Экспоненциалды карта (Риман геометриясы) - Exponential map (Riemannian geometry)

Жердің экспоненциалды картасы солтүстік полюстен көрінеді азимутальды тең қашықтықтағы проекция картографияда.

Жылы Риман геометриясы, an экспоненциалды карта а жиынтығынан алынған карта жанасу кеңістігі ТбМ а Риманн коллекторы (немесе жалған-риманналық коллектор ) М дейін М өзі. (Псевдо) Риман метрикасы канондық аффиндік байланысты анықтайды, ал (псевдо) Риман коллекторының экспоненциалдық картасы осы байланыстың экспоненциалды картасымен беріледі.

Анықтама

Келіңіздер М болуы а дифференциалданатын коллектор және б нүктесі М. Ан аффиндік байланыс қосулы М а ұғымын анықтауға мүмкіндік береді түзу сызық нүкте арқылы б.[1]

Келіңіздер v . ТбМ болуы а жанасу векторы коллекторына дейін б. Сонда бірегей нәрсе бар геодезиялық γv қанағаттанарлық γv(0) = б жанама векторымен γv(0) = v. Сәйкес экспоненциалды карта арқылы анықталады экспб(v) = γv(1). Жалпы, экспоненциалды карта тек қана жергілікті анықталған, яғни бұл тек шығу тегі бар шағын ауданды алады ТбМ, маңайына б коллекторда. Себебі ол теоремасына сүйенеді болмыс пен бірегейлік үшін қарапайым дифференциалдық теңдеулер ол жергілікті табиғатта. Экспоненциалды картаның әр нүктесінде нақты анықталған болса, аффиндік байланыс толық деп аталады тангенс байламы.

Қасиеттері

Интуитивті түрде айтсақ, экспоненциалды карта берілген жанама векторды коллекторға апарады, геодезия бойымен сол нүктеден басталады және сол бағытта, бірлік уақытқа жүреді. Бастап v геодезиялық жылдамдық векторына сәйкес келеді, нақты (римандық) қашықтық соған тәуелді болады. Сондай-ақ, геодезияны бірлік жылдамдығы ретінде өзгерте аламыз, сондықтан эквивалентті түрде анықтай аламызб(v) = β (|v|) мұндағы β - жылдамдықтың геодезиялық жылдамдығы (доға ұзындығы бойынша параметрленген геодезиялық) v. Тангенс векторын өзгерткен кезде v exp қолданған кезде аламызб, әр түрлі нүктелер М олар базалық нүктеден біраз қашықтықта орналасқан б—Бұл коллекторға жанасатын кеңістіктің манифольдты «сызықтықтандыру» түрі екенін көрсетудің ең нақты тәсілдерінің бірі болуы мүмкін.

The Хопф-Ринов теоремасы барлық тангенс кеңістігінде экспоненциалды картаны анықтауға болады, егер коллектор а ретінде толтырылған болса ғана метрикалық кеңістік (бұл әдеттегі мерзімді ақтайды геодезиялық тұрғыдан толық осы қасиеті бар экспоненциалды картасы бар коллектор үшін). Соның ішінде, ықшам коллекторлар геодезиялық тұрғыдан аяқталған. Алайда егер экспб бүкіл тангенс кеңістігінде анықталған, ол жалпы ғаламдық болмайды диффеоморфизм. Алайда, оның жанама кеңістіктің пайда болуындағы дифференциалды мәні жеке куәлік және, осылайша кері функция теоремасы біз Т-ның шыққан ауданын таба аламызбМ онда экспоненциалды карта ендіру болып табылады (яғни, экспоненциалды карта - жергілікті диффеоморфизм). Т-да шығу тегі туралы ең үлкен шардың радиусыбМ exp арқылы диффеоморфты түрде салыстыруға боладыб деп аталады инъекция радиусы туралы М кезінде б. The локус экспоненциалды картаның экспоненциалды картасының бірегей минимумға ие болмайтын барлық нүктелерінің жиынтығы.

Көрсеткіштік картаның маңызды қасиеті келесі болып табылады Гаусс леммасы (тағы біреуі Гаусс леммасы ): кез келген жанама вектор берілген v exp анықтамасының доменіндеб, және басқа вектор w ұшында негізделген v (демек w шын мәнінде қос тангенс кеңістігі Тv(Т.бМ)) және ортогоналды v, w ортогоналды болып қалады v экспоненциалды карта арқылы алға жылжытқанда. Бұл, атап айтқанда, T-дің шығу тегі туралы кішкентай шардың шекаралық сферасын білдіредібМ геодезияға ортогоналды болып табылады М сол векторлармен анықталады (яғни, геодезия радиалды). Бұл анықтаманы ынталандырады геодезиялық қалыпты координаттар Риман коллекторында.

