Эллипсоид - Ellipsoid

Теңдеуі бар эллипсоидтардың мысалдары

{ textstyle {x ^ {2} over a {{2}} + {y ^ {2} over b ^ {2}} + {z ^ {2} over c ^ {2}} = 1: }

Сфера, a = b = c = 4; жоғарғы
Сфероид, a = b = 5, c = 3; төменгі сол жақ,
Үш осьтік эллипсоид, a = 4,5, b = 6; c = 3, төменгі оң жақ

Ан эллипсоид а-дан алынуы мүмкін бет болып табылады сфера оны бағыттылық көмегімен деформациялау арқылы масштабтау, немесе тұтастай алғанда аффиналық трансформация.

Эллипсоид - бұл а квадрат беті; яғни а беті деп анықталуы мүмкін нөл орнатылды а көпмүшелік үш айнымалының екінші дәрежесі. Квадраттық беттердің арасында эллипсоид келесі екі қасиеттің кез-келгенімен сипатталады. Әрбір жазықтық көлденең қима не an эллипс, немесе бос немесе бір нүктеге келтірілген (бұл атауды түсіндіреді, «эллипс тәрізді» мағынасын білдіреді). Бұл шектелген бұл жеткілікті үлкен сферада болуы мүмкін дегенді білдіреді.

Эллипсоид үш үшке ие перпендикуляр симметрия осьтері қиылысатын а симметрия орталығы, эллипсоидтың орталығы деп аталады. The сызық сегменттері симметрия осьтерінде эллипсоидпен бөлінген деп аталады негізгі осьтер, немесе жай эллипсоид осьтері. Егер үш осьтің ұзындығы әр түрлі болса, эллипсоид деп аталады үш жақты немесе сирек скален, және осьтер ерекше анықталған.

Егер осьтердің екеуінің ұзындығы бірдей болса, онда эллипсоид –тің эллипсоиды болады революция, а деп аталады сфероид. Бұл жағдайда эллипсоид а астында өзгермейтін болады айналу үшінші осьтің айналасында және осылайша бірдей ұзындықтағы екі перпендикуляр осьті таңдаудың шексіз көптеген әдістері бар. Егер үшінші ось қысқа болса, эллипсоид ан қатпарлы сфероид; егер ол ұзағырақ болса, бұл а сфероидтың пролаты. Егер үш осьтің ұзындығы бірдей болса, эллипсоид сфера болады.

Стандартты теңдеу

A пайдалану Декарттық координаттар жүйесі онда бастама эллипсоидтың центрі, ал координаталық осьтер эллипсоидтың осьтері болып табылады, жасырын теңдеу эллипсоидтың стандартты формасы бар

{ displaystyle {x ^ {2} over a {{2}} + {y ^ {2} over b ^ {2}} + {z ^ {2} over c ^ {2}} = 1, }

қайда $а, б, c$ оң нақты сандар.

Ұпайлар $(а, 0, 0)$ , $(0, б, 0)$ және $(0, 0, c)$ бетінде жату. Басынан бастап осы нүктелерге дейінгі түзу кесінділері эллипсоидтың негізгі жартылай осьтері деп аталады, өйткені $а, б, c$ негізгі осьтердің ұзындығының жартысына тең. Олар сәйкес келеді жартылай негізгі ось және жартылай минорлы ось туралы эллипс.

Егер ${ displaystyle a = b> c,}$ біреуі бар қатпарлы сфероид; егер ${ displaystyle a = b$ біреуі бар сфероидтың пролаты; егер ${ displaystyle a = b = c,}$ біреуі бар сфера.

Параметрлеу

Эллипсоид бірнеше жолмен параметрленуі мүмкін, олар эллипсоид осьтері координаталық осьтермен сәйкес келген кезде өрнектелуі қарапайым. Жалпы таңдау

{ displaystyle { begin {aligned} x & = a sin ( theta) cos ( varphi), y & = b sin ( theta) sin ( varphi), z & = c cos ( theta), end {aligned}} , !}

қайда

{ displaystyle 0 leq theta leq pi, qquad 0 leq varphi <2 pi.}

Бұл параметрлер келесідей түсіндірілуі мүмкін сфералық координаттар, қайда ${ displaystyle theta}$ - бұл полярлық бұрыш және ${ displaystyle varphi}$ - нүктенің азимут бұрышы $(х, ж, з)$ эллипсоид.^[1]

Полюстен гөрі орталықтан өлшеу,

{ displaystyle { begin {aligned} x & = a cos ( theta) cos ( lambda), y & = b cos ( theta) sin ( lambda), z & = c sin ( theta), end {aligned}} , !}

қайда

{ displaystyle - { frac { pi} {2}} leq theta leq { frac { pi} {2}}, qquad 0 leq lambda <2 pi,}

${ displaystyle theta}$ болып табылады қысқартылған ендік, параметрлік ендік, немесе эксцентрлік аномалия және ${ displaystyle lambda}$ бұл азимут немесе бойлық.

Айналды сфераға емес, эллипсоид бетіне бұрыштарды өлшеу,

{ displaystyle { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = R { begin {bmatrix} cos ( gamma) cos ( lambda) cos ( gamma) sin ( lambda) sin ( gamma) end {bmatrix}} , !}

қайда

{ displaystyle { begin {aligned} R = {} & { frac {abc} { sqrt {c ^ {2} (b ^ {2} cos ^ {2} lambda + a ^ {2} sin ^ {2} lambda) cos ^ {2} gamma + a ^ {2} b ^ {2} sin ^ {2} gamma}}}, [3pt] & - { frac { pi} {2}} leq gamma leq { frac { pi} {2}}, qquad 0 leq lambda <2 pi. end {aligned}}}

${ displaystyle gamma}$ Жердегі геоцентрлік ендік болар еді, және ${ displaystyle lambda}$ бұл азимут немесе бойлық. Бұл эллипсоид центрінде координаты бар нақты сфералық координаттар.^{[дәйексөз қажет ]}

Геодезия үшін геодезиялық ендік, тік және экваторлық жазықтық арасындағы бұрыш, көбінесе қолданылады. Жалпы эллипсоид үшін геодезиялық ендік анықталмайды, себебі ол бойлыққа байланысты.

