Бұралу тензоры - Torsion tensor

Геодезия бойымен бұралу.

Жылы дифференциалды геометрия, ұғымы бұралу бұралуды сипаттайтын тәсіл бұранда а жылжымалы жақтау қисық айналасында. The қисықтың бұралуы, көрсетілгендей Frenet – Serret формулалары, мысалы, қисықтың дамып келе жатқандағы қисаюдың жанама векторына қатысты бұрылуын сандық түрде анықтайды (дәлірек айтқанда, Френет-Серрет рамасының жанама векторға айналуы). Беттердің геометриясында геодезиялық бұралу беттің қисыққа қалай бұралатынын сипаттайды. Серіктес ұғымы қисықтық рамалардың «бұралмай» қисық бойымен қалай «домалайтынын» өлшейді.

Жалпы, а дифференциалданатын коллектор жабдықталған аффиндік байланыс (яғни, а байланыс ішінде тангенс байламы ), бұралу және қисықтық байланыстың екі негізгі инвариантын құрайды. Бұл тұрғыда бұралу қалай сипатталады жанас кеңістіктер олар болған кезде қисықты бұраңыз параллель тасымалданды; қисықтық қисық бойымен жанама кеңістіктердің қалай айналатынын сипаттайды. Бұралу нақты ретінде сипатталуы мүмкін тензор немесе а векторлық 2-форма коллекторда. Егер ∇ а-ға аффиндік байланыс болса дифференциалды коллектор, содан кейін векторлық өрістер бойынша бұралу тензоры анықталады X және Y, арқылы

${displaystyle T (X, Y) = abla _ {X} Y-abla _ {Y} X- [X, Y]}$

қайда [X,Y] болып табылады Векторлық өрістердің кронштейні.

Бұралу әсіресе геометриясын зерттеуде өте пайдалы геодезия. Параметрленген геодезия жүйесін ескере отырып, сол геодезияға ие, бірақ бұралуы бойынша ерекшеленетін аффиндік байланыстар класын көрсетуге болады. Мұнда бірегей байланыс бар бұралуды сіңіредіжалпылау Levi-Civita байланысы басқа, мүмкін метрикалық емес жағдайларға (мысалы Финслер геометриясы ). Бұралуы бар қосылыстың және бұралусыз сәйкес қосылыстың айырмашылығы - деп аталатын тензор консорциялық тензор. Торсияны сіңіру сонымен қатар зерттеуде негізгі рөл атқарады G құрылымдары және Картанның эквиваленттік әдісі. Сондай-ақ, бұралу геодезияның параметриаланбаған отбасыларын зерттеу кезінде пайдалы проективті байланыс. Жылы салыстырмалылық теориясы, мұндай идеялар түрінде жүзеге асырылды Эйнштейн-картандық теория.

Бұралу тензоры

Келіңіздер М бар коллекторы болуы аффиндік байланыс үстінде тангенс байламы (аға ковариант туынды ) ∇. The бұралу тензоры (кейде деп аталады Картан (бұралу) тензор) of болып табылады векторлық-2-форма бойынша анықталған векторлық өрістер X және Y арқылы

${displaystyle T (X, Y): = abla _ {X} Y-abla _ {Y} X- [X, Y]}$

қайда [X, Y] болып табылады Жалған жақша екі векторлық өрістер. Бойынша Лейбниц ережесі, Т(fX, Y) = Т(X, fY) = fT(X, Y) кез келген үшін тегіс функция f. Сонымен Т болып табылады тензорлық, терминдерінде анықталғанына қарамастан байланыс бұл бірінші ретті дифференциалдық оператор: тангенс векторларында 2 формасын береді, ал ковариант туынды векторлық өрістер үшін ғана анықталады.

