Аралас тензор - Mixed tensor

Жылы тензорлық талдау, а аралас тензор Бұл тензор бұл қатаң емес ковариант қатаң емес қарама-қайшы; аралас тензор индексінің ең болмағанда біреуі индекс болады (ковариант), ал индекстердің ең болмағанда біреуі астыңғы жазба (контрравиант) болады.

Аралас тензор түрі немесе валенттілік , сондай-ақ жазылған «түрі (М, N) «, екеуімен бірге М > 0 және N > 0, ол тензор болып табылады М қарсы көрсеткіштер және N ковариантты индекстер. Мұндай тензорды а деп анықтауға болады сызықтық функция картаны (М + N) М бір формалы және N векторлар а скаляр.

Тензор түрін өзгерту

Байланысты тензорлардың келесі октетін қарастырайық:

.

Біріншісі ковариантты, соңғысы қарсы, ал қалғандары аралас. Бұл тензорлар бір-бірінен индекстерінің ковариаттылығымен / қарама-қайшылықтылығымен ерекшеленеді. Тензордың берілген қарама-қайшы индексін метрикалық тензор жμν, және берілген ковариантты индексті кері метрикалық тензор көмегімен көтеруге болады жμν. Осылайша, жμν деп атауға болады индексті төмендету операторы және жμν The индексті көтеру операторы.

Әдетте, типтегі тензормен жиырылған ковариантты метрикалық тензор (М, N), тензор түрін шығарады (М − 1, N + 1), ал керісінше керісінше, тензор түрімен қысқарған (М, N), тензор түрін шығарады (М + 1, N − 1).

Мысалдар

Мысал ретінде (1, 2) типті аралас тензорды (0, 3) типті ковариантты тензор индексін көтеру арқылы алуға болады,

,

қайда тең тензор болып табылады , өйткені

,

Кронеккермен бірге δ мұнда сәйкестендіру матрицасы сияқты әрекет ету.

Сияқты,

Метрикалық тензор индексін жоғарылату оны кері және контрактіге келтіруге тең Kronecker атырауы,

,

сондықтан метрикалық тензордың кез-келген аралас нұсқасы Kronecker атырауына тең болады, ол да араласады.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  • DC Кей (1988). Тензор есебі. Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ). ISBN  0-07-033484-6.
  • Уилер, Дж .; Миснер, С .; Торн, К.С. (1973). «§3.5 Тензормен жұмыс». Гравитация. В.Х. Freeman & Co. 85-86 бет. ISBN  0-7167-0344-0.
  • R. Penrose (2007). Ақиқатқа апаратын жол. Винтажды кітаптар. ISBN  0-679-77631-1.

Сыртқы сілтемелер