Метрикалық кеңістік - Metric space

Жылы математика, а метрикалық кеңістік Бұл орнатылды бірге жиынтықтағы метрика. Метрика - а функциясы тұжырымдамасын анықтайтын қашықтық кез келген екеуінің арасында мүшелер жиынтығы, олар әдетте деп аталады ұпай. Метрика бірнеше қарапайым қасиеттерді қанағаттандырады. Ресми емес:

• арақашықтық ${displaystyle A}$ дейін ${displaystyle B}$ нөлге тең болады, егер де болса ${displaystyle A}$ және ${displaystyle B}$ бірдей нүкте,
• екі нақты нүкте арасындағы қашықтық оң,
• арақашықтық ${displaystyle A}$ дейін ${displaystyle B}$ дейінгі қашықтықпен бірдей ${displaystyle B}$ дейін ${displaystyle A}$, және
• арақашықтық ${displaystyle A}$ дейін ${displaystyle B}$ (тікелей) қашықтықтан аз немесе оған тең ${displaystyle A}$ дейін ${displaystyle B}$ кез келген үшінші нүкте арқылы ${displaystyle C}$.

Кеңістіктегі метрика индукциялайды топологиялық қасиеттері сияқты ашық және жабық жиынтықтар, бұл неғұрлым абстрактілі зерттеуге әкеледі топологиялық кеңістіктер.

Ең танымал метрикалық кеңістік 3 өлшемді эвклид кеңістігі. Шындығында, «метрика» - жалпылау Евклидтік метрика Евклид қашықтығының бұрыннан белгілі төрт қасиетінен туындайды. Евклидтік метрика екі нүкте арасындағы қашықтықты ұзындық ретінде анықтайды Түзу сызық сегменті оларды байланыстыру. Басқа метрикалық кеңістіктер мысалы пайда болады эллиптикалық геометрия және гиперболалық геометрия, мұндағы қашықтық а сфера бұрышпен өлшенетін метрика, ал гиперболоидтық модель гиперболалық геометрия қолданылады арнайы салыстырмалылық метрикалық кеңістік ретінде жылдамдықтар.

Тарих

Бұл бөлім кеңейтуді қажет етеді бірге: Евклидтік метриканы жалпылаудың себептері, алғашқы зерттелген эвклидтік емес көрсеткіштер, математиканың салдары. Сіз көмектесе аласыз оған қосу. (2011 жылдың тамызы)

1906 жылы Морис Фречет өзінің жұмысына метрикалық кеңістіктерді енгізді Sur quelques нүктелері du calcul fonctionnel.^[1] Алайда есімге байланысты Феликс Хаусдорф.

Анықтама

A метрикалық кеңістік болып табылады тапсырыс берілген жұп ${displaystyle (M, d)}$ қайда ${displaystyle M}$ жиынтығы және ${displaystyle d}$ Бұл метрикалық қосулы ${displaystyle M}$, яғни, а функциясы

${displaystyle d, қос нүкте M imes M o mathbb {R}}$

кез келген үшін ${displaystyle x, y, zin M}$, келесідей:^[2]

1.	${displaystyle d (x, y) = 0iff x = y}$	түсініксіз заттардың жеке басы
2.	${displaystyle d (x, y) = d (y, x)}$	симметрия
3.	${displaystyle d (x, z) leq d (x, y) + d (y, z)}$	субаддитивтілік немесе үшбұрыш теңсіздігі

Жоғарыда келтірілген үш аксиоманы ескере отырып, бізде де бар ${displaystyle d (x, y) geq 0}$ кез келген үшін ${displaystyle x, yin M}$. Бұл келесідей шығарылады:

${displaystyle d (x, y) + d (y, x) geq d (x, x)})$	үшбұрыш теңсіздігі арқылы
${displaystyle d (x, y) + d (x, y) geq d (x, x)}$	симметрия бойынша
${displaystyle 2d (x, y) geq 0}$	анықталмайтындардың сәйкестігі бойынша
${displaystyle d (x, y) geq 0}$	бізде негатив жоқ

Функция ${displaystyle d}$ деп те аталады қашықтық функциясы немесе жай қашықтық. Көбінесе, ${displaystyle d}$ алынып тасталды және біреу жай жазады ${displaystyle M}$ метрикалық кеңістік үшін, егер контекстен қандай метриканың қолданылатыны анық болса.

Математикалық бөлшектерді елемей, кез-келген жолдар мен жерлер үшін екі жердің арасындағы қашықтықты осы жерлерді жалғайтын ең қысқа жолдың ұзындығы ретінде анықтауға болады. Метрика болу үшін біржақты жол болмауы керек. Үшбұрыштың теңсіздігі айналма жолдардың төте жол емес екенін білдіреді. Егер екі нүктенің арақашықтығы нөлге тең болса, онда екі нүктені бір-бірінен ажырату мүмкін емес. Төменде келтірілген көптеген мысалдарды осы жалпы идеяның нақты нұсқалары ретінде қарастыруға болады.

