Куратовский конвергенциясы - Kuratowski convergence

Жылы математика, Куратовский конвергенциясы деген ұғым конвергенция үшін тізбектер (немесе, жалпы, торлар ) of ықшам ішкі жиындар туралы метрикалық кеңістіктер, атындағы Казимерц Куратовский. Интуитивті түрде жиындар тізбегінің Куратовский шегі - бұл жиындар »жинақталады ".

Анықтамалар

Келіңіздер (X, г.) а метрикалық кеңістік, қайда X жиынтығы және г. нүктелерінің арасындағы қашықтықтың функциясы болып табылады X.

Кез-келген нүкте үшін х ∈ X және кез келген бос емес ықшам ішкі жиын A ⊆ X, нүкте мен ішкі жиын арасындағы қашықтықты анықтаңыз:

${displaystyle d (x, A) = inf {d (x, a) | ain A}}$.

Осындай ішкі жиындардың кез-келген реттілігі үшін A_n ⊆ X, n ∈ N, Куратовский шегі төмен (немесе төменгі жабық шек) of A_n сияқты n → ∞ болып табылады

${displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} = left {xin Xleft | limsup _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}$

${displaystyle = left {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {барлық ашық аудандар үшін}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq emptyset {mbox {жеткілікті үлкенге}} nend {matrix }} ight.ight};}$

The Куратовский шегі жоғары (немесе жоғарғы жабық шегі) of A_n сияқты n → ∞ болып табылады

${displaystyle mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n} = left {xin Xleft | liminf _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}$

${displaystyle = left {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {барлық ашық аудандар үшін}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq emptyset {mbox {шексіз көп үшін}} nend {матрица }} ight.ight}.}$

Егер Куратовский төменгі және жоғары деңгейлермен шектелсе (яғни сол жиынтық болса X), онда олардың жалпы мәні деп аталады Куратовский шегі жиынтықтардың A_n сияқты n → ∞ және Lt деп белгіленді_n→∞A_n.

-Ның ықшам ішкі топтарының жалпы анықтамалары X өту mutatis mutandis.

Қасиеттері

• Куратовскийдің төменгі шегі арақашықтықтан жоғары шекті қамтитындығы интуитивті болып көрінуі мүмкін және қарама-қарсы, номенклатура кез-келген жиындар тізбегі үшін,

${displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} subseteq mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n}.}$

Яғни шегі кіші жиын, ал шегі үлкені үлкен.

• Жоғарғы және төменгі жабық лимит терминдері Li-ден туындайды_n→∞A_n және Ls_n→∞A_n әрқашан жабық жиынтықтар метрикалық топологияда (X, г.).

Байланысты ұғымдар

Метрикалық кеңістіктер үшін X бізде мыналар бар:

• Куратовский конвергенциясы in конвергенциясымен сәйкес келеді Топология топологиясы.
• Куратовский конвергенциясы конвергенцияға қарағанда әлсіз Вьеторис топологиясы.
• Куратовский конвергенциясы конвергенцияға қарағанда әлсіз Хаусдорф метрикасы.
• Ықшам метрикалық кеңістіктер үшін X, Куратовский конвергенциясы Хаусдорф метрикалық және Вьеторис топологиясындағы конвергенциямен сәйкес келеді.
• Куратовкси конвергенциясы эпиграфтар кеңейтілген нақты функциялардың мәні барабар ${displaystyle Gamma}$-конвергенция осы функциялар.

Мысалдар

• Келіңіздер A_n күнәнің нөлдік жиынтығы бол (nx) функциясы ретінде х бастап R өзіне

${displaystyle A_ {n} = {ig {} xin mathbf {R} {ig |} sin (nx) = 0 {ig}}.}$

Содан кейін A_n Куратовский мағынасында бүкіл нақты сызыққа жақындайды R. Бұл жағдайда ескеріңіз A_n ықшам болудың қажеті жоқ.

Сондай-ақ қараңыз

• Борел-Кантелли леммасы
• Wijsman конвергенциясы
• Хаусдорф арақашықтық
• Гемотонинутия
• Вьеторис топологиясы
• Гамма конвергенциясы

Әдебиеттер тізімі

• Куратовский, Казимерц (1966). Топология. I және II томдар. Жаңа редакция, өңделген және толықтырылған. Француз тілінен аударған Дж.Яворовский. Нью-Йорк: Academic Press. хх + 560 бет. МЫРЗА0217751

• Сыра, Джералд (1993). Тұйық және жабық дөңес жиынтықтардағы топологиялар. Математика және оның қолданылуы. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group. xii + 340 бет.