Лаплас теңдеуі - Laplaces equation - Wikipedia

Пьер-Симон Лаплас

Математика мен физикада, Лаплас теңдеуі екінші ретті дербес дифференциалдық теңдеу атындағы Пьер-Симон Лаплас оның қасиеттерін алғаш зерттеген кім. Бұл жиі ретінде жазылады

${ displaystyle nabla ^ {2} ! f = 0 qquad { mbox {or}} qquad Delta f = 0,}$

қайда ${ displaystyle Delta = nabla cdot nabla = nabla ^ {2}}$болып табылады Лаплас операторы,^{[1 ескерту]} ${ displaystyle nabla cdot}$ болып табылады алшақтық оператор (сонымен бірге «див» символы), ${ displaystyle nabla}$ болып табылады градиент оператор (сонымен қатар «град» белгісі бар), және ${ displaystyle f (x, y, z)}$ екі рет дифференциалданатын нақты бағаланатын функция. Сондықтан Лаплас операторы скаляр функциясын басқа скаляр функциясымен салыстырады.

Егер оң жақ берілген функция ретінде көрсетілсе, ${ displaystyle h (x, y, z)}$, Бізде бар

${ displaystyle Delta f = h.}$

Бұл деп аталады Пуассон теңдеуі, Лаплас теңдеуін қорыту. Лаплас теңдеуі мен Пуассон теңдеуі - қарапайым мысалдар эллиптикалық дербес дифференциалдық теңдеулер. Лаплас теңдеуі де ерекше жағдай болып табылады Гельмгольц теңдеуі.

Лаплас теңдеуін шешудің жалпы теориясы ретінде белгілі потенциалдар теориясы. Лаплас теңдеуінің шешімдері болып табылады гармоникалық функциялар,^[1] физиканың көптеген салаларында маңызды, атап айтқанда электростатика, гравитация және сұйықтық динамикасы. Зерттеуінде жылу өткізгіштік, Лаплас теңдеуі тұрақты мемлекет жылу теңдеуі.^[2] Жалпы, Лаплас теңдеуі тепе-теңдік жағдайларын немесе уақытқа тікелей тәуелді емес жағдайларды сипаттайды.

Әр түрлі координаталар жүйесіндегі формалар

Жылы тікбұрышты координаттар,^[3]

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac { ішіндегі ^ {2} f} { жартылай x ^ {2}}} + { frac { жарым-жартылай ^ {2} f} { жартылай ^ {2}}} + { frac { ішіндегі ^ {2} f} { жартылай z ^ {2}}} = 0.}$

Жылы цилиндрлік координаттар,^[3]

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} {r}} { frac { жарымжан} { ішінара r}} сол (r { frac { жартылай f} { жартылай r }} оң жақ) + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { жартылай ^ {2} f} { жартылай phi ^ {2}}} + { frac { жартылай ^ {2} f} { ішіндегі z ^ {2}}} = 0.}$

Жылы сфералық координаттар, пайдаланып ${ displaystyle (r, theta, varphi)}$Конвенция,^[3]

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай r}} солға (r ^ {2} { frac { ішінара f} { жартылай r}} оң жақ) + { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай theta}} солға ( sin theta { frac { ішінара f} { жартылай тета}} оң) + { frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { ішінара ^ {2} f} { kısmi varphi ^ {2}}} = 0.}$

Жалпы, в қисық сызықты координаттар,

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac { qism}} { жартылай xi ^ {j}}} сол жақ ({ frac { жартылай f} { жартылай xi ^ {k}} } g ^ {kj} right) + { frac { ішінара f} { жартылай xi ^ {j}}} g ^ {jm} Gamma _ {mn} ^ {n} = 0,}$

немесе

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} { sqrt {| g |}}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай xi ^ {i}}} ! left ( { sqrt {| g |}} g ^ {ij} { frac { ішінара f} { жартылай xi ^ {j}}} оң) = 0, qquad (g = mathrm {det} {g_ {ij} }).}$

Шектік шарттар

Лапластың теңдеуі annulus (ішкі радиус р = 2 және сыртқы радиус R = 4) Дирихле шекаралық шарттарымен сен(р= 2) = 0 және сен(R= 4) = 4 күнә (5 θ)