Метрикалық кеңістіктердің мысалдары

• The нақты сандар қашықтық функциясымен ${displaystyle d (x, y) = vert y-xvert}$ берілген абсолютті айырмашылық, және, жалпы, Евклид n-ғарыш бірге Евклидтік қашықтық, болып табылады толық метрикалық кеңістіктер. The рационал сандар бірдей қашықтық функциясымен метрикалық кеңістікті құрайды, бірақ толық емес.
• The оң нақты сандар қашықтық функциясы бар ${displaystyle d (x, y) = vert log (y / x) vert}$ бұл толық метрикалық кеңістік.
• Кез келген нормаланған векторлық кеңістік анықтау арқылы метрикалық кеңістік болып табылады ${displaystyle d (x, y) = lVert y-xVert}$, қараңыз векторлық кеңістіктердегі көрсеткіштер. (Егер мұндай кеңістік болса толық, біз оны а деп атаймыз Банах кеңістігі.) Мысалдар:
  • The Манхэттеннің нормасы пайда болады Манхэттен қашықтығы, мұндағы кез-келген екі нүкте немесе векторлар арасындағы қашықтық сәйкес координаттар арасындағы айырмашылықтардың қосындысы.
  • The максималды норма пайда болады Чебышев арақашықтық немесе шахмат тақтасынан қашықтық, жүрістердің минималды саны а шахмат патшасы бастап саяхаттауға кетер еді ${displaystyle x}$ дейін ${displaystyle y}$.
• The British Rail метрика (оны «пошта бөлімшесінің метрикасы» немесе «SNCF метрика ») а нормаланған векторлық кеңістік арқылы беріледі ${displaystyle d (x, y) = lVert xVert + lVert yVert}$ нақты нүктелер үшін ${displaystyle x}$ және ${displaystyle y}$, және ${displaystyle d (x, x) = 0}$. Жалпы алғанда ${displaystyle lVert.Vert}$ функциясымен ауыстырылуы мүмкін ${displaystyle f}$ ерікті жиынтығын алу ${displaystyle S}$ теріс емес мәндерге және мәнді қабылдауға ${displaystyle 0}$ ең көп дегенде: содан кейін көрсеткіш анықталады ${displaystyle S}$ арқылы ${displaystyle d (x, y) = f (x) + f (y)}$ нақты нүктелер үшін ${displaystyle x}$ және ${displaystyle y}$, және ${displaystyle d (x, x) = 0}$. Бұл атау теміржол сапарларының Лондонға (немесе Парижге) бару тенденциясын олардың соңғы межелі орнына қарамастан білдіреді.
• Егер ${displaystyle (M, d)}$ метрикалық кеңістік болып табылады және ${displaystyle X}$ Бұл ішкі жиын туралы ${displaystyle M}$, содан кейін ${displaystyle (X, d)}$ доменін шектеу арқылы метрикалық кеңістікке айналады ${displaystyle d}$ дейін ${displaystyle X imes X}$.
• The дискретті метрика, қайда ${displaystyle d (x, y) = 0}$ егер ${displaystyle x = y}$ және ${displaystyle d (x, y) = 1}$ әйтпесе, қарапайым, бірақ маңызды мысал және оны барлық жиынтықтарға қолдануға болады. Бұл, атап айтқанда, кез-келген жиын үшін әрқашан онымен байланысты метрикалық кеңістік болатындығын көрсетеді. Осы көрсеткішті қолданып, кез келген нүкте ашық доп, демек, барлық ішкі жиын ашық және кеңістікте болады дискретті топология.
• Ақырлы метрикалық кеңістік дегеніміз a болатын метрикалық кеңістік ақырлы ұпай саны. Әрбір ақырғы метрикалық кеңістік бола алмайды изометриялық ендірілген Евклид кеңістігі.^[3][4]
• The гиперболалық жазықтық метрикалық кеңістік болып табылады. Жалпы:
  • Егер ${displaystyle M}$ кез келген байланысты Риманн коллекторы, содан кейін біз бұрыла аламыз ${displaystyle M}$ метрлік кеңістікке екі нүктенің арақашықтығын шексіз жолдардың ұзындықтары (үздіксіз дифференциалданатын қисықтар ) оларды байланыстыру.
  • Егер ${displaystyle X}$ кейбір жиынтығы және ${displaystyle M}$ бұл метрикалық кеңістік, демек, барлығының жиынтығы шектелген функциялар ${displaystyle fcolon Xқару M}$ (яғни бейнесі а болатын функциялар шектелген ішкі жиын туралы ${displaystyle M}$) анықтау арқылы метрикалық кеңістікке айналдыруға болады ${displaystyle d (f, g) = sup _ {xin X} d (f (x), g (x))}$ кез келген екі шектелген функция үшін ${displaystyle f}$ және ${displaystyle g}$ (қайда ${displaystyle sup}$ болып табылады супремум ).^[5] Бұл көрсеткіш «деп аталады біркелкі метрика немесе супремумдық метрика, және егер ${displaystyle M}$ аяқталды, содан кейін кеңістік сонымен бірге аяқталды. Егер X сонымен қатар топологиялық кеңістік, содан кейін барлық шектеулер жиынтығы үздіксіз функциялар ${displaystyle X}$ дейін ${displaystyle M}$ (бірыңғай көрсеткішпен қамтамасыз етілген), егер толық метрика болса, егер болады М болып табылады.
  • Егер ${displaystyle G}$ болып табылады бағытталмаған қосылған график, содан кейін жиынтық ${displaystyle V}$ шыңдарының ${displaystyle G}$ анықтау арқылы метрикалық кеңістікке айналдыруға болады ${displaystyle d (x, y)}$ шыңдарды байланыстыратын ең қысқа жолдың ұзындығы болуы керек ${displaystyle x}$ және ${displaystyle y}$. Жылы геометриялық топ теориясы бұл қолданылады Кейли графигі тобын бере отырып, метрикалық сөз.
• Графиктің өңдеу қашықтығы - бұл екеуінің арасындағы сәйкессіздік өлшемі графиктер, минималды саны ретінде анықталады графикті өңдеу әрекеттері бір графикті екінші графаға айналдыру үшін қажет.
• The Левенштейн қашықтығы екеуінің арасындағы сәйкессіздік өлшемі болып табылады жіптер ${displaystyle u}$ және ${displaystyle v}$, түрлендіруге қажетті таңбаларды жоюдың, кірістірудің немесе алмастырудың минималды саны ретінде анықталады ${displaystyle u}$ ішіне ${displaystyle v}$. Мұны графиктегі ең қысқа жол метрикасының ерекше жағдайы деп санауға болады және an мысалдарының бірі болып табылады қашықтықты өңдеу.
• Метрикалық кеңістік берілген ${displaystyle (X, d)}$ және өсу ойыс функциясы ${displaystyle fcolon [0, тиімді)зеңбірек [0, қатал)}$ осындай ${displaystyle f (x) = 0}$ егер және егер болса ${displaystyle x = 0}$, содан кейін ${displaystyle fcirc d}$ метрика болып табылады ${displaystyle X}$.
• Берілген инъекциялық функция ${displaystyle f}$ кез-келген жиынтықтан ${displaystyle A}$ метрикалық кеңістікке ${displaystyle (X, d)}$, ${displaystyle d (f (x), f (y))}$ көрсеткішін анықтайды ${displaystyle A}$.
• Қолдану Т-теориясы, тығыз аралық метрикалық кеңістіктің метрикалық кеңістігі болып табылады. Тығыз уақыт бірнеше талдау түрлерінде пайдалы.
• Барлығының жиынтығы ${displaystyle m}$ арқылы ${displaystyle n}$ матрицалар кейбіреулеріне қарағанда өріс қатысты метрикалық кеңістік болып табылады дәреже қашықтық ${displaystyle d (X, Y) = mathrm {ранг} (Y-X)}$.
• The Helly metric ішінде қолданылады ойын теориясы.