Көлемі мен бетінің ауданы

Көлемі

The көлем эллипсоидпен шектелген

{ displaystyle V = { frac {4} {3}} pi abc.}

Балама түрде өрнектеледі, мұндағы A, B және C - негізгі осьтердің ұзындықтары (A = 2a, B = 2b және C = 2c):

{ displaystyle V = { frac { pi} {6}} ABC}

.

Бұл теңдеу үш эллиптикалық радиус тең болған кезде сфераның көлеміне, ал қылқалам немесе сфероидтың пролаты олардың екеуі тең болғанда.

The көлем эллипсоид болып табылады ${ textstyle { frac {2} {3}}}$ а жазба эллиптикалық цилиндр, және ${ textstyle { frac { pi} {6}}}$ айналдыра жазылған қораптың көлемі.

The томдар туралы жазылған және сүннетке жазылған қораптар сәйкесінше:

{ displaystyle V _ { text {inscribed}} = { frac {8} {3 { sqrt {3}}}} abc, qquad V _ { text {Circscribed}} = 8abc.}

Жер бетінің ауданы

The бетінің ауданы жалпы (үш осьтік) эллипсоид болып табылады^[2]^[3]

{ displaystyle S = 2 pi c ^ {2} + { frac {2 pi ab} { sin ( varphi)}} left (E ( varphi, k) , sin ^ {2} ( varphi) + F ( varphi, k) , cos ^ {2} ( varphi) right),}

қайда

{ displaystyle cos ( varphi) = { frac {c} {a}}, qquad k ^ {2} = { frac {a ^ {2} left (b ^ {2} -c ^ { 2} оң)} {b ^ {2} сол жақ (a ^ {2} -c ^ {2} оң)}}, qquad a geq b geq c,}

және F (φ, k) және E (φ, k) толық емес эллиптикалық интегралдар сәйкесінше бірінші және екінші түрдегі.^[4]

Төңкеріс эллипсоидының (немесе сфероидтің) беткі қабатын мына түрде өрнектеуге болады қарапайым функциялар:

{ displaystyle { begin {aligned} S _ { text {oblate}} & = 2 pi a ^ {2} left (1 + { frac {c ^ {2}} {ea ^ {2}}} cdot operatorname {arctanh} (e) right) && { text {қайда}} quad e ^ {2} = 1 - { frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} quad (c a), end {тураланған }}}

негізгі тригонометриялық бірдейліктен туындайтын, олар баламалы өрнектер болып табылады (яғни формуласы ${ displaystyle S _ { text {oblate}}}$ пролата эллипсоидының беткі қабатын есептеу үшін қолдануға болады және керісінше). Екі жағдайда да e деп тағы анықталуы мүмкін эксцентриситет симметрия осі арқылы көлденең қимадан пайда болған эллипстің. (Қараңыз эллипс ). Бұл нәтижелердің шығуын, мысалы, стандартты көздерден табуға болады Mathworld.^[5]

Шамамен формула

{ displaystyle S шамамен 4 pi { sqrt [{p}] { frac {a ^ {p} b ^ {p} + a ^ {p} c ^ {p} + b ^ {p} c ^ {p}} {3}}}. , !}

Мұнда б ≈ 1.6075 салыстырмалы қателік ең көбі 1,061% құрайды;^[6] мәні б = 8/5 = 1.6 шамамен сфералық эллипсоидтар үшін оңтайлы, салыстырмалы қателігі ең көп дегенде 1,178%.

«Тегіс» шегінде c қарағанда әлдеқайда аз а, б, ауданы шамамен 2πаб, барабар б ≈ 1.5850.

Ұшақ бөлімдері

Қасиеттері

Эллипсоидтың жазықтық бөлімі

Жазықтық пен сфераның қиылысы шеңбер болып табылады (немесе бір нүктеге келтірілген немесе бос). Кез-келген эллипсоид дегеніміз - бұл аффиналық түрлену кезіндегі бірлік сфераның кескіні, ал кез-келген жазықтық - сол түрлендіру кезіндегі басқа жазықтықтың бейнесі. Сонымен, аффиналық түрленулер шеңберлерді эллиптерге бейнелейтіндіктен, жазықтықтың эллипсоидпен қиылысуы эллипс немесе жалғыз нүкте болады немесе бос болады.^[7] Сфероидтарда шеңбер болатыны анық. Бұл триаксиалды эллипсоидтар үшін де дұрыс, бірақ онша айқын емес (қараңыз) Дөңгелек бөлім ).

Жазықтық кесіндісінің эллипсін анықтау

Эллипсоидтың жазықтық бөлімі (мысалды қараңыз)

Берілген: Эллипсоид ${ textstyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + { frac {z ^ {2 }} {c ^ {2}}} = 1 }$ және теңдеуі бар жазықтық ${ textstyle n_ {x} x + n_ {y} y + n_ {z} z = d ,,}$ жалпы эллипсі бар.

