Voigt жазбасы - Voigt notation

Жылы математика, Voigt жазбасы немесе Voigt нысаны жылы көп сызықты алгебра бейнелеу тәсілі болып табылады симметриялық тензор оның ретін азайту арқылы.[1] Бұл идеяның бірнеше нұсқалары мен байланысты атаулары бар: Mandel белгісі, Mandel – Voigt жазбасы және Жаңа белгілер басқалары табылды. Кельвин белгісі бұл Хельбигтің қайта өрлеуі[2] ескі идеяларының Лорд Кельвин. Мұндағы айырмашылықтар тензордың таңдалған жазбаларына бекітілген белгілі бір салмақта жатыр. Номенклатура қолдану саласындағы дәстүрліге байланысты өзгеруі мүмкін.

Мысалы, 2 × 2 симметриялы тензор X тек үш ғана элементі бар, екеуі қиғашта, ал екіншісі диагональда емес. Осылайша оны вектор ретінде көрсетуге болады

.

Тағы бір мысал ретінде:

Кернеу тензоры (матрицалық жазуда) келесідей берілген

Voigt жазбасында ол 6 өлшемді векторға дейін жеңілдетілген:

Табиғаты бойынша кернеу тензорына ұқсас деформация тензоры - екеуі де екінші ретті симметриялы тензор - матрица түрінде келесі түрінде берілген

Оның Войгт белгісіндегі көрінісі

қайда , , және инженерлік ығысу штамдары болып табылады.

Стресстік және деформация үшін әр түрлі бейнелерді қолданудың пайдасы скалярлық инварианттылықта

сақталған.

Сол сияқты үш өлшемді симметриялы төртінші ретті тензорды 6 × 6 матрицасына дейін азайтуға болады.

Мнемикалық ереже

Қарапайым мнемикалық ереже Voigt жазбасын есте сақтау үшін келесідей:

  • Матрица түрінде екінші ретті тензорды жазыңыз (мысалда кернеу тензоры)
  • Диагональды сызыңыз
  • Үшінші бағанда жалғастырыңыз
  • Бірінші жол бойындағы бірінші элементке оралыңыз.

Фойгт индекстері басталу нүктесінен бастап соңына дейін дәйекті нөмірленеді (мысалда көктердегі сандар).

Voigt жазбасы Mnemonic rule.svg

Mandel белгісі

Екінші деңгейдегі симметриялы тензор үшін

тек алты компонент ерекшеленеді, үшеуі диагональ бойынша, ал қалғандары диагональдан тыс. Осылайша, оны Mandel нотациясында білдіруге болады[3], вектор ретінде

Mandel белгісінің басты артықшылығы - векторлармен қолданылатын бірдей әдеттегі амалдарды қолдануға мүмкіндік беру, мысалы:

Төрт дәрежелі симметриялы тензор және үш өлшемді кеңістіктегі 81 компоненттен тұрады, бірақ тек 36 компоненттен ерекшеленеді. Осылайша, Mandel нотациясында оны келесі түрде көрсетуге болады

Қолданбалар

Белгілеу физиктің есімімен аталады Волдемар Войгт & Джон Най (ғалым). Мысалы, жалпылама сияқты материалдарды имитациялау үшін конститутивті модельдерді қосқандағы есептеулерде пайдалы Гук заңы, Сонымен қатар ақырғы элементтерді талдау,[4] және Диффузиялық МРТ.[5]

Гук заңында 81 компонентті симметриялы төртінші реттік қаттылық тензоры бар (3 × 3 × 3 × 3), бірақ симметриялы ранг-2 тензорына осындай ранг-4 тензорын қолдану басқа симметриялы ранг-2 тензорын шығаруы керек болғандықтан, 81 элементтің барлығы дербес емес. Voigt жазбасы мұндай деңгей-4 тензорының болуына мүмкіндік береді ұсынылған 6 × 6 матрица бойынша. Алайда Войгт формасы квадраттардың қосындысын сақтамайды, олар Гук заңы жағдайында геометриялық мәнге ие болады. Бұл салмақтың не үшін енгізілетіндігін түсіндіреді (картаға түсіру үшін ан изометрия ).

Фойгт пен Манделдің жазба инварианттығын талқылауды Helnwein (2001) табуға болады.[6]

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. ^ Волдемар Войгт (1910). Lehrbuch der kristallphysik. Тубнер, Лейпциг. Алынған 29 қараша, 2016.
  2. ^ Клаус Хельбиг (1994). Сейсмиканы барлауға арналған анизотропияның негіздері. Пергамон. ISBN  0-08-037224-4.
  3. ^ Жан Мандель (1965). «WT Koiter-дің пластикаландырылуы». Қатты денелер мен құрылымдардың халықаралық журналы. 1 (3): 273–295. дои:10.1016 / 0020-7683 (65) 90034-x.
  4. ^ О.К. Зиенкевич; Р.Л.Тейлор; Дж.З. Чжу (2005). Соңғы элементтер әдісі: оның негіздері мен негіздері (6 басылым). Элсевье Баттеруорт - Гейнеманн. ISBN  978-0-7506-6431-8.
  5. ^ Махер Моахер (2009). «Диффузиялық МРТ қолдану арқылы төртінші ретті тензорлардың алгебрасы». Тензорлық өрістерді визуалдау және өңдеу. Математика және көрнекілік. Springer Berlin Heidelberg. 57–80 б. дои:10.1007/978-3-540-88378-4_4. ISBN  978-3-540-88377-7.
  6. ^ Питер Хельнвейн (16 ақпан, 2001). «Сығымдалған матрицалық екінші ретті және төртінші ретті тензорлардың симметриялы көрінісі туралы кейбір ескертулер». Қолданбалы механика мен техникадағы компьютерлік әдістер. 190 (22–23): 2753–2770. Бибкод:2001CMAME.190.2753H. дои:10.1016 / s0045-7825 (00) 00263-2.

Сондай-ақ қараңыз