Ашық және жабық жиынтықтар, топология және конвергенция

Әрбір метрикалық кеңістік - а топологиялық кеңістік табиғи түрде, сондықтан жалпы топологиялық кеңістіктер туралы барлық анықтамалар мен теоремалар барлық метрикалық кеңістіктерге де қатысты.

Кез-келген нүкте туралы ${displaystyle x}$ метрикалық кеңістікте ${displaystyle M}$ біз анықтаймыз ашық доп радиустың ${displaystyle r> 0}$ (қайда ${displaystyle r}$ туралы нақты сан) ${displaystyle x}$ жиынтық ретінде

${displaystyle B (x; r) = {yin M: d (x, y)$

Бұл ашық шарлар негіз топология үшін М, оны жасау а топологиялық кеңістік.

Ішкі жиын ${displaystyle U}$ туралы ${displaystyle M}$ аталады ашық егер әрқайсысы үшін болса ${displaystyle x}$ жылы ${displaystyle U}$ бар an ${displaystyle r> 0}$ осындай ${displaystyle B (x; r)}$ ішінде орналасқан ${displaystyle U}$. The толықтыру ашық жиынтығы деп аталады жабық. A Көршілестік нүктенің ${displaystyle x}$ кез келген ішкі жиыны болып табылады ${displaystyle M}$ туралы ашық шар бар ${displaystyle x}$ ішкі жиын ретінде

Метрикалық кеңістіктен пайда болуы мүмкін топологиялық кеңістік а деп аталады өлшенетін кеңістік.

A жүйелі (${displaystyle x_ {n}}$) метрикалық кеңістікте ${displaystyle M}$ айтылады жақындасу шегіне дейін ${displaystyle xin M}$ егер және егер болса әрқайсысы үшін ${displaystyle varepsilon> 0}$, табиғи сан бар N осындай ${displaystyle d (x_ {n}, x)$ барлығына ${displaystyle n> N}$. Эквивалентті түрде барлық топологиялық кеңістіктердегі конвергенцияның жалпы анықтамасын қолдануға болады.

Ішкі жиын ${displaystyle A}$ метрикалық кеңістіктің ${displaystyle M}$ егер әрбір кезектілік болса ғана жабылады ${displaystyle A}$ шекараға жақындайды ${displaystyle M}$ шегі бар ${displaystyle A}$.

Метрикалық кеңістік түрлері

Бос орын

Метрикалық кеңістік ${displaystyle M}$ деп айтылады толық егер әрқайсысы болса Коши дәйектілігі жақындасады ${displaystyle M}$. Яғни: егер ${displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) o 0}$ екеуі сияқты ${displaystyle n}$ және ${displaystyle m}$ дербес шексіздікке барыңыз, сонда кейбіреулері бар ${displaystyle yin M}$ бірге ${displaystyle d (x_ {n}, y) o 0}$.

Әрқайсысы Евклид кеңістігі толық кеңістіктің барлық жабық ішкі бөлігі сияқты толық. Абсолюттік мәндер көрсеткішін қолданатын рационал сандар ${displaystyle d (x, y) = vert x-yvert}$, толық емес.

Кез-келген метрикалық кеңістіктің ерекше (дейін) болады изометрия ) аяқтау, бұл берілген кеңістікті а ретінде қамтитын толық кеңістік тығыз ішкі жиын. Мысалы, нақты сандар - бұл рационалдың аяқталуы.

Егер ${displaystyle X}$ метрикалық кеңістіктің толық жиынтығы болып табылады ${displaystyle M}$, содан кейін ${displaystyle X}$ жабық ${displaystyle M}$. Шынында да, кез-келген метрикалық кеңістікте жабық болған жағдайда ғана бос орын толық болады.

Әрбір толық метрикалық кеңістік - а Баре кеңістігі.

Шектелген және толық шектелген кеңістіктер

Жиынның диаметрі.