Қалаған: Үш вектор ${ displaystyle { vec {f}} _ {0}}$ (ортасында) және ${ displaystyle { vec {f}} _ {1}, ; { vec {f}} _ {2}}$ (конъюгаталық векторлар), эллипсті параметрлік теңдеумен ұсынуға болатындай

{ displaystyle { vec {x}} = { vec {f}} _ {0} + { vec {f}} _ {1} cos t + { vec {f}} _ {2} sin t quad}

(қараңыз эллипс ).

Бірлік сферасының жазықтық бөлімі (мысалды қараңыз)

Шешім: Масштабтау ${ textstyle u = { frac {x} {a}} ,, v = { frac {y} {b}} ,, w = { frac {z} {c}} }$ эллипсоидты бірлік сфераға айналдырады ${ displaystyle u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} = 1 }$ және берілген жазықтықты жазықтыққа теңдеуімен ${ displaystyle n_ {x} au + n_ {y} bv + n_ {z} cw = d }$ . Келіңіздер ${ displaystyle m_ {u} u + m_ {v} v + m_ {w} w = delta }$ болуы Гессен қалыпты формасы жаңа ұшақтың және ${ displaystyle ; { vec {m}} = { begin {bmatrix} m_ {u} & m_ {v} & m_ {w} end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}} ;}$ оның бірлігі қалыпты вектор. Демек ${ displaystyle { vec {e}} _ {0} = delta ; { vec {m}} ;}$ болып табылады орталығы қиылысу шеңберінің және ${ displaystyle ; rho = { sqrt {1- delta ^ {2}}} ;}$ оның радиусы (сызбаны қараңыз).

Қайда ${ displaystyle m_ {w} = pm 1 ,}$ , рұқсат етіңіз ${ displaystyle { vec {e}} _ {1} = { begin {bmatrix} rho & 0 & 0 end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}, { vec {e}} _ { 2} = { begin {bmatrix} 0 & rho & 0 end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}.}$ (Ұшақ көлденең!)

Қайда ${ displaystyle m_ {w} neq pm 1 ,}$ , рұқсат етіңіз ${ textstyle { vec {e}} _ {1} = rho , { frac {{ begin {bmatrix} m_ {v} & - m_ {u} & 0 end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}} { sqrt {m_ {u} ^ {2} + m_ {v} ^ {2}}}} ,, { vec {e}} _ {2} = { vec { m}} times { vec {e}} _ {1} .}$

Кез келген жағдайда, векторлар ${ displaystyle { vec {e}} _ {1}, { vec {e}} _ {2}}$ ортогональ, қиылысу жазықтығына параллель және ұзындығы бар ${ displaystyle rho}$ (шеңбердің радиусы). Демек, қиылысу шеңберін параметрлік теңдеу арқылы сипаттауға болады ${ displaystyle ; { vec {u}} = { vec {e}} _ {0} + { vec {e}} _ {1} cos t + { vec {e}} _ {2} sin t ;.}$

Кері масштабтау (жоғарыдан қараңыз) бірлік сфераны эллипсоид пен векторларға қайта айналдырады ${ displaystyle { vec {e}} _ {0}, { vec {e}} _ {1}, { vec {e}} _ {2}}$ векторларға кескінделеді ${ displaystyle { vec {f}} _ {0}, { vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}}$ , олар эллипстің қиылысуының параметрлік көрінісі үшін қажет болды.

Эллипстің шыңдары мен жартылай осьтерін қалай табуға болады эллипс.

Мысал: Диаграммаларда жартылай осьтері бар эллипсоид көрсетілген ${ displaystyle ; a = 4, ; b = 5, ; c = 3 ;}$ ол ұшақпен кесіледі ${ displaystyle ; x + y + z = 5 ;.}$

Ілгектер мен жіптердің құрылысы

Эллипстің түйреуіштер мен жіптердің құрылысы:

{ displaystyle left | S_ {1} S_ {2} right |,}

жіптің ұзындығы (қызыл)

Эллипсоидты түйреуіштер мен жіптермен құру, көк: фокалды конустар

Эллипсоидтың жартылай осін анықтау

Эллипсоидтың түйреуішті және тізбектелген құрылысы дегеніміз - эллипс салу идеясының екеуін қолдану арқылы берілуі. түйреуіштер мен жіп (сызбаны қараңыз).

Анның түйреуішті және жіптік құрылымы революция эллипсоиды айналмалы эллипстің түйреуішті-жіпшелі құрылымымен беріледі.

А нүктелерінің құрылысы 3 осьтік эллипсоид неғұрлым күрделі. Алғашқы идеялар шотланд физигіне байланысты Дж. Максвелл (1868).^[8] Негізгі зерттеулерді және квадрикаларға дейін кеңейтуді 1882, 1886 және 1898 жылдары неміс математигі О.Штаду жүзеге асырды.^[9]^[10]^[11] Кітапта эллипсоидтар мен гиперболоидтардың түйреуішті-жіпшелі құрылысының сипаттамасы келтірілген Геометрия және қиял жазылған Д. Гильберт & С.Воссен,^[12] да.