The Дирихле мәселесі өйткені Лаплас теңдеуі шешім табудан тұрады φ кейбір доменде Д. осындай φ шекарасында Д. берілген функцияға тең. Laplace операторы пайда болғандықтан жылу теңдеуі, бұл мәселенің бір физикалық түсіндірмесі келесідей: температураны шекара шартының берілген спецификациясына сәйкес домен шекарасында бекітіңіз. Доменнің әр нүктесіндегі температура енді өзгермейтін стационарлық күйге жеткенге дейін жылуды ағызуға рұқсат етіңіз. Содан кейін интерьердегі температураның таралуы сәйкес Дирихле есебінің шешімі арқылы беріледі.

The Неймандық шекаралық шарттар Лаплас теңдеуі үшін функцияны көрсетпеңіз φ шекарасында өзі Д., бірақ оның қалыпты туынды. Физикалық тұрғыдан бұл векторлық өрістің потенциалының құрылысына сәйкес келеді, оның әсері шекарасында белгілі Д. жалғыз.

Лаплас теңдеуінің шешімдері деп аталады гармоникалық функциялар; олар барлығы аналитикалық теңдеу орындалатын домен ішінде. Егер кез-келген екі функция Лаплас теңдеуінің шешімдері болса (немесе кез-келген сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу), олардың қосындысы (немесе кез-келген сызықтық комбинация) да шешім болып табылады. Бұл деп аталады суперпозиция принципі, өте пайдалы. Мысалы, күрделі есептердің шешімдерін қарапайым шешімдерді жинақтау арқылы құруға болады.

Екі өлшемде

Тік бұрышты координаталардағы екі тәуелсіз айнымалыдағы Лаплас теңдеуі түрге ие

${ displaystyle { frac { ішіндегі ^ {2} psi} { жартылай x ^ {2}}} + { frac { жартылай ^ {2} psi} { жартылай y ^ {2}}} equiv psi _ {xx} + psi _ {yy} = 0.}$

Аналитикалық функциялар

Кешеннің нақты және ойдан шығарылған бөліктері аналитикалық функция екеуі де Лаплас теңдеуін қанағаттандырады. Яғни, егер з = х + iyжәне егер

${ displaystyle f (z) = u (x, y) + iv (x, y),}$

содан кейін бұл қажетті шарт f(з) аналитикалық болу сен және v дифференциалданған болуы керек Коши-Риман теңдеулері қанағаттану:

${ displaystyle u_ {x} = v_ {y}, quad v_ {x} = - u_ {y}.}$

қайда сен_х -ның бірінші ішінара туындысы болып табылады сен құрметпен х.Осыдан шығады

${ displaystyle u_ {yy} = (- v_ {x}) _ {y} = - (v_ {y}) _ {x} = - (u_ {x}) _ {x}.}$

Сондықтан сен Лаплас теңдеуін қанағаттандырады. Осыған ұқсас есептеулер көрсеткендей v Лаплас теңдеуін де қанағаттандырады. Керісінше, гармоникалық функция берілгенде, бұл аналитикалық функцияның нақты бөлігі, f(з) (кем дегенде жергілікті). Егер сынақ формасы болса

${ displaystyle f (z) = varphi (x, y) + i psi (x, y),}$

онда біз орнатсақ, Коши-Риман теңдеулері орындалады

${ displaystyle psi _ {x} = - varphi _ {y}, quad psi _ {y} = varphi _ {x}.}$

Бұл қатынас анықталмайды ψ, бірақ тек оның өсімі:

${ displaystyle d psi = - varphi _ {y} , dx + varphi _ {x} , dy.}$

Үшін Лаплас теңдеуі φ үшін интегралдылық шартын білдіреді ψ қанағаттанды:

${ displaystyle psi _ {xy} = psi _ {yx},}$

және осылайша ψ сызықтық интегралмен анықталуы мүмкін. Интегралдау шарты және Стокс теоремасы екі нүктені біріктіретін сызықтық интегралдың мәні жолға тәуелді емес екенін білдіреді. Лаплас теңдеуінің алынған жұп шешімдері деп аталады конъюгациялық гармоникалық функциялар. Бұл конструкция тек жергілікті деңгейде немесе егер жол жалғыздықты айналып өтпейтін болса ғана жарамды. Мысалы, егер р және θ полярлық координаталар және

${ displaystyle varphi = log r,}$

онда сәйкес аналитикалық функция

${ displaystyle f (z) = log z = log r + i theta.}$

Алайда, бұрыш θ тек шығу тегі қоршалмаған аймақта ғана бір мәнді болады.

