Айнымалыларды бөлу - Separation of variables - Wikipedia

Жылы математика, айнымалыларды бөлу (деп те аталады Фурье әдісі) - шешудің бірнеше әдісінің кез келгені қарапайым және дербес дифференциалдық теңдеулер, онда алгебра екі айнымалының әрқайсысы теңдеудің басқа жағында болатындай етіп теңдеуді қайта жазуға мүмкіндік береді.

Қарапайым дифференциалдық теңдеулер (ODE)

Дифференциалдық теңдеуді түрінде жазуға болады делік

{ displaystyle { frac {d} {dx}} f (x) = g (x) h (f (x))}

біз жай ғана жаза отырып жаза аламыз ${ displaystyle y = f (x)}$ :

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = g (x) h (y).}

Әзірше сағ(ж≠ 0, біз келесі шарттарды қайта құра аламыз:

{ displaystyle {dy over h (y)} = g (x) , dx,}

сондықтан екі айнымалы х және ж бөлінді. dx (және dy) қарапайым деңгейде қарапайым манипуляцияларға көмектесетін мнемоникалық көмек беретін ыңғайлы жазба ретінде қарастыруға болады. Формальды анықтамасы dx сияқты дифференциалды (шексіз) біршама жетілдірілген.

Балама жазба

Ұнатпайтындар Лейбництің жазбасы мұны былай деп жазуды жөн көруі мүмкін

{ displaystyle { frac {1} {h (y)}} { frac {dy} {dx}} = g (x),}

бірақ мұны неге «айнымалыларды бөлу» деп атайтыны анық емес. Теңдеудің екі жағын да қатысты интегралдау ${ displaystyle x}$ , Бізде бар

{ displaystyle int { frac {1} {h (y)}} { frac {dy} {dx}} , dx = int g (x) , dx, qquad qquad (1)}

немесе баламалы түрде,

{ displaystyle int { frac {1} {h (y)}} , dy = int g (x) , dx}

өйткені интегралдарды алмастыру ережесі.

Егер екі интегралды бағалауға болатын болса, онда дифференциалдық теңдеудің шешімін табуға болады. Бұл процестің бізге тиімді емдеуге мүмкіндік беретініне назар аударыңыз туынды ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$ бөлуге болатын бөлшек ретінде. Бұл бөлінетін дифференциалдық теңдеулерді ыңғайлы шешуге мүмкіндік береді, бұл төмендегі мысалда көрсетілген.

(Бізге екеуін пайдаланудың қажеті жоқ екенін ескеріңіз интеграцияның тұрақтылығы, (1) теңдеудегі сияқты

{ displaystyle int { frac {1} {h (y)}} , dy + C_ {1} = int g (x) , dx + C_ {2},}

өйткені бір тұрақты ${ displaystyle C = C_ {2} -C_ {1}}$ эквивалентті.)

Мысал

Популяцияның өсуі көбінесе дифференциалдық теңдеумен модельденеді

{ displaystyle { frac {dP} {dt}} = kP сол (1 - { frac {P} {K}} оң)}

қайда ${ displaystyle P}$ уақытқа қатысты халық болып табылады ${ displaystyle t}$ , ${ displaystyle k}$ өсу қарқыны және ${ displaystyle K}$ болып табылады жүк көтергіштігі қоршаған ортаның

Осы дифференциалдық теңдеуді шешу үшін айнымалыларды бөлу қолданылуы мүмкін.

