Ricci calculus - Ricci calculus

Жылы математика, Ricci calculus үшін индексті белгілеу және манипуляциялау ережелерін құрайды тензорлар және тензор өрістері ішінде Риманн коллекторы^[a].^[1][2][3] Бұл сондай-ақ бұрынғы деп аталатын қазіргі атау абсолютті дифференциалдық есептеу (негізі тензор есебі ) әзірлеген Грегорио Риччи-Кербастро 1887–1896 жж., содан кейін оқушысымен бірге жазылған қағазда танымал болды Туллио Леви-Сивита 1900 ж.^[4] Jan Arnoldus Schouten осы математикалық шеңбер үшін заманауи нота мен формализмді дамытып, оны қолдану барысында теорияға үлес қосты жалпы салыстырмалылық және дифференциалды геометрия ХХ ғасырдың басында.^[5]

Тензордың құрамдас бөлігі - а нақты нөмір бұл тензор кеңістігінің базалық элементінің коэффициенті ретінде қолданылады. Тензор дегеніміз - оның сәйкес элементтеріне көбейтілген компоненттерінің қосындысы. Тензорлар мен тензор өрістерін олардың компоненттері арқылы, ал тензорлар мен тензор өрістеріндегі операцияларды олардың компоненттері бойынша операциялар арқылы өрнектеуге болады. Тензор өрістерін және олардағы операцияларды олардың компоненттері тұрғысынан сипаттау Ricci есептеуінің басты бағыты болып табылады. Бұл жазба осындай тензор өрістері мен операцияларын тиімді өрнектеуге мүмкіндік береді. Белгілеудің көп бөлігі кез-келген тензорларға қолданылуы мүмкін болғанымен, а-ға қатысты операциялар дифференциалды құрылым тек тензор өрістеріне қолданылады. Қажет болған жағдайда, белгілеу тензор емес компоненттерге таралады, әсіресе көп өлшемді массивтер.

Тензор теңдеудің сызықтық қосындысы түрінде көрсетілуі мүмкін тензор өнімі туралы вектор және ковектор негіз элементтері. Алынған тензор компоненттері негіз индекстерімен белгіленеді. Әр индексте бір мүмкін болатын мән бар өлшем негізінде жатқан векторлық кеңістік. Индекстер саны тензор деңгейіне (немесе ретті) тең.

Ықшамдық пен ыңғайлылық үшін нотациялық конвенция бір мерзім ішінде қайталанған индекстердің қорытындысын білдіреді әмбебап сандық еркін индекстерден артық. Риччи есептеуінің белгілеріндегі өрнектер, әдетте, компоненттерді коллектордың үстіндегі функциялар ретінде, көбінесе коллектордағы координаталардың функциялары ретінде бір мезгілде болатын теңдеулер жиынтығы ретінде түсіндірілуі мүмкін. Бұл шектеулі ережелер жиынтығын біле отырып, өрнектерді интуитивті басқаруға мүмкіндік береді.

Индекстерге арналған белгілер

Негізге байланысты айырмашылықтар

Кеңістік пен уақыт координаттары

Классикалық физиканың төрт өлшемді кеңістігінде кеңістіктік негіз элементтері мен уақытқа ұқсас элементтің аражігін ажырату қажет болса, бұл шартты түрде келесідей көрсеткіштер арқылы жүзеге асырылады:^[6]

• Кіші әріп Латын әліпбиі а, б, c, ... 3 өлшемді шектеуді көрсету үшін қолданылады Евклид кеңістігі, кеңістіктік компоненттер үшін 1, 2, 3 мәндерін қабылдайтын; және 0-мен көрсетілген уақытқа ұқсас элемент бөлек көрсетіледі.
• Кіші әріп Грек алфавиті α, β, γ, ... 4 өлшемді үшін қолданылады ғарыш уақыты, бұл әдетте уақыт компоненттері үшін 0, кеңістіктік компоненттер үшін 1, 2, 3 мәндерін алады.

Уақытқа сәйкес келетін индекс мәні ретінде кейбір дереккөздер 0 орнына 4-ті қолданады; осы мақалада 0 қолданылады. Әйтпесе, жалпы математикалық контексттерде кез-келген символдар жалпы векторлық кеңістіктің барлық өлшемдері бойынша өтетін индекстер үшін қолданыла алады.

Координаталық және индекстік жазба

Автор (лар), әдетте, индекс немесе белгі ретінде жазба индексін анықтайды.

Мысалы, үш өлшемді эвклид кеңістігінде және пайдалану Декарттық координаттар; The координаталық вектор A = (A₁, A₂, A₃) = (A_х, A_ж, A_з) 1, 2, 3 жазулары мен этикеткалар арасындағы тікелей сәйкестікті көрсетеді x, y, z. Өрнекте A_мен, мен мәні 1, 2, 3 мәндерінен асатын индекс ретінде түсіндіріледі, ал x, y, z подпискалар ауыспалы индекстер емес, көбінесе компоненттерге арналған «аттарға» ұқсас. Ғарыш уақыты контексінде 0 индекс мәні шартты түрде белгімен сәйкес келеді т.

Негізге сілтеме

Индекстердің өзі болуы мүмкін белгіленген қолдану диакритикалық сияқты белгілер, мысалы, а бас киім (ˆ), бар (¯), тильда (˜) немесе жай (′):

${ displaystyle X _ { hat { phi}} ,, Y _ { bar { lambda}} ,, Z _ { tilde { eta}} ,, T _ { mu '}}$

мүмкін басқаша белгілеу негіз сол индекс үшін. Мысал Лоренц түрлендірулері бірінен анықтама шеңбері екіншісіне, мұнда бір жақтауда алдын ала жазылмаған, ал екіншісінде грунтталған болуы мүмкін:

${ displaystyle v ^ { mu '} = v ^ { nu} L _ { nu} {} ^ { mu'}.}$

Мұны шатастыруға болмайды ван der Waerden жазбасы үшін шпинаторлар, бұл шпинатордың хиральдылығын көрсету үшін шляпалар мен индекстердегі артық белгілерді пайдаланады.