Лаплас теңдеуі мен аналитикалық функциялар арасындағы тығыз байланыс Лаплас теңдеуінің кез-келген шешімінде барлық ретті туындылар болатындығын және дәрежелік қатарда, ең болмағанда, даралықты қамтымайтын шеңбер ішінде кеңейтуге болатындығын білдіреді. Бұл шешімдерге қатты қарама-қайшы келеді толқындық теңдеу, олар әдетте аз заңдылыққа ие^{[дәйексөз қажет ]}.

Қуат қатарлары мен арасында тығыз байланыс бар Фурье сериясы. Егер функцияны кеңейтетін болсақ f радиус шеңберіндегі дәрежелік қатарда R, бұл дегеніміз

${ displaystyle f (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} z ^ {n},}$

нақты және ойдан шығарылған бөліктері берілген сәйкес анықталған коэффициенттермен

${ displaystyle c_ {n} = a_ {n} + ib_ {n}.}$

Сондықтан

${ displaystyle f (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} left [a_ {n} r ^ {n} cos n theta -b_ {n} r ^ {n} sin n theta right] + i sum _ {n = 1} ^ { infty} left [a_ {n} r ^ {n} sin n theta + b_ {n} r ^ {n} cos n theta right],}$

бұл Фурье сериясы f. Бұл тригонометриялық функциялардың көмегімен өздерін кеңейтуге болады бұрыштық формулалар.

Сұйықтық ағыны

Шамаларына рұқсат етіңіз сен және v екі өлшемдегі тұрақты сығылмайтын, ирротрационды ағынның жылдамдық өрісінің көлденең және тік компоненттері болыңыз. Сығылмайтын ағынның үздіксіздік шарты мынада

${ displaystyle u_ {x} + v_ {y} = 0,}$

және ағынның ирротикалық болатын шарты сол

${ displaystyle nabla times mathbf {V} = v_ {x} -u_ {y} = 0.}$

Егер функцияның дифференциалын анықтайтын болсақ ψ арқылы

${ displaystyle d psi = vdx-udy,}$

онда үздіксіздік шарты - бұл осы дифференциалдың интегралдану шарты: нәтижесінде пайда болатын функция деп аталады ағын функциясы өйткені ол үнемі бірге болады ағын сызықтары. Алғашқы туындылары ψ арқылы беріледі

${ displaystyle psi _ {x} = v, quad psi _ {y} = - u,}$

ал ирротрационалдылық жағдайы мұны білдіреді ψ Лаплас теңдеуін қанағаттандырады. Гармоникалық функция φ бұл коньюгат ψ деп аталады жылдамдық потенциалы. Коши-Риман теңдеулері мұны білдіреді

${ displaystyle varphi _ {x} = - u, quad varphi _ {y} = - v.}$

Осылайша, кез-келген аналитикалық функция жазықтықтағы тұрақты сығылмайтын, ирротрациялық, инкисцидті сұйықтық ағынына сәйкес келеді. Нақты бөлігі жылдамдық потенциалы, ал қиял бөлігі ағын функциясы.