Метрикалық кеңістік ${displaystyle M}$ аталады шектелген егер бірнеше нөмір болса ${displaystyle r}$, осылай ${displaystyle d (x, y) leq r}$ барлығына ${displaystyle x, yin M}$. Мүмкін болатын ең кішкентай ${displaystyle r}$ деп аталады диаметрі туралы ${displaystyle M}$. Кеңістік ${displaystyle M}$ аталады алдын ала немесе толығымен шектелген егер әрқайсысы үшін болса ${displaystyle r> 0}$ радиустың ашық шарлары өте көп ${displaystyle r}$ оның одағы қамтиды ${displaystyle M}$. Осы шарлардың центрлерінің жиынтығы ақырлы болғандықтан, оның ақырлы диаметрі бар, одан шығатын (үшбұрыш теңсіздігін пайдаланып) әрбір толық шектелген кеңістік шектелген. Керісінше болмайды, өйткені кез-келген шексіз жиынға дискретті метрика берілуі мүмкін (жоғарыда келтірілген мысалдардың бірі), ол шектелген, бірақ толық шектелмеген.

Контекстінде екенін ескеріңіз аралықтар кеңістігінде нақты сандар және кейде евклид кеңістігіндегі аймақтар ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ шектелген жиын «ақырғы аралық» немесе «ақырлы аймақ» деп аталады. Алайда шектеулерді жиынтықтың қаншалықты созылатындығына емес, элементтердің санына қатысты «ақырлы» деп шатастыруға болмайды; шектілік шектілікті білдіреді, бірақ керісінше емес. Сонымен қатар, шексіз ішкі жиыны екенін ескеріңіз ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ шектеулі болуы мүмкін көлем.

Ықшам кеңістіктер

Метрикалық кеңістік ${displaystyle M}$ ықшам болып табылады, егер әрбір кезектілік ${displaystyle M}$ бар кейінгі нүктеге жақындайтын ${displaystyle M}$. Бұл белгілі бірізділік және метрикалық кеңістіктерде (бірақ жалпы топологиялық кеңістіктерде емес) топологиялық түсініктерге тең есептелетін ықшамдық және ықшамдылық арқылы анықталды ашық қақпақтар.

Ықшам метрикалық кеңістіктердің мысалдарына тұйық аралық жатады ${displaystyle [0,1]}$ абсолюттік мән метрикасымен, көптеген нүктелері бар барлық метрикалық кеңістіктер және Кантор орнатылды. Ықшам кеңістіктің барлық жабық ішкі жиыны өзі ықшам.

Метрикалық кеңістік толық және толық шектелген жағдайда ғана жинақы болады. Бұл белгілі Гейне-Борел теоремасы. Ықшамдық тек топологияға, ал шектеулер метрикаға байланысты болатындығын ескеріңіз.

Лебегдің леммасы ықшам метрлік кеңістіктің әрбір ашық қақпағы үшін ${displaystyle M}$, «Лебег нөмірі» бар ${displaystyle delta}$ осылайша әрбір ${displaystyle M}$ туралы диаметрі ${displaystyle r$ мұқабаның кейбір мүшелерінде бар.

Кез-келген ықшам метрикалық кеңістік екінші есептелетін,^[6] және -ның үздіксіз бейнесі Кантор орнатылды. (Соңғы нәтиже байланысты Павел Александров және Урысон.)

Жергілікті ықшам және орынды кеңістіктер

Метрикалық кеңістік деп аталады жергілікті ықшам егер әр нүктеде ықшам көршілік болса. Евклид кеңістігі жергілікті ықшам, бірақ шексіз көлемді Банах кеңістігі жоқ.

Бос орын дұрыс егер әр жабық доп болса ${displaystyle {y, қос нүкте d (x, y) leq r}}$ ықшам. Тиісті кеңістіктер жергілікті деңгейде ықшам, бірақ керісінше жалпы алғанда дұрыс емес.

Байланыс

Метрикалық кеңістік ${displaystyle M}$ болып табылады байланысты егер тек ашық және жабық ішкі жиындар бос жиын және болса ${displaystyle M}$ өзі.

Метрикалық кеңістік ${displaystyle M}$ болып табылады жол қосылған егер екі ұпай болса ${displaystyle x, yin M}$ үздіксіз карта бар ${displaystyle fcolon [0,1] o M}$ бірге ${displaystyle f (0) = x}$ және ${displaystyle f (1) = y}$.Әрбір жолға байланысты кеңістік байланысқан, бірақ керісінше жалпы алғанда дұрыс емес.

Осы анықтамалардың жергілікті нұсқалары да бар: жергілікті байланысты кеңістіктер және жергілікті байланыстырылған кеңістіктер.

Жай кеңістіктер бұл белгілі бір мағынада «саңылаулары» жоқтар.

Бөлінген бос орындар

Метрикалық кеңістік - бұл бөлінетін кеңістік егер ол бар болса есептелетін тығыз ішкі жиын. Әдеттегі мысалдар - бұл нақты сандар немесе кез-келген эвклид кеңістігі. Метрикалық кеңістіктер үшін (бірақ жалпы топологиялық кеңістіктер үшін емес) бөлінгіштік барабар екінші есептілік және сонымен бірге Линделёф мүлік.

Метрикалық кеңістіктер

Егер ${displaystyle X}$ бұл бос емес метрикалық кеңістік және ${displaystyle x_ {0} in X}$ содан кейін ${displaystyle (X, x_ {0})}$ а деп аталады метрикалық кеңістік, және ${displaystyle x_ {0}}$ а деп аталады маңызды нүкте. Метрикалық кеңістік - бұл тек бос емес метрикалық кеңістік, оның ерекше нүктесіне назар аударылғанын және кез-келген бос емес метрикалық кеңістікті нүктелі метрикалық кеңістік ретінде қарастыруға болатындығын ескеріңіз. Айрықша нүкте кейде белгіленеді ${displaystyle 0}$ оның белгілі бір контексттердегі нөлге ұқсас мінез-құлқына байланысты.

Метрикалық кеңістіктер арасындағы карталардың түрлері

Айталық ${displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ және ${displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$ екі метрикалық кеңістік болып табылады.

