Ricci қисықтығы - Ricci curvature

Жылы дифференциалды геометрия, Ricci қисықтық тензоры, атындағы Грегорио Риччи-Кербастро, таңдауымен анықталатын геометриялық объект Риманниан немесе жалған-римандық метрика үстінде көпжақты. Оны кеңінен, берілген метрикалық тензор геометриясының жергіліктідан қарапайымнан гөрі айырмашылығы дәрежесі ретінде қарастыруға болады. Евклид кеңістігі немесе жалған евклид кеңістігі.

Ricci тензоры бойымен қозғалған кезде пішіннің қалай деформацияланатынын өлшеумен сипатталуы мүмкін геодезия кеңістікте. Жылы жалпы салыстырмалылық бұл жалған-римандық параметрді қамтиды, бұл Ricci тензорының қатысуымен көрінеді Райчаудхури теңдеуі. Ішінара осы себепті Эйнштейн өрісінің теңдеулері ғарыш уақытын Риччи тензоры мен ғаламның материялық мазмұны арасындағы таңқаларлық қарапайым қатынаспен псевдо-риман метрикасы арқылы сипаттауға болады.

Метрикалық тензор сияқты, Ricci тензоры да әрқайсысына тағайындайды жанасу кеңістігі а симметриялы белгісіз форма (Бесс 1987 ж, б. 43)^[1] Жалпы, Риман геометриясындағы Риччи қисаюының рөлін геометриямен салыстыруға болады Лаплациан функцияларды талдау кезінде; осы ұқсастықта Риманның қисықтық тензоры, оның ішіндегі Ricci қисаюы табиғи қосымша өнім функцияның екінші туындыларының толық матрицасына сәйкес келеді. Алайда, бар басқа жолдар сол ұқсастықты жасау.

Жылы үш өлшемді топология, Ricci тензоры барлық өлшемдерді қамтиды, олар үлкен өлшемдермен күрделенген Риманның қисықтық тензоры. Ішінара бұл қарапайымдылық көптеген геометриялық және аналитикалық құралдарды қолдануға мүмкіндік береді, бұл әкелді Пуанкаре болжамының шешімі жұмысы арқылы Ричард С. Хэмилтон және Григорий Перельман.

Дифференциалды геометрияда Риеманн коллекторындағы Риччи тензорының төменгі шектері глобалды геометриялық және топологиялық ақпаратты салыстыру арқылы алуға мүмкіндік береді (қар. салыстыру теоремасы ) тұрақты қисықтық геометриясымен кеңістік формасы. Себебі Риччи тензорының төменгі шектерін Риман геометриясындағы функционалды ұзындығын зерттеуде сәтті қолдануға болады, мұны алғаш рет 1941 ж. Көрсетілген. Майерс теоремасы.

Ricci тензорының ортақ бір көзі - бұл ковариант туындысын тензор Лаплацианмен ауыстырған сайын пайда болады. Мысалы, бұл оның қатысуын түсіндіреді Бохнер формуласы, ол барлық жерде Риман геометриясында қолданылады. Мысалы, бұл формула градиенттің неге байланысты болатындығын түсіндіреді Shing-Tung Yau (және олардың дамуы, мысалы Ченг-Яу және Ли-Яу теңсіздіктері) әрдайым Риччи қисаюының төменгі шекарасына тәуелді.

2007 жылы, Джон Лотт, Карл-Теодор Штурм, және Седрик Виллани Риччидің қисаюының төменгі шекараларын Риман коллекторының көлемдік формасымен бірге метрикалық кеңістік құрылымы тұрғысынан толық түсінуге болатындығын нақты көрсетті. Бұл Ricci қисықтығы мен арасында терең байланыс орнатты Вассерштейн геометриясы және оңтайлы көлік, қазіргі кезде көп зерттеудің тақырыбы болып табылады.

Анықтама

Мұндағы бірінші бөлім сызықтық алгебраға және көп айнымалы есептеулерге ыңғайлы оқырмандарға арналған Ricci тензорының анықтамасының белгісі ретінде берілген. Кейінгі бөлімдерде неғұрлым жетілдірілген терминология қолданылады.

Кіріспе және жергілікті анықтама

Келіңіздер U ашық ішкі бөлігі болуы ℝⁿжәне сандардың әр жұбы үшін мен және j 1 мен аралығында n, рұқсат етіңіз ж_иж : U → ℝ әрқайсысы үшін шартты ескере отырып, тегіс функция болыңыз б жылы U, матрица

${ displaystyle { begin {pmatrix} g_ {11} (p) & cdots & g_ {1n} (p) vdots & ddots & vdots g_ {n1} (p) & cdots & g_ { nn} (p) end {pmatrix}}}$

болып табылады симметриялы және төңкерілетін. Әрқайсысы үшін мен және j 1 мен аралығында n, функцияларды анықтаңыз ж^иж : U → ℝ және R_иж : U → ℝ келесі жолмен: әрқайсысы үшін б жылы U, болсын n × n матрица [ж^иж(б)] жоғарыдағы матрицаның кері болуы [ж_иж(б)]. Функциялар R_иж келесі формулалармен айқын анықталады:

${ displaystyle { begin {aligned} R_ {ij} & = - { frac {1} {2}} sum _ {a, b = 1} ^ {n} { Big (} { frac {) жартылай ^ {2} g_ {ij}} { жартылай x ^ {a} жартылай x ^ {b}}} + { frac { жартылай ^ {2} g_ {ab}} { жартылай x ^ {i } жартылай x ^ {j}}} - { frac { жартылай ^ {2} g_ {ib}} { жартылай x ^ {j} жартылай x ^ {a}}} - { frac { жартылай ^ {2} g_ {jb}} { жартылай x ^ {i} жартылай x ^ {a}}} { Үлкен)} g ^ {ab} & qquad + { frac {1} {2 }} sum _ {a, b, c, d = 1} ^ {n} { Үлкен (} { frac {1} {2}} { frac { жартылай g_ {ac}} { бөлшек х ^ {i}}} { frac { ішінара g_ {bd}} { жартылай x ^ {j}}} + { frac { жартылай g_ {ic}} { жартылай x ^ {a}}} { frac { жартылай g_ {jd}} { жартылай x ^ {b}}} - { frac { жартылай g_ {ic}} { жартылай x ^ {a}}} { frac { жартылай g_ { jb}} { ішінара x ^ {d}}} { Үлкен)} g ^ {ab} g ^ {cd} & qquad - { frac {1} {4}} sum _ {a, b, c, d = 1} ^ {n} { Үлкен (} { frac { жартылай g_ {jc}} { жартылай x ^ {i}}} + { frac { жартылай g_ {ic}} { жартылай x ^ {j}}} - { frac { жартылай g_ {ij}} { жартылай x ^ {c}}} { Үлкен)} { Үлкен (} 2 { frac { жартылай g_ {bd}} { жартылай x ^ {a}}} - { frac { жартылай g_ {ab}} { жартылай x ^ {d}}} { Үлкен)} g ^ {ab} g ^ {cd }. end {aligned}}}$

Бұл формуланы тексеруден тікелей көруге болады R_иж тең болуы керек R_джи кез келген үшін мен және j. Сондықтан функцияларды көруге болады R_иж кез-келген нүктеге байланыстырушы ретінде б туралы U симметриялы n × n матрица. Бұл матрица бойынша бағаланған карта U деп аталады Ricci қисықтығы функцияларды жинауға байланысты ж_иж.

Риччидің қисаюын анықтауда интуитивті немесе табиғи ештеңе жоқ. Ол келесі тамаша қасиеттерді қанағаттандырғандықтан ғана зерттеу объектісі ретінде бөлінеді. Келіңіздер V ⊂ ℝⁿ тағы бір ашық жиынтық болыңыз және рұқсат етіңіз ж : V → U тегіс карта болыңыз бірінші туындылардың матрицасы

${ displaystyle J (q) = { begin {pmatrix} D_ {1} y ^ {1} (q) & cdots & D_ {n} y ^ {1} (q) vdots & ddots & vdots D_ {1} y ^ {n} (q) & cdots & D_ {n} y ^ {n} (q) end {pmatrix}}}$

кез келген таңдау үшін аударылады q ∈ V. Анықтаңыз ж_иж : V → ℝ матрица көбейтіндісі бойынша

${ displaystyle { begin {pmatrix} { overline {g}} _ {11} (q) & cdots & { overline {g}} _ {1n} (q) vdots & ddots & vdots { overline {g}} _ {n1} (q) & cdots & { overline {g}} _ {nn} (q) end {pmatrix}} = J (q) ^ { text {T}} { begin {pmatrix} g_ {11} (y (q)) & cdots & g_ {1n} (y (q)) vdots & ddots & vdots g_ {n1} ( y (q)) & cdots & g_ {nn} (y (q)) end {pmatrix}} J (q).}$

Өнім ережесі мен тізбек ережесін қолдана отырып, функциялар жиынтығының Ricci қисықтығы арасындағы келесі байланысты есептеуге болады. ж_иж және функциялар жиынтығының Ricci қисықтығы ж_иж: кез келген үшін q жылы V, біреуінде бар

${ displaystyle { begin {pmatrix} { overline {R}} _ {11} (q) & cdots & { overline {R}} _ {1n} (q) vdots & ddots & vdots { overline {R}} _ {n1} (q) & cdots & { overline {R}} _ {nn} (q) end {pmatrix}} = J (q) ^ { text {T}} { begin {pmatrix} R_ {11} (y (q)) & cdots & R_ {1n} (y (q)) vdots & ddots & vdots R_ {n1} ( y (q)) & cdots & R_ {nn} (y (q)) end {pmatrix}} J (q)}$

Бұл өте күтпеген жағдай, өйткені анықтайтын формуланы тікелей қосады ж_иж анықтайтын формулаға R_иж, біреудің үшінші туындыларын қарастыруға тура келетінін көреді ж, анықтаманың алғашқы төрт терминіндегі екінші туындылар туындайды R_иж компоненттері бойынша әрекет ету Дж. Риччи қисаюының анықтамасын қамтитын бірінші туындылардың, екінші туындылардың және инверсиялардың таңқаларлық жиынтығы керемет түрде жасалған, сондықтан бұл барлық жоғары туындылар ж күшін жояды, ал жоғарыда келтірілген матрицалық формула жоғарыда келтірілген R_иж және R_иж. Терминдердің күшін жою матрицалық формуламен байланысты болатыны одан да таңқаларлық R_иж дейін R_иж матрицалық формуламен бірдей ж_иж дейін ж_иж.

Кейбір күрделі терминологияны қолдана отырып, Риччи қисықтығының анықтамасын былай тұжырымдауға болады:

Келіңіздер U ашық ішкі бөлігі болуы ℝⁿ. Біркелкі картаға түсірілген ж қосулы U ол қайтымды симметрия кеңістігінде бағаланады n × n матрицаларды анықтауға болады (компоненттерінің әртүрлі ішінара туындыларын қамтитын күрделі формула бойынша ж) Ricci қисықтығы ж тегіс картаға айналдыру үшін U симметриялы кеңістікке n × n матрицалар.

Риччидің қисаюының керемет және күтпеген қасиетін былай қорытындылауға болады:

Келіңіздер Дж диффеоморфизмнің якобиялық матрицасын белгілеңіз ж басқа ашық жиынтықтан V дейін U. Матрица көбейтіндісімен берілген матрица-функциясының Ricci қисықтығы Дж^Т(ж∘ж)Дж матрица көбейтіндісі арқылы беріледі Дж^Т(R∘ж)Дж, қайда R Ricci қисықтығын білдіреді ж.

Математикада бұл қасиет Риччи қисықтығы «тензорлық шама» деп аталады және Ricci қисықтығын анықтайтын формуланы белгілейді, бірақ ол күрделі болуы мүмкін, бірақ егер ол өте маңызды болса, дифференциалды геометрия.^[2] Физикалық тұрғыдан алғанда бұл қасиет «жалпы коварианс «және бұл Альберт Эйнштейн формуланы анықтайтын формуланы пайдаланудың басты себебі R_иж тұжырымдау кезінде жалпы салыстырмалылық. Бұл тұрғыда картаны таңдау мүмкіндігі ж анықтамалық кадрлар арасында таңдау мүмкіндігі; Риччи қисаюының «күтпеген қасиеті» - физика теңдеулері санақ жүйесіне тәуелді емес деген кең қағиданың көрінісі.