Жоғарғы және төменгі индекстер

Ricci calculus және индекс белгісі тұтастай алғанда, төменгі индекстерді (индекстер) және жоғарғы индекстерді (жоғарғы скрипттерді) ажыратады; соңғысы емес экспоненттер, олар оқырманға тек математиканың басқа бөліктерімен таныс болып көрінуі мүмкін.

Жоғарғы және төменгі индекстер арасындағы айырмашылықты төмендетуге болатын ерекше жағдайларда (метрикалық тензор барлық жерде сәйкестілік матрицасына тең болады), содан кейін барлық индекстерді төменгі позицияда жазуға болады - мысалы, сызықтық алгебрадағы координаталық формулалар. ${ displaystyle a_ {ij} b_ {jk}}$ матрицалар көбейтіндісі үшін кейде оны мысал ретінде түсінуге болады - бірақ тұтастай алғанда белгілер жоғарғы және төменгі индекстер арасындағы айырмашылықты сақтауды және сақтауды талап етеді.

Ковариантты тензор компоненттері

A төменгі индекс (индекс) осы индекске қатысты компоненттердің ковариациясын көрсетеді:

${ displaystyle A _ { alpha beta gamma cdots}}$

Қарама-қарсы тензор компоненттері

Ан жоғарғы индекс (үстіңгі жазба) осы индекске қатысты компоненттердің қайшылықты екендігін көрсетеді:

${ displaystyle A ^ { alpha beta gamma cdots}}$

Аралас-дисперсиялық тензор компоненттері

Тензордың жоғарғы және төменгі индекстері болуы мүмкін:

${ displaystyle A _ { alpha} {} ^ { beta} {} _ { gamma} {} ^ { delta cdots}.}$

Индекстерге тапсырыс беру әр түрлі болған кезде де маңызды. Алайда, базалық белгіні сақтай отырып, ешқандай индекстер көтерілмейді немесе төмендетілмейді деп түсінген кезде, нотариаттық ыңғайлылық үшін ковариантты индекстер кейде қарама-қайшы индекстердің астына қойылады (мысалы, жалпыланған Kronecker атырауы ).

Тензор түрі мен дәрежесі

Тензордың әрбір жоғарғы және төменгі индекстерінің саны оны береді түрі: тензор б жоғарғы және q төменгі индекстер типті деп аталады (б, q)немесе тип болу үшін(б, q) тензор.

Тензор индекстерінің саны, дисперсияға қарамастан, деп аталады дәрежесі тензордың (баламалы, оның валенттілік, тапсырыс немесе дәреже, дегенмен дәреже анық емес). Осылайша, типтегі тензор (б, q) дәрежесі бар б + q.

Қорытынды конвенция

Бір мерзім ішінде екі рет пайда болатын бір белгі (біреуі жоғарғы және біреуі төмен) қорытындыланған жұп индексті көрсетеді:

${ displaystyle A _ { alpha} B ^ { alpha} equiv sum _ { alpha} A _ { alpha} B ^ { alpha} quad { text {or}} quad A ^ { alpha } B _ { alpha} equiv sum _ { alpha} A ^ { alpha} B _ { alpha} ,.}$

Осындай жиынтыққа негізделген операция деп аталады тензорлық жиырылу:

${ displaystyle A _ { alpha} B ^ { beta} rightarrow A _ { alpha} B ^ { alpha} equiv sum _ { alpha} A _ { альфа} B ^ { альфа} ,. }$

Бұл жиынтық бір мерзім ішінде бірнеше рет орын алуы мүмкін, мысалы, бір индекстің жұбы үшін нақты белгісі бар, мысалы:

${ displaystyle A _ { alpha} {} ^ { gamma} B ^ { alpha} C _ { gamma} {} ^ { beta} equiv sum _ { alpha} sum _ { gamma} A_ { альфа} {} ^ { гамма} В ^ { альфа} С _ { гамма} {} ^ { бета} ,}$

Бір мерзім ішінде қайталанған индекстердің басқа тіркесімдері дұрыс қалыптаспаған болып саналады, мысалы

${ displaystyle A _ { alpha alpha} {} ^ { gamma} qquad}$	(екі пайда болуы ${ displaystyle alpha}$ төменірек; ${ displaystyle A _ { alpha} {} ^ { alpha gamma}}$ жақсы болар еді)
${ displaystyle A _ { alpha gamma} {} ^ { gamma} B ^ { alpha} C _ { gamma} {} ^ { beta}}$	(${ displaystyle gamma}$ төменгі индекстен екі есе көп кездеседі; ${ displaystyle A _ { альфа гамма} {} ^ { гамма} B ^ { альфа}}$ немесе ${ displaystyle A _ { alpha delta} {} ^ { gamma} B ^ { alpha} C _ { gamma} {} ^ { beta}}$ жақсы болар еді).

Мұндай формулаларды алып тастаудың себебі, бұл шамалар сандар жиымы ретінде есептелуі мүмкін болғанымен, олар негізін өзгерткен кезде тензор ретінде өзгермейді.

Көп индексті жазба

Егер тензорда барлық жоғарғы немесе төменгі индекстердің тізімі болса, онда стенография тізімге бас әріппен жазылады:^[7]

${ displaystyle A_ {i_ {1} cdots i_ {n}} B ^ {i_ {1} cdots i_ {n} j_ {1} cdots j_ {m}} C_ {j_ {1} cdots j_ { m}} equiv A_ {I} B ^ {IJ} C_ {J}}$

қайда Мен = мен₁ мен₂ ⋅⋅⋅ мен_n және Дж = j₁ j₂ ⋅⋅⋅ j_м.

