Координаттар жүйесі - Coordinate system

The сфералық координаттар жүйесі әдетте қолданылады физика. Ол Евклид кеңістігінің әр нүктесіне үш санды (координаталар деп аталады) береді: радиалды қашықтық р, полярлық бұрыш θ (тета ), және азимуттық бұрыш φ (phi ). Таңба ρ (rho ) орнына жиі қолданылады р.

Жылы геометрия, а координаттар жүйесі бір немесе бірнеше қолданатын жүйе болып табылады сандар, немесе координаттар, позициясын ерекше анықтау үшін ұпай немесе басқа геометриялық элементтер көпжақты сияқты Евклид кеңістігі.[1][2] Координаттардың орналасу реті маңызды және оларды кейде олардың орналасу реті бойынша анықтайды кортеж және кейде хатпен, «сияқты х-координат «. Координаттар келесідей қабылданады: нақты сандар жылы бастауыш математика, бірақ болуы мүмкін күрделі сандар немесе а. сияқты дерексіз жүйенің элементтері ауыстырғыш сақина. Координаталық жүйені қолдану геометриядағы есептерді сандар туралы есептерге аударуға мүмкіндік береді қарама-қарсы; бұл негіз аналитикалық геометрия.[3]

Жалпы координаттар жүйелері

Нөмір жолы

Координаттар жүйесінің қарапайым мысалы - сызықтағы нүктелерді нақты сандармен анықтау болып табылады сандық сызық. Бұл жүйеде ерікті нүкте O ( шығу тегі) берілген жол бойынша таңдалады. Нүктенің координатасы P бастап қол қойылған қашықтық ретінде анықталады O дейін P, мұндағы қол қойылған қашықтық - бұл сызықтың қай жағына байланысты оң немесе теріс деп алынған қашықтық P өтірік Әр нүктеге ерекше координаталар беріледі, ал әрбір нақты сан - ерекше нүктенің координатасы.[4]

Сандар сызығы

Декарттық координаттар жүйесі

Координаттар жүйесінің прототиптік мысалы - болып табылады Декарттық координаттар жүйесі. Ішінде ұшақ, екі перпендикуляр сызықтар таңдалады және нүктенің координаталары түзулерге дейінгі қашықтыққа алынады.

Тікбұрышты координаттар.svg

Үш өлшемде, үшеуі өзара ортогоналды жазықтықтар таңдалады және нүктенің үш координаталары - жазықтықтардың әрқайсысына қол қойылған қашықтық.[5] Мұны жасау үшін жалпылауға болады n кез келген нүкте үшін координаталар n-өлшемді эвклид кеңістігі.

Координаталық осьтердің бағыты мен тәртібіне байланысты үш өлшемді жүйе а болуы мүмкін оң қол немесе солақай жүйе. Бұл көптеген координаттар жүйелерінің бірі.

Полярлық координаттар жүйесі

Жазықтықтың тағы бір кеңейтілген координаттар жүйесі болып табылады полярлық координаттар жүйесі.[6] Нүкте ретінде таңдалады полюс және осы сәттен шыққан сәуле ретінде қабылданады полярлық ось. Берілген angle бұрышы үшін полюс арқылы поляр осімен бұрышы θ болатын жалғыз сызық бар (осінен сызыққа қарай сағат тіліне қарсы өлшенеді). Бұл жерде сызықтан шығу нүктесінен қашықтықта болатын ерекше нүкте бар р берілген нөмір үшін р. Берілген координаталар жұбы үшін (р, θ) жалғыз нүкте бар, бірақ кез-келген нүкте көптеген жұп координаттармен бейнеленген. Мысалға, (р, θ), (р, θ + 2π) және (-р, θ + π) - барлығы бірдей нүкте үшін полярлық координаталар. Полюс кез келген θ мәні үшін (0, θ) арқылы ұсынылады.

Цилиндрлік және сфералық координаталар жүйесі

Цилиндрлік координаттар жүйесі

Полярлық координаттар жүйесін үш өлшемге дейін кеңейтудің екі кең тараған әдісі бар. Ішінде цилиндрлік координаттар жүйесі, а з- декарттық координаттардағы сияқты мағынасы бар координат қосылады р және θ үштікті беретін полярлық координаталар (рθз).[7] Сфералық координаттар осы қадамды цилиндрлік координаталар жұбын түрлендіру арқылы жүзеге асырады (рз) полярлық координаталарға (ρφ) үш есе беру (ρθφ).[8]

Біртекті координаттар жүйесі

Жазықтықтағы нүкте ішінде ұсынылуы мүмкін біртекті координаттар үш есе (хжз) қайда х/з және ж/з нүктенің декарттық координаттары болып табылады.[9] Бұл «қосымша» координатаны енгізеді, өйткені жазықтықтағы нүктені көрсету үшін тек екеуі қажет, бірақ бұл жүйе кез-келген нүктені көрсететіндігімен пайдалы проективті жазықтық қолданбай шексіздік. Жалпы алғанда, біртекті координаттар жүйесі дегеніміз тек координаталардың қатынастары ғана маңызды, ал нақты мәндер емес.

