Сфералық координаттар жүйесі - Spherical coordinate system

Сфералық координаттар (р, θ, φ) ретінде жиі қолданылатын физика (ISO 80000-2:2019 конвенция): радиалды қашықтық р (шыққанға дейінгі қашықтық), полярлық бұрыш θ (тета ) (поляр осіне қатысты бұрыш), және азимуталь бұрышы φ (phi ) (бастапқы меридиан жазықтығынан бұрылу бұрышы). Таңба ρ (rho ) орнына жиі қолданылады р.
Сфералық координаттар (р, θ, φ) ретінде жиі қолданылады математика: радиалды қашықтық р, азимуталь бұрышы θжәне полярлық бұрыш φ. Мағыналары θ және φ физика конвенциясымен салыстырғанда ауыстырылды. Физикадағыдай, ρ (rho ) орнына жиі қолданылады р, құндылықпен шатастырмау үшін р цилиндрлік және 2D полярлық координаталарда.
Нүктенің радиалды қашықтығы, полярлық бұрышы және азимуттық бұрышы көрсетілген глобус P а қатысты бірлік сферасы, математика конвенциясында. Бұл суретте, р 4/6 тең, θ 90 ° -ке тең, және φ 30 ° -қа тең.

Жылы математика, а сфералық координаттар жүйесі Бұл координаттар жүйесі үшін үш өлшемді кеңістік Мұндағы нүктенің орны үш санмен белгіленеді: радиалды қашықтық сол нүктенің тұрақты бастаудан, оның полярлық бұрыш бекітілгеннен өлшенеді зенит бағыт, және азимуттық бұрыш оның ортогональды проекция басынан өтетін және зенитке ортогоналды болатын, осы жазықтықта бекітілген сілтеме бағытынан өлшенген тірек жазықтықта. Оны үш өлшемді нұсқа ретінде қарастыруға болады полярлық координаттар жүйесі.

Радиалды қашықтық тағы деп аталады радиусы немесе радиалды координат. Полярлық бұрыш деп аталуы мүмкін үйлесімділік, зенит бұрышы, қалыпты бұрыш, немесе көлбеу бұрышы.

Символдарды қолдану және координаталардың орналасу реті көздер мен пәндер арасында әр түрлі. Бұл мақалада ISO конвенциясы қолданылады[1] физикада жиі кездеседі: радиалды қашықтықты, полярлық бұрышты және азимуттық бұрышты береді. Көптеген математика кітаптарында, немесе мағыналарын ауыстыра отырып, радиалды қашықтықты, азимуттық бұрышты және полярлық бұрышты береді θ және φ. Сияқты басқа конвенциялар қолданылады р радиусы үшін z-ось, сондықтан рәміздердің мағынасын тексеру үшін өте мұқият болу керек.

Конвенцияларына сәйкес географиялық координаталар жүйесі, позициялар ендік, бойлық және биіктік (биіктік) арқылы өлшенеді. Бірқатар бар аспан координаттары жүйелері әр түрлі негізделген іргелі ұшақтар және әр түрлі координаттар үшін әр түрлі шарттармен. Математикада қолданылатын сфералық координаталар жүйесі әдетте қолданылады радиан гөрі градус және азимуттық бұрышты сағат тіліне қарсы бағытта өлшеңіз х-ақсис ж- сол жақтан солға қарай (0 °) шығысқа (+ 90 °) емес, сағат тілімен көлденең координаттар жүйесі.[2] Полярлық бұрыш көбіне -мен ауыстырылады биіктік бұрышы нөлдік биіктік бұрышы көкжиекте болатындай етіп, эталондық жазықтықтан өлшенеді.

Сфералық координаттар жүйесі екі өлшемді полярлы координаттар жүйесін жалпылайды. Ол сондай-ақ жоғары өлшемді кеңістіктерге дейін кеңейтілуі мүмкін, содан кейін а деп аталады гиперсфералық координаттар жүйесі.

