеоморфизм деп болжанбаған, а жергілікті изометрия егер әрқайсысы болса ашық маңы бар осындай диффеоморфизм және изометрия болып табылады.

Риман метрикасының заңдылығы

Біреуі Риман метрикасы дейді болып табылады үздіксіз егер кез-келген тегіс координаталар кестесі берілгенде үздіксіз болады Біреуі айтады болып табылады тегіс егер бұл функциялар кез-келген тегіс координаттар кестесі берілгенде тегіс болса. Риман метрикасының көптеген басқа түрлерін осы рухта қарастыруға болады.

Риман геометриясының көптеген экспозициялық жазбаларында метрикалар әрдайым тегіс болып саналады. Дегенмен, өлшемдерді аз тегіс деп санаудың маңызды себептері болуы мүмкін. Әдістерімен өндірілген Риман метрикасы геометриялық талдау, атап айтқанда, тегіс емес болуы мүмкін. Мысалы (Громов 1999) және (Ши мен Там 2002) қараңыз.

Шолу

Риман коллекторларының мысалдары төменде талқыланады. Атақты теорема туралы Джон Нэш кез-келген тегіс Риманн коллекторын ескере отырып (әдетте үлкен) сан бар және ендіру кері тарту стандартты Риман метрикасы болып табылады Бейресми түрде, тегіс Риман коллекторының барлық құрылымы кейбір евклид кеңістігінің белгілі бір кіріктірілген субманифолына диффеоморфизммен кодталуы мүмкін. Осы тұрғыдан абстрактілі тегіс коллекторлар мен олардың римандық метрикаларын қарастырудан ештеңе ала алмайтындығы даулы. Алайда, көптеген табиғи тегіс Риман коллекторлары бар, мысалы үш өлшемді кеңістіктің айналу жиыны және гиперболалық кеңістік, оның кез-келген көрінісі Евклид кеңістігінің қосалқы қабаты ретінде олардың симметриялары мен қасиеттерін олардың абстрактілі презентациялары сияқты айқын көрсете алмайды.

Мысалдар

Евклид кеңістігі

Келіңіздер стандартты координаттарды белгілеңіз Содан кейін анықтаңыз арқылы

Фразалар әр түрлі: стандартты координаттарға қатысты, жергілікті көрініс тұрақты мәнімен беріледі

Бұл Риман метрикасы және оны стандартты Риман құрылымы деп атайды Ол сондай-ақ деп аталады Евклид кеңістігі өлшем n және жижмүмкін деп аталады (канондық) Евклидтік метрика.

Кіріктірілген субманифольдтер

Келіңіздер Риманның көпжақты болуға рұқсат етіңіз болуы ендірілген субманифольд туралы бұл ең болмағанда Содан кейін шектеу туралы ж жанама векторларға N Риман метрасын анықтайды N.

  • Мысалы, қарастырайық бұл стандартты метрикасымен Евклид кеңістігінің тегіс ендірілген субманофолды. Риман метрикасы бұл туралы айтады деп аталады стандартты көрсеткіш немесе канондық метрика қосулы
  • Осыған ұқсас мысалдар өте көп. Мысалы, әрбір эллипсоид табиғи Риман метрикасы бар. Тегіс функцияның графигі ендірілген субманифольд және табиғи риман метрикасы да бар.

Иммерсиялар

Келіңіздер Риманның көпжақты болуға рұқсат етіңіз сараланатын карта болу. Сонда біреуін қарастыруға болады кері тарту туралы арқылы , бұл симметриялы 2-тензор арқылы анықталады

қайда болып табылады алға туралы арқылы

Бұл параметрде, әдетте Риман метрикасы болмайды өйткені бұл позитивті емес. Мысалы, егер тұрақты болады нөлге тең. Ақиқатында, Риман метрикасы болып табылады және егер болса болып табылады батыру, яғни сызықтық карта әрқайсысы үшін инъекциялық болып табылады

  • Маңызды мысал кезде пайда болады жай жалғанбаған, сондықтан жабу картасы бар Бұл иммерсия, сондықтан кез-келген Риман коллекторының әмбебап қақпағы Риман метрикасын автоматты түрде алады. Жалпы, бірақ сол қағида бойынша, Риман коллекторының кез-келген жабу кеңістігі Риман метрикасын иеленеді.
  • Сондай-ақ, Риман коллекторының батырылған субманифолды Риман метрикасын мұра етеді.