Құрылыс кезеңдері

Таңдаңыз эллипс және а гипербола, олар жұп фокалды кониктер:
Эллипс: ${ displaystyle E ( varphi) = (a cos varphi, b sin varphi, 0) }$ және
Гипербола: ${ displaystyle H ( psi) = (c cosh psi, 0, b sinh psi), c ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} }$
эллипс шыңдары мен ошақтарымен
${ displaystyle S_ {1} = (a, 0,0), F_ {1} = (c, 0,0), F_ {2} = (- c, 0,0), S_ {2} = (- a, 0,0) ;.}$
және а жіп (қызыл диаграммада) ұзындық ${ displaystyle l}$ .
Жолдың бір ұшын шыңға бекітіңіз ${ displaystyle S_ {1}}$ екіншісіне назар аудару керек ${ displaystyle F_ {2}}$ . Жіп бір нүктеде тығыз ұсталады ${ displaystyle P}$ y-мен z-координаталары оң, мысалы жолдан басталады ${ displaystyle S_ {1}}$ дейін ${ displaystyle P}$ гиперболаның жоғарғы бөлігінің артында (сызбаны қараңыз) және гиперболада еркін сырғанаңыз. Жолының бөлігі ${ displaystyle P}$ дейін ${ displaystyle F_ {2}}$ жүгіріп, эллипстің алдында сырғанайды. Жол гиперболаның сол нүктесінен өтеді, ол үшін қашықтық ${ displaystyle left | S_ {1} P right |}$ кез келген гипербола нүктесінде минималды. Жолдың және эллипстің екінші бөлігіндегі аналогтық тұжырым да шындыққа сәйкес келуі керек.
Содан кейін: ${ displaystyle P}$ теңдеуі бар эллипсоидтың нүктесі болып табылады
${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {r_ {x} ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {r_ {y} ^ {2}}} + { frac {z ^ {2}} {r_ {z} ^ {2}}} = 1}$ және
${ displaystyle { begin {aligned} r_ {x} & = { frac {1} {2}} (l-a + c), & r_ {y} & = { sqrt {r_ {x} ^ {2 } -c ^ {2}}}, & r_ {z} & = { sqrt {r_ {x} ^ {2} -a ^ {2}}}. end {aligned}}}$
Эллипсоидтың қалған нүктелерін фокустық конустарда жолдың қолайлы өзгерістері арқылы салуға болады.

Жартылай осьтер

Жасалған эллипсоидтың жартылай осьтеріне арналған теңдеулерді нүктеге арналған арнайы таңдау арқылы шығаруға болады ${ displaystyle P}$ : ${ displaystyle Y = (0, r_ {y}, 0), Z = (0,0, r_ {z})}$ .

Диаграмманың төменгі бөлігі: ${ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$ х-у жазықтығындағы эллипс ошақтары болып табылады. Демек, солай конфокальды берілген эллипске және жіптің ұзындығы ${ displaystyle l = 2r_ {x} + (a-c)}$ . Шешу ${ displaystyle r_ {x}}$ кірістілік: ${ textstyle r_ {x} = { frac {1} {2}} (l-a + c)}$ . Әрі қарай: ${ displaystyle r_ {y} ^ {2} = r_ {x} ^ {2} -c ^ {2}}$ .

Жоғарғы диаграммадан: ${ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$ х-z жазықтығындағы эллипстің (эллипсоидтың) ошақтары және теңдеуі болып табылады ${ displaystyle r_ {z} ^ {2} = r_ {x} ^ {2} -a ^ {2}}$ .

Керісінше

Егер, керісінше, 3 осьтік эллипсоид оның теңдеуімен берілсе, онда 3-қадамдағы теңдеулерден параметрлерді шығаруға болады ${ displaystyle a, b, l}$ түйреуіштер мен жіптердің құрылысы үшін.

Конфокалды эллипсоидтар

Егер ${ displaystyle { mathcal { overline {E}}}}$ болып табылады эллипсоидты конфокалды дейін ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ оның жартылай осьтерінің квадраттарымен

{ displaystyle { begin {aligned} { overline {r}} _ {x} ^ {2} & = r_ {x} ^ {2} - lambda, & { overline {r}} _ {y} ^ {2} & = r_ {y} ^ {2} - lambda, & { overline {r}} _ {z} ^ {2} & = r_ {z} ^ {2} - lambda ;, end {aligned}}}

теңдеуінен ${ displaystyle { mathcal {E}}}$

{ displaystyle { begin {aligned} r_ {x} ^ {2} -r_ {y} ^ {2} & = c ^ {2}, & r_ {x} ^ {2} -r_ {z} ^ {2 } & = a ^ {2}, & r_ {y} ^ {2} -r_ {z} ^ {2} & = a ^ {2} -c ^ {2} = b ^ {2}, end {тураланған }}}

түйреуіштер мен жіптерді құрастыру үшін қолданылатын тиісті фокустық конустардың бар екенін анықтайды бірдей жартылай осьтер ${ displaystyle a, b, c}$ эллипсоид түрінде ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ . Сондықтан (эллипс ошақтарына ұқсас) 3 осьті эллипсоидтың фокустық конустарын (шексіз көп) фокустар деп санап, оларды фокустық қисықтар эллипсоид.^[13]

Керісінше мәлімдеме де дұрыс: егер біреу ұзындықтың екінші жолын таңдаса ${ displaystyle { overline {l}}}$ және анықтайды ${ displaystyle lambda = r_ {x} ^ {2} - { overline {r}} _ {x} ^ {2}}$ содан кейін теңдеулер ${ displaystyle { overline {r}} _ {y} ^ {2} = r_ {y} ^ {2} - lambda, { overline {r}} _ {z} ^ {2} = r_ { z} ^ {2} - lambda}$ жарамды, бұл екі эллипсоидтың конфокалды екендігін білдіреді.

Революция шегі, эллипсоид

Жағдайда ${ displaystyle a = c}$ бір алады ${ displaystyle S_ {1} = F_ {1}, ; S_ {2} = F_ {2}}$ , бұл дегеніміз: фокустық эллипс түзу кесіндісіне дейін азаяды және фокустық гипербола х осінде екі шексіз сызық сегменттеріне дейін құлайды. Эллипсоид айналу осі және айналу осі ретінде х осімен айналмалы симметриялы болады ${ textstyle r_ {x} = { frac {l} {2}}, r_ {y} = r_ {z} = { sqrt {r_ {x} ^ {2} -c ^ {2}}} }$ .

