Тензор тығыздығы - Tensor density

Жылы дифференциалды геометрия, а тензор тығыздығы немесе салыстырмалы тензор жалпылау болып табылады тензор өрісі тұжырымдама. Тензор тығыздығы бір координаталар жүйесінен екіншісіне өткен кезде тензор өрісі ретінде өзгереді (қараңыз) тензор өрісі ), егер ол қосымша көбейтілсе немесе өлшенген күшпен W туралы Якобиялық детерминант координаталық ауысу функциясының немесе оның абсолютті мәні. (Шынайы) тензор тығыздығы, псевдотензор тығыздығы, жұп тензор тығыздығы және тақ тензор тығыздығы арасында айырмашылық жасалады. Кейде теріс салмағы бар тензор тығыздығы W деп аталады тензор сыйымдылығы.[1][2][3] Тензор тығыздығын а деп те қарастыруға болады бөлім туралы тензор өнімі а тензор байламы а тығыздық байламы.

Мотивация

Физикада және онымен байланысты салаларда көбінесе объектінің өзі емес, алгебралық объектінің компоненттерімен жұмыс істеу пайдалы болады. Мысал ретінде векторды қосындыға қосуға болады негіз сияқты кейбір коэффициенттермен өлшенген векторлар

қайда 3 өлшемді вектор болып табылады Евклид кеңістігі, Евклид кеңістігіндегі әдеттегі стандартты векторлар. Әдетте бұл есептеу мақсаттары үшін қажет, алгебралық нысандар күрделі абстракцияларды бейнелегенде, бірақ олардың компоненттері нақты түсіндірмелерге ие болған кезде түсінікті болуы мүмкін. Алайда, осы сәйкестендіру арқылы санның кеңеюі негізінде жатқан базаның өзгеруін қадағалап отыру керек; ол есептеу барысында мақсатқа сай болуы мүмкін негізін өзгерту және вектор физикалық кеңістікте тұрақты болып қалады. Жалпы, егер алгебралық объект геометриялық нысанды бейнелейтін болса, бірақ белгілі бір негізде көрсетілген болса, онда негіз өзгерген кезде, бейнелеуді де өзгерту керек. Физиктер геометриялық объектінің бұл көрінісін жиі а деп атайды Тензор егер ол тізбегі бойынша өзгерсе сызықтық карталар негіздің сызықтық өзгеруіне байланысты (басқалар түсініксіз түрде координаталық түрлендіру кезінде өзгермеген геометриялық объектіні «тензор» деп атайды, бірақ конвенция бұл мақаладан мүлдем аулақ болады). Жалпы, кескіннен геометриялық инвариантты қалай қалпына келтіруге байланысты ерікті түрде өзгеретін бейнелер бар. Белгілі бір ерекше жағдайларда тензорларға ұқсас түрлендіретін, бірақ трансформациядағы қосымша, сызықтық емес факторларды қолданатын ыңғайлы. Прототиптік мысал - көлденең көбейтіндіні (кеңейтілген параллелограмның ауданы) бейнелейтін матрица . Стандартты негізде ұсыну

Егер біз енді дәл осы өрнекті стандартты негізден басқа негізде көрсетуге тырысатын болсақ, онда векторлардың компоненттері өзгереді, қайда нақты сандардың 2-ден 2-ге дейінгі матрицасы. Жайылған параллелограмның ауданы геометриялық инвариант екенін ескере отырып, ол базистің өзгеруімен өзгере алмайды, сондықтан бұл матрицаның жаңа көрінісі:

ол кеңейтілген кезде тек бастапқы өрнек болып табылады, бірақ анықтауышына көбейтіледі , бұл да . Іс жүзінде бұл көріністі тензордың екі түрлендіруі деп қарастыруға болады, бірақ оның орнына тензорды түрлендіру ережесін көбейту деп есептеу оңайырақ , 2 матрицалық көбейту ретінде емес (Іс жүзінде үлкен өлшемдерде бұл табиғи кеңейту болып табылады матрицалық көбейту толығымен мүмкін емес). Осылай өзгеретін объектілер деп аталады тензор тығыздығы өйткені олар аудандар мен көлемдерге қатысты мәселелерді қарау кезінде табиғи түрде пайда болады, сондықтан интеграция саласы жиі қолданылады.

Анықтама

Кейбір авторлар тензорлық тығыздықты тензорлық тығыздық деп аталатын екі түрге жіктейді (түпнұсқа) және псевдотензорлық тығыздық. Басқа авторлар оларды жұп тензорлық және тақтық тығыздық деп аталатын түрлерге әр түрлі жіктейді. Тензор тығыздығының салмағы бүтін сан болған кезде, осы амалдар арасында эквиваленттілік болады, ол бүтін санның жұп немесе тақ болуына байланысты болады.

Бұл жіктелімдер тензорлық тығыздықтың бағыт бойынша патологиялық өзгеруінің әртүрлі жолдарын анықтайтындығын ескеріңіз.кері айналдыру координаталық түрлендірулер. Осы типтерге жіктелуіне қарамастан тензорлық тығыздықтың бағдар бойынша өзгеруінің бір ғана жолы бар -сақтау координаталық түрлендірулер.