Анықтама

Сфералық координаттар жүйесін анықтау үшін екі ортогоналды бағытты таңдау керек зенит және азимут сілтемесі, және шығу тегі кеңістіктегі нүкте. Бұл таңдаулар бастамасы бар және зенитке перпендикуляр болатын анықтамалық жазықтықты анықтайды. Нүктенің сфералық координаттары P содан кейін келесідей анықталады:

  • The радиусы немесе радиалды қашықтық болып табылады Евклидтік қашықтық шығу тегінен O дейін P.
  • The бейімділік (немесе полярлық бұрыш) - бұл зенит бағыты мен түзу кесіндісі арасындағы бұрыш ОП.
  • The азимут (немесе азимуттық бұрыш) - азимут сілтеме бағытынан түзу кесіндісінің ортогональ проекциясына дейін өлшенген қол қойылған бұрыш ОП анықтамалық жазықтықта.

Азимут белгісі а-ны таңдау арқылы анықталады оң шарықтау шегі туралы бұрылу сезімі. Бұл таңдау ерікті және координаттар жүйесінің анықтамасының бөлігі болып табылады.

The биіктік бұрышы 90 градус (π/2 радиан) көлбеу бұрышы минус.

Егер көлбеу нөлге немесе 180 градусқа тең болса (π радиан), азимут ерікті. Егер радиус нөлге тең болса, азимут та, көлбеу де ерікті болады.

Жылы сызықтық алгебра, вектор шығу тегінен O Нүктеге P жиі деп аталады позиция векторы туралы P.

Конвенциялар

Үш координатты бейнелеу үшін және оларды жазу реті бойынша бірнеше әртүрлі шартты ережелер бар. Пайдалану сәйкесінше радиалды қашықтықты, көлбеуді (немесе биіктікті) және азимутты белгілеу физикада кең таралған практика болып табылады және ISO стандартты 80000-2:2019, және бұрын ISO 31-11 (1992).

Алайда кейбір авторлар (соның ішінде математиктер) қолданады ρ радиалды қашықтық үшін, φ көлбеу (немесе биіктік) үшін және θ азимут үшін және р радиусы үшін z-ось, ол «кәдімгі полярлық координаталар жазбасының логикалық кеңеюін қамтамасыз етеді».[3] Кейбір авторлар азимутты бейімділікке (немесе биіктікке) дейін тізімдей алады. Осы таңдаудың кейбір тіркесімдері а солақай координаттар жүйесі. Стандартты конвенция кәдімгі екі өлшемді белгімен қайшылықтар полярлық координаттар және үш өлшемді цилиндрлік координаттар, қайда θ жиі азимут үшін қолданылады.[3]

Бұрыштар әдетте өлшенеді градус (°) немесе радиан (рад), мұндағы 360 ° = 2π рад. Дәрежелер көбінесе география, астрономия және инженерияда, ал радиандар математика мен теориялық физикада қолданылады. Радиалды қашықтыққа арналған қондырғы әдетте контекстпен анықталады.

Жүйені физикалық үш кеңістік үшін қолданған кезде, жазықтықтың зениттік жағынан көрініп тұрғандай, эталондық жазықтықтағы сілтеме бағытынан сағат тіліне қарсы мағынасында өлшенетін азимуттық бұрыштар үшін оң таңбаны қолдану әдеттегідей. Бұл конвенция, атап айтқанда, «зенит» бағыты орналасқан географиялық координаттар үшін қолданылады солтүстік ал оң азимут (бойлық) бұрыштары кейбіреулерінен шығысқа қарай өлшенеді негізгі меридиан.

Негізгі конвенциялар
координаттар тиісті жергілікті географиялық бағыттар
(З, X, Y)
оң / солақай
(р, θInc, φаз, дұрыс) (U, S, E) дұрыс
(р, φаз, дұрыс, θel) (U, E, N) дұрыс
(р, θel, φаз, дұрыс) (U, N, E) сол
Ескерту: шығысқа қарай (E), northing (N), жоғары (U). Жергілікті азимут бұрыш өлшенеді, мысалы, сағат тіліне қарсы бастап S дейін E жағдайда (U, S, E).