Фокальды гиперболаның қасиеттері

Жоғарғы жағы: фокустық гиперболасы бар 3-осьтік эллипсоид.
Төменде: эллипсоидтың параллель- / центр-проекциясы, ол сфераға ұқсайды, яғни оның көрінетін пішіні шеңбер болады

Нағыз қисық: Егер біреу эллипсоидты сыртқы нүктеден қараса ${ displaystyle V}$ оның фокальды гиперболасы, сфераға қарағанда, яғни көрінетін пішін шеңбер болып табылады. Немесе баламасы: құрамында эллипсоидтың тангенсі, құрамында нүктесі бар ${ displaystyle V}$ айналу осі at гиперболаның тангенсі болатын дөңгелек конустың сызықтары болып табылады ${ displaystyle V}$ .^[14]^[15] Егер біреу орталыққа мүмкіндік берсе ${ displaystyle V}$ шексіздікке жоғалу үшін фокальды гиперболаның бағыты бойынша сәйкес асимптотасы бар ортогоналды параллель проекциясы шығады. The пішіннің шынайы қисығы (жанама нүктелер) эллипсоидта i.g. шеңбер жоқ!
Диаграмманың төменгі бөлігі сол жақта эллипсоидтың параллель проекциясын (жартылай осьтер: 60, 40, 30) асимптотаның бойымен, ал оң жағында центрімен орталық проекцияны көрсетеді. ${ displaystyle V}$ және негізгі мәселе ${ displaystyle H}$ нүктесінде гиперболаның тангенсінде ${ displaystyle V}$ . ( ${ displaystyle H}$ перпендикулярының табаны болып табылады ${ displaystyle V}$ Екі проекция үшін айқын кескін шеңбер болып табылады. Параллель жағдайда шығу тегі бейнесі ${ displaystyle O}$ шеңбердің центрі, орталық жағдайда басты нүкте ${ displaystyle H}$ орталығы болып табылады.
Умбикалық нүктелер: Фокустық гипербола эллипсоидты өзінің 4-імен қиып өтеді кіндік нүктелері.^[16]

Фокустық эллипстің қасиеті

Фокустық эллипсті ішкі бөлігімен бірге конфокальды эллипсоидтардың қарындашының шекті беті (шексіз жұқа эллипсоид) деп санауға болады. ${ displaystyle a, b}$ үшін ${ displaystyle r_ {z} - 0}$ . Шекті жағдай үшін біреу алады ${ displaystyle r_ {x} = a, ; r_ {y} = b, ; l = 3a-c.}$

Жалпы позицияда

Төртбұрышты ретінде

Жалпы, ерікті бағытталған эллипсоид, центрі орталықтандырылған v, шешімдерімен анықталады х теңдеуге

{ displaystyle ( mathbf {x-v}) ^ { mathsf {T}} ! A , ( mathbf {x-v}) = 1,}

қайда A Бұл оң анықталған матрица және х, v болып табылады векторлар.

The меншікті векторлар туралы A эллипсоид пен бас осьтерін анықтаңыз меншікті мәндер туралы A жартылай осьтердің квадраттарының өзара байланысы: ${ displaystyle a ^ {- 2}}$ , ${ displaystyle b ^ {- 2}}$ және ${ displaystyle c ^ {- 2}}$ .^[17]Төңкерілетін сызықтық түрлендіру шарға қолданылатын эллипсоидты шығарады, оны жоғарыда келтірілген стандартты формаға келтіруге болады айналу, салдары полярлық ыдырау (сонымен қатар, қараңыз спектрлік теорема ). Егер сызықтық түрлендіру а түрінде ұсынылса 3-тен 3-ге дейінгі матрица, содан кейін матрицаның меншікті векторлары ортогоналды (спектрлік теореманың арқасында) және эллипсоид осьтерінің бағыттарын білдіреді; жартылай осьтердің ұзындықтары меншікті мәндерден есептеледі. The дара мәннің ыдырауы және полярлық ыдырау осы геометриялық бақылаулармен тығыз байланысты матрицалық ыдырау болып табылады.

Параметрлік ұсыну

эллипсоид бірлік сферасының аффиндік бейнесі ретінде

Жалпы жағдайдағы эллипсоидтың параметрлік көрінісінің кілті балама анықтама болып табылады:

Эллипсоид - бұл бірлік сфераның аффиндік бейнесі.

Ан аффиналық трансформация векторы бар аударма арқылы ұсынылуы мүмкін ${ displaystyle { vec {f}} _ {0}}$ және тұрақты 3 × 3-матрица ${ displaystyle A}$ :

{ displaystyle { vec {x}} mapsto { vec {f}} _ {0} + A { vec {x}} = { vec {f}} _ {0} + x { vec { f}} _ {1} + y { vec {f}} _ {2} + z { vec {f}} _ {3}}

,

қайда ${ displaystyle { vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}, { vec {f}} _ {3}}$ матрицаның баған векторлары болып табылады ${ displaystyle A}$ .

Эллипсоидтың жалпы күйдегі параметрлік көрінісін бірлік сфераның параметрлік көрінісі (жоғарыдан қараңыз) және аффиналық түрлендіру арқылы алуға болады:

{ displaystyle { vec {x}} ( theta, varphi) = { vec {f}} _ {0} + { vec {f}} _ {1} cos theta cos varphi + { vec {f}} _ {2} cos theta sin varphi + { vec {f}} _ {3} sin theta, quad - { frac { pi} {2}} < theta <{ frac { pi} {2}}, 0 leq varphi <2 pi}

.