Үздіксіз карталар

Карта ${displaystyle f, қос нүкте M_ {1} o M_ {2}}$ болып табылады үздіксіз егер ол келесі баламалы қасиеттердің біреуіне (демек, барлығына) ие болса:

Жалпы топологиялық сабақтастық

әрбір ашық жиынтық үшін ${displaystyle U}$ жылы ${displaystyle M_ {2}}$, алдын-ала түсіру ${displaystyle f ^ {- 1} [U]}$ ашық ${displaystyle M_ {1}}$

Бұл жалпы анықтамасы топологиядағы сабақтастық.

Кезектес үздіксіздік

егер ${displaystyle (x_ {n})}$ ішіндегі реттілік болып табылады ${displaystyle M_ {1}}$ жақындасады ${displaystyle x}$, содан кейін реттілік ${displaystyle (f (x_ {n}))}$ жақындайды ${displaystyle f (x)}$ жылы ${displaystyle M_ {2}}$.

Бұл дәйекті сабақтастық, байланысты Эдуард Гейне.

ε-δ анықтамасы

әрқайсысы үшін ${displaystyle xin M_ {1}}$ және әрқайсысы ${displaystyle varepsilon> 0}$ бар ${displaystyle delta> 0}$ бәріне арналған ${displaystyle y}$ жылы ${displaystyle M_ {1}}$ Бізде бар

${displaystyle d_ {1} (x, y)$

Бұл пайдаланылады (ε, δ) -шекті анықтау, және байланысты Августин Луи Коши.

Оның үстіне, ${displaystyle f}$ әр ықшам кіші жиында үздіксіз болған жағдайда ғана үздіксіз болады ${displaystyle M_ {1}}$.

The сурет Үздіксіз функцияның ішіндегі әр жинақтың жиынтығы ықшам, ал үздіксіз функция шеңберіндегі әрбір қосылған жиынтықтың бейнесі қосылады.

Біркелкі үздіксіз карталар

Карта ${displaystyle f, қос нүкте M_ {1} o M_ {2}}$ болып табылады біркелкі үздіксіз егер әрқайсысы үшін болса ${displaystyle varepsilon> 0}$ бар ${displaystyle delta> 0}$ осындай

${displaystyle d_ {1} (x, y)$

Әрқандай тұрақты карта ${displaystyle f, қос нүкте M_ {1} o M_ {2}}$ үздіксіз. Керісінше, егер болса ${displaystyle M_ {1}}$ ықшам (Гейне-Кантор теоремасы ).

Біркелкі үздіксіз карталар Коши тізбегін айналдырады ${displaystyle M_ {1}}$ Коши тізбегіне ${displaystyle M_ {2}}$. Үздіксіз карталар үшін бұл әдетте дұрыс емес; мысалы, үздіксіз картаашық аралықтан ${displaystyle (0,1)}$ үстінде нақты сызық кейбір Коши тізбектерін шексіз тізбектерге айналдырады.

Липшиц-үздіксіз карталар мен қысқарулар

Нақты сан берілген ${displaystyle K> 0}$, карта ${displaystyle f, қос нүкте M_ {1} o M_ {2}}$ болып табылады Қ-Lipschitz үздіксіз егер

${displaystyle d_ {2} (f (x), f (y)) leq Kd_ {1} (x, y) quad {mbox {for all}} quad x, yin M_ {1}.}$

Липшитцтің кез-келген үздіксіз картасы біркелкі үздіксіз, бірақ керісінше жалпы алғанда дұрыс емес.

Егер ${displaystyle K <1}$, содан кейін ${displaystyle f}$ а деп аталады жиырылу. Айталық ${displaystyle M_ {2} = M_ {1}}$ және ${displaystyle M_ {1}}$ аяқталды. Егер ${displaystyle f}$ жиырылу болып табылады ${displaystyle f}$ бірегей бекітілген нүктені қабылдайды (Банахтың тұрақты нүктелі теоремасы ). Егер ${displaystyle M_ {1}}$ ықшам, жағдай сәл әлсіреуі мүмкін: ${displaystyle f}$ егер бірегей тұрақты нүктені қабылдайды

${displaystyle d (f (x), f (y))$.

Изометриялар

Карта ${displaystyle f, қос нүкте M_ {1} o M_ {2}}$ болып табылады изометрия егер

${displaystyle d_ {2} (f (x), f (y)) = d_ {1} (x, y) quad {mbox {for all}} quad x, yin M_ {1}}$

Изометриялар әрқашан инъекциялық; изометрия бойынша ықшам немесе толық жиынтықтың суреті сәйкесінше ықшам немесе толық болады. Алайда, егер изометрия болмаса сурьективті, содан кейін жабық (немесе ашық) жиынтықтың суреті жабық (немесе ашық) болмауы керек.

Квази-изометриялар

Карта ${displaystyle f, қос нүкте M_ {1} o M_ {2}}$ Бұл квази-изометрия егер тұрақтылар болса ${displaystyle Ageq 1}$ және ${displaystyle Bgeq 0}$ осындай

${displaystyle {frac {1} {A}} d_ {2} (f (x), f (y)) - dle d_ {1} (x, y) leq Ad_ {2} (f (x), f ( y)) + Bquad {ext {барлығы үшін}} quad x, yin M_ {1}}$

және тұрақты ${displaystyle Cgeq 0}$ әрбір нүкте осындай ${displaystyle M_ {2}}$ ең көп дегенде арақашықтық бар ${displaystyle C}$ суреттің бір нүктесінен бастап ${displaystyle f (M_ {1})}$.