Тізбектелген қорытынды

Жұп тік жолақтар | | индекстердің басқа жиынтығымен жиырылуымен байланысты барлық жоғарғы индекстер жиынтығы немесе барлық төменгі индекстер айналасында:^[8]

${ displaystyle A_ {| альфа бета гамма | cdots} B ^ { альфа бета гамма cdots} = A _ { альфа бета гамма cdots} B ^ {| альфа бета гамма | cdots} = sum _ { альфа < бета < гамма} A _ { альфа бета гамма cdots} B ^ { альфа бета гамма cdots}}$

индекстің мәні бойынша шектелген қосынды білдіреді, мұнда әрбір индекс келесіден қатаң кіші болады. Тік жолақтар екі жиынтықтың емес, не жоғарғы жиектің, не жиырылған индекстердің төменгі жиынтығының айналасына орналастырылған. Әдетте индекстермен келісім жасасқанда, сома барлық мәндерден асып түседі. Бұл белгіде жиынтықтар есептеу ыңғайлылығы ретінде шектелген. Бұл өрнек болған кезде пайдалы толығымен антисимметриялық а-ның тензор көбейтіндісінде болуы мүмкін екі индекстің әрқайсысында б- векторы бар q-форм. Бірнеше топты осылай қорытындылауға болады, мысалы:

${ displaystyle { begin {aligned} & A_ {| alpha beta gamma |} {} ^ {| delta epsilon cdots lambda |} B ^ { alpha beta gamma} {} _ { delta epsilon cdots lambda | mu nu cdots zeta |} C ^ { mu nu cdots zeta} [3pt] = {} & sum _ { alpha < beta < гамма} ~ сумма _ { дельта < эпсилон < cdots < lambda} ~ sum _ { mu < nu < cdots < zeta} A _ { альфа бета гамма} {} ^ { delta epsilon cdots lambda} B ^ { альфа бета гамма} {} _ { delta epsilon cdots lambda mu nu cdots zeta} C ^ { mu nu cdots zeta } end {aligned}}}$

Көп индексті жазуды қолданғанда, индекстер блогының астына подкладка қойылады:^[9]

${ displaystyle A _ { underset { rightharpoondown} {P}} {} ^ { underset { rightharpoondown} {Q}} B ^ {P} {} _ {Q { underset { rightharpoondown} {R}} } C ^ {R} = sum _ { underset { rightharpoondown} {P}} sum _ { underset { rightharpoondown} {Q}} sum _ { underset { rightharpoondown} {R}} A_ {P} {} ^ {Q} B ^ {P} {} _ {QR} C ^ {R}}$

қайда

${ displaystyle { underset { rightharpoondown} {P}} = | альфа бета гамма | ,, quad { underset { rightharpoondown} {Q}} = | delta epsilon cdots lambda | ,, quad { underset { rightharpoondown} {R}} = | mu nu cdots zeta |}$

Индекстерді көтеру және төмендету

Индексті сингулярлы емеспен шарттастыру арқылы метрикалық тензор, түрі Тензорды төменгі индексті жоғарғы индекске ауыстыра отырып өзгертуге болады:

${ displaystyle B ^ { gamma} {} _ { beta cdots} = g ^ { gamma alpha} A _ { alpha beta cdots} quad { text {and}} quad A _ { альфа бета cdots} = g _ { альфа гамма} B ^ { gamma} {} _ { beta cdots}}$

Көптеген жағдайларда негізгі белгі сақталады (мысалы, пайдалану) A қайда B бұл жерде пайда болады), ал егер түсініксіз болса, индекстің орнын ауыстыру осы әрекетті білдіру үшін қабылдануы мүмкін.

Индекстілік позициялар мен инварианттылық арасындағы байланыс

Бұл кестеде ковариантты және қарама-қайшы индекстерді манипуляциялау өзгермейтін жағдайға қалай сәйкес келетіні келтірілген пассивті трансформация негіздер арасында, әр бағанның құрамдас бөліктері екінші бағанда көрсетілген басқа негізге сәйкес. Шектелген индекстер трансформациядан кейінгі соңғы координаталар жүйесіне қатысты.^[10]

The Kronecker атырауы қолданылады, төменде қараңыз.

	Трансформация негіздері	Компонентті түрлендіру	Инварианттық
Ковектор, ковариантты вектор, 1-форма	${ displaystyle e ^ { bar { alpha}} = L ^ { bar { alpha}} {} _ { beta} e ^ { beta}}$	${ displaystyle a _ { bar { alpha}} = a _ { gamma} L ^ { gamma} {} _ { bar { alpha}}}$	${ displaystyle a _ { bar { alpha}} e ^ { bar { alpha}} = a _ { gamma} L ^ { gamma} {} _ { bar { alpha}} L ^ { bar { alpha}} {} _ { beta} e ^ { beta} = a _ { gamma} delta ^ { gamma} {} _ { beta} e ^ { beta} = a _ { beta} e ^ { бета}}$
Векторлық, қарама-қарсы векторлық	${ displaystyle e _ { bar { alpha}} = L ^ { gamma} {} _ { bar { alpha}} e _ { gamma}}$	${ displaystyle a ^ { bar { alpha}} = a ^ { beta} L ^ { bar { alpha}} {} _ { beta}}$	${ displaystyle a ^ { bar { alpha}} e _ { bar { alpha}} = a ^ { beta} L ^ { bar { alpha}} {} _ { beta} L ^ { гамма} {} _ { бар { альфа}} е _ { гамма} = а ^ { бета} дельта ^ { гамма} {} _ { бета} е _ { гамма} = а ^ { гамма } e _ { гамма}}$

Индекстің белгіленуі мен операцияларының жалпы сұлбалары

Тензорлар тең егер және егер болса әрбір сәйкес компонент тең; мысалы, тензор A тензорға тең B егер және егер болса

${ displaystyle A ^ { alpha} {} _ { beta gamma} = B ^ { alpha} {} _ { beta gamma}}$

барлығына α, β, γ. Демек, теңдеудің мағынасы бар екенін тексеру үшін пайдалы белгілердің белгілері бар (ұқсас процедура өлшемді талдау ).