Бірегей координаттар

Кез-келген сфералық координат триплеті үш өлшемді кеңістіктің бір нүктесін анықтайды. Екінші жағынан, әр нүктеде шексіз көп эквивалентті сфералық координаттар болады. Кез-келген толық бұрылыстың кез-келген санын бұрыштың өлшемін өзгертпестен, демек нүктені өзгертпестен бұрыштық өлшемге қосуға немесе азайтуға болады. Сонымен қатар, көптеген контексттерде радиалды қашықтықты теріс жолға қою ыңғайлы, конвенциямен дегенге тең кез келген үшін р, θ, және φ. Оның үстіне, дегенге тең .

Егер әр нүкте үшін бірегей сфералық координаталар жиынын анықтау қажет болса, олардың ауқымдарын шектеу керек. Жалпы таңдау

р ≥ 0,
0° ≤ θ ≤ 180 ° (π рад),
0° ≤ φ <360 ° (2π рад).

Алайда, азимут φ көбіне -мен шектеледі аралық (−180°, +180°], немесе (−π, +π] радианмен, орнына [0, 360°). Бұл географиялық бойлық үшін стандартты шарт.

Ауқым [0°, 180°] бейімділікке тең [−90°, +90°] биіктік (ендік) үшін.

Тіпті осы шектеулермен, егер θ 0 ° немесе 180 ° (биіктік 90 ° немесе -90 °), содан кейін азимут бұрышы ерікті; және егер р нөлге тең, азимут та, көлбеу де, биіктік те ерікті. Координаттарды бірегей ету үшін шартты шартты қолдануға болады, бұл жағдайда ерікті координаталар нөлге тең болады.

Сызба салу

Сфералық координаттарынан нүкте салу (р, θ, φ), қайда θ бұл бейімділік, қозғалу р зенит бағытында шыққаннан бастап бірліктер, айналады θ Азимут бағытына қарай шығу тегі туралы және айналдырыңыз φ дұрыс бағыттағы зенит туралы.

Қолданбалар

The географиялық координаттар жүйесі сфералық координаталар жүйесінің азимутын және биіктігін пайдаланып, оларды Жердегі экспрессияларды белгілейді бойлық және ендік. Екі өлшемді сияқты Декарттық координаттар жүйесі жазықтықта пайдалы, сфераның бетінде екі өлшемді сфералық координаттар жүйесі пайдалы. Бұл жүйеде сфера бірлік сфера ретінде қабылданады, сондықтан радиус - бірлік, сондықтан оны елемеуге болады. Сияқты жеңілдету сияқты объектілермен жұмыс істеу кезінде өте пайдалы болуы мүмкін айналмалы матрицалар.

Сфералық координаттар, мысалы, нүктеге қатысты белгілі бір дәрежеде симметрияға ие жүйелерді талдауда пайдалы көлемдік интегралдар сфераның ішінде, шоғырланған массаны немесе зарядты қоршаған әлеуетті энергетикалық өріс немесе планетаның атмосферасындағы ғаламдық ауа-райын модельдеу Декарттық теңдеуі бар сфера х2 + ж2 + з2 = c2 қарапайым теңдеуі бар р = c сфералық координаттарда.

Екі маңызды дербес дифференциалдық теңдеулер көптеген физикалық мәселелерде туындайтын, Лаплас теңдеуі және Гельмгольц теңдеуі, рұқсат етіңіз айнымалыларды бөлу сфералық координаттарда. Осындай теңдеулерге арналған шешімдердің бұрыштық бөліктері келесі түрге ие болады сфералық гармоника.

Тағы бір қосымша - эргономикалық дизайн, қайда р - қозғалмайтын адамның қолының ұзындығы, ал бұрыштар қолдың созылған кездегі бағытын сипаттайды.