Егер векторлар ${ displaystyle { vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}, { vec {f}} _ {3}}$ ортогональды жүйені, векторлары бар нүктелерді құрайды ${ displaystyle { vec {f}} _ {0} pm { vec {f}} _ {i}, i = 1,2,3,}$ - эллипсоидтың шыңдары және ${ displaystyle left | { vec {f}} _ {1} right |, left | { vec {f}} _ {2} right |, left | { vec {f}} _ {3} оң |}$ жартылай негізгі осьтер болып табылады.

Нүктедегі беттің қалыпты векторы ${ displaystyle ; { vec {x}} ( theta, varphi)}$ болып табылады

{ displaystyle { vec {n}} ( theta, varphi) = { vec {f}} _ {2} times { vec {f}} _ {3} cos theta cos varphi + { vec {f}} _ {3} times { vec {f}} _ {1} cos theta sin varphi + { vec {f}} _ {1} times { vec {f}} _ {2} sin theta.}

Кез келген эллипсоид үшін бар жасырын ұсыну ${ displaystyle F (x, y, z) = 0}$ . Егер қарапайымдылық үшін эллипсоидтың центрі шығу тегі болса, яғни. ${ displaystyle { vec {f}} _ {0} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & end {bmatrix}} ^ { mathsf {T}}}$ , келесі теңдеу жоғарыдағы эллипсоидты сипаттайды:^[18]

{ displaystyle F (x, y, z) = operatorname {det} left ({ vec {x}}, { vec {f}} _ {2}, { vec {f}} _ {3 } оң) ^ {2} + оператор атауы {det} сол ({ vec {f}} _ {1}, { vec {x}}, { vec {f}} _ {3} оң ) ^ {2} + оператор атауы {det} left ({ vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}, { vec {x}} right) ^ { 2} - operatorname {det} left ({ vec {f}} _ {1}, { vec {f}} _ {2}, { vec {f}} _ {3} right) ^ {2} = 0}

Қолданбалар

Эллипсоид пішіні көптеген практикалық қолданбаларды табады:

Геодезия

Жер эллипсоиды, Жердің пішініне жуықтайтын математикалық фигура.
Анықтамалық эллипсоид, жалпы планеталық денелердің пішініне жуықтайтын математикалық фигура.

Механика

Poinsot эллипсоиды, айналу моменті жоқ қозғалысын көзбен көрудің геометриялық әдісі қатты дене.
Ламенің стресс эллипсоиды, нүктедегі кернеулер күйін графикалық бейнелеу үшін Мох шеңберіне балама.
Эллипсоид манипуляциясы, роботтың қозғалыс еркіндігін сипаттау үшін қолданылады.
Якоби эллипсоиды, айналмалы сұйықтықтан пайда болған үш оксиальды эллипсоид

Кристаллография

Эллипсоид индексі, кристалдағы сыну көрсеткіштерінің бағдары мен салыстырмалы шамасын бейнелейтін эллипсоид схемасы.
Термиялық эллипсоид, кристаллографияда кристалдық құрылымдардағы атомдардың термиялық тербелісінің шамалары мен бағыттарын көрсету үшін қолданылатын эллипсоидтар.

Жарықтандыру

Дәрі

Бастап алынған өлшемдер МРТ бейнелеу простата L × W × H × 0,52 жуықтауын пайдаланып бездің көлемін анықтауға болады (мұндағы 0,52 - жуықтау π/6)^[19]

Динамикалық қасиеттер

The масса тығыздығы біркелкі эллипсоидтың ρ - бұл:

{ displaystyle m = rho V = rho { frac {4} {3}} pi abc. , !}

The инерция моменттері біркелкі тығыздықтағы эллипсоид:

{ displaystyle { begin {aligned} I _ { mathrm {xx}} & = { frac {1} {5}} m left (b ^ {2} + c ^ {2} right), and I_ { mathrm {yy}} & = { frac {1} {5}} m сол (c ^ {2} + a ^ {2} оң), мен I _ { mathrm {zz}} & = { frac {1} {5}} м солға (a ^ {2} + b ^ {2} оңға), [3pt] I _ { mathrm {xy}} & = I _ { mathrm {yz}} = I _ { mathrm {zx}} = 0. End {aligned}} , !}

Үшін ${ displaystyle a = b = c}$ бұл инерция моменттері біркелкі тығыздық сферасы үшін азаяды.

Суретшінің тұжырымдамасы Хаумеа, якоби-эллипсоид карликовая планета, оның екі айымен

Эллипсоидтар және кубоидтар олардың үлкен немесе кіші осьтері бойынша тұрақты айналу, бірақ олардың ортаңғы осі бойынша емес. Мұны эксперимент арқылы спинмен өшіргішті лақтыру арқылы көруге болады. Одан басқа, инерция моменті ойлар үлкен ось бойынша айналу кіші ось бойымен айналуға қарағанда оңай бұзылатындығын білдіреді.^[20]

Сияқты практикалық әсердің бірі - скален астрономиялық денелері Хаумеа әдетте олардың кіші осьтері бойымен айналады (ол жай ғана қопсытылған Жер сияқты); Сонымен қатар, өйткені толқынды құлыптау, ай синхронды орбита сияқты Мимас орбита өз ғаламшарымен радиалды тураланған негізгі осімен.

Біртекті өздігінен тартатын сұйықтықтың айналатын денесі а формуласын қабылдайды Маклорин сфероиді (oblate сфероид) немесе Якоби эллипсоиды болған кезде (скален эллипсоид) гидростатикалық тепе-теңдік, және орташа айналу жылдамдығы үшін. Жылдам айналу кезінде эллипсоидты емес пириформалы немесе жұмыртқа тәрізді пішіндерді күтуге болады, бірақ олар тұрақты емес.