Электростатика

Сәйкес Максвелл теңдеулері, электр өрісі (сен, v) уақытқа тәуелді емес екі кеңістік өлшемінде

${ displaystyle nabla times (u, v, 0) = (v_ {x} -u_ {y}) { hat { mathbf {k}}} = mathbf {0},}$

және

${ displaystyle nabla cdot (u, v) = rho,}$

қайда ρ зарядтың тығыздығы. Бірінші Максвелл теңдеуі - дифференциалдың интегралдану шарты

${ displaystyle d varphi = -u , dx-v , dy,}$

сондықтан электрлік потенциал φ қанағаттандыру үшін салынуы мүмкін

${ displaystyle varphi _ {x} = - u, quad varphi _ {y} = - v.}$

Максвелл теңдеулерінің екіншісі соны білдіреді

${ displaystyle varphi _ {xx} + varphi _ {yy} = - rho,}$

қайсысы Пуассон теңдеуі. Лаплас теңдеуін электростатика мен сұйықтық ағынындағы екі өлшемді есептерде екі өлшемдегідей қолдануға болады.

Үш өлшемде

Іргелі шешім

A іргелі шешім Лаплас теңдеуін қанағаттандырады

${ displaystyle Delta u = u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz} = - delta (x-x ', y-y', z-z '),}$

қайда Dirac delta функциясы δ нүктеде шоғырланған бірлік көзін білдіреді (х′, ж′, з′). Ешқандай функцияда мұндай қасиет болмайды: іс жүзінде ол тарату функциядан гөрі; бірақ оны кеңістіктегі интегралдары бірлік болатын және тірегі (функциясы нөлге тең емес аймақ) нүктеге дейін қысқаратын функциялардың шегі деп санауға болады (қараңыз) әлсіз шешім ). Бұл теңдеу үшін әдеттегідей, әдеттегідей, іргелі шешімдерді анықтағаннан гөрі басқаша шартты белгілерді қолданады. Бұл таңбаны таңдау көбінесе жұмыс істеуге ыңғайлы, себебі −Δ а оң оператор. Осылайша, іргелі шешімнің анықтамасы, егер Лаплациан болса сен бастапқы нүктені қамтитын кез-келген көлемге біріктірілген, содан кейін

${ displaystyle iiint _ {V} nabla cdot nabla u , dV = -1.}$

Лаплас теңдеуі координаталардың айналуында өзгермейді, демек, тек қашықтыққа тәуелді шешімдер арасында іргелі шешім алынады деп күтуге болады р бастапқы нүктеден. Егер көлемді радиустың шары етіп таңдасақ а көздің айналасында, содан кейін Гаусстың дивергенция теоремасы мұны білдіреді

${ displaystyle -1 = iiint _ {V} nabla cdot nabla u , dV = iint _ {S} { frac {du} {dr}} , dS = left.4 pi a ^ {2} { frac {du} {dr}} right | _ {r = a}.}$

Бұдан шығатыны

${ displaystyle { frac {du} {dr}} = - { frac {1} {4 pi r ^ {2}}},}$

радиус сферасында р ол бастапқы нүктеге бағытталған, демек

${ displaystyle u = { frac {1} {4 pi r}}.}$

Қарама-қарсы белгі шартты белгілері бар екенін ескеріңіз физика ), Бұл потенциал жасаған нүктелік бөлшек, үшін кері квадрат заң шешімінде пайда болатын күш Пуассон теңдеуі. Осыған ұқсас аргумент екі өлшемде екенін көрсетеді

${ displaystyle u = - { frac { log (r)} {2 pi}}.}$

қай жерде журнал (р) дегенді білдіреді табиғи логарифм. Қарама-қарсы белгілер конвенциясымен бұл - екенін ескеріңіз потенциал нүкте тәріздесімен құрылған батып кету (қараңыз нүктелік бөлшек ) шешімі болып табылатын Эйлер теңдеулері екі өлшемді қысылмайтын ағын.

Жасыл функция

A Жасыл функция шекарада қолайлы шартты қанағаттандыратын іргелі шешім болып табылады S томның V. Мысалы,

${ displaystyle G (x, y, z; x ', y', z ')}$

қанағаттандыра алады

${ displaystyle nabla cdot nabla G = - delta (x-x ', y-y', z-z ') qquad { hbox {in}} V,}$

${ displaystyle G = 0 quad { hbox {if}} quad (x, y, z) qquad { hbox {on}} S.}$

Енді егер сен Пуассон теңдеуінің кез келген шешімі болып табылады V:

${ displaystyle nabla cdot nabla u = -f,}$

және сен шекаралық мәндерді қабылдайды ж қосулы S, содан кейін біз өтініш бере аламыз Гриннің сәйкестігі, (дивергенция теоремасының салдары), бұл туралы айтады