Өнеркәсіптің өндірістік үлгісі дауыс зорайтқыш алты жиілікте алынған сфералық полярлық сызбаларды қолдану арқылы көрсетілген

Үш өлшемді модельдеу дауыс зорайтқыш шығыс үлгілері олардың өнімділігін болжау үшін қолданыла алады. Жиіліктің кең таңдауымен алынған бірқатар полярлық сызбалар қажет, өйткені жиілікке байланысты өрнек қатты өзгереді. Полярлық сюжеттер көптеген дауыс зорайтқыштардың төменгі жиіліктегі бағытталуға ұмтылатындығын көрсетуге көмектеседі.

Сфералық координаттар жүйесі, әдетте, 3D форматында қолданылады ойын дамыту камераны ойнатқыштың айналасында айналдыру үшін[дәйексөз қажет ].

География

Бірінші жуықтауда географиялық координаттар жүйесі -ден солтүстікке қарай биіктік бұрышын (ендік) пайдаланады экватор жазықтық, диапазонда −90° ≤ φ ≤ 90°, бейімділіктің орнына. Ендік те геоцентрлік ендік, Жердің орталығында өлшенеді және әр түрлі тағайындалады ψ, q, φ′, φc, φж немесе геодезиялық ендік, бақылаушының жергілікті тікімен өлшенеді және әдетте тағайындалады φ. Әдетте белгіленетін азимут бұрышы (бойлық) λ, кейбір дәстүрлі сілтемелерден шығысқа немесе батысқа қарай өлшенеді меридиан (көбінесе IERS анықтамалық меридиан ), демек оның домені −180° ≤ λ ≤ 180°. Позицияларына арналған Жер немесе басқа қатты аспан денесі, сілтеме жазықтығы әдетте перпендикуляр жазықтық ретінде қабылданады айналу осі.

90 ° ендік минусын алып, 0-ден 180 ° -қа дейінгі полярлық бұрыш деп аталады үйлесімділік географиядан.

Радиалды қашықтықтың орнына географтар әдетте пайдаланады биіктік болуы мүмкін кейбір сілтеме бетінен жоғары немесе төмен теңіз деңгейі немесе сұйық мұхитсыз планеталар үшін «орташа» деңгей. Радиалды қашықтық р биіктігінен планетаның сілтеме бетінің орташа радиусын қосу арқылы есептеуге болады, бұл Жер үшін шамамен 6 360 ± 11 км (3,952 ± 7 миль).

Алайда қазіргі заманғы географиялық координаттар жүйелері өте күрделі және осы қарапайым формулалармен көрсетілген позициялар бірнеше шақырымға дұрыс болмауы мүмкін. Ендік, бойлық және биіктіктің нақты стандартты мағыналары қазіргі уақытта Дүниежүзілік геодезиялық жүйе (WGS) және Жердің полюстерде тегістелуін (шамамен 21 км немесе 13 миль) және басқа да көптеген бөлшектерді ескеріңіз.

Астрономияда

Астрономияда бірқатар сфералық координаталар жүйесі биіктік бұрышын әр түрлі өлшейтіндер негізгі ұшақтар. Бұл тірек жазықтықтар бақылаушы болып табылады көкжиек, аспан экваторы (Жердің айналуымен анықталады), жазықтығы эклиптикалық (айналасында Жердің айналуымен анықталады Күн ), жерді тоқтатқыштың жазықтығы (лездік бағытқа қалыптыға дейін) Күн ), және галактикалық экватор (-ның айналуымен анықталады құс жолы ).

Жүйелік конверсияларды үйлестіру

Сфералық координаттар жүйесі көптеген үш өлшемді координаттар жүйелерінің бірі ғана болғандықтан, координаттарды сфералық координаттар жүйесі мен басқалары арасында түрлендіру теңдеулері бар.