Бұл мақалада біз метрикалық тензордың детерминантына +2 салмағын беретін конвенцияны таңдадық. ковариант индекстер. Осы таңдау арқылы зарядтың тығыздығы сияқты классикалық тығыздық + 1 салмағының тензорлық тығыздығымен ұсынылатын болады. Кейбір авторлар салмақ белгілері туралы конвенцияны пайдаланады, бұл мұнда келтірілгенді жоққа шығарады.[4]

Тензор мен псевдотензордың тығыздығы

Мысалы, салмақтың аралас екі дәрежелі тензорлық тығыздығы (шынайы) W келесідей өзгереді:[5][6]

    ((шынайы) салмақтың тензор тығыздығы W)

қайда - тензордың тығыздығы координаттар жүйесі, -де өзгерген тензор тығыздығы координаттар жүйесі; және біз қолданамыз Якобиялық детерминант. Детерминант теріс бағытта болуы мүмкін, ол координатты ориентацияға айналдыруға арналған, бұл формула тек осы жағдайда қолданылады W бүтін сан. (Төменде жұп және тақ тензор тығыздығын қараңыз).

Тензор тығыздығы деп ориентирленген координатты түрлендіру кезінде қосымша таңбалы флип болған кезде псевдотензорлы тығыздықты айтамыз. Аралас екі дәрежелі псевдотензор тығыздығы W ретінде өзгереді

    (псевдотензор тығыздығы (бүтін) салмақ W)

қайда сгн () - аргументі оң болғанда +1 немесе аргументі теріс болғанда −1 қайтаратын функция.

Тензордың жұп және тақ тығыздықтары

Тензордың жұп және тақ тығыздықтары үшін түрлендірулер тіпті жақсы болған жағдайда да тиімді болады W бүтін сан емес. Осылайша, мысалы, +2 салмақтың тақ тензорлық тығыздығы немесе of1/2 салмақтың тензорлық тығыздығы туралы айтуға болады.

Қашан W (шынайы) тензор тығыздығының жоғарыдағы формуласы келесідей жазылуы мүмкін, тіпті бүтін сан болып табылады

    (салмақтың тензорлық тығыздығы да W)

Сол сияқты, қашан W тақ сан болып табылады (шынайы) тензор тығыздығының формуласын келесі түрінде жазуға болады

    (салмақтың тақ тензор тығыздығы W)

Нөл және бір салмақ

Салмағы нөлге ие кез-келген типтегі тензордың тығыздығын ан деп те атайды абсолютті тензор. Салмақ нөлінің шынайы тензорлық тығыздығы да деп аталады қарапайым тензор.

Егер салмақ көрсетілмеген, бірақ белгілі бір салмақ қажет болатын жағдайда «салыстырмалы» немесе «тығыздық» сөзі қолданылса, әдетте салмақ +1 деп қабылданады.

Алгебралық қасиеттері

  1. Бір типті және салмақтағы тензорлық тығыздықтардың сызықтық комбинациясы W қайтадан осы типтегі және салмақтағы тензор тығыздығы.
  2. Кез-келген типтегі және салмағы бар екі тензорлық тығыздықтың көбейтіндісі W1 және W2 - салмақтың тензорлық тығыздығы W1 + W2.
    Нақты тензорлық және псевдотензорлық тығыздықтардың көбейтіндісі, егер факторлардың жұп саны псевдотензорлық тығыздық болса, онда шынайы тензорлық тығыздық болады; бұл факторлардың тақ саны псевдотензорлы тығыздық болған кезде псевдотензор тығыздығы болады. Сол сияқты, жұп тензорлық және тақтық тығыздықтардың көбейтіндісі көбейткіштердің жұп саны тақ тензорлы болған кезде жұп тензорлық тығыздық болады; факторлардың тақ саны тензорлық тығыздыққа тең болған кезде тақ тензор тығыздығы болады.
  3. Тензор тығыздығы бойынша индекстердің салмағымен жиырылуы W қайтадан салмақтың тензорлық тығыздығын береді W.[7]
  4. (2) және (3) көмегімен индекстерді метрикалық тензорды қолданып көтеру және төмендету салмақты өзгеріссіз қалдыратынын көреді.[8]

Матрицалық инверсия және тензорлық тығыздықтың матрицалық детерминанты

Егер сингулярлы емес матрица және салмақ дәрежесі бойынша тензор тығыздығы W ковариантты индекстермен оның матрицасы кері болады, салмақтың тензорлық тығыздығы екі дәрежелі болады -W қарсы көрсеткіштермен. Ұқсас тұжырымдар екі индекс бір-біріне қарсы болғанда немесе аралас ковариантты және қарама-қайшы болған кезде қолданылады.

