Сызық элементі - Line element

Жылы геометрия, жол элементі немесе ұзындық элементі бейресми түрде an-мен байланысты сызық сегменті ретінде қарастыруға болады шексіз орын ауыстыру векторы ішінде метрикалық кеңістік. Дифференциал ретінде қарастырылуы мүмкін сызық элементінің ұзындығы доғаның ұзындығы, функциясы болып табылады метрикалық тензор және деп белгіленеді ds

Сызық элементтері қолданылады физика, әсіресе теорияларында гравитация (ең бастысы жалпы салыстырмалылық ) қайда ғарыш уақыты қисық түрінде модельденеді Псевдо-риманналық коллектор тиісті метрикалық тензор.^[1]

Жалпы тұжырымдау

Сызықтық элементтің анықтамасы және доға ұзындығы

The үйлестіру -сызық элементінің квадратының тәуелсіз анықтамасы ds ан n-өлшемді Риманниан немесе Псевдо Риманнян коллекторы (физикада әдетте а Лоренциан коллекторы ) - бұл шексіз жылжудың «ұзындығының квадраты» ${ displaystyle d mathbf {q}}$ ^[2] (жалған Riemannian коллекторларында теріс болуы мүмкін), оның квадрат түбірі қисық ұзындығын есептеу үшін қолданылуы керек:

{ displaystyle ds ^ {2} = d mathbf {q} cdot d mathbf {q} = g (d mathbf {q}, d mathbf {q})}

қайда ж болып табылады метрикалық тензор, · білдіреді ішкі өнім, және г.q ан шексіз орын ауыстыру (жалған) Риманн коллекторында. Қисықты параметрлеу арқылы ${ displaystyle q ( lambda)}$ параметрімен анықталған параметр ${ displaystyle lambda}$ , біз анықтай аламыз доғаның ұзындығы арасындағы қисықтың қисық ұзындығының ${ displaystyle q ( lambda _ {1})}$ , және ${ displaystyle q ( lambda _ {2})}$ болып табылады ажырамас:^[3]

{ displaystyle s = int _ { lambda _ {1}} ^ { lambda _ {2}} d lambda { sqrt { left | ds ^ {2} right |}} = int _ { lambda _ {1}} ^ { lambda _ {2}} d lambda { sqrt { left | g left ({ frac {dq} {d lambda}}, { frac {dq} { d lambda}} right) right |}} = int _ { lambda _ {1}} ^ { lambda _ {2}} d lambda { sqrt { left | g_ {ij} { frac {dq ^ {i}} {d lambda}} { frac {dq ^ {j}} {d lambda}} right |}}}

Риманның жалған коллекторларындағы қисықтардың ұзындығын есептеу үшін шексіз аз орын ауыстырулар барлық жерде бірдей белгіге ие болады деп ойлаған жөн. Мысалы. физикада сызық элементінің квадраты уақыт шкаласы бойынша қисыққа сәйкес келеді ${ displaystyle - +++}$ сызық элементінің квадратының қисық бойымен теріс квадрат түбірі қисық бойымен қозғалатын бақылаушының өту уақытын өлшейтін болар еді, осы тұрғыдан алғанда метрика сызық элементіне қосымша анықтайды беті және көлем элементтері т.б.

Метрикалық тензормен сызық элементінің квадратын анықтау

Бастап ${ displaystyle d mathbf {q}}$ «доға ұзындығының квадраты» ${ displaystyle ds ^ {2}}$ метриканы толығымен анықтайды, сондықтан өрнекті қарастырған дұрыс ${ displaystyle ds ^ {2}}$ ұсынылатын, бірақ тензорлық емес нотада жазылған метрикалық тензордың өзіндік анықтамасы ретінде:

{ displaystyle ds ^ {2} = g}

Доға ұзындығының квадратының бұл идентификациясы ${ displaystyle ds ^ {2}}$ метриканы көру оңайырақ n-өлшемді жалпы қисық сызықты координаттар q = (q¹, q², q³, ..., qⁿ), онда ол симметриялық дәреже ретінде жазылады 2 тензор^[4]^[5] метрикалық тензормен сәйкес келеді:

{ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ij} dq ^ {i} dq ^ {j} = g}

.