Бұл тұрғысынан қарастырылады дифференциалданатын коллекторлар келесі ішкі бөлімде, бірақ оның мазмұны іс жүзінде осы ішкі бөліммен бірдей.

Тегіс коллектордағы жергілікті координаттар арқылы анықтама

Келіңіздер (М, ж) тегіс риман немесе псевдо-риман болыңыз n-көпқабатты. Тегіс диаграмма берілген (U, ) біреуінің функциялары бар ж_иж : (U) → ℝ және ж^иж : (U) → ℝ әрқайсысы үшін мен және j 1 мен аралығында n қанағаттандыратын

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} (x) g_ {kj} (x) = { begin {case} 1 & i = j 0 & i neq j end {case }}}$

барлығына х жылы (U). Функциялар ж_иж бағалау арқылы анықталады ж функциялары, ал координаталық векторлық өрістерде ж^иж матрицалық функция ретінде матрицалық функцияға кері мән беретін етіп анықталған х ↦ ж_иж(х).

Енді әрқайсысы үшін анықтаңыз а, б, c, мен, және j 1 мен аралығында n, функциялары

${ displaystyle { begin {aligned} Gamma _ {ab} ^ {c} & = { frac {1} {2}} sum _ {d = 1} ^ {n} { Big (} { frac { ішінара g_ {bd}} { жартылай x ^ {a}}} + { frac { жартылай g_ {ad}} { жартылай x ^ {b}}} - { frac { жартылай g_ { ab}} { ішінара x ^ {d}}} { Үлкен)} g ^ {cd} R_ {ij} & = sum _ {a = 1} ^ {n} { frac { partial Гамма _ {ij} ^ {a}} { ішінара x ^ {a}}} - sum _ {a = 1} ^ {n} { frac { ішінара Gamma _ {aj} ^ {a}} { x x {i}}} + sum _ {a = 1} ^ {n} sum _ {b = 1} ^ {n} { Big (} Gamma _ {ab} ^ {a} Gamma _ {ij} ^ {b} - Gamma _ {ib} ^ {a} Gamma _ {aj} ^ {b} { Big)} end {aligned}}}$

карталар ретінде (U) → ℝ.

Енді рұқсат етіңіз (U, ) және (V, ψ) ол үшін екі тегіс диаграмма болыңыз U және V бос емес қиылысы бар. Келіңіздер R_иж : (U) → ℝ диаграмма арқылы жоғарыдағыдай есептелген функциялар (U, ) және рұқсат етіңіз р_иж : ψ (V) → ℝ диаграмма арқылы жоғарыдағыдай есептелген функциялар (V, ψ). Содан кейін тізбек ережесімен және өнім ережесімен есептеу арқылы тексеруге болады

${ displaystyle R_ {ij} (x) = sum _ {k, l = 1} ^ {n} r_ {kl} { Big (} psi circ varphi ^ {- 1} (x) { Үлкен)} D_ {i} { Big |} _ {x} ( psi circ varphi ^ {- 1}) ^ {k} D_ {j} { Big |} _ {x} ( psi ) Circ varphi ^ {- 1}) ^ {l}.}$

Бұл келесі анықтаманың таңдауына тәуелді еместігін көрсетеді (U, ). Кез келген үшін б жылы U, анықталған картаны анықтаңыз Рик_б : Т_бМ × Т_бМ → ℝ арқылы

${ displaystyle operatorname {Ric} _ {p} (X, Y) = sum _ {i, j = 1} ^ {n} R_ {ij} ( varphi (x)) X ^ {i} (p) ) Y ^ {j} (p),}$

қайда X¹, ..., Xⁿ және Y¹, ..., Yⁿ компоненттері болып табылады X және Y координаталық векторлық өрістерге қатысты (U, ).

Жоғарыдағы ресми презентацияны келесі стильде қысқарту әдеттегідей:

Келіңіздер М тегіс коллектор болып, рұқсат етіңіз ж римандық немесе псевдо-риманалық метрика. Жергілікті тегіс координаттарда Christoffel белгілерін анықтаңыз

${ displaystyle { begin {aligned} Gamma _ {ij} ^ {k} & = { frac {1} {2}} g ^ {kl} ( qismer _ {i} g_ {jl} + ішінара _ {j} g_ {il} - ішінара _ {l} g_ {ij}) R_ {jk} & = жартылай _ {i} Гамма _ {jk} ^ {i} - жартылай _ {j } Gamma _ {ik} ^ {i} + Gamma _ {ip} ^ {i} Gamma _ {jk} ^ {p} - Gamma _ {jp} ^ {i} Gamma _ {ik} ^ {p}. end {aligned}}}$

Мұны тікелей тексеруге болады

${ displaystyle R_ {jk} = { widetilde {R}} _ {ab} { frac { partional { widetilde {x}} ^ {a}} { ішінара x ^ {j}}} { frac { жарым-жартылай { видвильде {x}} ^ {b}} { жартылай x ^ {k}}},}$

сондай-ақ R_иж (0,2) -тензорлық өрісті анықтаңыз М. Атап айтқанда, егер X және Y векторлық өрістер М онда кез-келген тегіс координаттарға қатысты

