Индекстерді көтеру және төмендету - Raising and lowering indices

Жылы математика және математикалық физика, индекстерді көтеру және төмендету операциялар болып табылады тензорлар оларды өзгертеді түрі. Индекстерді көтеру және төмендету - бұл формасы индексті манипуляциялау тензор өрнектерінде.

Тензор түрі

Берілген тензор өрісі үстінде көпжақты $М$ , қатысуымен а ерекше емес форма қосулы $М$ (мысалы Риман метрикасы немесе Минковский метрикасы ), түрді өзгерту үшін индекстерді көтеруге немесе төмендетуге болады $(а, б)$ тензорға дейін $(а + 1, б - 1)$ тензор (индексті көтеру) немесе a $(а - 1, б + 1)$ тензор (төменгі индекс), мұндағы жазба $(а, б)$ белгілеу үшін қолданылған тензор тәртібі $а + б$ бірге $а$ жоғарғы индекстер және $б$ төменгі индекстер.

Біреуі оны көбейту арқылы жасайды ковариантты немесе қарама-қайшы метрикалық тензор содан соң келісім-шарт екі индекс мағынасын білдіретін индекстер теңестіріліп, содан кейін қайталанған индекстерге қосылады (қолдану кезінде) Эйнштейн жазбасы ). Төмендегі мысалдарды қараңыз.

Векторлар (тапсырыс-1 тензор)

Көбейту қарама-қайшы метрикалық тензор $ж иж$ және келісімшарт жоғарғы индексі бар тағы бір тензор шығарады:

{displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = B ^ {i} ,,}

Әдетте осы жаңа тензорды белгілеу үшін бірдей базалық белгі қолданылады, ал индекстің орнын ауыстыру әдетте осы контексте осы жаңа тензорға қатысты түсініледі және деп аталады индексті көтеру, жазылатын еді

{displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = A ^ {i} ,.}

Сол сияқты ковариант метрикалық тензор және келісімшарт төмендетеді индекс (негізгі символды қайта пайдалану туралы бірдей түсінікпен):

{displaystyle g_ {ij} A ^ {j} = A_ {i} ,.}

Пішін $ж иж$ индексті төмендету үшін бір мағыналы емес, керісінше алу үшін (демек, индексті көтеру үшін) ол мағынасыз болуы керек.

Бір индексті көтеру және одан кейін төмендету кері операциялар болып табылады, олар ковариантты және контраварианттық метрикалық тензорлардың бір-біріне кері әсерінен көрінеді:

{displaystyle g ^ {ij} g_ {jk} = g_ {kj} g ^ {ji} = {delta ^ {i}} _ {k} = {delta _ {k}} ^ {i}}

қайда $δ мен к$ болып табылады Kronecker атырауы немесе сәйкестік матрицасы. Әр түрлі метриканың әр түрлі нұсқалары болғандықтан метрикалық қолтаңбалар (диагональ элементтері бойындағы белгілер, яғни индекстері тең тензор компоненттері), шатасудың алдын алу үшін, әдетте, аты мен қолы көрсетіледі. Әр түрлі авторлар әртүрлі көрсеткіштер мен қолтаңбаларды әртүрлі себептермен қолданады.

Мнемотехникалық тұрғыдан (дегенмен дұрыс емес), метрика мен басқа тензор арасындағы индекстерді «жою» туралы, ал көрсеткіш индексті жоғарылатып немесе төмендету туралы ойлауы мүмкін. Жоғарыда келтірілген мысалдарда мұндай «күшін жою» және «қадамдар» сияқты

{displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = {бас тарту {g}} ^ {i {бас тарту {j}}} A_ {болдырмау {j}} = A ^ {i} ,,}

Тағы да, пайдалы нұсқаулық болғанымен, бұл тек мнемоникалық болып табылады және тензорлардың қасиеті емес, өйткені индекстер теңдеулердегідей жойылмайды, бұл тек жазба түсінігі. Нәтижелер жоғары ретті тензорлар үшін төменде жалғасады (яғни көп индекс).

Кеңістік уақытында шамалар индексін көтергенде, ол жиынтықты «уақытқа ұқсас компоненттерге» (индекстер нөлге тең болатын) және «кеңістіктегі компоненттерге» (мұндағы индекстер 1, 2, 3, шартты түрде латын әріптерімен бейнеленген) бөлуге көмектеседі.