Бұралу тензорының компоненттері

Бұралу тензорының компоненттері ${displaystyle T ^ {c} {} _ {ab}}$ жергілікті тұрғысынан негіз (e₁, ..., e_n) туралы бөлімдер Тангенс байламын орнату арқылы алуға болады X = e_мен, Y = e_j және коммутатор коэффициенттерін енгізу арқылы γ^к_ижe_к := [e_мен, e_j]. Бұралу компоненттері сол кезде болады

${displaystyle T ^ {k} {} _ {ij}: = Gamma ^ {k} {} _ {ij} -Gamma ^ {k} {} _ {ji} -gamma ^ {k} {} _ {ij} , квадрат i, j, k = 1,2, ldots, n.}$

Мұнда ${displaystyle {Gamma ^ {k}} _ {ij}}$ болып табылады Christoffel рәміздері байланысты анықтау. Егер негіз болса холономикалық содан кейін жалған жақшалар жоғалады, ${displaystyle гамма ^ {k} {} _ {ij} = 0}$. Сонымен ${displaystyle T ^ {k} {} _ {ij} = 2Gamma ^ {k} {} _ {[ij]}}$. Атап айтқанда (төменде қараңыз), ал геодезиялық теңдеулер қосылыстың симметриялық бөлігін, бұралу тензоры антисимметриялық бөлікті анықтайды.

Бұралу формасы

The бұралу формасы, бұралудың альтернативті сипаттамасы, қолданылады жақтау байламы FМ коллектордың М. Бұл негізгі байлам жабдықталған байланыс формасы ω, a gl(n) - тік векторларды дұрыс әрекет генераторларына бейнелейтін бір форма gl(n) және GL-нің дұрыс әрекетін теңестіреді (n) жанасу шоғырында FМ бірге бірлескен өкілдік қосулы gl(n). Рамалық байлам а канондық бір форма θ, мәндері in Rⁿ, жақтауда анықталған сен ∈ F_хМ (сызықтық функция ретінде қарастырылады сен : Rⁿ → Т_хМ) арқылы

${displaystyle heta (X) = u ^ {- 1} (pi _ {*} (X))}$

қайда π : FМ → М - бұл негізгі буманың проекциялық картасы және π ∗ оның алға жылжуы. Бұралу формасы сол кезде болады

${displaystyle Theta = d heta + omega wedge heta.}$

Эквивалентті, Θ = Dθ, мұндағы Д. болып табылады сыртқы ковариант туынды байланыс арқылы анықталады.

Бұралу формасы (көлденең) тензорлық форма мәндерімен Rⁿ, дегеніміз дұрыс әрекеттің астында ж ∈ Gl (n) ол өзгереді тең дәрежеде:

${displaystyle R_ {g} ^ {*} Theta = g ^ {- 1} cdot Theta}$

қайда ж ол арқылы оң жақта әрекет етеді бірлескен өкілдік қосулы Rⁿ.

Рамадағы бұралу формасы

Бұралу формасы а түрінде көрсетілуі мүмкін байланыс формасы негізгі коллекторда М, тангенс байламының белгілі бір рамасында жазылған (e₁, ..., e_n). Байланыс формасы осы негізгі бөлімдердің сыртқы ковариантты туындысын білдіреді:

${displaystyle Dmathbf {e} _ {i} = mathbf {e} _ {j} {omega ^ {j}} _ {i}.}$

The дәнекерлеу формасы тангенс байламы үшін (осы жақтауға қатысты) болып табылады қосарланған негіз θ^мен . Т^∗М туралы e_мен, сондай-ақ θ^мен(e_j) = δ^мен_j ( Kronecker атырауы ). Сонда бұралу 2-форма компоненттерге ие болады

${displaystyle Theta ^ {k} = d heta ^ {k} + {omega ^ {k}} _ {j} wedge heta ^ {j} = {T ^ {k}} _ {ij} heta ^ {i} wedge хета ^ {j}.}$

Оң жақтағы өрнекте,

${displaystyle {T ^ {k}} _ {ij} = heta ^ {k} сол жақта (abla _ {mathbf {e} _ {i}} mathbf {e} _ {j} -abla _ {mathbf {e} _ {j}} mathbf {e} _ {i} -left [mathbf {e} _ {i}, mathbf {e} _ {j} ight] ight)}$

алдыңғы анықтамада келтірілгендей бұралу тензорының рамалық компоненттері болып табылады.