${ displaystyle iiint _ {V} сол жақта [G , nabla cdot nabla uu , nabla cdot nabla G right] , dV = iiint _ {V} nabla cdot left [G nabla uu nabla G right] , dV = iint _ {S} сол жақ [Gu_ {n} -uG_ {n} оң] , dS. ,}$

Белгілеулер сен_n және G_n қалыпты туындыларды белгілеңіз S. Орындалған шарттарды ескере отырып сен және G, бұл нәтиже жеңілдейді

${ displaystyle u (x ', y', z ') = iiint _ {V} Gf , dV + iint _ {S} G_ {n} g , dS. ,}$

Осылайша, Green функциясы at әсерін сипаттайды (х′, ж′, з′) деректер f және ж. Радиус сферасының ішкі жағдайы үшін а, Жасыл функцияны шағылысу арқылы алуға болады (Соммерфельд 1949 ж ): бастапқы нүкте P қашықтықта ρ сфераның центрінен оның радиалды сызығы бойынша нүктеге дейін шағылысады P ' бұл қашықтықта

${ displaystyle rho '= { frac {a ^ {2}} { rho}}. ,}$

Егер болса P сфераның ішінде болады P ' сферадан тыс болады. Содан кейін Жасыл функция келесі арқылы беріледі

${ displaystyle { frac {1} {4 pi R}} - { frac {a} {4 pi rho R '}}, ,}$

қайда R бастапқы нүктеге дейінгі қашықтықты білдіреді P және R′ Шағылған нүктеге дейінгі қашықтықты білдіреді P′. Бұл өрнектің Green функциясы үшін салдары болып табылады Пуассонның интегралдық формуласы. Келіңіздер ρ, θ, және φ болуы сфералық координаттар бастапқы нүкте үшін P. Мұнда θ бұрышты тік осьпен белгілейді, бұл әдеттегі американдық математикалық жазбаға қайшы келеді, бірақ стандартты еуропалық және физикалық практикамен келіседі. Сонда Лаплас теңдеуінің Дирихле шекаралық мәндерімен шешімі ж ішіндегі сфера арқылы беріледі

${ displaystyle u (P) = { frac {1} {4 pi}} a ^ {3} left (1 - { frac { rho ^ {2}} {a ^ {2}}} оң) int _ {0} ^ {2 pi} int _ {0} ^ { pi} { frac {g ( theta ', varphi') sin theta '} {(a ^ { 2} + rho ^ {2} -2a rho cos Theta) ^ { frac {3} {2}}}} d theta ', d varphi'}$ (Закманоглоу 1986 ж, б. 228)

қайда

${ displaystyle cos Theta = cos theta cos theta '+ sin theta sin theta' cos ( varphi - varphi ')}$

арасындағы бұрыштың косинусы болып табылады (θ, φ) және (θ′, φ′). Бұл формуланың қарапайым салдары, егер болса сен - бұл гармоникалық функция, содан кейін мәні сен сфераның центрінде оның сферадағы мәндерінің орташа мәні болады. Бұл орташа мән қасиеті бірден тұрақты емес гармоникалық функция ішкі нүктеде өзінің максималды мәнін қабылдай алмайтындығын білдіреді.

Лапластың сфералық гармоникасы

Нақты (Лаплас) сфералық гармоника Y_ℓ^м үшін ℓ = 0, …, 4 (жоғарыдан төмен) және м = 0, …, ℓ (солдан оңға) Зоналық, салалық және тессеральды гармоника сол жақ баған бойынша, басты диагональ бойынша және басқа жерлерде сәйкесінше бейнеленген. (Теріс гармоника ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {- m}}$ туралы айналдырылған көрсетілген болатын з ось арқылы ${ displaystyle 90 ^ { circ} / m}$ оң тәртіпке қатысты.)