Басқа жиі қолданылатын жүйелер

Кейбір басқа координаттардың жүйелері мыналар:

Қисықтарды координатасыз сипаттау, қолдану тәсілдері бар ішкі теңдеулер сияқты инвариантты шамаларды қолданатын қисықтық және доғаның ұзындығы. Оларға мыналар жатады:

Геометриялық нысандардың координаталары

Координаттар жүйесі көбінесе нүктенің орнын анықтау үшін қолданылады, бірақ оларды сызықтар, жазықтықтар, шеңберлер немесе сфералар сияқты күрделі фигуралардың орнын анықтау үшін де қолдануға болады. Мысалға, Плюкер координаттары сызықтың кеңістіктегі орнын анықтау үшін қолданылады.[10] Қажет болған кезде сипатталатын фигураның түрі координаттар жүйесінің типін, мысалы, терминді ажырату үшін қолданылады сызық координаттары түзудің орнын анықтайтын кез-келген координаттар жүйесі үшін қолданылады.

Екі түрлі геометриялық фигуралар жиынтығына арналған координаттар жүйесі оларды талдау тұрғысынан эквивалентті болуы мүмкін. Бұған мысал ретінде проективті жазықтықтағы нүктелер мен түзулер үшін біртекті координаталар жүйесін алуға болады. Осындай жағдайдағы екі жүйе айтылады дуалистік. Дуалистік жүйелер бір жүйеден екінші жүйеге ауыса алатын қасиетке ие, өйткені бұл нәтижелер бір аналитикалық нәтиженің әртүрлі түсіндірмелері ғана; бұл белгілі принципі екі жақтылық.[11]

Трансформациялар

Геометриялық фигураларды сипаттауға арналған координаттардың әртүрлі әр түрлі жүйелері болатындықтан, олардың өзара байланысын түсіну маңызды. Мұндай қатынастар сипатталады координаталық түрлендірулер бір жүйеде координаталардың формулаларын екінші жүйеде координаттар тұрғысынан беретін. Мысалы, жазықтықта, егер декарттық координаталар болса (хж) және полярлық координаттар (рθ) шығу тегі бірдей, ал поляр осі оң болады х осі, содан кейін координаталардың полярлықтан декарттық координаталарға түрленуі берілген х = р cosθ және ж = р күнәθ.

Әрқайсысымен биекция кеңістіктен өзіне қарай екі координаталық түрлендіруді байланыстыруға болады:

  • әрбір нүктенің кескінінің жаңа координаттары бастапқы нүктенің ескі координаттарымен бірдей болатындай (картаға түсіру формулалары координаталық түрлендірулерге кері болады)
  • әр нүктенің кескінінің ескі координаттары бастапқы нүктенің жаңа координаттарымен бірдей болатындай (картаға түсіру формулалары координаталарды түрлендіргендегідей)

Мысалы, in 1D, егер картаға түсіру 3-тің оңға аудармасы болса, біріншісі бастапқы нүктені 0-ден 3-ке дейін жылжытады, осылайша әр нүктенің координатасы 3-ке кем болады, ал екіншісі координатаны 0-ден −3-ке дейін жылжытады әрбір нүктенің тағы үшеуі болады.

Координаталық түзулер / қисықтар мен жазықтықтар / беттер

Екі өлшемде, егер нүктелік координаталар жүйесіндегі координаталардың біреуі тұрақты болып, ал екінші координатаның өзгеруіне жол берілсе, онда алынған қисық а деп аталады координаталық қисық. Декарттық координаттар жүйесінде координаталық қисықтар шын мәнінде түзу сызықтар, осылайша координаталық түзулер. Нақтырақ айтқанда, олар координаталық осьтердің біріне параллель түзулер. Басқа координаталық жүйелер үшін координаттар қисықтары жалпы қисықтар болуы мүмкін. Мысалы, ұстау арқылы алынған полярлық координаталардағы координаталық қисықтар р тұрақты - басы центрі бар шеңберлер. Кейбір координаттар қисықтары түзулер болмайтын координаттар жүйесі а деп аталады қисық сызықты координаттар жүйесі.[12] Бұл процедура әрдайым мағыналы бола бермейді, мысалы, а-да координаталық қисықтар жоқ біртекті координаттар жүйесі.

Үш өлшемді параболоидтық координаталардың координаталық беттері.

Үш өлшемді кеңістікте, егер бір координат тұрақты болып, ал қалған екеуінің өзгеруіне жол берілсе, онда алынған бетті а деп атайды координаттар беті. Мысалы, ρ тұрақтысын ұстап тұру арқылы алынған координаталық беттер сфералық координаттар жүйесі басында центрі бар сфералар болып табылады. Үш өлшемді кеңістікте екі координаталық беттің қиылысы координаталық қисық болады. Декарттық координаттар жүйесінде біз туралы айтуға болады координаталық жазықтықтар.