Өнім көрсеткіштері

Келіңіздер және Риманның екі коллекторы болыңыз және декарттық өнімді қарастырыңыз әдеттегі өнімнің тегіс құрылымымен. Риман метрикасы және Риман метрикасын табиғи түрде қойды қосулы оны бірнеше жолмен сипаттауға болады.

  • Ыдырауды қарастыру біреуін анықтауға болады
  • Келіңіздер тегіс координаттар диаграммасы болыңыз және рұқсат етіңіз тегіс координаттар диаграммасы болыңыз Содан кейін - тегіс координаттар диаграммасы Ыңғайлы болу үшін рұқсат етіңіз оң-анықталған симметриялы жиынтығын белгілеңіз нақты матрицалар. Координаталық кескінін белгілеңіз қатысты арқылы және координаталық кескінін белгілеңіз қатысты арқылы Содан кейін жергілікті координаттар ұсынысы қатысты болып табылады берілген

Стандартты мысал n-торусты қарастыру n-есе өнім ретінде анықтаңыз Егер біреуінің әрбір данасын берсе оның стандартты Риман метрикасын ескере отырып ендірілген субманифольд ретінде (жоғарыдағыдай) өнімді Риман метрикасы деп санауға болады Ол а деп аталады жалпақ тор.

Көрсеткіштердің дөңес тіркесімдері

Келіңіздер және Риманның екі метрикасы болыңыз Содан кейін, кез-келген нөмір үшін

сонымен қатар Риман метрикасы Жалпы, егер және онда кез-келген екі оң сан болады бұл тағы бір римандық метрика.

Кез-келген тегіс коллекторда Риман метрикасы бар

Бұл түбегейлі нәтиже. Риман метрикасының негізгі теориясының көп бөлігі тек тегіс коллектор жергілікті эвклид болатынын қолдану арқылы жасалуы мүмкін болғанымен, бұл нәтижеге «тегіс коллектор» анықтамасына оның Хаусдорф және паракомпакт екенін қосу қажет. Себебі дәлелдемені қолданады бірліктің бөлінуі.

Дәлел —

Келіңіздер М дифференциалданатын коллектор болыңыз және {(Uα, φα) | αМен} а жергілікті шектеулі атлас ашық ішкі жиындар Uα туралы М және диффеоморфизмдер Rn

Рұқсат етіңізτα}αМен ажыратылатын болуы бірліктің бөлінуі бағынышты берілген атлас.

Содан кейін метриканы анықтаңыз ж қосулы М арқылы

қайда жмүмкін Евклидтік көрсеткіш Rn және оның кері тартуы φβ.

Бұл метрика ретінде көрінеді М.

Үздіксіз байланысқан Риман коллекторларының метрикалық кеңістігі құрылымы

Үздіксіз-дифференциалданатын қисықтардың ұзындығы

Егер дифференциалды, содан кейін ол әрқайсысына тағайындалады вектор векторлық кеңістікте оның өлшемін норма бойынша өлшеуге болады Сонымен аралығында теріс емес функцияны анықтайды Ұзындық осы функцияның интегралы ретінде анықталады; дегенмен, мұнда көрсетілгендей, бұл функцияны интегралды болады деп күтуге ешқандай себеп жоқ. Бұл әдеттегідей ж үздіксіз және интегралданатын функция теріс емес және үздіксіз болатындай етіп үздіксіз дифференциалданады, демек

жақсы анықталған. Бұл анықтаманы кез-келген үзіліссіз үздіксіз дифференциалданатын қисықтың ұзындығын анықтау үшін кеңейтуге болады.

Көптеген жағдайларда, мысалы Риманның қисықтық тензоры, мұны талап ету керек ж жай сабақтастыққа қарағанда жүйелілік көбірек; бұл басқа жерде талқыланатын болады. Әзірге ж сыйлау үшін жоғарыда анықталған ұзындықты пайдалану жеткілікті болады М а құрылымымен метрикалық кеңістік, егер ол қосылған болса.