Лаплас теңдеуі сфералық координаттар бұл:^[4]

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай r}} солға (r ^ {2} { frac { ішінара f} { жартылай r}} оң жақ) + { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай theta}} солға ( sin theta { frac { ішінара f} { жартылай тета}} оң) + { frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { ішінара ^ {2} f} { kısmi varphi ^ {2}}} = 0.}$

Пішіннің шешімдерін табу мәселесін қарастырайық f(р, θ, φ) = R(р) Y(θ, φ). Авторы айнымалыларды бөлу, екі дифференциалдық теңдеу Лаплас теңдеуін қою арқылы шығады:

${ displaystyle { frac {1} {R}} { frac {d} {dr}} left (r ^ {2} { frac {dR} {dr}} right) = lambda, qquad { frac {1} {Y}} { frac {1} { sin theta}} { frac { жарым-жартылай} { жартылай theta}} солға ( sin theta { frac { жартылай Y} { Partial theta}} right) + { frac {1} {Y}} { frac {1} { sin ^ {2} theta}} { frac { partial ^ {2} Y} { kısmi varphi ^ {2}}} = - lambda.}$

Деген болжам бойынша екінші теңдеуді жеңілдетуге болады Y формасы бар Y(θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ). Айнымалылардың бөлінуін екінші теңдеуге қайтадан қолдану дифференциалдық теңдеулер жұбына жол ашады

${ displaystyle { frac {1} { Phi}} { frac {d ^ {2} Phi} {d varphi ^ {2}}} = - m ^ {2}}$

${ displaystyle lambda sin ^ {2} theta + { frac { sin theta} { Theta}} { frac {d} {d theta}} left ( sin theta { frac {d Theta} {d theta}} right) = m ^ {2}}$

кейбір нөмірлер үшін м. Априори, м күрделі тұрақты, бірақ өйткені Φ болуы керек мерзімді функция оның кезеңі біркелкі бөлінеді 2π, м міндетті түрде бүтін сан болып табылады және Φ - бұл күрделі экспоненциалдардың сызықтық комбинациясы e^{± imφ}. Шешім функциясы Y(θ, φ) сфераның полюстерінде тұрақты, қайда θ = 0, π. Бұл заңдылықты шешімге енгізу Θ доменнің шекаралық нүктелеріндегі екінші теңдеудің а Штурм-Лиувилл проблемасы параметрді мәжбүрлейді λ формада болу λ = ℓ (ℓ + 1) бар теріс емес бүтін сан үшін ℓ ≥ |м|; бұл да түсіндіріледі төменде тұрғысынан орбиталық бұрыштық импульс. Сонымен қатар, айнымалылардың өзгеруі т = cos θ бұл теңдеуді Легендра теңдеуі, оның шешімі -ның еселігі байланысты Легендра көпмүшесі P_ℓ^м(cos θ) . Соңында, үшін теңдеу R формасының шешімдері бар R(р) = A r^ℓ + B r^{−ℓ − 1}; шешім үнемі тұрақты болуын талап етеді R³ күштер B = 0.^[5]

Мұнда шешім арнайы формаға ие болды деп ұйғарылды Y(θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ). Берілген мәні үшін ℓ, Сонда 2ℓ + 1 осы санның тәуелсіз шешімдері, әрбір бүтін санға бір м бірге −ℓ ≤ м ≤ ℓ. Бұл бұрыштық шешімдердің өнімі болып табылады тригонометриялық функциялар, мұнда а ретінде ұсынылған күрделі экспоненциалды және байланысты Легендр полиномдары:

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = Ne ^ {im varphi} P _ { ell} ^ {m} ( cos { theta})}$

орындайтын

${ displaystyle r ^ {2} nabla ^ {2} Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = - ell ( ell +1) Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi).}$

Мұнда Y_ℓ^м дәрежесінің сфералық гармоникалық функциясы деп аталады ℓ және тапсырыс м, P_ℓ^м болып табылады байланысты Легендра көпмүшесі, N бұл нормалану константасы, және θ және φ сәйкесінше бойлық пен бойлықты бейнелейді. Атап айтқанда, үйлесімділік θ, немесе полярлық бұрыш, -дан ауытқиды 0 солтүстік полюсте, дейін π/2 Экваторда, дейін π оңтүстік полюсте және бойлық φ, немесе азимут, барлық мәндерді қабылдай алады 0 ≤ φ < 2π. Бекітілген бүтін сан үшін ℓ, әр шешім Y(θ, φ) өзіндік құндылық проблемасы