Мұны shown деп оңай көрсетуге болады^мен егер басқа кадр болса деген мағынада тензорлы түрде өзгереді

${displaystyle {ilde {mathbf {e}}} _ {i} = mathbf {e} _ {j} {g ^ {j}} _ {i}}$

матрицамен бағаланатын кейбір қайтарылатын функция үшін (ж^j_мен), содан кейін

${displaystyle {ilde {Theta}} ^ {i} = {сол жақ (g ^ {- 1} ight) ^ {i}} _ {j} Theta ^ {j}.}$

Басқаша айтқанда, Θ типтің тензоры болып табылады (1, 2) (бір қарсы және екі ковариантты индекстерді алып жүру).

Сонымен қатар, дәнекерлеу формасын рамкаға тәуелді емес T түрінде сипаттауға боладыМ- бір форма бойынша бағаланады θ қосулы М изоморфизм дуализмі астындағы тангенс байламының сәйкестілік эндоморфизміне сәйкес келеді Соңы (TМ) ≈ Т.М . Т^∗М. Сонда 2-пішінді бұралу секция болып табылады

${displaystyle Theta {ext {Hom}} сол жақта ({extstyle igwedge} ^ {2} {m {T}} M, {m {T}} Might)}$

берілген

${displaystyle Theta = D heta,}$

қайда Д. болып табылады сыртқы ковариант туынды. (Қараңыз байланыс формасы қосымша ақпарат алу үшін.)

Төмендетілмейтін ыдырау

Бұралу тензоры екіге бөлінуі мүмкін қысқартылмайтын бөліктер: а ізі жоқ бөлігі және құрамында трек терминдері бар басқа бөлігі. Пайдалану индекс белгісі, ізі Т арқылы беріледі

${displaystyle a_ {i} = T ^ {k} {} _ {ik},}$

және із қалмайтын бөлігі

${displaystyle B ^ {i} {} _ {jk} = T ^ {i} {} _ {jk} + {frac {1} {n-1}} delta ^ {i} {} _ {j} a_ { k} - {frac {1} {n-1}} delta ^ {i} {} _ {k} a_ {j},}$

қайда δ^мен_j болып табылады Kronecker атырауы.

Өздігінен, бар

${displaystyle Tin операторының аты {Hom} сол жақта ({extstyle igwedge} ^ {2} {m {T}} M, {m {T}} Might)}$

Ізі Т, тр Т, Т элементі^∗М келесідей анықталды. Әрбір вектор үшін бекітілген X . ТМ, Т элементті анықтайды Т(X) of Хом (ТМ, Т.М) арқылы

${displaystyle T (X): Ymapsto T (Xwedge Y).}$

Содан кейін (тр Т)(X) осы эндоморфизмнің ізі ретінде анықталады. Бұл,

${displaystyle (оператор атауы {tr}, T) (X) {стекль {ext {def}} {=}} оператор аты {tr} (T (X)).}$

Ізінің жоқ бөлігі Т сол кезде

${displaystyle T_ {0} = T- {frac {1} {n-1}} iota (оператор атауы {tr}, T),}$

қайда ι дегенді білдіреді интерьер өнімі.

Қисықтық және Бианки сәйкестілігі

The қисықтық тензоры ∇ - бұл картаға түсіру ТМ × TМ → Соңы (TМ) векторлық өрістерде анықталған X, Y, және З арқылы

${displaystyle R (X, Y) Z = abla _ {X} abla _ {Y} Z-abla _ {Y} abla _ {X} Z-abla _ {[X, Y]} Z.}$

Нүктедегі векторлар үшін бұл анықтама векторлардың нүктеден алыстағы векторлық өрістерге қалай кеңейтілгенінен тәуелсіз болады (осылайша ол бұралу сияқты тензорды анықтайды).