Метрикалық кеңістіктің құрылымы

Дәл анықтаңыз арқылы

Функцияның нақты анықталғандығын тексеру негізінен қарапайым оның симметрия қасиеті оның рефлексиялық қасиеті және үшбұрыш теңсіздігі кейбір кішігірім техникалық асқынулар болғанымен (мысалы, кез-келген екі нүктені бөліп-бөлетін жолмен байланыстыруға болатындығын тексеру сияқты). Мұны түсіну әлдеқайда маңызды қамтамасыз етеді және сол себепті метриканың барлық аксиомаларын қанағаттандырады.

Ұзындықтармен салыстыру туралы жоғарыдағы дәлелдеудің негізінде жатқан бақылау ж және тегіс координаталық диаграммада өлшенген эвклидтік ұзындық сонымен қатар метрикалық кеңістіктің топологиясының дәлелі болып табылады -ның бастапқы топологиялық кеңістік құрылымымен сәйкес келеді

Қисықтың ұзындығы айқын формуламен берілгенімен, қашықтық функциясын жазу мүмкін емес кез келген айқын тәсілдермен. Шындығында, егер ол кезде жинақы ж тегіс, әрқашан нүктелер бар дифференциалданбайды, тіпті қарапайым сияқты көрінетін жағдайларда да, осы нүктелердің орнын немесе сипатын анықтау өте қиын болуы мүмкін эллипсоид болып табылады.

Геодезия

Алдыңғы бөлімдегідей, рұқсат етіңіз байланысты және үздіксіз Риманн коллекторы болу; байланысты метрикалық кеңістікті қарастыру Осы метрикалық кеңістік құрылымына қатысты біреу айтады дейді бірлік жылдамдығы геодезиялық егер әрқайсысы үшін болса аралық бар құрамында бар және солай

Бейресми түрде біреу сұрап жатыр деп айтуы мүмкін жергілікті жылдамдықты (бейресми түрде қарастырылған) шектеуді ескере отырып, мүмкіндігінше «созылу». Идеясы егер болып табылады (үзінді) үздіксіз дифференциалданатын және барлығына содан кейін біреуі автоматты түрде бар ұзындығын анықтайтын интегралдың Риман қосындысына үшбұрыш теңсіздігін қолдану арқылы Сондықтан жоғары жылдамдықтағы геодезиялық шартты талап етеді және бір-бірінен мүмкіндігінше алыс болу. Біз тек қисықтарды іздейтініміз жергілікті созылу төменде келтірілген алғашқы екі мысалда көрінеді; жаһандық формасы ең зиянсыз геодезияның өзін бүгуге және қиылысуға мәжбүр етуі мүмкін.

  • Келесі жағдайды қарастырайық шеңбер болып табылады стандартты Риман метрикасымен және арқылы беріледі Естеріңізге сала кетейік бойымен қисықтардың ұзындықтарымен өлшенеді , жазықтықтағы түзу жолдармен емес. Бұл мысал ішкі интервалды таңдау қажеттілігін көрсетеді қисықтан бастап өзін табиғи түрде қайталайды.
  • Сол сияқты, егер бұл дөңгелек сфера оның стандартты Риман метрикасымен экваторлық шеңбер бойымен бірлік жылдамдықты жол геодезиялық болады. Басқа ендік шеңберлері бойынша жылдамдық бірлігі геодезиялық болмайды.
  • Келесі жағдайды қарастырайық болып табылады оның стандартты Риман метрикасымен. Содан кейін сияқты жылдамдық сызығы геодезиялық, бірақ қисық бірінші мысалдан жоғары емес.

Мұнда анықталғандай, жылдамдықты геодезия қажеттілік бойынша үздіксіз және шын мәнінде екенін ескеріңіз Липшиц, бірақ олар міндетті түрде дифференциалданатын немесе бөлшектелетін емес.