Сұйықтық динамикасы

Эллипсоид - бұл есептеудің ең жалпы формасы ағып жатқан ағын қатты пішіндегі сұйықтық. Есептеулерге сұйықтық арқылы аударуға және оның ішінде айналуға қажетті күш кіреді. Қолданбаларға ірі молекулалардың мөлшері мен формасын, ұсақ бөлшектердің бату жылдамдығын және жүзу қабілеттерін анықтау кіреді микроорганизмдер.^[21]

Ықтималдық пен статистикада

The эллиптикалық үлестірулер, жалпылайтын көпөлшемді қалыпты үлестіру және қолданылады қаржы, оларды анықтауға болады тығыздық функциялары. Олар болған кезде тығыздық функциясы жұмыс істейді f құрылымы бар:

{ displaystyle f (x) = k cdot g left ((x- mu) Sigma ^ {- 1} (x- mu) ^ { mathsf {T}} right)}

қайда ${ displaystyle k}$ масштабты фактор, ${ displaystyle x}$ болып табылады ${ displaystyle n}$ -өлшемді кездейсоқ жол векторы медианалық вектормен ${ displaystyle mu}$ (егер ол бар болса, ол орташа вектор болып табылады), ${ displaystyle Sigma}$ Бұл оң анықталған матрица бұл пропорционалды ковариациялық матрица егер соңғысы болса және ${ displaystyle g}$ - бұл қисық астындағы ақырлы аумақты беретін теріс емес риалдан теріс емес риалға дейін бейнелеу функциясы.^[22] Көп айнымалы қалыпты үлестіру ерекше жағдай болып табылады ${ displaystyle g (z) = e ^ {- z / 2}}$ квадраттық форма үшін ${ displaystyle z}$ .

Сонымен тығыздық функциясы квадраттық өрнектің скалярлық-скалярлы түрлендіруі болып табылады. Сонымен, кез келген үшін теңдеу изо-тығыздық беті квадраттық өрнек тығыздықтың осы мәніне тән кейбір тұрақтыға тең, ал изо-тығыздық беті эллипсоид болып табылады.

Жоғары өлшемдерде

A гипереллипсоид, немесе өлшем эллипсоиды $n$ ан Евклид кеңістігі өлшем $n + 1$ , Бұл квадрические беттік а болатын екі дәрежелі көпмүшемен анықталады біртекті бөлік екінші дәрежелі, бұл а оң анықталған квадраттық форма.

Сондай-ақ, гипереллипсоидты инверсияның астындағы сфераның бейнесі ретінде анықтауға болады аффиналық трансформация. Спектрлік теореманы қайтадан форманың стандартты теңдеуін алу үшін пайдалануға болады

{ displaystyle { frac {x_ {1} ^ {2}} {a_ {1} ^ {2}}} + cdots + { frac {x_ {n} ^ {2}} {a_ {n} ^ {2}}} = 1.}

А гипереллипсоид ауыстыру арқылы алуға болады ${ displaystyle R ^ {n}}$ арқылы ${ displaystyle a_ {1} cdots a_ {n}}$ формуласында гиперфераның көлемі.

Сондай-ақ қараңыз

Эллипсоид әдісі
Эллипсоидтық координаттар
Эллиптикалық таралу, статистикада
Тегістеу, деп те аталады эллиптілік және қиғаштық, бұл сәйкесінше эллипс немесе революция эллипсоидын (сфероид) қалыптастыру үшін шеңбердің немесе шардың диаметрі бойынша сығылуының өлшемі.
Фокалоид, екі концентрлі, конфокалды эллипсоидтармен шектелген қабық
Эллипсоидтағы геодезия
Геодезиялық деректер, ең жақсы қондырылған элипсоид модельдеген гравитациялық Жер
Гомеоид, екі концентрлі, ұқсас эллипсоидтармен шектелген қабық
Беттердің тізімі

Ескертулер

^ Крейциг (1972), 455–456 бб.)
^ F.W.J. Олвер, Д.В. Лозье, Р.Ф. Boisvert және C.W. Кларк, редакторлар, 2010, NIST математикалық функциялар туралы анықтамалық (Кембридж университетінің баспасы ), онлайн қол жетімді «Мұрағатталған көшірме». Мұрағатталды 2012-12-02 аралығында түпнұсқадан. Алынған 2012-01-08.CS1 maint: тақырып ретінде мұрағатталған көшірме (сілтеме) (келесі сілтемені қараңыз).
^ NIST (Ұлттық стандарттар және технологиялар институты) http://www.nist.gov Мұрағатталды 2015-06-17 сағ Wayback Machine
^ http://dlmf.nist.gov/19.2
^ В., Вайсштейн, Эрик. «Prolate Spheroid». mathworld.wolfram.com. Мұрағатталды түпнұсқадан 2017 жылғы 3 тамызда. Алынған 25 наурыз 2018.
^ Соңғы жауаптар Мұрағатталды 2011-09-30 сағ Wayback Machine Мичон Джерард П. (2004-05-13). Томсеннің формулалары мен Кантреллдің түсініктемелерін қараңыз.
^ Альберт, Авраам Адриан (2016) [1949], Қатты аналитикалық геометрия, Довер, б. 117, ISBN 978-0-486-81026-3
^ В.Бем: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung, Математика. Nachrichten 13, 1955, S. 151
^ Стоуд, О .: Ueber Fadencecutionen des Ellipsoides. Математика. Энн. 20, 147–184 (1882)
^ Стоуд, О .: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Бағалар. Математика. Энн. 27, 253–271 (1886).
^ Стоуд, О .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Математика. Энн. 50, 398 - 428 (1898).
^ Д. Хильберт пен Кон-Воссен: Геометрия және қиял, Челси, Нью-Йорк, 1952, ISBN 0-8284-1087-9, б. 20.
^ О. Гессен: Analytische Geometrie des Raumes, Тубнер, Лейпциг 1861, б. 287
^ Д. Хильберт пен Кон-Воссен: Геометрия және қиял, б. 24
^ О. Гессен: Analytische Geometrie des Raumes, б. 301
^ В.Блашке: Analytische Geometrie, б. 125
^ «Мұрағатталған көшірме» (PDF). Мұрағатталды (PDF) түпнұсқасынан 2013-06-26. Алынған 2013-10-12.CS1 maint: тақырып ретінде мұрағатталған көшірме (сілтеме) 17-18 бет.
^ Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Мұрағатталды 2013-11-10 Wayback Machine Юни Дармштадт (PDF; 3,4 МБ), S. 88.
^ Безинке, Адам; т.б. (2018). «Простатаның көлемін анықтау: заманауи әдістерді салыстыру». Академиялық радиология. 25 (12): 1582–1587. дои:10.1016 / j.acra.2018.03.014. PMID 29609953.
^ Голдштейн, H G (1980). Классикалық механика, (2-ші басылым) 5-тарау.
^ Дюсенбери, Дэвид Б. (2009).Шағын масштабта өмір сүру, Гарвард университетінің баспасы, Кембридж, Массачусетс ISBN 978-0-674-03116-6.
^ Фрахм, Г., Юнкер, М., & Сзимайер, А. (2003). Эллиптикалық копулалар: қолдану және шектеулер. Статистика және ықтималдық хаттары, 63 (3), 275–286.