The Бианки сәйкестілігі қисықтық пен бұралуды келесідей байланыстырыңыз.^[1] Келіңіздер ${displaystyle {mathfrak {S}}}$ белгілеу циклдық қосынды аяқталды X, Y, және З. Мысалы,

${displaystyle {mathfrak {S}} сол жақ (солға (X, Yight) Жарық): = R (X, Y) Z + R (Y, Z) X + R (Z, X) Y.}$

Содан кейін келесі сәйкестілік сақталады

1. Бианкидің бірінші жеке куәлігі:

   ${displaystyle {mathfrak {S}} сол жақта (Rleft (X, Yight) Zight) = {mathfrak {S}} сол жақта (Tleft (T (X, Y), Zight) + сол жақта (abla _ {X} Tight) сол жақта ( Y, Zight) ight)}$

2. Бианкидің екінші сәйкестігі:

   ${displaystyle {mathfrak {S}} сол жақта (сол жақта (abla _ {X} оң жақта) сол жақта (Y, Zight) + солға (Tleft (X, Yight), Zight) ight) = 0}$

Қисықтық формасы және Бианки сәйкестілігі

The қисықтық нысаны болып табылады gl(n) 2-форма

${displaystyle Omega = Domega = domega + omega wedge omega}$

қайда, Д. сыртқы ковариант туындысын білдіреді. Қисықтық формасы мен бұралу формасы бойынша сәйкес Бианки сәйкестілігі болып табылады^[2]

1. ${displaystyle DTheta = Омега сыны)$
2. ${displaystyle DOmega = 0.}$

Сонымен қатар, қисықтық пен бұралу тензорларын қисықтық пен бұралу формаларынан келесі түрде қалпына келтіруге болады. Бір сәтте сен F_хМ, біреуінде бар^[3]

${displaystyle {egin {aligned} R (X, Y) Z & = uleft (2Omega left (pi ^ {- 1} (X), pi ^ {- 1} (Y) ight) ight) left (u ^ {- 1) } (Z) ight), T (X, Y) & = uleft (2Тета солға (pi ^ {- 1} (X), pi ^ {- 1} (Y) ight) ight), соңы {тураланған}} }$

қайтадан қайда сен : Rⁿ → Т_хМ - бұл талшықтағы кадрды анықтайтын функция және π арқылы векторлардың көтерілуін таңдау⁻¹ мәні жоқ, өйткені қисықтық және бұралу формалары көлденең орналасқан (олар анық емес векторларда жоғалады).

Мінездемелер мен интерпретациялар

Осы бөлімде М а деп қабылданады дифференциалданатын коллектор, және ∇ a ковариант туынды үстінде тангенс байламы туралы М егер басқаша көрсетілмесе.

Эталондық жүйелерді бұрау

Классикалық қисықтардың дифференциалды геометриясы, Френет-Серрет формулалары белгілі бір қозғалмалы жақтауды сипаттаңыз (Frenet-Serret жақтауы) бұрылыстар қисық бойымен. Физикалық тұрғыдан бұралу сәйкес келеді бұрыштық импульс идеалдандырылған жоғарғы қисықтың тангенсі бойымен бағыттау.

(Метрикалық) байланысы бар коллектордың жағдайы аналогты интерпретацияны қабылдайды. Байқаушы қосылу үшін геодезия бойымен қозғалады делік. Әдетте мұндай бақылаушы ретінде қарастырылады инерциялық өйткені олар жоқ үдеу. Сонымен, бақылаушы өзімен бірге қатаң тікелей өлшеуіш штангалар жүйесін алып жүрсін делік координаттар жүйесі ). Әр шыбық - түзу кесінді; а геодезиялық. Әр таяқша деп есептейік параллель тасымалданды траектория бойымен. Бұл таяқтардың физикалық екендігі асырылды траектория бойымен олар дегенді білдіреді Өтірік сүйреп, немесе осылайша көбейтіледі Өтірік туынды жанасу бойындағы әрбір таяқша жоғалады. Алайда олар Frenet-Serret жақтауының жоғарғы бөлігінде сезілген айналу моментіне ұқсас айналу моментін (немесе бұралу күштерін) сезінуі мүмкін. Бұл күш бұралу арқылы өлшенеді.