${ displaystyle R_ {jk} X ^ {j} Y ^ {k} = { Big (} { widetilde {R}} _ {ab} { frac { partional { widetilde {x}} ^ {a }} { жартылай x ^ {j}}} { frac { жартылай { видетильда {x}} ^ {b}} { жартылай x ^ {k}}} { Big)} { Big (} { widetilde {X}} ^ {c} { frac { partial x ^ {j}} { partional { widetilde {x}} ^ {c}}} { Big)} { Big (} { видетильда {Y}} ^ {d} { frac { жартылай x ^ {k}} { жартылай { видетильда {x}} ^ {d}}} { Үлкен)} = { видвильде {R} } _ {ab} { widetilde {X}} ^ {c} { widetilde {Y}} ^ {d} { Big (} { frac { partional { widetilde {x}} ^ {a}} { x x {{j}}} { frac { жартылай x ^ {j}} { жартылай { видетильда {x}} ^ {c}}} { Big)} { Big (} { frac { жарым-жартылай { виджетильда {x}} ^ {b}} { жартылай x ^ {k}}} { frac { жартылай x ^ {k}} { жартылай { видвильде {x}} ^ { d}}} { Big)} = { widetilde {R}} _ {ab} { widetilde {X}} ^ {c} { widetilde {Y}} ^ {d} delta _ {c} ^ {a} delta _ {d} ^ {b} = { widetilde {R}} _ {ab} { widetilde {X}} ^ {a} { widetilde {Y}} ^ {b}.}$

Соңғы сызыққа сызықтық картаның нақты анықталғанын көрсетуге болады, оны формальды емес белгілермен жазу оңайырақ.

Векторлық өрістерді дифференциалдау арқылы анықтау

Айталық (М, ж) болып табылады n-өлшемді Риманниан немесе жалған-риманналық коллектор, онымен жабдықталған Levi-Civita байланысы ∇. The Риманның қисаюы туралы М бұл тегіс векторлық өрістерді алатын карта X, Y, және З, және векторлық өрісті қайтарады

${ displaystyle R (X, Y) Z = nabla _ {X} nabla _ {Y} Z- nabla _ {Y} nabla _ {X} Z- nabla _ {[X, Y]} Z }$

қосулы векторлық өрістер X, Y, З. Бұл картографияның шешуші қасиеті мынада: X, Y, З және X ', Y ', және Z ' тегіс векторлық өрістер болып табылады X және X ' жанас кеңістіктің бірдей элементін анықтаңыз Т_бМ, және Y және Y ' -ның бірдей элементін анықтаңыз Т_бМ, және З және Z ' -ның бірдей элементін анықтаңыз Т_бМ, содан кейін векторлық өрістер R(X,Y)З және R(X′,Y′)З′ -ның бірдей элементін анықтаңыз Т_бМ.

Бұдан шығатын қорытынды - виекторлық өріс кірістері мен векторлық өрістің шығуы бар априорлық картаны құрайтын Риманның қисықтығы, шын мәнінде жанама векторлық кірістермен және жанамалы векторлармен картаға түсіруге болады. Яғни, бұл әрқайсысы үшін анықтайды б жылы М (көп сызықты) карта

${ displaystyle operatorname {Rm} _ {p}: T_ {p} M times T_ {p} M times T_ {p} M to T_ {p} M.}$

Әрқайсысы үшін анықтаңыз б жылы М карта ${ displaystyle operatorname {Ric} _ {p}: T_ {p} M times T_ {p} M to mathbb {R}}$ арқылы

${ displaystyle operatorname {Ric} _ {p} (Y, Z) = operatorname {tr} { big (} X mapsto operatorname {Rm} _ {p} (X, Y, Z) { big )}.}$

Яғни, түзету Y және З, содан кейін кез-келген негізде v₁, ..., v_n векторлық кеңістіктің Т_бМ, біреуін анықтайды

${ displaystyle operatorname {Ric} _ {p} (Y, Z) = sum _ {i = 1} c_ {ii}}$

кез келген үшін мен сандар c_мен1, ..., c_жылы координаттары болып табылады Rm_б(v_мен,Y,З) негізге қатысты v₁, ..., v_n. Бұл анықтаманың негізді таңдауға тәуелді еместігін тексеру (көп) сызықтық алгебраның стандартты жаттығуы v₁, ..., v_n.

Конвенцияларға қол қойыңыз. Кейбір дереккөздер анықтайтынын ескеріңіз ${ displaystyle R (X, Y) Z}$ мұнда қандай атау болар еді ${ displaystyle -R (X, Y) Z;}$ содан кейін олар анықтайтын еді ${ displaystyle operatorname {Ric}}$ сияқты ${ displaystyle - operatorname {tr} (X mapsto operatorname {Rm} _ {p} (X, Y, Z)).}$ Риман тензоры туралы белгілердің келісімдері әр түрлі болғанымен, олар Риччи тензоры бойынша ерекшеленбейді.

Анықтамаларды салыстыру

Жоғарыдағы екі анықтама бірдей. Анықтайтын формулалар ${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k}}$ және ${ displaystyle R_ {ij}}$ координаталық тәсілде Леви-Сивита байланысын анықтайтын формулаларда және Леви-Сивита байланысы арқылы Риманның қисықтығына параллель сәйкес келеді. Сөзсіз, жергілікті координаттарды тікелей қолданатын анықтамалар қолайлы, өйткені жоғарыда аталған Риман тензорының «шешуші қасиеті» қажет ${ displaystyle M}$ өткізу үшін Хаусдорф болу керек. Керісінше, жергілікті координаттар тәсілі тек тегіс атласты қажет етеді. Сондай-ақ, жергілікті тәсілдің негізінде жатқан «инварианттық» философияны неғұрлым экзотикалық геометриялық нысандарды тұрғызу әдістерімен байланыстыру оңайырақ. спинорлық өрістер.

Сондай-ақ, күрделі формуланы анықтайтындығын ескеріңіз ${ displaystyle R_ {ij}}$ кіріспе бөлімінде келесі бөлімдегімен бірдей. Жалғыз айырмашылық - терминдер топтастырылған, сондықтан оны түсіну оңай ${ displaystyle R_ {ij} = R_ {ji}.}$

Қасиеттері

Көріп отырғанымыздай Бианки сәйкестілігі, Риманн коллекторының Ricci тензоры болып табылады симметриялы деген мағынада

${ displaystyle operatorname {Ric} (X, Y) = operatorname {Ric} (Y, X)}$

барлығына ${ displaystyle X, Y in T_ {p} M.}$ Осылайша, сызықтық-алгебралық түрде Ricci тензоры шаманы білу арқылы толығымен анықталатындығы туындайды Рик (X,X) барлық векторлар үшін X бірлік ұзындығы. Бұл жанама векторлар жиынтығындағы функцияны көбінесе Риччи қисықтығы деп те атайды, өйткені оны білу Ricci қисықтық тензорын білумен пара-пар.