Еркін индекстер

Толғақтарға қатыспайтын көрсеткіштер деп аталады тегін индекстер. Қысқартуларда қолданылатын көрсеткіштер деп аталады жалған индекстер, немесе жиынтық индекстер.

Тензор теңдеуі көптеген қарапайым (нақты мәнді) теңдеулерді білдіреді

Тензорлардың компоненттері (мысалы A^α, B_β^γ т.б.) жай сандар. Тензорлардың нақты компоненттерін таңдау үшін индекстер әр түрлі бүтін мәндерді қабылдайтындықтан, бір тензор теңдеу көптеген қарапайым теңдеулерді ұсынады. Егер тензор теңдігі болса n еркін индекстер, ал егер векторлық кеңістіктің өлшемділігі болса м, теңдік білдіреді мⁿ теңдеулер: әр индекс белгілі бір мәндер жиынтығының әрбір мәнін қабылдайды.

Мысалы, егер

${ displaystyle A ^ { alpha} B _ { beta} {} ^ { gamma} C _ { gamma delta} + D ^ { alpha} {} _ { beta} {} E _ { delta} = Т ^ { альфа} {} _ { бета} {} _ { дельта}}$

ішінде төрт өлшем (яғни әрбір индекс 0-ден 3-ке дейін немесе 1-ден 4-ке дейін жұмыс істейді), өйткені үш бос индекс бар (α, β, δ), 4 бар³ = 64 теңдеу. Олардың үшеуі:

${ displaystyle { begin {aligned} A ^ {0} B_ {1} {} ^ {0} C_ {00} + A ^ {0} B_ {1} {} ^ {1} C_ {10} + A ^ {0} B_ {1} {} ^ {2} C_ {20} + A ^ {0} B_ {1} {} ^ {3} C_ {30} + D ^ {0} {} _ {1} {} E_ {0} & = T ^ {0} {} _ {1} {} _ {0} A ^ {1} B_ {0} {} ^ {0} C_ {00} + A ^ { 1} B_ {0} {} ^ {1} C_ {10} + A ^ {1} B_ {0} {} ^ {2} C_ {20} + A ^ {1} B_ {0} {} ^ { 3} C_ {30} + D ^ {1} {} _ {0} {} E_ {0} & = T ^ {1} {} _ {0} {} _ {0} A ^ {1} B_ {2} {} ^ {0} C_ {02} + A ^ {1} B_ {2} {} ^ {1} C_ {12} + A ^ {1} B_ {2} {} ^ {2} C_ {22} + A ^ {1} B_ {2} {} ^ {3} C_ {32} + D ^ {1} {} _ {2} {} E_ {2} & = T ^ {1} { } _ {2} {} _ {2}. End {aligned}}}$

Бұл индекстік жазбаны пайдаланудың ықшамдылығы мен тиімділігін көрсетеді: барлығы бірдей құрылымға ие көптеген теңдеулерді бір қарапайым тензор теңдеуіне жинауға болады.

Көрсеткіштер - ауыстырылатын белгілер

Кез келген индекстік белгіні басқасына ауыстыру тензор теңдеуін өзгеріссіз қалдырады (егер бұрын қолданылған басқа белгілермен қайшылық болмаса). Бұл индекстерді манипуляциялау кезінде пайдалы болуы мүмкін, мысалы, индекстеуді тексеру үшін векторлық есептеу сәйкестілігі немесе Kronecker атырауы және Levi-Civita белгісі (төменде қараңыз). Дұрыс өзгерістің мысалы:

${ displaystyle A ^ { alpha} B _ { beta} {} ^ { gamma} C _ { gamma delta} + D ^ { alpha} {} _ { beta} {} E _ { delta} оң жақ A ^ { lambda} B _ { beta} {} ^ { mu} C _ { mu delta} + D ^ { lambda} {} _ { beta} {} E _ { delta} ,, }$

ал қате өзгеріс:

${ displaystyle A ^ { alpha} B _ { beta} {} ^ { gamma} C _ { gamma delta} + D ^ { alpha} {} _ { beta} {} E _ { delta} nrightarrow A ^ { lambda} B _ { beta} {} ^ { gamma} C _ { mu delta} + D ^ { alpha} {} _ { beta} {} E _ { delta} ,. }$

Бірінші ауыстыруда λ ауыстырылды α және μ ауыстырылды γ барлық жерде, демек, өрнек әлі де сол мағынаға ие. Екіншіде, λ толығымен ауыстырылған жоқ α, және μ толығымен ауыстырылған жоқ γ (айтпақшы, жиырылу γ индекс тензор өніміне айналды), бұл келесі себептер бойынша мүлдем сәйкес келмейді.