{ displaystyle { begin {aligned} & { frac {dP} {dt}} = kP left (1 - { frac {P} {K}} right) [5pt] & int { frac {dP} {P солға (1 - { frac {P} {K}} оңға)}} = int k , dt соңы {тураланған}}}

Сол жақтағы интегралды бағалау үшін бөлшекті жеңілдетеміз

{ displaystyle { frac {1} {P сол жақ (1 - { frac {P} {K}} оң)}} = { frac {K} {P сол (K-P оң)}}}

содан кейін, біз бөлшекті бөлшектерге бөлеміз

{ displaystyle { frac {K} {P (K-P)}} = { frac {1} {P}} + { frac {1} {K-P}}}

Осылайша бізде бар

{ displaystyle { begin {aligned} & int left ({ frac {1} {P}} + { frac {1} {KP}} right) , dP = int k , dt [6pt] & ln { begin {vmatrix} P end {vmatrix}} - ln { begin {vmatrix} KP end {vmatrix}} = kt + C [6pt] & ln { begin {vmatrix} KP end {vmatrix}} - ln { begin {vmatrix} P end {vmatrix}} = - kt-C [6pt] & ln { begin {vmatrix} { cfrac { KP} {P}} end {vmatrix}} = - kt-C [6pt] & { begin {vmatrix} { dfrac {KP} {P}} end {vmatrix}} = e ^ {- kt-C} [6pt] & { begin {vmatrix} { dfrac {KP} {P}} end {vmatrix}} = e ^ {- C} e ^ {- kt} [6pt] & { frac {KP} {P}} = pm e ^ {- C} e ^ {- kt} [6pt] { text {Let}} & A = pm e ^ {- C}. [6pt] & { frac {KP} {P}} = Ae ^ {- kt} [6pt] & { frac {K} {P}} - 1 = Ae ^ {- kt} [ 6pt] & { frac {K} {P}} = 1 + Ae ^ {- kt} [6pt] & { frac {P} {K}} = { frac {1} {1 + Ae ^ {-kt}}} [6pt] & P = { frac {K} {1 + Ae ^ {- kt}}} end {aligned}}}

Сондықтан логистикалық теңдеудің шешімі мынада

{ displaystyle P (t) = { frac {K} {1 + Ae ^ {- kt}}}}

Табу ${ displaystyle A}$ , рұқсат етіңіз ${ displaystyle t = 0}$ және ${ displaystyle P left (0 right) = P_ {0}}$ . Сонда бізде бар

{ displaystyle P_ {0} = { frac {K} {1 + Ae ^ {0}}}}

Мұны атап өту ${ displaystyle e ^ {0} = 1}$ , және үшін шешу A Біз алып жатырмыз

{ displaystyle A = { frac {K-P_ {0}} {P_ {0}}}.}

Бөлінетін НҚ-ны n-ші ретті жалпылау

Бөлінетін бірінші ретті ODE туралы айтуға болатын сияқты, екінші ретті, үшінші ретті немесе n-ретті ODE туралы айтуға болады. Бөлінетін бірінші ретті ODE қарастырайық:

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = f (y) g (x)}

Туынды басқа жолмен жазылуы мүмкін, ол белгісіз функцияда жұмыс істейтін оператор екеніне назар аудару үшін, ж:

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} (y)}

Осылайша, бірінші ретті теңдеулер үшін айнымалыларды бөлгенде, бірі шын мәнінде жылжиды dx операторының бөлгіші х айнымалы және г (у) жағымен бірге қалдырылады ж айнымалы. Екінші туынды оператор аналогы бойынша келесідей бөлінеді:

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = { frac {d} {dx}} ({ frac {dy} {dx}}) = { frac { d} {dx}} ({ frac {d} {dx}} (y))}

Үшінші, төртінші және n-туынды операторлар дәл осылай ыдырайды. Осылайша, бірінші ретті бөлінбейтін ODE формасына келтірілетін сияқты

{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = f (y) g (x)}

бөлінетін екінші ретті ODE формасына келтіріледі

{ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = f (y ') g (x)}

және n-ретті бөлінетін ODE -ге дейін азаяды

{ displaystyle { frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = f (y ^ {(n-1)}) g (x)}

Мысал

Қарапайым сызықты емес екінші ретті дифференциалдық теңдеуді қарастырайық:

{ displaystyle y '' = (y ') ^ {2}}

Бұл теңдеу тек -тің теңдеуі болып табылады у '' және у ', бұл жоғарыда сипатталған жалпы түрге келтірілетіндігін, демек бөлінетіндігін білдіреді. Бұл екінші ретті бөлінетін теңдеу болғандықтан, бәрін жинаңыз х бір жағынан және барлық жағынан айнымалылар у ' келесіге ауыспалы:

{ displaystyle { frac {d (y ')} {(y') ^ {2}}} = dx}

Енді, оң жағын қатысты интеграциялаңыз х және солға қатысты у ':

{ displaystyle int { frac {d (y ')} {(y') ^ {2}}} = int dx}

Бұл береді

{ displaystyle { frac {-1} {y '}} = x + C_ {1}}

бұл жеңілдетеді:

{ displaystyle y '= { frac {1} {C_ {1} -x}}}

Бұл енді соңғы жауапты беретін қарапайым интегралды мәселе:

{ displaystyle y = C_ {2} - ln | C_ {1} -x |}

Жартылай дифференциалдық теңдеулер

Айнымалыларды бөлу әдісі сонымен қатар шекара және бастапқы шарттары бар сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулердің кең ауқымын шешу үшін қолданылады, мысалы жылу теңдеуі, толқындық теңдеу, Лаплас теңдеуі, Гельмгольц теңдеуі және бихармоникалық теңдеу.

Толық емес дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған айнымалыларды бөлудің аналитикалық әдісі, сондай-ақ, дербес дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге болатын инвариантты құрылымдардағы ыдыраудың есептеу әдісі ретінде жинақталды.^[1]

Мысалы: біртекті жағдай

Бір өлшемді қарастырайық жылу теңдеуі. Теңдеуі

{ displaystyle { frac { ішіндегі u} { жартылай t}} - альфа { frac { жартылай ^ {2} u} { жартылай x ^ {2}}} = 0}

(1)

U айнымалысы температураны білдіреді. Шектік шарт біртекті, яғни

{ displaystyle u { big |} _ {x = 0} = u { big |} _ {x = L} = 0}

(2)

Шектік шарттарды қанағаттандыратын нөлге тең емес, келесі қасиетке ие шешім табуға тырысайық: сен тәуелділігі болатын өнім болып табылады сен қосулы х, т бөлінген, яғни:

{ displaystyle u (x, t) = X (x) T (t).}

(3)

Ауыстыру сен теңдеуге оралу (1) және өнім ережесі,

{ displaystyle { frac {T '(t)} { alfa T (t)}} = { frac {X' '(x)} {X (x)}}.}

(4)

Себебі оң жақ тек байланысты х ал сол жағы тек қана т, екі жағы да кейбір тұрақты мәнге тең - λ. Осылайша:

{ displaystyle T '(t) = - lambda alpha T (t),}

(5)

және

{ displaystyle X '' (x) = - lambda X (x).}

(6)

- λ міне өзіндік құндылық дифференциалды операторлар үшін де, T (t) және X (x) сәйкес келеді өзіндік функциялар.

Енді сол шешімдерді көрсететін боламыз X (x) λ ≤ 0 мәндері үшін пайда болуы мүмкін емес:

Айталық, λ <0. Сонда нақты сандар бар B, C осындай

{ displaystyle X (x) = Be ^ {{ sqrt {- lambda}} , x} + Ce ^ {- { sqrt {- lambda}} , x}.}

Кімнен (2) Біз алып жатырмыз

{ displaystyle X (0) = 0 = X (L),}

(7)

сондықтан B = 0 = C бұл білдіреді сен бірдей 0.

Айталық, λ = 0. Сонда нақты сандар бар B, C осындай

{ displaystyle X (x) = Bx + C.}

Кімнен (7) 1-дегідей қорытынды жасаймыз сен бірдей 0.