Әдебиеттер тізімі

Крейциг, Эрвин (1972), Жоғары деңгейлі математика (3-ші басылым), Нью-Йорк: Вили, ISBN 0-471-50728-8

Сыртқы сілтемелер

"Эллипсоид «Джефф Брайант, Wolfram демонстрациясы жобасы, 2007.
Эллипсоид және Квадраттық беті, MathWorld.

[1] Крейциг (1972), 455–456 бб.)

[2] F.W.J. Олвер, Д.В. Лозье, Р.Ф. Boisvert және C.W. Кларк, редакторлар, 2010, NIST математикалық функциялар туралы анықтамалық (Кембридж университетінің баспасы ), онлайн қол жетімді «Мұрағатталған көшірме». Мұрағатталды 2012-12-02 аралығында түпнұсқадан. Алынған 2012-01-08.CS1 maint: тақырып ретінде мұрағатталған көшірме (сілтеме) (келесі сілтемені қараңыз).

[3] NIST (Ұлттық стандарттар және технологиялар институты) http://www.nist.gov Мұрағатталды 2015-06-17 сағ Wayback Machine

[4] ttp://dlmf.nist.gov/19.2

[5] В., Вайсштейн, Эрик. «Prolate Spheroid». mathworld.wolfram.com. Мұрағатталды түпнұсқадан 2017 жылғы 3 тамызда. Алынған 25 наурыз 2018.

[6] Соңғы жауаптар Мұрағатталды 2011-09-30 сағ Wayback Machine Мичон Джерард П. (2004-05-13). Томсеннің формулалары мен Кантреллдің түсініктемелерін қараңыз.

[7] Альберт, Авраам Адриан (2016) [1949], Қатты аналитикалық геометрия, Довер, б. 117, ISBN 978-0-486-81026-3

[8] В.Бем: Die FadenKonstruktion der Flächen zweiter Ordnung, Математика. Nachrichten 13, 1955, S. 151

[9] Стоуд, О .: Ueber Fadencecutionen des Ellipsoides. Математика. Энн. 20, 147–184 (1882)

[10] Стоуд, О .: Ueber neue Focaleigenschaften der Flächen 2. Бағалар. Математика. Энн. 27, 253–271 (1886).

[11] Стоуд, О .: Die algebraischen Grundlagen der Focaleigenschaften der Flächen 2. Ordnung Математика. Энн. 50, 398 - 428 (1898).

[12] Д. Хильберт пен Кон-Воссен: Геометрия және қиял, Челси, Нью-Йорк, 1952, ISBN 0-8284-1087-9, б. 20.

[13] О. Гессен: Analytische Geometrie des Raumes, Тубнер, Лейпциг 1861, б. 287

[14] Д. Хильберт пен Кон-Воссен: Геометрия және қиял, б. 24

[15] О. Гессен: Analytische Geometrie des Raumes, б. 301

[16] В.Блашке: Analytische Geometrie, б. 125

[17] «Мұрағатталған көшірме» (PDF). Мұрағатталды (PDF) түпнұсқасынан 2013-06-26. Алынған 2013-10-12.CS1 maint: тақырып ретінде мұрағатталған көшірме (сілтеме) 17-18 бет.

[18] Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Мұрағатталды 2013-11-10 Wayback Machine Юни Дармштадт (PDF; 3,4 МБ), S. 88.

[19] Безинке, Адам; т.б. (2018). «Простатаның көлемін анықтау: заманауи әдістерді салыстыру». Академиялық радиология. 25 (12): 1582–1587. дои:10.1016 / j.acra.2018.03.014. PMID 29609953.

[20] Голдштейн, H G (1980). Классикалық механика, (2-ші басылым) 5-тарау.

[21] Дюсенбери, Дэвид Б. (2009).Шағын масштабта өмір сүру, Гарвард университетінің баспасы, Кембридж, Массачусетс ISBN 978-0-674-03116-6.

[22] Фрахм, Г., Юнкер, М., & Сзимайер, А. (2003). Эллиптикалық копулалар: қолдану және шектеулер. Статистика және ықтималдық хаттары, 63 (3), 275–286.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]