Лебегалар саны леммасы - Lebesgues number lemma - Wikipedia

Жылы топология, Лебегдің леммасы, атындағы Анри Лебес, зерттеудегі пайдалы құрал болып табылады ықшам метрикалық кеңістіктер. Онда:

Егер метрикалық кеңістік болса ${ displaystyle (X, d)}$ ықшам және ашық қақпақ туралы ${ displaystyle X}$ берілген, содан кейін сан бар ${ displaystyle delta> 0}$ осылай әрқайсысы ішкі жиын туралы ${ displaystyle X}$ бар диаметрі одан азырақ ${ displaystyle delta}$ мұқабаның кейбір мүшелерінде бар.

Мұндай сан ${ displaystyle delta}$ а деп аталады Лебег нөмірі осы мұқабаның Lebesgue нөмірінің өзі басқа қосымшаларда да пайдалы.

Дәлел

Келіңіздер ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ ашық қақпағы болыңыз ${ displaystyle X}$. Бастап ${ displaystyle X}$ ықшам, біз шектеулі ішкі мұқабаны шығарып аламыз ${ displaystyle {A_ {1}, нүктелер, A_ {n} } subseteq { mathcal {U}}}$.Егер біреу болса ${ displaystyle A_ {i}}$тең ${ displaystyle X}$ содан кейін кез-келген ${ displaystyle delta> 0}$ Лебег нөмірі ретінде қызмет етеді, әйтпесе әрқайсысы үшін ${ displaystyle i in {1, dots, n }}$, рұқсат етіңіз ${ displaystyle C_ {i}: = X setminus A_ {i}}$, ескертіп қой ${ displaystyle C_ {i}}$ бос емес және функцияны анықтаңыз ${ displaystyle f: X rightarrow mathbb {R}}$ арқылы ${ displaystyle f (x): = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} d (x, C_ {i})}$.

Бастап ${ displaystyle f}$ ықшам жиынтықта үздіксіз, ол минимумға жетеді ${ displaystyle delta}$. Ең басты бақылау - бұл әрқайсысы ${ displaystyle x}$ кейбірінде бар ${ displaystyle A_ {i}}$, шекті мән теоремасы көрсетеді ${ displaystyle delta> 0}$. Енді мұны тексеруге болады ${ displaystyle delta}$ бұл қажетті лебесг нөмірі ${ displaystyle Y}$ ішкі бөлігі болып табылады ${ displaystyle X}$ диаметрі кем ${ displaystyle delta}$, содан кейін бар ${ displaystyle x_ {0} in X}$ осындай ${ displaystyle Y subseteq B _ { delta} (x_ {0})}$, қайда ${ displaystyle B _ { delta} (x_ {0})}$ радиустың шарын білдіреді ${ displaystyle delta}$ ортасында ${ displaystyle x_ {0}}$ (атап айтқанда, біреу таңдай алады ${ displaystyle x_ {0}}$ кез келген нүкте сияқты ${ displaystyle Y}$). Бастап ${ displaystyle f (x_ {0}) geq delta}$ кем дегенде біреу болуы керек ${ displaystyle i}$ осындай ${ displaystyle d (x_ {0}, C_ {i}) geq delta}$. Бірақ бұл дегеніміз ${ displaystyle B _ { delta} (x_ {0}) subseteq A_ {i}}$ және, атап айтқанда, ${ displaystyle Y subseteq A_ {i}}$.

Әдебиеттер тізімі

• Мунрес, Джеймс Р. (1974), Топология: Бірінші курс, б.179, ISBN  978-0-13-925495-6

Бұл топологияға байланысты мақала бұта. Сіз Уикипедияға көмектесе аласыз оны кеңейту.