Ricci қисықтығы анықталады қисықтық қисықтықтары Riemannian коллекторы, бірақ әдетте аз ақпараттан тұрады. Шынында да, егер ξ Риманндағы бірлік ұзындығының векторы n- көп есе, содан кейін Рик (ξ,ξ) дәл (n − 1) Құрамында 2-жазықтық бар болатын секциялық қисықтықтың орташа мәнінен есе артық ξ. Бар (n − 2)- осындай 2-жазықтықтың өлшемді отбасы, сондықтан тек 2 және 3 өлшемдерінде Ricci тензоры толық қисықтық тензорын анықтайды. Ерекше ерекшелік - коллекторға a ретінде априори берілгенде беткі қабат туралы Евклид кеңістігі. The екінші іргелі форма, арқылы толық қисықтық анықталады Гаусс-Кодацци теңдеуі, өзі Ricci тензоры және негізгі бағыттар сонымен қатар, гипер бетінің жеке сәйкестендіру Ricci тензоры. Ренчи тензорды осы себепті енгізген.

Бианкидің екінші ерекшелігінен көрініп тұрғандай, бар

${ displaystyle operatorname {div} operatorname {Ric} = { frac {1} {2}} dR,}$

қайда ${ displaystyle R}$ болып табылады скалярлық қисықтық, жергілікті координаттарда анықталған ${ displaystyle g ^ {ij} R_ {ij}.}$ Бұл жиі келісімшарт бойынша екінші Бианки сәйкестілігі деп аталады.

Ресми емес қасиеттер

Ricci қисықтығы кейде (теріс еселігі) ретінде қарастырылады Лаплациан метрикалық тензордың (Chow & Knopf 2004 ж, Лемма 3.32) harv қатесі: мақсат жоқ: CITEREFChowKnopf2004 (Көмектесіңдер). Нақтырақ айтқанда гармоникалық компоненттер қанағаттандыратын жергілікті координаттар

${ displaystyle R_ {ij} = - { tfrac {1} {2}} Delta left (g_ {ij} right) + { text {төменгі ретті шарттар}},}$

қайда ${ displaystyle Delta = nabla cdot nabla}$ болып табылады Laplace - Beltrami операторы, бұл жерде жергілікті функцияларға сәйкес әрекет ету ретінде қарастырылады ж_иж. Бұл факт, мысалы, енгізуге түрткі болады Ricci ағыны теңдеуі табиғи кеңейту ретінде жылу теңдеуі метрика үшін. Сонымен қатар, а қалыпты координаттар жүйесі негізделген б, нүктесінде б

${ displaystyle R_ {ij} = - { tfrac {2} {3}} Delta сол (g_ {ij} оң).}$

Тікелей геометриялық мағына

Кез-келген нүктеге жақын б Риманн коллекторында (М,ж)деп аталатын таңдаулы жергілікті координаттарды анықтауға болады геодезиялық қалыпты координаттар. Олар геодезия арқылы метрикаға бейімделген б геодезиялық арақашықтыққа сәйкес келетін шығу тегі бойынша түзулерге сәйкес келеді б шығу тегінен эвклидтік қашықтыққа сәйкес келеді. Бұл координаттарда метрикалық тензор Евклид метрикасымен жақсы жақындатылған, дәл мағынасында

${ displaystyle g_ {ij} = delta _ {ij} + O left (| x | ^ {2} right).}$

Шындығында, қабылдау арқылы Тейлордың кеңеюі метриканың а Якоби өрісі қалыпты координаттар жүйесінде радиалды геодезия бойында бар

${ displaystyle g_ {ij} = delta _ {ij} - { tfrac {1} {3}} R_ {ikjl} x ^ {k} x ^ {l} + O left (| x | ^ {3 } оң).}$

Бұл координаттарда метрика көлем элементі онда келесі кеңею бар б:

${ displaystyle d mu _ {g} = left [1 - { tfrac {1} {6}} R_ {jk} x ^ {j} x ^ {k} + O left (| x | ^ { 3} оң) оң] d mu _ { rm {Евклид}},}$

ол квадрат түбірін кеңейту арқылы жүреді анықтауыш метриканың

Осылайша, егер Риччи қисықтық болса Рик (ξ,ξ) векторының бағыты бойынша оң болады ξ, конустық аймақ М ұзындықтағы геодезиялық сегменттердің тығыз фокустық жанұясымен жойылды ${ displaystyle varepsilon}$ шыққан б, шамамен кішкене конустың ішіндегі бастапқы жылдамдықпен ξ, ең болмағанда, эвклид кеңістігіндегі сәйкес конустық аймаққа қарағанда аз көлемге ие болады ${ displaystyle varepsilon}$ жеткілікті аз. Сол сияқты, егер Риччи қисықтығы берілген вектордың бағытында теріс болса ξ, коллектордағы мұндай конустық аймақ орнына эвлид кеңістігіндегіден үлкен көлемге ие болады.

Ricci қисықтығы - бұл жазықтықтағы қисықтықтардың орташа мәні ξ. Осылайша, егер бастапқыда дөңгелек (немесе сфералық) көлденең қимасы бар конус эллипске айналса (эллипсоид ), егер көлемінің бұрмалануы жоғалып кетуі мүмкін, егер бойынша бұрмаланулар болса негізгі осьтер бір-біріне қарсы тұру. Риччидің қисаюы жоғалады ξ. Физикалық қосымшаларда легирленбейтін қиманың қисаюының болуы жергілікті жерде қандай да бір массаның болуын білдірмейді; егер бастапқыда конустың дөңгелек қимасы болса әлем сызықтары кейінірек көлемін өзгертпестен эллипс тәрізді болады, демек бұл басқа жерде орналасқан массаның тыныс алу әсеріне байланысты.