Көрсеткіштер әр тоқсанда бірдей болады

Тензор өрнегіндегі бос индекстер әр мүшеде әрдайым бірдей (жоғарғы немесе төменгі) күйде көрінеді, ал тензор теңдеуінде еркін индекстер екі жақта бірдей болады. Думиндік индекстер (бұл индекстің қорытындысын білдіреді) бірдей болмауы керек, мысалы:

${ displaystyle A ^ { alpha} B _ { beta} {} ^ { gamma} C _ { gamma delta} + D ^ { alpha} {} _ { delta} E _ { beta} = T ^ { alpha} {} _ { beta} {} _ { delta}}$

қате өрнек туралы:

${ displaystyle A ^ { alpha} B _ { beta} {} ^ { gamma} C _ { gamma delta} + D _ { alpha} {} _ { beta} {} ^ { gamma} E ^ { delta}.}$

Басқаша айтқанда, қайталанбайтын индекстер теңдеудің әр мүшесінде бір типте болуы керек. Жоғарыда көрсетілген α, β, δ бойымен және γ жиырылудың салдарынан бір мүшеде екі рет пайда болады (біреуі жоғарғы индекс ретінде, бір рет төменгі индекс ретінде) және осылайша ол дұрыс өрнек болады. Жарамсыз өрнекте, while β сапқа тұру, α және δ жоқ, және γ бір тоқсанда екі рет пайда болады (жиырылу) және сәйкес келмейтін басқа мерзімде бір рет.

Белгіленген жерде бір рет қолданылған жақшалар мен тыныс белгілері

Ережені бірқатар индекстерге қолдану кезінде (дифференциалдау, симметриялау және т.б., келесіде көрсетілген) ережелерді білдіретін жақша немесе тыныс белгілері олар қолданылатын индекстердің бір тобында ғана көрсетіледі.

Егер жақшалар қоршалса ковариантты индекстер - ереже тек қолданылады барлық коварианттық индекстер жақшаға алынған, жақшалардың арасына орналастырылатын кез келген қарама-қайшы индекстерге емес.

Егер жақшалар қоршалған болса қарсы көрсеткіштер - ереже тек қолданылады қоса берілген барлық қарама-қайшы индекстер, аралықта орналастырылған ковариантты индекстерге емес.

Симметриялық және антисимметриялық бөліктер

Симметриялық тензор бөлігі

Жақшалар, (), бірнеше индекс айналасында тензордың симметрияланған бөлігін білдіреді. Симметрия кезінде б индекстерді пайдалану σ 1-ден сандарға дейінгі ауыспалы диапазонда б, бірі соманың үстінен алады ауыстыру осы индекстердің α_σ(мен) үшін мен = 1, 2, 3, …, б, содан кейін орын ауыстыру санына бөледі:

${ displaystyle A _ {( alpha _ {1} alpha _ {2} cdots alpha _ {p}) alpha _ {p + 1} cdots alpha _ {q}} = { dfrac {1 } {p!}} sum _ { sigma} A _ { альфа _ { sigma (1)} cdots alpha _ { sigma (p)} alpha _ {p + 1} cdots alpha _ {q}} ,.}$

Мысалы, екі симметриялы индекс - бұл екі индексті ауыстыру және қорытындылау керек дегенді білдіреді:

${ displaystyle A _ {( alpha beta) gamma cdots} = { dfrac {1} {2!}} left (A _ { alpha beta gamma cdots} + A _ { beta alpha гамма cdots} оң)}$

үш симметриялы индексте үш индекс бар, оларды қосу және өзгерту керек:

${ displaystyle A _ {( alpha beta gamma) delta cdots} = { dfrac {1} {3!}} left (A _ { alpha beta gamma delta cdots} + A _ { гамма альфа бета дельта cdots} + A _ { бета гамма альфа дельта cdots} + A _ { альфа гамма бета дельта cdots} + A _ { гамма бета альфа дельта cdots} + A _ { бета альфа гамма дельта cdots} оң)}$

Симметрия тарату үстеме қосу;

${ displaystyle A _ {( альфа} сол (B _ { бета) гамма cdots} + C _ { бета) гамма cdots} оң) = A _ {( альфа} B _ { бета) гамма cdots} + A _ {( альфа} C _ { бета) гамма cdots}}$

Индекстер симметриялануға жатпайды, егер олар:

• бір деңгейде емес, мысалы;

  ${ displaystyle A _ {( alpha} B ^ { beta} {} _ { gamma)} = { dfrac {1} {2!}} left (A _ { alpha} B ^ { beta} { } _ { gamma} + A _ { gamma} B ^ { beta} {} _ { alpha} right)}$

• жақша ішінде және тік жолақтар арасында (яғни | ⋅⋅⋅ |), алдыңғы мысалды өзгерте отырып;

  ${ displaystyle A _ {( alpha} B_ {| beta |} {} _ { gamma)} = { dfrac {1} {2!}} left (A _ { alpha} B _ { beta gamma) } + A _ { гамма} B _ { бета альфа} дұрыс)}$

Мұнда α және γ индекстер симметрияланған, β емес.

Антисимметриялық немесе тензордың ауыспалы бөлігі

Төрт жақшалар, [], бірнеше индекстердің айналасында қарсытензордың симметрияланған бөлігі. Үшін б антисимметрияланатын көрсеткіштер - осы индекстердің орнын ауыстыруының қосындысы α_σ(мен) көбейтіледі ауыстырудың қолтаңбасы сгн (σ) алынады, содан кейін орын ауыстыру санына бөлінеді:

${ displaystyle { begin {aligned} & A _ {[ alpha _ {1} cdots alpha _ {p}] alpha _ {p + 1} cdots alpha _ {q}} [3pt] = {} & { dfrac {1} {p!}} sum _ { sigma} operatorname {sgn} ( sigma) A _ { alpha _ { sigma (1)} cdots alpha _ { sigma (p)} alpha _ {p + 1} cdots alpha _ {q}} = {} & delta _ { alpha _ {1} cdots alpha _ {p}} ^ { beta _ {1} dots beta _ {p}} A _ { beta _ {1} cdots beta _ {p} alpha _ {p + 1} cdots alpha _ {q}} соңы {тураланған}}}$

қайда δβ1⋅⋅⋅βб
α1⋅⋅⋅αб болып табылады жалпыланған Kronecker атырауы дәрежесі 2б, төменде анықталғандай масштабтаумен.