Сол сияқты, координаттардың гипер беткейлері болып табылады (n − 1)-анның бір координатасын бекіту нәтижесінде пайда болатын өлшемді кеңістіктер n-өлшемді координаттар жүйесі.[13]

Карталарды үйлестіру

А ұғымы координаттар картасы, немесе координаттар кестесі коллекторлар теориясында орталық болып табылады. Координаттар картасы - бұл әр нүктеде дәл бір координаталар жиынтығы болатын қасиеті бар берілген кеңістіктің ішкі жиыны үшін координаттар жүйесі. Дәлірек айтқанда, координаттар картасы - бұл гомеоморфизм кеңістіктің ашық жиынтығынан X ашық ішкі жиынына Rn.[14] Бүкіл кеңістік үшін бір жүйелі координаттар жүйесін ұсыну мүмкін емес. Бұл жағдайда координаттар карталарының жинағы біріктіріліп, ан түзіледі атлас кеңістікті жабу. Осындай атласпен жабдықталған кеңістік а деп аталады көпжақты және егер құрылым координаттар карталары қабаттасқан жерде үйлесімді болса, қосымша құрылымды коллекторда анықтауға болады. Мысалы, а дифференциалданатын коллектор координаттардың бір координатадан екінші картаға өзгеруі әрдайым дифференциалданатын функция болатын коллектор.

Бағдарланған координаттар

Жылы геометрия және кинематика, координаттар жүйелері нүктелердің (сызықтық) орнын және сипаттау үшін қолданылады бұрыштық позиция осьтердің, жазықтықтардың және қатты денелер.[15] Екінші жағдайда, түйінге бекітілген екінші (әдетте «жергілікті» деп аталады) координаттар жүйесінің бағыты бірінші (әдетте «ғаламдық» немесе «әлем» координаттар жүйесі деп аталады) негізінде анықталады. Мысалы, қатты дененің бағытын бағдармен бейнелеуге болады матрица, оның құрамына үш баған кіреді Декарттық координаттар үш ұпай. Бұл нүктелер жергілікті жүйенің осьтерінің бағытын анықтау үшін қолданылады; олар үшеудің кеңестері бірлік векторлары сол осьтермен тураланған.

Сондай-ақ қараңыз

Релятивистік координаттар жүйелері

Әдебиеттер тізімі

Дәйексөздер

  1. ^ Woods б. 1
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Координаттар жүйесі». MathWorld.
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Координаттар». MathWorld.
  4. ^ Стюарт, Джеймс Б.; Редлин, Лотар; Уотсон, Салим (2008). Алгебра колледжі (5-ші басылым). Брукс Коул. 13-19 бет. ISBN  978-0-495-56521-5.
  5. ^ Мун П, Спенсер DE (1988). «Тік бұрышты координаталар (x, y, z)». Координаталық жүйелерді, дифференциалдық теңдеулерді және олардың шешімдерін қосқандағы өріс теориясының анықтамалығы (түзетілген 2, 3-ші басылым). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. 9–11 бб (кесте 1.01). ISBN  978-0-387-18430-2.
  6. ^ Финни, Росс; Джордж Томас; Франклин Демана; Берт Уэйтс (маусым 1994). Есептеу: Графикалық, Сандық, Алгебралық (Бір айнымалы нұсқа нұсқасы). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN  0-201-55478-X.
  7. ^ Маргенау, Генри; Мерфи, Джордж М. (1956). Физика және химия математикасы. Нью-Йорк қаласы: Д. ван Ностран. б.178. ISBN  978-0-88275-423-9. LCCN  55010911. OCLC  3017486.
  8. ^ Морздың премьер-министрі, Фешбах Х (1953). Теориялық физика әдістері, І бөлім. Нью-Йорк: МакГрав-Хилл. б. 658. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
  9. ^ Джонс, Альфред Клемент (1912). Алгебралық геометрияға кіріспе. Кларендон.
  10. ^ Ходж, В.В.; D. Pedoe (1994) [1947]. Алгебралық геометрия әдістері, I том (II кітап). Кембридж университетінің баспасы. ISBN  978-0-521-46900-5.
  11. ^ Woods б. 2018-04-21 121 2
  12. ^ Tang, K. T. (2006). Инженерлер мен ғалымдарға арналған математикалық әдістер. 2. Спрингер. б. 13. ISBN  3-540-30268-9.
  13. ^ Лисейкин, Владимир Д. (2007). Торларды генерациялауға арналған есептеу дифференциалды геометрия тәсілі. Спрингер. б. 38. ISBN  978-3-540-34235-9.
  14. ^ Мунрес, Джеймс Р. (2000) Топология. Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.
  15. ^ Ханспетер Шауб; Джон Л. Джункинс (2003). «Қатты дене кинематикасы». Ғарыштық жүйелердің аналитикалық механикасы. Американдық аэронавтика және астронавтика институты. б. 71. ISBN  1-56347-563-4.

Дереккөздер

Сыртқы сілтемелер