Қолданбалар

Ricci қисықтық маңызды рөл атқарады жалпы салыстырмалылық, мұндағы негізгі термин Эйнштейн өрісінің теңдеулері.

Ricci қисықтығы да пайда болады Ricci ағыны геометриялық анықталған дербес дифференциалдық теңдеудің шешімдері ретінде Риман метриясының белгілі бір параметрлі отбасылары бөлінетін теңдеу. Бұл теңдеулер жүйесін геометриялық аналогы ретінде қарастыруға болады жылу теңдеуі, және алғаш енгізілген Ричард С. Хэмилтон 1982 жылы. Дене тұрақты температура тепе-теңдік күйіне жеткенше жылу қатты денеге таралуға бейім болғандықтан, егер оған коллектор берілсе, онда Риччи ағыны «тепе-теңдік» Риман метрикасын шығарады деп үміттене алады. Эйнштейн немесе тұрақты қисықтық. Алайда, мұндай таза «конвергенция» көрінісіне қол жеткізу мүмкін емес, өйткені көптеген коллекторлар көптеген көрсеткіштерді қолдай алмайды. Риччи ағынының табиғатын егжей-тегжейлі зерттеу, негізінен Гамильтон және Григори Перелман, конвергенцияның сәтсіздігіне сәйкес келетін Риччи ағыны бойында пайда болатын «сингулярлықтың» түрлері 3 өлшемді топология туралы терең ақпаратты кодтайтындығын көрсетеді. Бұл жұмыстың шарықтау шегі оның дәлелі болды геометрия гипотезасы бірінші ұсынған Уильям Терстон ықшам 3-коллекторлы классификациясы ретінде қарастыруға болатын 1970 ж.

Үстінде Kähler коллекторы, Ricci қисықтығы біріншісін анықтайды Черн сыныбы коллектордың (модальды бұралу). Алайда, Риччи қисықтығының жалпы Риманн коллекторында аналогиялық топологиялық интерпретациясы жоқ.

Жаһандық геометрия және топология

Мұнда Ricci қисықтығы бар коллекторларға қатысты ғаламдық нәтижелердің қысқаша тізімі келтірілген; қараңыз Риман геометриясының классикалық теоремалары. Қысқаша түрде, Риман коллекторының оң Ricci қисаюы күшті топологиялық зардаптарға ие, ал (кем дегенде 3 өлшемі үшін) теріс Ricci қисықтығы жоқ топологиялық салдары. (Ricci қисықтығы айтылады оң егер Ricci қисықтық функциясы Рик (ξ,ξ) нөлдік емес жанамалы векторлар жиынтығында оң болады ξ.) Кейбір нәтижелер жалған-римандық коллекторлар үшін де белгілі.

1. Майерс теоремасы (1941) егер Риччи қисықтығы төменнен толық Риманмен шектелген болса дейді n-қарап (n − 1)к > 0, содан кейін коллектордың диаметрі болады ≤ π/√к. Ғарыштық дәлел бойынша, Ricci қисаюының кез келген ықшам коллекторы ақырлы болуы керек іргелі топ. Ченг (1975) бұл жағдайда диаметрдің теңсіздігінде теңдік тек коллектор болған жағдайда болатындығын көрсетті изометриялық тұрақты қисықтық сферасына к.
2. The Епископ-Громов теңсіздігі егер толық болса n- өлшемді Риман коллекторы теріс емес Риччи қисықтығына ие, сонда геодезиялық шардың көлемі Евклидтегі бірдей радиустың геодезиялық шарының көлемінен аз немесе оған тең. n-ғарыш. Сонымен қатар, егер v_б(R) шардың көлемін центрмен көрсетеді б және радиус R коллекторда және V(R) = c_nRⁿ радиус шарының көлемін білдіреді R Евклидте n-функция, содан кейін функция v_б(R)/V(R) арттырылмайды. Мұны Ricci қисықтығының кез-келген төменгі шекарасына дейін жалпылауға болады (тек теріс емес) және дәлелдеудің негізгі мәні болып табылады Громовтың ықшамдылық теоремасы.)
3. Чигер-Громоль бөлу теоремасы егер толық Риманн коллекторы болса (М, ж) бірге Рик ≥ 0 құрамында а түзу, геодезиялық мағынаны білдіреді ${ displaystyle gamma: mathbb {R} бастап M}$ осындай г.(γ(сен),γ(v)) = |сен − v| барлығына сен, v ∈ ℝ, содан кейін өнім кеңістігіне изометриялық болып табылады ℝ × L. Демек, Ricci қисаюының толық манифолды ең көп дегенде бір топологиялық аяғына ие болуы мүмкін. Теорема аяқтауға арналған кейбір қосымша гипотезалар бойынша да шынайы Лоренций коллекторлары (метрикалық қолтаңба (+ − − ...)) теріс емес Ricci тензорымен (Гэллоуэй 2000 ).
4. Гамильтон бірінші конвергенция теоремасы Риччи ағыны, қорытындысы бойынша, оң Ricci қисықтықының римандық метрикасына ие жалғыз жинақты 3-коллекторлар болып табылады, олар 3-сфераның дискретті кіші топтары бойынша квоент (SO) (4), олар үзіліссіз жұмыс істейді. Кейін ол мұны теріс емес Риччидің қисаюына мүмкіндік беру үшін кеңейтті. Атап айтқанда, жай ғана жалғанған мүмкіндік - бұл 3 сфераның өзі.

Бұл нәтижелер, әсіресе Майерс пен Гамильтонның нәтижелері, оң Риччидің қисаюы күшті топологиялық салдарға әкелетінін көрсетеді. Керісінше, беткейлер жағдайын қоспағанда, теріс Ricci қисаюы қазір белгілі болды жоқ топологиялық салдары; Лохкамп (1994) екіден үлкен өлшемдердің кез келген коллекторы теріс Риччи қисаюының толық римандық метрикасын қабылдайтынын көрсетті. Екі өлшемді коллекторлы жағдайда, Риччи қисаюының негативтілігі Гаусс қисығының негативтілігімен синоним болып табылады, ол өте айқын топологиялық салдары. Теріс Гаусстық қисықтықтың Риман метрикасын қабылдамайтын екі өлшемді коллекторлар өте аз.