Егер салмақтың тензорлық тығыздығы W ковариантты индекстермен, содан кейін матрицалық детерминант салмағы болады NW + 2, қайда N бұл уақыт-уақыт өлшемдерінің саны. Егер салмақтың тензорлық тығыздығы W қарама-қайшы индекстермен, содан кейін матрица детерминанты салмағы болады NW − 2. Матрицалық детерминант салмағы болады NW.

Жалпы салыстырмалылық

Якобиялық детерминант пен метрикалық тензордың байланысы

Кез-келген сингулярлы емес қарапайым тензор ретінде өзгереді

Мұнда оң жақ матрицаның көбейтіндісі ретінде қарастыруға болады. Теңдеудің екі жағының детерминантын алып (матрица көбейтіндісінің детерминанты детерминанттардың көбейтіндісі болатынын пайдаланып), екі жағын да бөлу және олардың квадрат түбірін алу береді

Тензор болған кезде Т болып табылады метрикалық тензор, , және жергілікті инерциялық координаттар жүйесі болып табылады диаграмма (-1, + 1, + 1, + 1), Минковский метрикасы, содан кейін −1 және т.б.

қайда метрикалық тензордың анықтаушысы болып табылады .

Тензор тығыздығын манипуляциялау үшін метрикалық тензорды қолдану

Демек, тензор тығыздығы, , салмақ W, түрінде жазуға болады

қайда кәдімгі тензор болып табылады. Жергілікті инерциялық координаттар жүйесінде, қайда , бұл солай болады және бірдей сандармен ұсынылатын болады.

Метрикалық байланысты қолданған кезде (Levi-Civita байланысы ), ковариант туынды тең тензор тығыздығының мәні ретінде анықталады

Ерікті байланыс үшін ковариантты туынды қосымша термин қосу арқылы анықталады, атап айтқанда

кәдімгі тензордың ковариантты туындысына сәйкес келетін өрнекке.

Бұған тең өнім ережесі сақталады

мұндағы, метрикалық байланыс үшін, кез-келген функциясының ковариант туындысы әрқашан нөлге тең,

Мысалдар

Өрнек бұл скалярлық тығыздық. Осы мақаланың конвенциясы бойынша оның салмағы +1 құрайды.

Электр тогының тығыздығы (мысалы, - бұл 3 көлемді элементтен өтетін электр зарядының мөлшері сол элементке бөлінген - метриканы осы есептеулерде қолданбаңыз) +1 салмағының векторлық тығыздығына қарсы келеді. Ол көбінесе ретінде жазылады немесе , қайда және дифференциалды форма абсолютті тензор болып табылады, және қайда болып табылады Levi-Civita белгісі; төменде қараңыз.

Тығыздығы Лоренц күші (яғни, электромагниттік өрістен 4 көлемді элемент шегінде затқа берілген сызықтық импульс сол элементке бөлінген - бұл есептеуде метриканы пайдаланбаңыз) +1 салмағының ковариантты векторлық тығыздығы.

Жылы N-өлшемді кеңістік-уақыт Levi-Civita белгісі не дәреже ретінде қарастырылуы мүмкінN салмағы ov1 (ε) ковариантты (тақ) шынайы тензор тығыздығыα1… ΑN) немесе дәрежеN салмақтың қарама-қайшы (тақ) шынайы тығыздығы +1 (ε)α1… ΑN). Леви-Сивитаның белгісі (солай саналады) бар екеніне назар аударыңыз емес метрикалық тензормен индекстерді көтеру немесе төмендету туралы әдеттегі конвенцияға бағыну. Яғни, бұл шындық

бірақ жалпы салыстырмалылықта, қайда әрқашан теріс, бұл ешқашан тең емес .

The анықтауыш метрикалық тензор,

+2 салмақтың шынайы скалярлық тығыздығы.

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Вайнрайх, Габриэль (6 шілде 1998). Геометриялық векторлар. 112, 115 б. ISBN  978-0226890487.
  2. ^ Папаставридис, Джон Г. (18 желтоқсан, 1998). Тензорлық есептеу және аналитикалық динамика. CRC Press. ISBN  978-0849385148.
  3. ^ Руис-Толоса, Кастильо, Хуан Р., Энрике (30 наурыз 2006). Векторлардан тензорға дейін. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3540228875.
  4. ^ Мысалы. Вайнберг 1972 ж 98-бет. Таңдалған конвенция төмендегі формулаларды қамтиды Якобиялық детерминант кері өту хх, ал қарама-қарсы конвенция алға жылжуды қарастырады хх нәтижесінде салмақ белгісі аударылады.
  5. ^ М.Р.Шпигель; С.Липкшуц; Д.Спеллман (2009). Векторлық талдау (2-ші басылым). Нью-Йорк: Шаумның сұлбасы. б. 198. ISBN  978-0-07-161545-7.
  6. ^ CB Parker (1994). McGraw Hill физика энциклопедиясы (2-ші басылым). б.1417. ISBN  0-07-051400-3.
  7. ^ Вайнберг 1972 ж 100-бет.
  8. ^ Вайнберг 1972 ж 100-бет.

Әдебиеттер тізімі