Квази-изометрия үздіксіз болуы қажет емес екенін ескеріңіз. Квази-изометриялар метрикалық кеңістіктердің «ауқымды құрылымын» салыстырады; олар қолдануды табады геометриялық топ теориясы қатысты метрикалық сөз.

Метрикалық кеңістіктің эквиваленттілігі туралы түсініктер

Екі метрикалық кеңістік берілген ${displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$ және ${displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$:

• Олар аталады гомеоморфты бар болса (топологиялық тұрғыдан изоморфты) гомеоморфизм олардың арасында (яғни, а биекция екі бағытта да үздіксіз).
• Олар аталады біртектес бар болса (біркелкі изоморфты) біркелкі изоморфизм олардың арасында (яғни, а биекция екі бағытта да біркелкі үздіксіз).
• Олар аталады изометриялық егер бар болса а биективті изометрия олардың арасында. Бұл жағдайда екі метрикалық кеңістік мәні бойынша бірдей.
• Олар аталады квази-изометриялық егер бар болса а квази-изометрия олардың арасында.

Топологиялық қасиеттері

Метрикалық кеңістіктер паракомпакт^[7] Хаусдорф кеңістігі^[8] және демек қалыпты (шынымен де олар мүлдем қалыпты). Маңызды нәтиже - әрбір метрикалық кеңістік мойындайды бірлік бөлімдері және метрикалық кеңістіктің жабық ішкі жиынтығында анықталған кез-келген нақты мәнді функция бүкіл кеңістіктегі үздіксіз картаға дейін кеңейтілуі мүмкін (Tietze кеңейту теоремасы ). Әрбір нақты бағаланатыны да шындық Липшиц-үздіксіз Метрикалық кеңістіктің ішкі жиынында анықталған карта бүкіл кеңістіктегі Липшиц-үздіксіз картаға дейін кеңейтілуі мүмкін.

Метрикалық кеңістіктер бірінші есептелетін өйткені рационалды радиусы бар шарларды көршілес негіз ретінде пайдалануға болады.

Метрикалық кеңістіктегі метрикалық топология ${displaystyle M}$ - бұл ең қатал топология ${displaystyle M}$ оған қатысты метрика ${displaystyle d}$ туындысынан үзіліссіз карта болып табылады ${displaystyle M}$ өзімен бірге теріс емес нақты сандарға дейін.

Нүктелер мен жиындар арасындағы қашықтық; Хаусдорф арақашықтығы және Громов метрикасы

Нүктені жабық жиыннан бөлетін функцияны құрудың қарапайым тәсілі (а талап етілгендей толығымен тұрақты кеңістік) болып табылады нүкте мен жиынтық арасындағы қашықтық. Егер ${displaystyle (M, d)}$ метрикалық кеңістік, ${displaystyle S}$ Бұл ішкі жиын туралы ${displaystyle M}$ және ${displaystyle x}$ нүктесі болып табылады ${displaystyle M}$, бастап қашықтықты анықтаймыз ${displaystyle x}$ дейін ${displaystyle S}$ сияқты

${displaystyle d (x, S) = inf {d (x, s): sin S}}$ қайда ${displaystyle inf}$ білдіреді шексіз.

Содан кейін ${displaystyle d (x, S) = 0}$ егер және егер болса ${displaystyle x}$ тиесілі жабу туралы ${displaystyle S}$. Сонымен, бізде үшбұрыш теңсіздігін келесі жалпылау бар:

${displaystyle d (x, S) leq d (x, y) + d (y, S),}$

бұл, атап айтқанда, карта екенін көрсетеді ${displaystyle xmapsto d (x, S)}$ үздіксіз.

Екі ішкі жиын берілген ${displaystyle S}$ және ${displaystyle T}$ туралы ${displaystyle M}$, біз оларды анықтаймыз Хаусдорф арақашықтық болу

${displaystyle d_ {H} (S, T) = max {sup {d (s, T): sin S}, sup {d (t, S): қалайы T}}}$ қайда ${displaystyle sup}$ білдіреді супремум.

Жалпы, Хаусдорф қашықтығы ${displaystyle d_ {H} (S, T)}$ шексіз болуы мүмкін. Екі жиын бір-біріне Хаусдорф арақашықтықында жақын болса, егер кез-келген жиынның әрбір элементі екінші жиынның кейбір элементіне жақын болса.

Хаусдорф арақашықтық ${displaystyle d_ {H}}$ жиынтығын айналдырады ${displaystyle K (M)}$ ішіндегі бос емес ықшам жиындардың ішінен ${displaystyle M}$ метрикалық кеңістікке. Мұны біреу көрсете алады ${displaystyle K (M)}$ егер толық болса ${displaystyle M}$ аяқталды.(Ықшам ішкі жиындардың конвергенциясы туралы басқа түсінік Куратовский конвергенциясы.)

Содан кейін біреуін анықтауға болады Громов - Хаусдорф арақашықтық екі кеңістіктің изометриялық ендірілген нұсқаларының минималды Хаусдорф арақашықтығын ескере отырып, кез-келген екі метрлік кеңістік арасында. Осы қашықтықты пайдаланып, барлық ықшам метрикалық кеңістіктердің (изометрия кластарының) класы өздігінен метрикалық кеңістікке айналады.