Конформалды қалпына келтіру кезіндегі тәртіп

Егер метрика болса ж оны конформальды факторға көбейту арқылы өзгертіледі e^2f, жаңа, конформды түрде байланысты метриканың Ricci тензоры g̃ = e^2fж берілген (Бесс 1987 ж, б. 59)

${ displaystyle { widetilde { operatorname {Ric}}} = operatorname {Ric} + (2-n) left [ nabla df-df otimes df right] + left [ Delta f- (n -2) | df | ^ {2} оң] g,}$

қайда Δ = г.*г. бұл (оң спектр) Ходж Лаплациан, яғни қарама-қарсы кәдімгі Гессиан ізі.

Атап айтқанда, бір нүкте берілген б Риманн коллекторында берілген метрикаға сәйкес метрикаларды әрқашан табуға болады ж ол үшін Ricci тензоры жоғалады б. Алайда, бұл тек мақсатты түрде бекітілетініне назар аударыңыз; әдетте, Ricci қисықтығын конформды қайта қалпына келтіру арқылы бүкіл коллекторда бірдей жоғалту мүмкін емес.

Екі өлшемді коллектор үшін жоғарыда келтірілген формула көрсеткендей, егер f Бұл гармоникалық функция, содан кейін конформды масштабтау ж ↦ e^2fж Ricci тензорын өзгертпейді (дегенмен, егер ол метрикаға қатысты ізін өзгертеді f = 0).

Ізі жоқ Ricci тензоры

Жылы Риман геометриясы және псевдо-риман геометриясы, ізі жоқ Ricci тензоры (деп те аталады Ricci тензоры) римандық немесе жалған-римандық n-көпқабатты (М,ж) деп анықталған тензор болып табылады

${ displaystyle Z = operatorname {Ric} - { frac {1} {n}} Rg,}$

қайда Рик және R Ricci қисықтығын және скалярлық қисықтық туралы ж. Бұл объектінің атауы оның фактісін көрсетеді із автоматты түрде жоғалады: ${ displaystyle operatorname {tr} _ {g} Z equiv g ^ {ab} Z_ {ab} = 0.}$ Алайда, бұл өте маңызды тензор, өйткені ол Ricci тензорының «ортогональды ыдырауын» көрсетеді.

Ricci тензорының ортогоналды ыдырауы

Бір нәрсе бар

${ displaystyle operatorname {Ric} = Z + { frac {1} {n}} Rg.}$

Оң жақтағы екі терминнің бір-біріне ортогоналды екендігі бірден байқалмайды:

${ displaystyle { Big langle} Z, { frac {1} {n}} Rg { Big rangle} _ {g} equiv g ^ {ab} { Big (} R_ {ab} - { frac {1} {n}} Rg_ {ab} { Big)} = 0.}$

Мұнымен тығыз байланысты (бірақ тікелей дәлелдеуге болатын) сәйкестік

${ displaystyle | operatorname {Ric} | _ {g} ^ {2} = | Z | _ {g} ^ {2} + { frac {1} {n}} R ^ {2}.}$

Ізі жоқ Ricci тензоры және Эйнштейн көрсеткіштері

Дивергенцияны алып, келісімшарт бойынша Бианкидің сәйкестігін қолдану арқылы адам мұны көреді ${ displaystyle Z = 0}$ білдіреді ${ displaystyle textstyle { frac {1} {2}} dR - { frac {1} {n}} dR = 0.}$ Сонымен, егер бұл қарастырылған болса n ≥ 3 және ${ displaystyle M}$ байланысты, жоғалу ${ displaystyle Z}$ скалярлық қисықтық тұрақты болатындығын білдіреді. Одан кейін келесілердің баламалы екенін көруге болады:

• ${ displaystyle Z = 0}$
• ${ displaystyle operatorname {Ric} = lambda g}$ кейбір нөмірлер үшін ${ displaystyle lambda}$
• ${ displaystyle operatorname {Ric} = { frac {1} {n}} Rg}$

Риман жағдайында жоғарыдағы ортогоналды ыдырау осыны көрсетеді ${ displaystyle R ^ {2} = n | operatorname {Ric} | ^ {2}}$ сонымен қатар осы шарттарға тең келеді. Псевдо-риманниялық жағдайда, керісінше, жағдай ${ displaystyle | Z | _ {g} ^ {2} = 0}$ міндетті түрде білдірмейді ${ displaystyle Z = 0,}$ сондықтан ең көп айтуға болатын жағдай - бұл шарттар ${ displaystyle R ^ {2} = n | operatorname {Ric} | _ {g} ^ {2}.}$

Атап айтқанда, ізі жоқ Ricci тензорының жойылуы сипатталады Эйнштейн коллекторлары, шартпен анықталғандай ${ displaystyle operatorname {Ric} = lambda g}$ нөмір үшін ${ displaystyle lambda.}$ Жылы жалпы салыстырмалылық, бұл теңдеуде (М,ж) Эйнштейннің вакуумдық өріс теңдеулерінің шешімі болып табылады космологиялық тұрақты.

Kähler коллекторлары

Үстінде Kähler коллекторы X, Ricci қисықтығы анықтайды қисықтық нысаны туралы канондық сызық байламы (Moroianu 2007, 12-тарау). Канондық сызық шоғыры - жоғарғы жағы сыртқы қуат голоморфты Kähler дифференциалдары:

${ displaystyle kappa = { textstyle bigwedge} ^ {n} ~ Omega _ {X}.}$

Көрсеткішке сәйкес келетін Levi-Civita байланысы X қосылымын тудырады κ. Бұл байланыстың қисықтығы - анықталған екі форма

${ displaystyle rho (X, Y) , { stackrel { text {def}} {=}} , operatorname {Ric} (JX, Y)}$

қайда Дж болып табылады күрделі құрылым Кхлер коллекторының құрылымымен анықталған жанама байламдағы карта. Ricci формасы - а жабық 2-форма. Оның когомология сыныбы болып табылады, нақты тұрақты факторға дейін, бірінші Черн сыныбы канондық байламның, сондықтан топологиялық инварианты болып табылады X (жинақы үшін X) тек топологиясына байланысты деген мағынада X және гомотопия сыныбы күрделі құрылымның