Экспоненциалды карта қисықтықтың дерексіз анықтамасы оны бастапқыда Риманның өзі ойластырған нақты жүзеге асыру үшін қисықтық қисаюы ретінде интуитивті түрде анықталады Гаусстық қисықтық нүкте арқылы кейбір беттің (яғни, екі өлшемді субөлшемді коллекторды тілімдеуі) б қарастыруда. Экспоненциалды карта арқылы енді оны беттің Гаусс қисығы ретінде дәл анықтауға болады б exp астындағы кескінмен анықталадыб Т-ның екі өлшемді ішкі кеңістігініңбМ.

Ли теориясындағы экспоненциалды карталармен байланыс

Жалған топтар жағдайында екі инвариантты метрика- солға да, оңға да аударылған псевдо-риман метрикалық инварианты - псевдо-риман құрылымының экспоненциалды карталары бірдей Lie тобының экспоненциалды карталары. Жалпы, Lie топтарында екі инвариантты метрика жоқ, дегенмен барлық жалған жартылай қарапайым (немесе редуктивті) Lie топтарында бар. Биварианттың болуы Риманниан метрика псевдо-риман метрикасына қарағанда күшті және Lie алгебрасы Lie ықшам тобының Lie алгебрасы екенін білдіреді; керісінше, кез-келген ықшам (немесе абелиялық) Lie тобы осындай Риман метрикасына ие.

«Адал» экспоненциалды картаны беретін мысалды алыңыз. Қарастырайық оң нақты сандар R+, Lie тобы кәдімгі көбейтудің астында. Сонда әрбір жанама кеңістік әділетті болады R. Әр данасында R нүктесінде ж, біз модификацияланған ішкі өнімді енгіземіз

(оларды әдеттегі нақты сандар ретінде көбейту, бірақ масштабтау ж2). (Метриканы сол жақта инвариантты етеді, солға көбейту көбейткенде ішкі көбейтіндіден екі рет шығады - бөлгіштегі квадрат жойылады).

1 ∈ тармағын қарастырайық R+, және хR жанама кеңістіктің элементі. 1-ден шығатын әдеттегі түзу сызық, атап айтқанда ж(т) = 1 + xt геодезиямен бірдей жолды қамтиды, әрине, егер біз жылдамдықты қисыққа айналдыру үшін («тұрақты жылдамдық») өзгертетін болсақ, онда қарапайым тұрақты жылдамдық болмайды, өйткені біз бұл күлкілікті қолданамыз метрикалық). Ол үшін доға ұзындығымен (жанама вектор ұзындығының нормадағы интегралымен) өзгертеміз өзгертілген метрикамен индукцияланған):

және алу үшін функцияны төңкергеннен кейін т функциясы ретінде с, біз алмастырамыз және аламыз

Енді бірлік жылдамдығының анықтамасын қолдана отырып, бізде бар

,

күткенді беру eх.

Риман қашықтығы осымен анықталады

,

графика салған адамға таныс болуы керек метрика журнал қағаз.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Бұл бөлімнің көзі болып табылады Кобаяши және Номизу (1975 ж.), §III.6), бұл «сызықтық байланыс» терминін қолданады, мұнда біз «аффиндік байланыс» қолданамыз.

Әдебиеттер тізімі

  • Кармо, Манфредо П. (1992), Риман геометриясы, Бирхязер, ISBN  0-8176-3490-8. 3 тарауды қараңыз.
  • Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (1975), Риман геометриясындағы салыстыру теоремалары, Elsevier. 1 тараудың 2 және 3 бөлімдерін қараңыз.
  • «Экспоненциалды картаға түсіру», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
  • Гельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциалды геометрия, Өтірік топтары және симметриялық кеңістіктер, Математика бойынша магистратура, 34, Провиденс, Р.И .: Американдық математикалық қоғам, ISBN  978-0-8218-2848-9, МЫРЗА  1834454.
  • Кобаяши, Шошичи; Номизу, Катсуми (1996), Дифференциалдық геометрияның негіздері, Т. 1 (Жаңа ред.), Вили-Интерсианс, ISBN  0-471-15733-3.