Сондықтан λ> 0 болуы керек. Сонда нақты сандар бар A, B, C осындай

{ displaystyle T (t) = Ae ^ {- lambda alpha t},}

және

{ displaystyle X (x) = B sin ({ sqrt { lambda}} , x) + C cos ({ sqrt { lambda}} , x).}

Кімнен (7) Біз алып жатырмыз C = 0 және бұл натурал сан үшін n,

{ displaystyle { sqrt { lambda}} = n { frac { pi} {L}}.}

Бұл жылу теңдеуін тәуелділік ерекше жағдайда шешеді сен арнайы формасы бар (3).

Жалпы, шешімдердің қосындысы (1) шекаралық шарттарды қанағаттандыратын (2) қанағаттандырады (1) және (3). Демек, толық шешім ретінде беруге болады

{ displaystyle u (x, t) = sum _ {n = 1} ^ { infty} D_ {n} sin { frac {n pi x} {L}} exp left (- { frac {n ^ {2} pi ^ {2} alpha t} {L ^ {2}}} right),}

қайда Д._n бастапқы шартпен анықталатын коэффициенттер.

Бастапқы шарт берілген

{ displaystyle u { big |} _ {t = 0} = f (x),}

біз ала аламыз

{ displaystyle f (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} D_ {n} sin { frac {n pi x} {L}}.}

Бұл синустық қатар кеңейту f (x). Екі жағын да көбейтіңіз ${ displaystyle sin { frac {n pi x} {L}}}$ және интеграциялау [0, L] нәтиже

{ displaystyle D_ {n} = { frac {2} {L}} int _ {0} ^ {L} f (x) sin { frac {n pi x} {L}} , dx .}

Бұл әдіс өзіндік функцияларын талап етеді х, Мұнда ${ displaystyle left { sin { frac {n pi x} {L}} right } _ {n = 1} ^ { infty}}$ , болып табылады ортогоналды және толық. Жалпы бұған кепілдік беріледі Штурм-Лиувилл теориясы.

Мысалы: біртекті емес жағдай

Теңдеу біртекті емес делік,

{ displaystyle { frac { ішіндегі u} { ішінара t}} - альфа { frac { жартылай ^ {2} u} { жартылай x ^ {2}}} = h (x, t)}

(8)

шекаралық шартпен (2).

Кеңейту h (x, t), u (x, t) және f (x) ішіне

{ displaystyle h (x, t) = sum _ {n = 1} ^ { infty} h_ {n} (t) sin { frac {n pi x} {L}},}

(9)

{ displaystyle u (x, t) = sum _ {n = 1} ^ { infty} u_ {n} (t) sin { frac {n pi x} {L}},}

(10)

{ displaystyle f (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n} sin { frac {n pi x} {L}},}

(11)

қайда сағ_n(т) және б_n интеграциялау арқылы есептеуге болады, ал сен_n(т) анықталуы керек.

Ауыстыру (9) және (10) қайту (8) және синус функцияларының ортогоналдылығын ескере отырып, біз аламыз

{ displaystyle u '_ {n} (t) + alfa { frac {n ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} u_ {n} (t) = h_ {n } (t),}

болып табылады сызықтық дифференциалдық теңдеулер мұны оңай шешуге болады, мысалы, Лапластың өзгеруі, немесе Интеграциялық фактор. Соңында, біз аламыз

{ displaystyle u_ {n} (t) = e ^ {- альфа { frac {n ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} t} сол (b_ {n} + int _ {0} ^ {t} h_ {n} (s) e ^ { alpha { frac {n ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} s} , ds right).}

Егер шекаралық шарт біртекті емес болса, онда (9) және (10) бұдан былай жарамсыз. Біреу функцияны табуы керек v тек шекаралық шартты қанағаттандыратын және оны алып тастайтын сен. Функция u-v содан кейін біртекті шекаралық шартты қанағаттандырады және оны жоғарыда аталған әдіспен шешуге болады.