${ displaystyle r ^ {2} nabla ^ {2} Y = - ell ( ell +1) Y}$

Бұл сызықтық комбинация туралы Y_ℓ^м. Шындығында, кез-келген осындай шешім үшін, р^ℓ Y(θ, φ) - а-ның сфералық координаталарындағы өрнек біртекті полином бұл гармоникалық (қараңыз. қараңыз) төменде ), сондықтан санау өлшемдері бар екенін көрсетеді 2ℓ + 1 сызықтық тәуелсіз осындай көпмүшелер.

Лаплас теңдеуінің бас нүктесінде центрленген шардағы жалпы шешімі а сызықтық комбинация сфералық гармоникалық функциялардың сәйкес масштаб коэффициентіне көбейтілгені р^ℓ,

${ displaystyle f (r, theta, varphi) = sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} f _ { ell} ^ { m} r ^ { ell} Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi),}$

қайда f_ℓ^м тұрақтылар және факторлар болып табылады р^ℓ Y_ℓ^м ретінде белгілі қатты гармоника. Мұндай кеңейту доп

${ displaystyle r$

Үшін ${ displaystyle r> R}$, теріс күші бар қатты гармоника ${ displaystyle r}$ орнына таңдалады. Бұл жағдайда белгілі аймақтардың шешімін кеңейту керек Лоран сериясы (туралы ${ displaystyle r = infty}$), орнына Тейлор сериясы (туралы ${ displaystyle r = 0}$), шарттарын сәйкестендіру және табу ${ displaystyle f _ { ell} ^ {m}}$.

Электростатика

Келіңіздер ${ displaystyle mathbf {E}}$ электр өрісі бол, ${ displaystyle rho}$ электр зарядының тығыздығы және ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ бос кеңістіктің өткізгіштігі. Содан кейін электр энергиясына арналған Гаусс заңы (Максвеллдің бірінші теңдеуі) дифференциалды күйде^[6]

${ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = { frac { rho} { epsilon _ {0}}}.}$

Енді электр өрісін электр потенциалының теріс градиенті ретінде көрсетуге болады ${ displaystyle V}$,

${ displaystyle mathbf {E} = - nabla V,}$

егер өріс ирротикалық болса, ${ displaystyle nabla times mathbf {E} = mathbf {0}}$. Ирротрационалдығы ${ displaystyle mathbf {E}}$ электростатикалық күй деп те аталады.^[6]

${ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = nabla cdot (- nabla V) = - nabla ^ {2} V}$

${ displaystyle nabla ^ {2} V = - nabla cdot mathbf {E}}$

Бұл қатынасты Гаусс заңына қосып, электр энергиясына арналған Пуассон теңдеуін аламыз,^[6]

${ displaystyle nabla ^ {2} V = - { frac { rho} { varepsilon _ {0}}}.}$

Ақпарат көзі жоқ аймақтың нақты жағдайында ${ displaystyle rho = 0}$ және Пуассон теңдеуі электрлік потенциал үшін Лаплас теңдеуіне дейін азаяды.^[6]

Егер электростатикалық потенциал ${ displaystyle V}$ аймақ шекарасында көрсетілген ${ displaystyle { mathcal {R}}}$, содан кейін ол ерекше түрде анықталады. Егер ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ көрсетілген заряд тығыздығы бар өткізгіш материалмен қоршалған ${ displaystyle rho}$және егер жалпы төлем болса ${ displaystyle Q}$ белгілі, содан кейін ${ displaystyle V}$ сонымен қатар ерекше.^[7]

Лаплас теңдеуін шекаралық шартпен бірге қанағаттандырмайтын потенциал - жарамсыз электростатикалық потенциал.