Декарттық координаттар

ISO конвенциясындағы нүктенің сфералық координаттары (яғни физика үшін: радиусы р, бейімділік θ, азимут φ) одан алуға болады Декарттық координаттар (х, ж, з) формулалар бойынша

The кері тангенс деп белгіленді φ = арктан ж/х квадрантын ескере отырып, тиісті түрде анықталуы керек (х, ж). Туралы мақаланы қараңыз atan2.

Сонымен қатар, түрлендіруді екі дәйекті деп санауға болады тікбұрышты және полярлық конверсиялар: декартта бірінші xy ұшақ (х, ж) дейін (R, φ), қайда R проекциясы болып табылады р бойынша xy-планет, ал екінші декартта zR- ұшақ (з, R) дейін (р, θ). Үшін дұрыс квадранттар φ және θ жазықтықтан тікбұрышты және полярлық конверсияның дұрыстығы көзделеді.

Бұл формулалар екі жүйенің шығу тегі бірдей, сфералық анықтамалық жазықтық декарттық деп болжайды xy ұшақ, сол θ бейімділігі з бағыты және азимут бұрыштары декартия арқылы өлшенетіндігі х осі (осылайша ж осі бар φ = +90°). Егер θ Зениттен ауытқудың орнына тірек жазықтықтан биіктікті өлшейді, жоғарыдағы арккос арксинге айналады, ал cos θ және күнә θ төменде қосылады.

Керісінше, декарттық координаттарды сфералық координаттардан алуға болады (радиусы р, бейімділік θ, азимут φ), қайда р[0, ∞), θ[0, π], φ[0, 2π), арқылы

Цилиндрлік координаттар

Цилиндрлік координаттар (осьтік радиусы ρ, азимут φ, биіктік з) сфералық координаталарға айналуы мүмкін (орталық радиус р, бейімділік θ, азимут φ), формулалар бойынша

Керісінше, сфералық координаталар формулалар бойынша цилиндрлік координаталарға айналуы мүмкін

Бұл формулалар екі жүйенің шығу тегі мен анықтамалық жазықтығы бірдей деп болжайды, азимут бұрышын өлшейді φ сол осьтен бірдей сезімде, ал сфералық бұрышта θ цилиндрлік бейімділік болып табылады з ось.

Өзгертілген сфералық координаттар

Декарттық координаталардағы эллипсоидтармен сфералық координаталардың өзгертілген нұсқасын қолдану арқылы да күресуге болады.

Р деңгей жиынымен көрсетілген эллипсоид болсын

ISO конвенциясындағы P нүктесінің өзгертілген сфералық координаттары (яғни физика үшін: радиусы р, бейімділік θ, азимут φ) одан алуға болады Декарттық координаттар (х, ж, з) формулалар бойынша

Көлемінің шексіз элементі берілген

Квадрат түбірлік коэффициенті-нің қасиетінен шығады анықтауыш бағаннан тұрақты шығаруға мүмкіндік беретін:

Сфералық координаттардағы интеграция және дифференциалдау

Сфералық координаттардағы бірлік векторлар

Келесі теңдеулер (Иянага 1977 ж.) Үйлесімділік деп болжайды θ -дан бейімділік з (полярлық) ось (бастап екіұшты) х, ж, және з талқыланған физика конвенциясындағыдай өзара қалыпты).

The жол элементі бастап шексіз жылжуы үшін (р, θ, φ) дейін (р + др, θ + дθ, φ + дφ) болып табылады

қайда

жергілікті ортогоналды болып табылады бірлік векторлары арттыру бағытында р, θ, және φсәйкесінше, және , ŷ, және декарттық координаталардағы бірлік векторлар. Осы оң жақ координаталық үштікке сызықтық түрлендіру a айналу матрицасы,


Дифференциалды сызық элементін дәлелдеу формуласының жалпы түрі, болып табылады[4]

яғни өзгеріс жеке координаталардың өзгеруіне сәйкес келетін жеке өзгерістерге бөлінеді.