Хопф-Ринов теоремасы

Жоғарыда айтылғандай, рұқсат етіңіз байланысты және үздіксіз Риманн коллекторы болу. The Хопф-Ринов теоремасы, осы параметрде, дейді (Громов 1999)

  • егер метрикалық кеңістік болса болып табылады толық (яғни әрқайсысы -Кошия тізбегі жинақталады)
    • әрбір жабық және шектелген ішкі жиыны ықшам.
    • кез келген бірлік жылдамдықты геодезия бар бастап дейін осындай барлығына

Дәлелдеудің мәні мынада: бірінші жартыжылдық орнатылғаннан кейін, оны тікелей қолдануға болады Арцела-Асколи теоремасы, ықшам метрикалық кеңістік аясында үзіліссіз-дифференциалданатын бірлік жылдамдық қисықтарының тізбегіне дейін оның ұзындығы шамамен Алынған кейінгі реттік шек - қажетті геодезиялық.

Толықтығы маңызды. Мысалы, мына жағдайды қарастырайық болып табылады тесілген ұшақ оның стандартты Риман метрикасымен, ал біреуін алады және Бірінен екіншісіне жылдамдықты геодезия жоқ.

Диаметрі

Келіңіздер байланысты және үздіксіз Риманн коллекторы болу. Кез келген метрикалық кеңістіктегі сияқты диаметрін анықтауға болады болу

Хопф-Ринов теоремасы көрсеткендей, егер толық және ақырлы диаметрі бар, содан кейін ол ықшам болуы керек. Керісінше, егер ықшам, содан кейін функция максимумға ие болуы керек, өйткені бұл ықшам метрикалық кеңістікте үздіксіз функция. Бұл келесі тұжырымды дәлелдейді:

  • Егер толық, сонда ол диаметрі шектеулі болған жағдайда ғана жинақы болады.

Бұл толықтығы туралы болжамсыз болмайды; қарсы мысалдар үшін стандартты Риман метрикасымен эвклид кеңістігінің кез-келген ашық шектелген ішкі жиынын қарастыруға болады.

Көбінесе, бір сызықты дәлелі бар әрбір метрикалық кеңістіктің ақырғы диаметрі болатынын ескеріңіз. Алайда келесі мәлімдеме жалған: «Егер метрикалық кеңістік толық болса және оның диаметрі ақырлы болса, онда ол ықшам». Шекті диаметрдің толық және ықшам емес метрикалық кеңістігінің мысалы үшін қарастырайық

бірге біркелкі метрика

Сонымен, Хопф-Ринов теоремасының жоғарыда келтірілген қорытындыларындағы барлық терминдер тек кеңістіктің метрикалық құрылымын ғана қамтиды. Метриканың Риман құрылымынан шығарылуы маңызды.

Риман метрикасы

Геодезиялық толықтығы

Риманн коллекторы М болып табылады геодезиялық тұрғыдан толық егер бәрі үшін болса бМ, экспоненциалды карта экспб барлығы үшін анықталған v ∈ ТбМ, яғни геодезиялық болса γ(т) бастап б параметрдің барлық мәндері үшін анықталады тR. The Хопф-Ринов теоремасы деп бекітеді М геодезиялық тұрғыдан толық, егер ол болса ғана метрикалық кеңістік ретінде толық.

Егер М аяқталды, содан кейін М ол кез-келген басқа Риман коллекторының ашық субманифольдіне изометриялық емес болғандықтан кеңейтілмейді. Керісінше емес, дегенмен: толық емес кеңейтілмейтін коллекторлар бар.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • Кармо, Манфредо (1992). Риман геометриясы. Базель: Биркхаузер. ISBN  978-0-8176-3490-2.
  • Громов, Миша (1999). Риман және риман емес кеңістіктерге арналған метрикалық құрылымдар (1981 ж. Француздық түпнұсқа ред. Негізінде). Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, MA. ISBN  0-8176-3898-9.
  • Джост, Юрген (2008). Риман геометриясы және геометриялық анализ (5-ші басылым). Берлин: Шпрингер-Верлаг. ISBN  978-3-540-77340-5.
  • Ши, Югуанг; Там, Луэн-Фай (2002). «Позитивті масса теоремасы және теріс емес скалярлық қисықтықпен жинақы коллекторлардың шекаралық әрекеттері». J. дифференциалды геом. 62 (1): 79–125.

Сыртқы сілтемелер