Мысалы, антисимметриялайтын екі индекс мынаны білдіреді:

${ displaystyle A _ {[ alpha beta] gamma cdots} = { dfrac {1} {2!}} left (A _ { alpha beta gamma cdots} -A _ { beta alpha гамма cdots} оң)}$

ал үш антисимметриялайтын көрсеткіш мынаны білдіреді:

${ displaystyle A _ {[ alpha beta gamma] delta cdots} = { dfrac {1} {3!}} left (A _ { alpha beta gamma delta cdots} + A _ { гамма альфа бета дельта cdots} + А _ { бета гамма альфа дельта cdots} -A _ { альфа гамма бета дельта cdots} -A _ { гамма бета альфа дельта cdots} -A _ { бета альфа гамма дельта cdots} оң)}$

нақты мысалға келетін болсақ, егер F білдіреді электромагниттік тензор, содан кейін теңдеу

${ displaystyle 0 = F _ {[ альфа бета, гамма]} = { dfrac {1} {3!}} сол жақ (F _ { альфа бета, гамма} + F _ { гамма альфа, бета} + F _ { бета гамма, альфа} -F _ { бета альфа, гамма} -F _ { альфа гамма, бета} -F _ { гамма бета, альфа} оң) ,}$

ұсынады Магнетизм үшін Гаусс заңы және Фарадей индукциясы заңы.

Бұрынғыдай, антисимметрия қоспадан тыс үлестіргіш;

${ displaystyle A _ {[ alpha} сол жақ (B _ { бета] гамма cdots} + C _ { бета] гамма cdots} оң) = A _ {[ альфа} B _ { бета] гамма cdots} + A _ {[ alpha} C _ { beta] gamma cdots}}$

Симметриядағы сияқты индекстер антисимметрияланбайды:

• бір деңгейде емес, мысалы;

  ${ displaystyle A _ {[ alpha} B ^ { beta} {} _ { gamma]} = { dfrac {1} {2!}} left (A _ { alpha} B ^ { beta} { } _ { гамма} -А _ { гамма} В ^ { бета} {} _ { альфа} оң)}$

• Алдыңғы мысалды өзгерте отырып, тік жақша ішінде және тік жолақтар арасында (яғни | ⋅⋅⋅ |);

  ${ displaystyle A _ {[ alpha} B_ {| beta |} {} _ { gamma]} = { dfrac {1} {2!}} left (A _ { alpha} B _ { beta gamma } -A _ { гамма} B _ { бета альфа} дұрыс)}$

Мұнда α және γ индекстер антисимметрияланған, β емес.

Симметриялық және антисимметриялық бөліктердің қосындысы

Кез-келген тензорды оның симметриялы және антисимметриялық бөліктерінің қосындысы ретінде екі индекске жазуға болады:

${ displaystyle A _ { alpha beta gamma cdots} = A _ {( alpha beta) gamma cdots} + A _ {[ alpha beta] gamma cdots}}$

үшін жоғарыдағы өрнектерді қосу арқылы көруге болады A_{(αβ)γ⋅⋅⋅} және A_{[αβ]γ⋅⋅⋅}. Бұл екі индекстен басқаға сәйкес келмейді.

Саралау

Ықшамдық үшін туындыларды үтір немесе үтірден кейін индекстер қосу арқылы көрсетуге болады.^[11][12]

Ішінара туынды

Ricci есептеуінің өрнектерінің көпшілігі ерікті негіздер үшін жарамды болса, координаттарға қатысты тензор компоненттерінің ішінара туындыларын қамтитын өрнектер тек координаталық негіз: координаталарға қатысты дифференциалдау арқылы анықталатын негіз. Координаттар әдетте белгіленеді х^μ, бірақ жалпы түрде вектордың компоненттерін құрмайды. Сызықтық координаттаумен жазықтықтағы кеңістікте айырмашылықтар координаттар бойынша, Δх^μ, қарама-қарсы вектор ретінде қарастырылуы мүмкін. Кеңістіктегі және координаттар жүйесін таңдаудағы бірдей шектеулермен координаттарға қатысты ішінара туындылар тиімді ковариантты нәтиже береді. Осы ерекше жағдайда қолданудан басқа, тензор құрамдас бөліктерінің ішінара туындылары ковариантты өрнектерді құруда пайдалы, бірақ егер ішінара туындылар айқын қолданылса, координаталық негізде болса да, төмендегі ковариант және Lie туындылары сияқты.

Тензор өрісі компоненттерінің координаталық айнымалыға қатысты ішінара дифференциациясын көрсету х^γ, а үтір координаталық айнымалының төменгі индексінің алдына қойылады.

${ displaystyle A _ { alpha beta cdots, gamma} = { dfrac { жарымжан} { жартылай x ^ { gamma}}} A _ { alpha beta cdots}}$

Бұл қайталануы мүмкін (қосымша үтірлерсіз):

${ displaystyle A _ { альфа _ {1} альфа _ {2} cdots альфа _ {р} ,, , альфа _ {р + 1} cdots альфа _ {q}} = { dfrac { жарым-жартылай ^ {qp}} { жартылай x ^ { альфа _ {q}} cdots жартылай x ^ { альфа _ {p + 2}} жартылай x ^ { альфа _ {р + 1 }}}} A _ { альфа _ {1} альфа _ {2} cdots альфа _ {р}}.}$

Бұл компоненттер жасайды емес егер дифференциалданған өрнек скаляр болмаса, ковариантты түрде өзгертіңіз. Бұл туынды сипатталады өнім ережесі және координаталардың туындылары

${ displaystyle x ^ { alpha} {} _ {, gamma} = delta ^ { alpha} {} _ { gamma},}$

қайда δ болып табылады Kronecker атырауы.