Мұнда индекстер мен және j 1, 2, 3, ..., мәндерін қабылдаңыз n және Эйнштейн конвенциясы қолданылады. Риман кеңістігінің кең таралған мысалдары үш өлшемді ғарыш (қосу жоқ уақыт координаттар), және шынымен де төрт өлшемді ғарыш уақыты.

Евклид кеңістігіндегі сызықтық элементтер

Векторлық сызық элементір (жасыл) 3d Евклид кеңістігі, мұндағы λ - а параметр кеңістіктің қисық сызығы (ашық жасыл).

Төменде метрикадан сызық элементтерін табудың мысалдары келтірілген.

Декарттық координаттар

Ең қарапайым жол элементі Декарттық координаттар - бұл жағдайда тек қана метрика болады Kronecker атырауы:

{ displaystyle g_ {ij} = delta _ {ij}}

(Мұнда i, j = 1, 2, 3 кеңістік үшін) немесе in матрица форма (мен қатарды білдіреді, j бағанды білдіреді):

{ displaystyle [g_ {ij}] = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}

Жалпы қисық сызықты координаттар декарттық координаталарға дейін азаяды:

{ displaystyle (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}) = (x, y, z) , Rightarrow , d mathbf {r} = (dx, dy, dz) }

сондықтан

{ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ij} dq ^ {i} dq ^ {j} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}

Ортогональды қисық сызықты координаттар

Барлығына ортогоналды координаттар метриканы келтіреді:^[6]

{ displaystyle [g_ {ij}] = { begin {pmatrix} h_ {1} ^ {2} & 0 & 0 0 & h_ {2} ^ {2} & 0 0 & 0 & h_ {3} ^ {2} end {pmatrix }}}

қайда

{ displaystyle h_ {i} = сол | { frac { жарым-жартылай mathbf {r}} { жартылай q ^ {i}}} оң |}

үшін мен = 1, 2, 3 болып табылады ауқымды факторлар, сондықтан жол элементінің квадраты:

{ displaystyle ds ^ {2} = h_ {1} ^ {2} (dq ^ {1}) ^ {2} + h_ {2} ^ {2} (dq ^ {2}) ^ {2} + h_ {3} ^ {2} (dq ^ {3}) ^ {2}}

Осы координаттардағы сызық элементтерінің кейбір мысалдары төменде келтірілген.^[7]

Координаттар жүйесі	(q¹, q², q³)	Метрика	Сызық элементі
Декарттық	(х, ж, з)	${ displaystyle [g_ {ij}] = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}}$
Ұшақтың полярлары	(р, θ)	${ displaystyle [g_ {ij}] = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & r ^ {2} end {pmatrix}}}$	${ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2}}$
Сфералық полярлар	(р, θ, φ)	${ displaystyle [g_ {ij}] = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & r ^ {2} & 0 0 & 0 & r ^ {2} sin ^ {2} theta end {pmatrix}}}$	${ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta d phi ^ {2 }}$
Цилиндрлік полярлар	(р, θ, з)	${ displaystyle [g_ {ij}] = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & r ^ {2} & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d theta ^ {2} + dz ^ {2}}$

Жалпы қисық сызықты координаттар

Өлшем кеңістігінің ерікті негізі берілген ${ displaystyle n, {{ hat {b}} _ {i} }}$ , метрика базистік векторлардың ішкі көбейтіндісі ретінде анықталады.

${ displaystyle g_ {ij} = langle { hat {b}} _ {i}, { hat {b}} _ {j} rangle}$

Қайда ${ displaystyle 1 leq i, j leq n}$ және ішкі өнім қоршаған кеңістікке қатысты (әдетте оның) ${ displaystyle delta _ {ij}}$ )

Координаталық негізде ${ displaystyle { hat {b}} _ {i} = { frac { жарымжан} { жартылай x ^ {i}}}}$

Координаталық негіз дегеніміз - дифференциалды геометрияда үнемі қолданылатын негіздің ерекше түрі.