Өнімнің метрикалық кеңістігі

Егер ${displaystyle (M_ {1}, d_ {1}), ldots, (M_ {n}, d_ {n})}$ метрикалық кеңістіктер, және ${displaystyle N}$ болып табылады Евклидтік норма қосулы ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, содан кейін ${displaystyle {Big (} M_ {1} imes ldots imes M_ {n}, N (d_ {1}, ldots, d_ {n}) {Big)}}$ метрикалық кеңістік болып табылады, мұндағы өнім көрсеткіші арқылы анықталады

${displaystyle N (d_ {1}, ..., d_ {n}) {Үлкен (} (x_ {1}, ldots, x_ {n}), (y_ {1}, ldots, y_ {n}) { Үлкен)} = N {Үлкен (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {Үлкен)},}$

және келтірілген топология сәйкес келеді өнім топологиясы. Шекті өлшемдердегі нормативтердің эквиваленттілігі бойынша эквиваленттік метрика алынады, егер ${displaystyle N}$ болып табылады такси салығының нормасы, а p-норма, максималды норма немесе оң координатасы ретінде кемімейтін кез келген басқа норма ${displaystyle n}$-бөлшектердің ұлғаюы (үшбұрыштың теңсіздігін беру).

Сол сияқты, метрикалық кеңістіктердің есептік көбейтіндісін келесі метриканың көмегімен алуға болады

${displaystyle d (x, y) = sum _ {i = 1} ^ {infty} {frac {1} {2 ^ {i}}} {frac {d_ {i} (x_ {i}, y_ {i} )} {1 + d_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}}.}$

Метрикалық кеңістіктердің есептелмейтін көбейтіндісі өлшенбеуі керек. Мысалға, ${displaystyle mathbb {R} ^ {mathbb {R}}}$ емес бірінші есептелетін және сондықтан өлшенбейді.

Қашықтықтың үздіксіздігі

Бірыңғай кеңістік жағдайында ${displaystyle (M, d)}$, арақашықтық картасы ${displaystyle dcolon M imes Mтірек R ^ {+}}$ (бастап анықтама ) жоғарыда аталған өнімнің кез келген көрсеткішіне қатысты біркелкі үздіксіз болады ${displaystyle N (d, d)}$, атап айтқанда өнім топологиясына қатысты үздіксіз ${displaystyle M imes M}$.

Метрикалық кеңістіктер

Егер М метрикалық кеңістік болып табылады ${displaystyle d}$, және ${displaystyle sim}$ болып табылады эквиваленттік қатынас қосулы ${displaystyle M}$, содан кейін біз берілгендер жиынын бере аламыз ${displaystyle M /! sim}$ псевдометриялық. Екі эквиваленттік класс берілген ${displaystyle [x]}$ және ${displaystyle [y]}$, біз анықтаймыз

${displaystyle d '([x], [y]) = inf {d (p_ {1}, q_ {1}) + d (p_ {2}, q_ {2}) + dotsb + d (p_ {n}) , q_ {n})}}$

қайда шексіз барлық шектеулі тізбектер бойынша қабылданады ${displaystyle (p_ {1}, p_ {2}, нүктелер, p_ {n})}$ және ${displaystyle (q_ {1}, q_ {2}, нүктелер, q_ {n})}$ бірге ${displaystyle [p_ {1}] = [x]}$, ${displaystyle [q_ {n}] = [y]}$, ${displaystyle [q_ {i}] = [p_ {i + 1}], i = 1,2, нүктелер, n-1}$. Жалпы, бұл тек а псевдометриялық, яғни ${displaystyle d '([x], [y]) = 0}$ міндетті түрде бұл дегенді білдірмейді ${displaystyle [x] = [y]}$. Алайда, кейбір эквиваленттік қатынастар үшін (мысалы, полиэдраны бет бойына жабыстыру арқылы берілетін қатынастар), ${displaystyle d '}$ метрика болып табылады.

Көрсеткіш ${displaystyle d}$ мыналармен сипатталады әмбебап меншік. Егер ${displaystyle f, қос нүкте (M, d) o (X, delta)}$ Бұл метрикалық карта метрикалық кеңістіктер арасында (яғни, ${displaystyle delta (f (x), f (y)) leq d (x, y)}$ барлығына ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$) қанағаттанарлық ${displaystyle f (x) = f (y)}$ қашан болса да ${displaystyle xsim y,}$ содан кейін индукцияланған функция ${displaystyle {overline {f}}, қос нүкте M /! sim o X}$, берілген ${displaystyle {overline {f}} ([x]) = f (x)}$, метрикалық карта ${displaystyle {overline {f}}, қос нүкте (M /! sim, d ') o (X, delta)}$

Топологиялық кеңістік дәйекті егер ол тек метрикалық кеңістіктің өлшемі болса ғана.^[9]

Метрикалық кеңістіктерді жалпылау

• Әрбір метрикалық кеңістік - а біркелкі кеңістік табиғи түрде және әрбір біркелкі кеңістік табиғи түрде а топологиялық кеңістік. Біртекті және топологиялық кеңістіктерді метрикалық кеңістіктерді жалпылау деп санауға болады.
• Егер метрикалық кеңістіктің бірінші анықтамасын қарастыратын болсақ жоғарыда келтірілген және екінші талапты босаңсытып, біз а ұғымдарына келеміз псевдометриялық кеңістік немесе бөлінген метрикалық кеңістік.^[10] Егер біз үшінші немесе төртіншіні алып тастасақ, онда a квазиметриялық кеңістік немесе а семиметриялық кеңістік.
• Егер қашықтық функциясы -де мәндерді алса кеңейтілген нақты сызық ${displaystyle mathbb {R} кубогы {+ жауапсыз}}$, бірақ әйтпесе төрт шарттың барлығын қанағаттандырады, сонда ол ан деп аталады кеңейтілген метрика және сәйкес кеңістік an деп аталады ${displaystyle жарамсыз}$-метрлік кеңістік. Егер қашықтық функциясы кейбір (қолайлы) реттелген жиынтықта мәндерді алса (және үшбұрыш теңсіздігі сәйкесінше реттелсе), онда біз деген ұғымға келеміз жалпыланған ультраметриялық.^[10]
• Кеңістіктер метрлік кеңістіктерді жалпылау болып табылады, нүктелік-нүктелік арақашықтықтың орнына, берілгенге дейінгі қашықтыққа негізделген.
• A үздіксіздік кеңістігі метрикалық кеңістіктерді жалпылау болып табылады және позалар, бұл метрикалық кеңістіктер туралы түсініктерді біріктіру үшін қолданыла алады домендер.
• Ішінара метрикалық кеңістік метрикалық кеңістік ұғымын ең аз қорытуға арналған, өйткені әр нүктенің өзінен қашықтығы бұдан былай міндетті түрде нөлге тең болмайды.^[11]