Мысал Минковский кеңістігі

Ковариант 4-позиция арқылы беріледі

{displaystyle X_ {mu} = (- ct, x, y, z)}

компоненттерімен:

{displaystyle X_ {0} = - ct, төртінші X_ {1} = x, төртінші X_ {2} = y, төртінші X_ {3} = z}

(қайда $х$ , $ж$ , $з$ әдеттегідей Декарттық координаттар ) және Минковский метрикасы (- + + +) қолтаңбасы бар тензор ретінде анықталады

{displaystyle eta _ {mu u} = eta ^ {mu u} = {egin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1end {pmatrix}}}

компоненттерде:

{displaystyle eta _ {00} = - 1, quad eta _ {i0} = eta _ {0i} = 0, quad eta _ {ij} = delta _ {ij}, (i, jeq 0).}

Индексті көтеру үшін тензорға көбейтіп, келісім жасаңыз:

{displaystyle X ^ {lambda} = eta ^ {lambda mu} X_ {mu} = eta ^ {lambda 0} X_ {0} + eta ^ {lambda i} X_ {i}}

содан кейін үшін $λ = 0$ :

{displaystyle X ^ {0} = eta ^ {00} X_ {0} + eta ^ {0i} X_ {i} = - X_ {0}}

және үшін $λ = j = 1, 2, 3$ :

{displaystyle X ^ {j} = eta ^ {j0} X_ {0} + eta ^ {ji} X_ {i} = delta ^ {ji} X_ {i} = X_ {j} ,.}

Сонымен, индекстің көтерілген қарама-қайшы 4 позициясы:

{displaystyle X ^ {mu} = (ct, x, y, z),}

Тензорлар (жоғары тапсырыс)

Тапсырыс 2

Тензор-2 тапсырысы үшін,^[1] метрикалық тензорға қарсы екі есе көбейту және әр түрлі индекстерде келісімшарт жасау әрбір индексті жоғарылатады:

{displaystyle A ^ {alpha eta} = g ^ {alfa gamma} g ^ {eta delta} A_ {gamma delta}}

және коварианттық метрикалық тензорға екі есе көбейту және әр түрлі индекстерде келісімшарт әрбір индексті төмендетеді:

{displaystyle A_ {alpha eta} = g_ {alfa gamma} g_ {eta delta} A ^ {gamma delta}}

Мысал классикалық электромагнетизм және арнайы салыстырмалылық

The қарама-қайшы электромагниттік тензор ішінде $(+ - - -)$ қол қойылады^[2]

{displaystyle F ^ {alpha eta} = {egin {pmatrix} 0 & - {frac {E_ {x}} {c}} & - {frac {E_ {y}} {c}} & - {frac {E_ {z }} {c}} {frac {E_ {x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} {frac {E_ {y}} {c}} & B_ {z} & 0 & -B_ { x} {frac {E_ {z}} {c}} & - B_ {y} & B_ {x} & 0end {pmatrix}}}

компоненттерде:

{displaystyle F ^ {0i} = - F ^ {i0} = - {frac {E ^ {i}} {c}}, төрттік F ^ {ij} = - varepsilon ^ {ijk} B_ {k}}

Алу үшін ковариант тензор $F αβ$ , метрикалық тензорға көбейтіңіз және келісімшарт:

{displaystyle {egin {aligned} F_ {alfa eta} & = eta _ {alfa gamma} eta _ {eta delta} F ^ {gamma delta} & = eta _ {alfa 0} eta _ {eta 0} F ^ { 00} + eta _ {alpha i} eta _ {eta 0} F ^ {i0} + eta _ {alpha 0} eta _ {eta i} F ^ {0i} + eta _ {alpha i} eta _ {eta j } F ^ {ij} соңы {тураланған}}}

және содан бері F⁰⁰ = 0 және F^0мен = − F^мен⁰, бұл төмендейді

{displaystyle F_ {alpha eta} = сол жақ (eta _ {альфа i} eta _ {eta 0} -eta _ {альфа 0} eta _ {eta i} ight) F ^ {i0} + eta _ {альфа i} eta _ {eta j} F ^ {ij}}

Енді $α = 0$ , $β = к = 1, 2, 3$ :

{displaystyle {egin {aligned} F_ {0k} & = left (eta _ {0i} eta _ {k0} -eta _ {00} eta _ {ki} ight) F ^ {i0} + eta _ {0i} eta _ {kj} F ^ {ij} & = {igl (} 0 - (- delta _ {ki}) {igr)} F ^ {i0} +0 & = F ^ {k0} = - F ^ { 0k} end {aligned}}}

және антисимметрия бойынша $α = к = 1, 2, 3$ , $β = 0$ :

{displaystyle F_ {k0} = - F ^ {k0}}

содан кейін үшін $α = к = 1, 2, 3$ , $β = л = 1, 2, 3$ ;