4д кеңістіктегі сызықтық элементтер

Минковский кеңістігі

The Минковский метрикасы бұл:^[8]^[9]

{ displaystyle [g_ {ij}] = pm { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 end {pmatrix}}}

бір немесе басқа белгі таңдалған жерде екі шартты ереже де қолданылады. Бұл тек үшін қолданылады жазық кеңістік. Координаталар 4-позиция:

{ displaystyle mathbf {x} = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}) = (ct, mathbf {r}) , Rightarrow, , d mathbf {x} = (cdt, d mathbf {r})}

сондықтан жол элементі:

{ displaystyle ds ^ {2} = pm (c ^ {2} dt ^ {2} -d mathbf {r} cdot d mathbf {r}).}

Шварцшильд координаттары

Жылы Шварцшильд координаттары координаттар болып табылады ${ displaystyle сол жақ (t, r, theta, phi оң)}$ , форманың жалпы метрикасы бола отырып:

{ displaystyle [g_ {ij}] = { begin {pmatrix} -a (r) ^ {2} & 0 & 0 & 0 0 & b (r) ^ {2} & 0 & 0 0 & 0 & r ^ {2} & 0 0 & 0 & 0 & r ^ { 2} sin ^ {2} theta end {pmatrix}}}

(3D сфералық полярлы координаталардағы метрикамен ұқсастығын ескеріңіз).

сондықтан жол элементі:

{ displaystyle ds ^ {2} = - a (r) ^ {2} , dt ^ {2} + b (r) ^ {2} , dr ^ {2} + r ^ {2} , d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}.}

Жалпы ғарыш уақыты

D элементінің квадратының координатадан тәуелсіз анықтамасыс жылы ғарыш уақыты бұл:^[10]

{ displaystyle ds ^ {2} = d mathbf {x} cdot d mathbf {x} = g (d mathbf {x}, d mathbf {x})}

Координаттар бойынша:

{ displaystyle ds ^ {2} = g _ { alpha beta} dx ^ { alpha} dx ^ { beta}}

мұндағы α және ind индекстері 0, 1, 2, 3 кеңістік уақытында өтеді.

Бұл кеңістік аралығы - ерікті түрде екіге бөліну шарасы іс-шаралар жылы ғарыш уақыты. Жылы арнайы салыстырмалылық ол өзгермейді Лоренц түрлендірулері. Жылы жалпы салыстырмалылық ол ерікті түрде өзгермейді төңкерілетін ажыратылатын координаталық түрлендірулер.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

^ Гравитация, Дж. Уилер, C. Миснер, К.С. Торн, В.Х. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
^ Tensor Calculus, DC Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 1988, ISBN 0-07-033484-6
^ Векторлық анализ (2nd Edition), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
^ Векторлық анализ (2nd Edition), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
^ Тензорлық талдауға кіріспе: Инженерлер мен қолданбалы ғалымдар үшін, Дж. Т. Тилдесли, Лонгман, 1975, ISBN 0-582-44355-5
^ Векторлық анализ (2nd Edition), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
^ Tensor Calculus, DC Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 1988, ISBN 0-07-033484-6
^ Салыстырмалылық DeMystified, Д.Макмахон, Mc Graw Hill (АҚШ), 2006, ISBN 0-07-145545-0
^ Гравитация, Дж. Уилер, C. Миснер, К.С. Торн, В.Х. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
^ Гравитация, Дж. Уилер, C. Миснер, К.С. Торн, В.Х. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[1] Гравитация, Дж. Уилер, C. Миснер, К.С. Торн, В.Х. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[2] Tensor Calculus, DC Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 1988, ISBN 0-07-033484-6

[3] Векторлық анализ (2nd Edition), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[4] Векторлық анализ (2nd Edition), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[5] Тензорлық талдауға кіріспе: Инженерлер мен қолданбалы ғалымдар үшін, Дж. Т. Тилдесли, Лонгман, 1975, ISBN 0-582-44355-5

[6] Векторлық анализ (2nd Edition), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[7] Tensor Calculus, DC Kay, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), 1988, ISBN 0-07-033484-6

[8] Салыстырмалылық DeMystified, Д.Макмахон, Mc Graw Hill (АҚШ), 2006, ISBN 0-07-145545-0

[9] Гравитация, Дж. Уилер, C. Миснер, К.С. Торн, В.Х. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[10] Гравитация, Дж. Уилер, C. Миснер, К.С. Торн, В.Х. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]