Керісінше, Ricci формасы Ricci тензорын арқылы анықтайды

${ displaystyle operatorname {Ric} (X, Y) = rho (X, JY).}$

Жергілікті голоморфты координаттарда з^α, Ricci формасы берілген

${ displaystyle rho = -i ішінара { сызықша { жартылай}} журнал дет сол жаққа (g _ { альфа { сызықша { бета}}} оңға)}$

қайда ∂ болып табылады Dolbeault операторы және

${ displaystyle g _ { alpha { overline { beta}}} = g left ({ frac { partial} { ішінара z ^ { alpha}}}, { frac { жарым-жартылай} { ішінара { сызу {z}} ^ { бета}}} оң).}$

Егер Ricci тензоры жоғалып кетсе, онда канондық байлам тегіс, демек құрылым тобы жергілікті сызықтық топтың кіші тобына дейін азайтылуы мүмкін SL (n,C). Алайда, Kähler коллекторларына ие голономия жылы U (n)және, осылайша, Ricci-жалпақ Kähler коллекторының (шектеулі) холономиясы қамтылған SU (n). Керісінше, егер а-ның (шектеулі) голономиясы болса 2n- өлшемді Риман коллекторы SU (n), содан кейін коллектор - бұл Ricci-жалпақ Kähler коллекторы (Кобаяши және Номизу 1996 ж, IX, §4).

Аффиналық байланыстарға жалпылау

Ricci тензорын ерікті түрде жалпылауға да болады аффиндік байланыстар, мұнда инвариант болып табылады, әсіресе зерттеуде маңызды рөл атқарады проективті геометрия (геометрия параметрсіз геодезиямен байланысты) (Nomizu & Sasaki 1994 ж ). Егер ∇ аффиндік байланысты, содан кейін қисықтық тензорын білдіреді R болып анықталған (1,3) -тензор болып табылады

${ displaystyle R (X, Y) Z = nabla _ {X} nabla _ {Y} Z- nabla _ {Y} nabla _ {X} Z- nabla _ {[X, Y]} Z }$

кез-келген векторлық өрістер үшін X, Y, З. Ricci тензоры із ретінде анықталған:

${ displaystyle operatorname {ric} (X, Y) = operatorname {tr} { big (} Z mapsto R (Z, X) Y { big)}.}$

Бұл жалпы жағдайда Ricci тензоры жергілікті жерде параллель болған жағдайда ғана симметриялы болады көлем формасы қосылым үшін.

Дискретті Ricci қисықтық

Графиктер мен желілерде қисықтық қисықтығының дискретті түсініктері анықталды, олар жиектердің жергілікті дивергенция қасиеттерін санмен анықтайды. Olliver-тің қисықтығы оңтайлы тасымалдау теориясының көмегімен анықталады. Екінші ұғым, Форманның Риччи қисықтығы, топологиялық дәлелдерге негізделген.

Сондай-ақ қараңыз

• Риман коллекторларының қисықтығы
• Скалярлық қисықтық
• Ricci calculus
• Ricci ыдырауы
• Ricci жалпақ коллекторы
• Christoffel рәміздері
• Қисық уақыттың математикасына негізгі кіріспе

Сілтемелер

Әдебиеттер тізімі

• Бесс, А.Л. (1987), Эйнштейн коллекторлары, Springer, ISBN  978-3-540-15279-8.
• Chow, Bennet & Knopf, Dan (2004), Ricci Flow: кіріспе, Американдық математикалық қоғам, ISBN  0-8218-3515-7.
• Эйзенхарт, Л.П. (1949), Риман геометриясы, Принстон Унив. Түймесін басыңыз.
• Галлоуэй, Григорий (2000), «Нөлдік гипер беткейлердің және нөлдік бөлудің теоремаларының максималды принциптері», Annales de l'Institut Анри Пуанкаре А, 1: 543–567, arXiv:математика / 9909158, Бибкод:2000AnHP .... 1..543G, дои:10.1007 / s000230050006.
• Кобаяши, С .; Номизу, К. (1963), Дифференциалдық геометрияның негіздері, 1 том, Ғылымаралық.
• Кобаяши, Шошичи; Номизу, Катсуми (1996), Дифференциалдық геометрияның негіздері, т. 2018-04-21 121 2, Вили-Интерсианс, ISBN  978-0-471-15732-8.
• Лохкамп, Йоахим (1994), «Теріс Риччи қисаюының метрикасы», Математика жылнамалары, Екінші серия, жылнамалар, 140 (3): 655–683, дои:10.2307/2118620, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118620, МЫРЗА  1307899.
• Мороиану, Андрей (2007), Катер геометриясы бойынша дәрістер, Лондон математикалық қоғамының студенттерге арналған мәтіндері, 69, Кембридж университетінің баспасы, arXiv:математика / 0402223, дои:10.1017 / CBO9780511618666, ISBN  978-0-521-68897-0, МЫРЗА  2325093
• Номизу, Катсуми; Сасаки, Такеши (1994), Аффиндік дифференциалды геометрия, Кембридж университетінің баспасы, ISBN  978-0-521-44177-3.
• Риччи, Г. (1903-1904), «Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque», Atti R. Инст. Венето, 63 (2): 1233–1239.
• Л.А.Сидоров (2001) [1994], «Ricci tensor», Математика энциклопедиясы, EMS Press
• Л.А.Сидоров (2001) [1994], «Ricci қисықтығы», Математика энциклопедиясы, EMS Press
• Найман, Лоран және Ромон, Паскаль (2017): Дискретті қисықтыққа заманауи тәсілдер, Спрингер (Чам), математикадағы дәрістер

Сыртқы сілтемелер

• З.Шен, Сормани «Теріс емес Ricci қисықтығы бар ашық манифолд топологиясы» (сауалнама)
• Г.Вей, «Риччидің төменгі иілу шекарасы бар манифольдтер» (сауалнама)