Ковариант туындысы

Кез келген тензор өрісінің ковариантты дифференциациясын көрсету үшін, а нүктелі үтір ( ; ) төменгі төменгі (ковариантты) индекстің алдына қойылады. Нүктелік үтірге азырақ кездесетін баламаларға а алға қиғаш сызық ( / )^[13] немесе үш өлшемді қисық кеңістікте бір тік жолақ ( | ).^[14]

Қарама-қарсы вектор үшін оның ковариантты туындысы:

${ displaystyle A ^ { alpha} {} _ {; beta} = A ^ { alpha} {} _ {, beta} + Gamma ^ { alpha} {} _ { gamma beta} A ^ { гамма}}$

қайда Γ^α_βγ Бұл Christoffel символы екінші түрдегі

Ковариантты вектор үшін оның ковариантты туындысы:

${ displaystyle A _ { альфа; бета} = A _ { альфа, бета} - Гамма ^ { гамма} {} _ { альфа бета} A _ { гамма} ,}$

Ерікті тензор үшін:^[15]

${ displaystyle { begin {aligned} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}; gamma} & = T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}, gamma} & + , Gamma ^ { alpha _ {1}} {} _ { delta gamma} T ^ { delta alpha _ {2} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots бета _ {s}} + cdots + Gamma ^ { alpha _ {r}} {} _ { delta gamma} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r-1} delta} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}} & - , Gamma ^ { delta} {} _ { beta _ {1} gamma} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { delta beta _ {2} cdots beta _ {s}} - cdots - Gamma ^ { delta} {} _ { beta _ {s} gamma} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s-1} delta } ,. end {aligned}}}$

Тензор өрісінің осы туындысының компоненттері өзгеріп отырады, демек, басқа тензор өрісін құрайды. Бұл туынды өнімнің ережесімен сипатталады және метрикалық тензорға қолданылады ж_μν ол нөл береді:

${ displaystyle g _ { mu nu; gamma} = 0 ,.}$

Ковариантты тұжырымдау бағытталған туынды вектор бойындағы кез келген тензор өрісінің v^γ оның ковариантты туындымен қысқаруы ретінде көрінуі мүмкін, мысалы:

${ displaystyle v ^ { gamma} A _ { альфа; гамма} ,.}$

Кез-келген тензордың ковариантты туындысының бір балама жазбасы - жазылған набла белгісі ∇_β. Векторлық өріс үшін A^α:^[16]

${ displaystyle nabla _ { beta} A ^ { alpha} = { frac { жартылай A ^ { альфа}} { жартылай x ^ { beta}}} + Gamma ^ { alpha} { } _ { гамма бета} А ^ { гамма}.}$

Өтірік туынды

Lie туындысы - ковариантты, бірақ оны шатастыруға болмайды ковариант туынды. Ол метрикалық тензор болмаған жағдайда да анықталады. Түрдің жалған туындысы (р, с) тензор өрісі Т қарама-қарсы векторлық өріс бойымен (ағыны) X^ρ ретінде көрсетілуі мүмкін^[17]

${ displaystyle { begin {aligned} ({ mathcal {L}} _ {X} T) ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}} & = X ^ { gamma} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots бета _ {s}, gamma} & - , X ^ { alpha _ {1}} {} _ {, gamma} T ^ { gamma alpha _ {2} cdots alpha _ {r} } {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}} - cdots -X ^ { alpha _ {r}} {} _ {, gamma} T ^ { alpha _ {1 } cdots alpha _ {r-1} gamma} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}} & + , X ^ { gamma} {} _ {, beta _ {1}} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { gamma beta _ {2} cdots beta _ {s}} + cdots + X ^ { gamma} {} _ {, beta _ {s}} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s-1} gamma} ,. end {aligned}}}$

Бұл туынды көбейтінді ережесімен және берілген қарама-қарсы векторлық өрістің туындысымен сипатталады X^ρ нөлге тең.

${ displaystyle ({ mathcal {L}} _ {X} X) ^ { rho} = [X, X] ^ { rho} = 0 ,.}$

Түрдің жалған туындысы (р, с) салыстырмалы тензор өріс Λ салмақ w қарама-қарсы векторлық өріс бойымен (ағыны) X^ρ ретінде көрсетілуі мүмкін^[18]

${ displaystyle { begin {aligned} ({ mathcal {L}} _ {X} Lambda) ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1 } cdots beta _ {s}} & = X ^ { gamma} Lambda ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}, gamma} & - , X ^ { alpha _ {1}} {} _ {, gamma} Lambda ^ { gamma alpha _ {2} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}} - cdots -X ^ { alpha _ {r}} {} _ {, gamma} Lambda ^ { альфа _ {1} cdots alpha _ {r-1} gamma} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}} & + , X ^ { gamma} { } _ {, beta _ {1}} Lambda ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { gamma beta _ {2} cdots beta _ {s} } + cdots + X ^ { gamma} {} _ {, beta _ {s}} Lambda ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ { 1} cdots beta _ {s-1} gamma} & + , wX ^ { gamma} {} _ {, gamma} Lambda ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}} ,. end {aligned}}}$

Көрнекті тензорлар

Kronecker атырауы

Кронеккер атырауы сол сияқты сәйкестік матрицасы

${ displaystyle { begin {aligned} delta _ { beta} ^ { alpha} , A ^ { beta} & = A ^ { alpha} delta _ { nu} ^ { mu } , B _ { mu} & = B _ { nu} , end {aligned}}}$

көбейгенде және қысқарғанда. Компоненттер δ^α
_β кез келген негізде бірдей және инвариантты типтегі тензорды құрайды (1, 1), яғни тангенс байламы үстінен сәйкестендіру картасы туралы базалық коллектор, сондықтан оның ізі инвариант болып табылады.^[19]Оның із бұл кеңістіктің өлшемділігі; мысалы, төрт өлшемді ғарыш уақыты,