{displaystyle {egin {aligned} F_ {kl} & = left (eta _ {ki} eta _ {l0} -eta _ {k0} eta _ {li} ight) F ^ {i0} + eta _ {ki} eta _ {lj} F ^ {ij} & = 0 + delta _ {ki} delta _ {lj} F ^ {ij} & = F ^ {kl} end {aligned}}}

Төменгі индекстелген тензор (ковариант):

{displaystyle F_ {alpha eta} = {egin {pmatrix} 0 & {frac {E_ {x}} {c}} & {frac {E_ {y}} {c}} & {frac {E_ {z}} {c }} - {frac {E_ {x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} - {frac {E_ {y}} {c}} & B_ {z} & 0 & -B_ {x} - {frac {E_ {z}} {c}} & - B_ {y} & B_ {x} & 0end {pmatrix}}}

Тапсырыс $n$

Векторлық кеңістік ішкі өніммен жабдықталған кезде (немесе метрикада оны осы жағдайда жиі атайды) контрастылық (жоғарғы) индексті ковариантты (төменгі) көрсеткішке және керісінше түрлендіретін операциялар болады. Метриканың өзі (симметриялы) (0,2) -тензор болып табылады, сондықтан тензордың жоғарғы индексін метриканың төменгі индекстерінің бірімен шарттауға болады. Бұл индекс құрылымымен бұрынғыдай, бірақ келісімшарт бойынша жоғарғы индексте төменгі индекспен жаңа тензор шығарады. Бұл операция графикалық түрде индексті төмендету деп аталады, ал керісінше, метриканың (2,0) -тензорға тең кері мәні бар. Бұл кері көрсеткішті индексті жоғарылату үшін төменгі индекспен келісімге келтіруге болады. Бұл операция индексті көтеру деп аталады.

Тензор тәртібі үшін $n$ , индекстерді жоғарылатады:^[1]

{displaystyle g ^ {j_ {1} i_ {1}} g ^ {j_ {2} i_ {2}} cdots g ^ {j_ {n} i_ {n}} A_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {n}} = A ^ {j_ {1} j_ {2} cdots j_ {n}}}

және төмендетілген:

{displaystyle g_ {j_ {1} i_ {1}} g_ {j_ {2} i_ {2}} cdots g_ {j_ {n} i_ {n}} A ^ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {) n}} = A_ {j_ {1} j_ {2} cdots j_ {n}}}

және аралас тензор үшін:

{displaystyle g_ {p_ {1} i_ {1}} g_ {p_ {2} i_ {2}} cdots g_ {p_ {n} i_ {n}} g ^ {q_ {1} j_ {1}} g ^ {q_ {2} j_ {2}} cdots g ^ {q_ {m} j_ {m}} {A ^ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {n}}} _ {j_ {1} j_ { 2} cdots j_ {m}} = {A_ {p_ {1} p_ {2} cdots p_ {n}}} ^ {q_ {1} q_ {2} cdots q_ {m}}}

Сондай-ақ қараңыз

Пайдаланылған әдебиеттер

^ ^а ^б Kay, D. C. (1988). Тензор есебі. Шаумның сұлбалары. Нью-Йорк: МакГрав Хилл. ISBN 0-07-033484-6.
^ NB: Кейбір мәтіндер, мысалы: Гриффитс, Дэвид Дж. (1987). Бастапқы бөлшектермен таныстыру. Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4., бұл тензорды жалпы коэффициенті −1 көрсетеді. Себебі олар мұнда қолданылатын метрикалық тензордың теріс мәнін қолданды: $(- + + +)$ , қараңыз метрикалық қолтаңба. Джексон (2-ші басылым) сияқты ескі мәтіндерде факторлар жоқ $c$ өйткені олар қолданады Гаусс бірліктері. Мұнда SI бірліктері қолданылады.

[Schaum’s_Outlines-1] а ^б Kay, D. C. (1988). Тензор есебі. Шаумның сұлбалары. Нью-Йорк: МакГрав Хилл. ISBN 0-07-033484-6.

[2] NB: Кейбір мәтіндер, мысалы: Гриффитс, Дэвид Дж. (1987). Бастапқы бөлшектермен таныстыру. Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-60386-4., бұл тензорды жалпы коэффициенті −1 көрсетеді. Себебі олар мұнда қолданылатын метрикалық тензордың теріс мәнін қолданды: $(- + + +)$ , қараңыз метрикалық қолтаңба. Джексон (2-ші басылым) сияқты ескі мәтіндерде факторлар жоқ $c$ өйткені олар қолданады Гаусс бірліктері. Мұнда SI бірліктері қолданылады.

[1]

[2]