Гравитация

Келіңіздер ${ displaystyle mathbf {g}}$ гравитациялық өріс бол, ${ displaystyle rho}$ массаның тығыздығы және ${ displaystyle G}$ гравитациялық тұрақты. Сонда Гравстың дифференциалды түрдегі тартылыс заңы мынада

${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} = -4 pi G rho.}$

Гравитациялық өріс консервативті, сондықтан гравитациялық потенциалдың теріс градиенті ретінде көрсетілуі мүмкін:

${ displaystyle mathbf {g} = - nabla V,}$

${ displaystyle nabla cdot mathbf {g} = nabla cdot (- nabla V) = - nabla ^ {2} V,}$

${ displaystyle білдіреді nabla ^ {2} V = - nabla cdot mathbf {g}.}$

Гаусстың тартылыс заңының дифференциалды түрін қолдана отырып, бізде бар

${ displaystyle nabla ^ {2} V = 4 pi G rho,}$

бұл гравитациялық өрістер үшін Пуассон теңдеуі.

Бос кеңістікте, ${ displaystyle rho = 0}$ және бізде бар

${ displaystyle nabla ^ {2} V = 0,}$

бұл гравитациялық өрістер үшін Лаплас теңдеуі.

Шварцшильд метрикасында

S. Persides^[8] Лаплас теңдеуін шешті Шварцшильдтің ғарыш уақыты тұрақты гипер беткейлерде т. Канондық айнымалыларды қолдану р, θ, φ шешім

${ displaystyle Psi (r, theta, varphi) = R (r) Y_ {l} ( theta, varphi),}$

қайда Y_л(θ, φ) Бұл сфералық гармоникалық функция, және

${ displaystyle R (r) = (- 1) ^ {l} { frac {(l!) ^ {2} r_ {s} ^ {l}} {(2l)!}} P_ {l} left (1 - { frac {2r} {r_ {s}}} right) + (- 1) ^ {l + 1} { frac {2 (2l + 1)!} {(L)! ^ {2 } r_ {s} ^ {l + 1}}} Q_ {l} солға (1 - { frac {2r} {r_ {s}}} оңға).}$

Мұнда P_л және Q_л болып табылады Legendre функциялары сәйкесінше бірінші және екінші типтегі р_с болып табылады Шварцшильд радиусы. Параметр л - теріс емес бүтін сан.

Сондай-ақ қараңыз

• 6-сфералық координаттар, Лаплас теңдеуі болатын координаттар жүйесі R-бөлінетін
• Гельмгольц теңдеуі, Лаплас теңдеуінің жалпы жағдайы.
• Сфералық гармоникалық
• Квадратуралық домендер
• Потенциалдық теория
• Потенциалды ағын
• Бэйтмен трансформациясы
• Эрншоу теоремасы Лаплас теңдеуін тұрақты статикалық ферромагниттік суспензияның мүмкін еместігін көрсету үшін қолданады
• Векторлық лаплаций
• Іргелі шешім

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

Әрі қарай оқу

• Эванс, Л.С (1998). Жартылай дифференциалдық теңдеулер. Дәлелдеу: Американдық математикалық қоғам. ISBN  978-0-8218-0772-9.
• Петровский, I. Г. (1967). Жартылай дифференциалдық теңдеулер. Филадельфия: В.Б. Сондерс.
• Полянин, А.Д. (2002). Инженерлер мен ғалымдарға арналған сызықтық ішінара дифференциалдық теңдеулер туралы анықтама. Бока Ратон: Чэпмен және Холл / CRC Press. ISBN  978-1-58488-299-2.
• Соммерфельд, А. (1949). Физикадағы ішінара дифференциалдық теңдеулер. Нью-Йорк: Academic Press.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
• Закманоглоу, E. C. (1986). Қолданбалы ішінара дифференциалдық теңдеулерге кіріспе. Нью-Йорк: Довер.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

Сыртқы сілтемелер

• «Лаплас теңдеуі», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
• Лаплас теңдеуі (нақты шешімдер мен шекаралық есептер) EqWorld сайтында: Математикалық теңдеулер әлемі.
• Бастапқы шекаралық есептердің мысалы мысалыproblems.com сайтынан Лаплас теңдеуін қолдану.
• Вайсштейн, Эрик В. «Лаплас теңдеуі». MathWorld.
• Лаплас теңдеуімен реттелетін шекаралық есептер қалайша шекаралық элемент әдісімен шешілетінін біліңіз