${ displaystyle delta _ { rho} ^ { rho} = delta _ {0} ^ {0} + delta _ {1} ^ {1} + delta _ {2} ^ {2} + дельта _ {3} ^ {3} = 4.}$

Kronecker атырабы - жалпыланған Kronecker атырауларының бірі. Кронеккердің жалпыланған атырабы 2б Kronecker атырауында анықталуы мүмкін (жалпы анықтамаға -ның қосымша мультипликаторы кіреді) б! оң жақта):

${ displaystyle delta _ { beta _ {1} cdots beta _ {p}} ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {p}} = delta _ { beta _ {1} } ^ {[ alpha _ {1}} cdots delta _ { beta _ {p}} ^ { alpha _ {p}]}}$

және антисимметризатор ретінде жұмыс істейді б индекстер:

${ displaystyle delta _ { beta _ {1} cdots beta _ {p}} ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {p}} , A ^ { beta _ {1} cdots beta _ {p}} = A ^ {[ alpha _ {1} cdots alpha _ {p}]}.}$

Метрикалық тензор

Метрикалық тензор ж_αβ индекстерді төмендету үшін қолданылады және кез келгенінің ұзындығын береді кеңістікке ұқсас қисық

${ displaystyle { text {length}} = int _ {y_ {1}} ^ {y_ {2}} { sqrt {g _ { alpha beta} { frac {dx ^ { alpha}} { d gamma}} { frac {dx ^ { beta}} {d gamma}}}} , d gamma ,,}$

қайда γ кез келген тегіс қатаң монотонды параметрлеу жолдың Ол сонымен қатар кез-келген уақытты береді уақыт тәрізді қисық

${ displaystyle { text {duration}} = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} { sqrt {{ frac {-1} {c ^ {2}}} g _ { альфа beta} { frac {dx ^ { alpha}} {d gamma}} { frac {dx ^ { beta}} {d gamma}}}} , d gamma ,,}$

қайда γ бұл траекторияның кез-келген тегіс қатаң монотонды параметризациясы. Сондай-ақ қараңыз жол элементі.

The кері матрица ж^αβ метрикалық тензор - индекстерді көтеру үшін қолданылатын тағы бір маңызды тензор:

${ displaystyle g ^ { alpha beta} g _ { beta gamma} = delta _ { gamma} ^ { alpha} ,.}$

Риманның қисықтық тензоры

Егер бұл тензор ретінде анықталса

${ displaystyle R ^ { rho} {} _ { sigma mu nu} = Gamma ^ { rho} {} _ { nu sigma, mu} - Gamma ^ { rho} {} _ { mu sigma, nu} + Gamma ^ { rho} {} _ { mu lambda} Gamma ^ { lambda} {} _ { nu sigma} - Gamma ^ { rho } {} _ { nu lambda} Gamma ^ { lambda} {} _ { mu sigma} ,,}$

онда бұл коммутатор ковариант туындысының өзі:^[20][21]

${ displaystyle A _ { nu; rho sigma} -A _ { nu; sigma rho} = A _ { beta} R ^ { beta} {} _ { nu rho sigma} ,, }$

бастап байланыс Γ^α_βμ бұралмалы емес, яғни бұралу тензоры

${ displaystyle Gamma ^ { lambda} {} _ { mu nu} - Gamma ^ { lambda} {} _ { nu mu} ,}$

жоғалады.

Мұны ерікті тензордың екі ковариантты туындылары үшін коммутаторды алу үшін жалпылауға болады:

${ displaystyle { begin {aligned} & T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}; gamma delta } -T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}; delta gamma} = - & R ^ { alpha _ {1}} {} _ { rho gamma delta} T ^ { rho alpha _ {2} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}} - cdots -R ^ { alpha _ {r}} {} _ { rho gamma delta} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r- 1} rho} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ {s}} {} + {} & R ^ { sigma} {} _ { beta _ {1} gamma delta} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { sigma beta _ {2} cdots beta _ {s}} + cdots + R ^ { sigma } {} _ { beta _ {s} gamma delta} T ^ { alpha _ {1} cdots alpha _ {r}} {} _ { beta _ {1} cdots beta _ { s-1} sigma} , end {aligned}}}$

жиі деп аталады Ricci сәйкестілігі.^[22]

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

Дереккөздер

• Епископ, Р.Л.; Голдберг, С.И. (1968), Коллекторлар бойынша тензорлық талдау (First Dover 1980 басылымы), Макмиллан компаниясы, ISBN  0-486-64039-6
• Даниэлсон, Дональд А. (2003). Техника мен физикадағы векторлар мен тензорлар (2 / е басылым). Westview (Персей). ISBN  978-0-8133-4080-7.
• Димитриенко, Юрий (2002). Тензорды талдау және сызықтық емес тензор функциялары. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN  1-4020-1015-Х.
• Ловлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989) [1975]. Тензорлар, дифференциалдық формалар және вариациялық принциптер. Довер. ISBN  978-0-486-65840-7.
• Меллер (1952), Салыстырмалылық теориясы (3-ші басылым), Оксфорд университетінің баспасы
• Synge J.L .; Шилд А. (1949). Тензор есебі. алғашқы Dover Publications 1978 жылғы басылым. ISBN  978-0-486-63612-2.
• Дж.Р. Тайлдсли (1975), Тензорды талдауға кіріспе: инженерлер мен қолданбалы ғалымдар үшін, Лонгман, ISBN  0-582-44355-5
• Кэй Кей (1988), Тензор есебі, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (АҚШ), ISBN  0-07-033484-6
• Т. Франкель (2012), Физика геометриясы (3-ші басылым), Кембридж университетінің баспасы, ISBN  978-1107-602601