Мысалы: аралас туындылар

Аралас туындыларды қамтитын кейбір теңдеулер үшін теңдеу жоғарыдағы бірінші мысалда келтірілген жылу теңдеуі сияқты оңай бөлінбейді, бірақ айнымалыларды бөлу әлі де қолданылуы мүмкін. Екі өлшемді қарастырайық бихармоникалық теңдеу

{ displaystyle { frac { ішіндегі ^ {4} u} { жартылай x ^ {4}}} + 2 { frac { жартылай ^ {4} u} { жартылай x ^ {2} жартылай у ^ {2}}} + { frac { ішіндегі ^ {4} u} { бөлшектік y ^ {4}}} = 0.}

Әдеттегі тәртіпте біз форманың шешімдерін іздейміз

{ displaystyle u (x, y) = X (x) Y (y)}

және біз теңдеуді аламыз

{ displaystyle { frac {X ^ {(4)} (x)} {X (x)}} + 2 { frac {X '' (x)} {X (x)}} { frac {Y '' (y)} {Y (y)}} + { frac {Y ^ {(4)} (y)} {Y (y)}} = 0.}

Осы теңдеуді формада жазу

{ displaystyle E (x) + F (x) G (y) + H (y) = 0,}

қатысты туынды екенін көреміз х және ж бірінші және соңғы шарттарды жояды, осылайша

{ displaystyle F '(x) G' (y) = 0,}

яғни F (x) немесе G (y) тұрақты болуы керек,-say деп айтыңыз. Бұл бұдан әрі оны білдіреді ${ displaystyle -E (x) = F (x) G (y) + H (y)}$ немесе ${ displaystyle -H (y) = E (x) + F (x) G (y)}$ тұрақты болып табылады. Үшін теңдеуге оралсақ X және Y, бізде екі жағдай бар

{ displaystyle { begin {aligned} X '' (x) & = - lambda _ {1} X (x) X ^ {(4)} (x) & = mu _ {1} X ( x) Y ^ {(4)} (y) -2 lambda _ {1} Y '' (y) & = - mu _ {1} Y (y) end {aligned}}}

және

{ displaystyle { begin {aligned} Y '' (y) & = - lambda _ {2} Y (y) Y ^ {(4)} (y) & = mu _ {2} Y ( у) X ^ {(4)} (x) -2 lambda _ {2} X '' (x) & = - mu _ {2} X (x) end {aligned}}}

әрқайсысы үшін жеке жағдайларды қарастыру арқылы шешуге болады ${ displaystyle lambda _ {i} <0, lambda _ {i} = 0, lambda _ {i}> 0}$ және деп атап өтті ${ displaystyle mu _ {i} = lambda _ {i} ^ {2}}$ .

Қисық сызықты координаттар

Жылы ортогональды қисық сызықты координаттар, айнымалыларды бөлуді әлі де қолдануға болады, бірақ кейбір егжей-тегжейлерде декарттық координаталардан өзгеше. Мысалы, жүйелілік немесе мерзімді жағдай шекаралық шарттардың орнына меншікті мәндерді анықтауы мүмкін. Қараңыз сфералық гармоника Мысалға.

Матрицалар

Айнымалыларды бөлудің матрицалық түрі болып табылады Kronecker сомасы.

Мысал ретінде біз 2D-ді қарастырамыз дискретті лаплаций үстінде тұрақты тор:

{ displaystyle L = mathbf {D_ {xx}} oplus mathbf {D_ {yy}} = mathbf {D_ {xx}} otimes mathbf {I} + mathbf {I} otimes mathbf { D_ {yy}}, ,}

қайда ${ displaystyle mathbf {D_ {xx}}}$ және ${ displaystyle mathbf {D_ {yy}}}$ ішіндегі 1D дискретті лаплациандар болып табылады х- және ж- бағыттар, сәйкесінше және ${ displaystyle mathbf {I}}$ сәйкес өлшемдердің сәйкестілігі. Негізгі мақаланы қараңыз Дискретті лаплацийлердің кронекерлік қосындысы толық ақпарат алу үшін.