Метрикалық кеңістіктер байытылған санаттар ретінде

Тапсырыс жиынтығы ${displaystyle (mathbb {R}, geq)}$ ретінде қарастыруға болады санат дәл біреуін сұрау арқылы морфизм ${displaystyle a o b}$ егер ${displaystyle ageq b}$ және басқаша емес. Пайдалану арқылы ${displaystyle +}$ ретінде тензор өнімі және ${displaystyle 0}$ ретінде жеке басын куәландыратын, ол а болады моноидты категория ${displaystyle R ^ {*}}$.Әрбір метрикалық кеңістік ${displaystyle (M, d)}$ енді категория ретінде қарастыруға болады ${displaystyle M ^ {*}}$ байытылған аяқталды ${displaystyle R ^ {*}}$:

• Орнатыңыз ${displaystyle операторының аты {Ob} (M ^ {*}): = M}$
• Әрқайсысы үшін ${displaystyle X, Yin M}$ орнатылды ${displaystyle операторының аты {Hom} (X, Y): = d (X, Y) оператор атауында {Ob} (R ^ {*})}$
• Морфизмнің құрамы ${displaystyle оператор аты {Hom} (Y, Z) otimes оператор атауы {Hom} (X, Y) o оператор атауы {Hom} (X, Z)}$ бірегей морфизм болады ${displaystyle R ^ {*}}$ үшбұрыш теңсіздігінен берілген ${displaystyle d (y, z) + d (x, y) geq d (x, z)}$
• Идентификация морфизмі ${displaystyle 0 o оператор атауы {Hom} (X, X)}$ фактісі бойынша берілген ерекше морфизм болады ${displaystyle 0geq d (X, X)}$.
• Бастап ${displaystyle R ^ {*}}$ посет, барлығы диаграммалар автоматты түрде байытылған санатқа бару үшін қажет.

Төменде келтірілген Ф.В. Лоуердің мақаласын қараңыз.

Сондай-ақ қараңыз

• Александров-Рассия проблемасы
• Метрикалық кеңістіктердің санаты
• Винердің классикалық кеңістігі
• Шартты бейнелеу - Барлық нүктелер арасындағы қашықтықты төмендететін функция
• Риманна және метрикалық геометрия сөздігі - математика глоссарийі
• Гильберт кеңістігі - метрлік аяқталған ішкі өнім кеңістігі; Банах кеңістігі, оның нормасы ішкі өнімді туғызады (норма параллелограмм сәйкестігін қанағаттандырады)
• Гильберттің төртінші мәселесі
• Изометрия
• Липшицтің үздіксіздігі - бірыңғай сабақтастықтың күшті формасы
• Өлшем (математика) - ұзындықты, ауданды, көлемді және интегралды жалпылау
• Метрика (математика) - қашықтықты анықтайтын математикалық функция
• Метрикалық карта
• Метрикалық қолтаңба
• Метрикалық тензор
• Метрикалық ағаш
• Норматив (математика) - векторлық кеңістіктегі ұзындық
• Векторлық норма - қашықтық анықталған векторлық кеңістік
• Өнім көрсеткіші
• Ғарыш (математика) - құрылымы қосылған математикалық жиынтық
• Үшбұрыш теңсіздігі - геометрияның қасиеті, сонымен қатар метрикалық кеңістіктерде «қашықтық» ұғымын қорыту үшін қолданылады
• Ультраметриялық кеңістік - үшбұрыш теңсіздігінің орнына максимумды пайдаланып күшті теңсіздікке ауыстырылатын метрикалық кеңістіктің түрі

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Виктор Брайант, Метрикалық кеңістіктер: қайталану және қолдану, Кембридж университетінің баспасы, 1985, ISBN  0-521-31897-1.
• Дмитрий Бураго, Ю Д Бураго, Сергей Иванов, Метрикалық геометрия курсы, Американдық математикалық қоғам, 2001, ISBN  0-8218-2129-6.
• Афанас Пападопулос, Метрикалық кеңістіктер, дөңес және жағымсыз қисықтық, Еуропалық математикалық қоғам, 2004 жылғы бірінші басылым, ISBN  978-3-03719-010-4. Екінші басылым 2014, ISBN  978-3-03719-132-3.
• Mícheál Ó Searcóid, Метрикалық кеңістіктер, Springer студенттерінің математика сериясы, 2006, ISBN  1-84628-369-8.
• Ловере, Ф.Вильям, «Метрикалық кеңістіктер, жалпыланған логика және жабық категориялар», [Рендер. Сем. Мат Fis. Милано 43 (1973), 135—166 (1974); (Итальяндық қысқаша сипаттама)

Бұл қайта басылған (автордың түсініктемесімен) Санаттар теориясы мен қолданбаларында қайта басу Сондай-ақ (авторлық түсіндірмемен) геометрия және талдау логикасындағы байытылған санаттарда. Қайта Теория. Санат № 1 (2002), 1-37.

• Вайсштейн, Эрик В. «Өнім көрсеткіштері». MathWorld.

Сыртқы сілтемелер

• «Метрикалық кеңістік», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
• Алыс және жақын - функциялардың бірнеше мысалдары кезінде түйін.