Мұны қазіргі жағдайға қолдану үшін қалай есептеу керек координаталардың әрқайсысына байланысты өзгереді. Пайдаланылған конвенцияларда,

Осылайша,

Қажетті коэффициенттер - бұл векторлардың шамалары:[4]

The беткі элемент таралу θ дейін θ + дθ және φ дейін φ + дφ (тұрақты) радиустағы сфералық бетте р сол кезде

Осылайша дифференциалды қатты бұрыш болып табылады

Полярлық бұрыш бетіндегі беттік элемент θ тұрақты (шыққан шыңы бар конус) болып табылады

Азимут бетіндегі беттік элемент φ тұрақты (тік жарты жазықтық) болып табылады

The көлем элементі таралу р дейін р + др, θ дейін θ + дθ, және φ дейін φ + дφ арқылы анықталады анықтауыш туралы Якоб матрицасы туралы ішінара туынды,

атап айтқанда

Мәселен, мысалы, функция f(р, θ, φ) барлық нүктелер бойынша интеграциялануы мүмкін3 бойынша үштік интеграл

The дел операторы осы жүйеде келесі өрнектерге әкеледі градиент, алшақтық, бұйралау және Лаплациан,

Әрі қарай, декарттық координаталардағы кері Якобиян болып табылады

The метрикалық тензор сфералық координаттар жүйесінде .

Сфералық координаталардағы қашықтық

Сфералық координаттарда, екі нүктесі берілген φ азимуттық координатасы

Екі нүктенің арақашықтығы ретінде өрнектеуге болады

Кинематика

Сфералық координаттарда нүктенің орны былай жазылады

Оның жылдамдығы сол кезде болады

және оның үдеуі

The бұрыштық импульс болып табылады

Тұрақты жағдайда φ немесе басқа θ = π/2, бұл төмендейді полярлық координаталардағы векторлық есеп.

Сәйкес бұрыштық импульс операторы болып табылады

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ «ISO 80000-2: 2019 Саны мен өлшем бірлігі - 2 бөлім: Математика». ISO. 20-21 бет. Тармақ №. 2-17.3. Алынған 2020-08-12.
  2. ^ Даффетт-Смит, П және Цварт, Дж, б. 34.
  3. ^ а б Эрик В.Вейштейн (2005-10-26). «Сфералық координаттар». MathWorld. Алынған 2010-01-15.
  4. ^ а б «Сфералық координаталар шығарылымындағы сызық элементі (dl) / диаграмма». Stack Exchange. 2011 жылғы 21 қазан.

Библиография

  • Иянага, Шукки; Кавада, Юкиоси (1977). Математиканың энциклопедиялық сөздігі. MIT түймесін басыңыз. ISBN  978-0262090162.
  • Морзе премьер-министрі, Фешбах Х (1953). Теориялық физика әдістері, І бөлім. Нью-Йорк: МакГрав-Хилл. б. 658. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
  • Маргенау Х, Мерфи Г.М. (1956). Физика және химия математикасы. Нью-Йорк: Д. ван Ностран. бет.177–178. LCCN  55010911.
  • Korn GA, Korn TM (1961). Ғалымдар мен инженерлерге арналған математикалық анықтамалық. Нью-Йорк: МакГрав-Хилл. 174–175 бб. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
  • Зауэр R, Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. 95-96 бет. LCCN  67025285.
  • Мун П, Спенсер DE (1988). «Сфералық координаталар (r, θ, ψ)». Координаталық жүйелерді, дифференциалдық теңдеулерді және олардың шешімдерін қосқандағы өріс теориясының анықтамалығы (түзетілген 2-ші басылым, 3-ші басылым). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. 24-27 бет (кесте 1.05). ISBN  978-0-387-18430-2.
  • Duffett-Smith P, Zwart J (2011). Калькулятормен немесе электрондық кестемен практикалық астрономия, 4-ші басылым. Нью-Йорк: Кембридж университетінің баспасы. б. 34. ISBN  978-0521146548.

Сыртқы сілтемелер