Дәлірек айтсақ, бақылаушы геодезиялық жол бойымен қозғалады делік γ(т) және оның бойымен өлшеуіш таяқшасын алып жүреді. Бақылаушы жол бойымен жүріп бара жатқанда таяқша бетті сыпырады. Табиғи координаттар бар (т, х) осы беткей бойымен, қайда т бақылаушы қабылдаған параметр уақыты, және х - өлшеуіш штанга бойындағы орналасу. Стерженьнің жанамасын қисық бойымен параллель аудару керек деген шарт

${displaystyle left.abla _ {frac {жартылай} {жартылай t}} {frac {жартылай} {жартылай х}} ight | _ {x = 0} = 0.}$

Демек, бұралу берілген

${displaystyle left.Tleft ({frac {ішіндегі} {ішінара x}}, {frac {ішінара {{ішінара}} ight) ight | _ {x = 0} = left.abla _ {frac {ішіндегі} {ішінара x }} {frac {жартылай} {жартылай t}} ight | _ {x = 0}.}$

Егер бұл нөлге тең болмаса, онда таяқшаның белгіленген нүктелері ( х = тұрақты қисықтар) геодезияның орнына спиральдарды шығарады. Олар бақылаушының айналасында айналуға бейім болады. Бұл дәлел үшін бұл маңызды емес екенін ескеріңіз ${displaystyle гамма (т)}$ геодезиялық болып табылады. Кез-келген қисық жұмыс істейді.

Торсияны интерпретациялау теориясында маңызды рөл атқарады телепараллелизм, сондай-ақ Эйнштейн-картандық теория, баламалы тұжырымдамасы салыстырмалылық теориясы.

Жіптің бұралуы

Жылы материалтану және, әсіресе серпімділік теориясы, бұралу идеялары да маңызды рөл атқарады. Бір проблема жүзім бұтақтарын нысандарды айналдыра алатындығына назар аудара отырып, олардың өсуін модельдейді.^[4] Жүзімнің өзі бір-біріне бұралған серпімді жіп тәріздес. Энергияны минимумға айналдырған жағдайда жүзім табиғи түрде а түрінде өседі спираль. Сондай-ақ, жүзімді оның ұзындығын (немесе ұзындығын) арттыру үшін созуға болады. Бұл жағдайда жүзімнің бұралуы жұп жіпшелердің бұралуымен байланысты (немесе баламалы түрде жіптерді жалғайтын таспаның беткі бұралуымен) және ол жүзімнің ұзындықты (геодезиялық) конфигурациясы арасындағы айырмашылықты көрсетеді және оның энергияны азайтатын конфигурациясы.

Бұралу және құйын

Жылы сұйықтық динамикасы, бұралу табиғи түрде байланысты құйынды сызықтар.

Бұл бөлім кеңейтуді қажет етеді. Сіз көмектесе аласыз оған қосу. (Маусым 2008)

Геодезия және бұралу сіңуі

Айталық γ(т) қисық сызық М. Содан кейін γ болып табылады аффиндік параметрленген геодезиялық деген шартпен

${displaystyle abla _ {{нүкте {гамма}} (t)} {нүкте {гамма}} (t) = 0}$

барлық уақытта т доменінде γ. (Мұнда нүкте қатысты дифференциацияны білдіреді т, ол along бойымен бағытталған жанама векторымен байланысады.) Әрбір геодезия өзінің бастапқы тангенс векторымен бір уақытта анықталады т = 0, ${displaystyle {нүкте {гамма}} (0)}$.

Байланыстың бұралуын бір қолдану мынаны қамтиды геодезиялық бүріккіш байланыстың: шамамен барлық аффиналық параметрленген геодезияның отбасы. Бұралу - қосылыстарды геодезиялық спрейлері бойынша жіктеудің екіұштылығы:

• Бірдей аффинирленген параметрленген геодезияға ие екі және ∇ connections қосылыстар (яғни, бірдей геодезиялық бүріккіш) тек бұралу арқылы ерекшеленеді.^[5]

Дәлірек айтқанда, егер X және Y жанындағы векторлар жұбы б ∈ М, содан кейін рұқсат етіңіз

${displaystyle Delta (X, Y) = abla _ {X} {ilde {Y}} - abla '_ {X} {ilde {Y}}}$

-ның ерікті кеңеюі бойынша есептелген екі қосылыстың айырмасы X және Y алыс б. Бойынша Лейбниц өнімі туралы ереже, Δ шын мәнінде қалай тәуелді емес екенін көреді X және Y′ кеңейтілген (сондықтан тензорды анықтайды М). Келіңіздер S және A Δ симметриялы және ауыспалы бөліктері:

${displaystyle S (X, Y) = {frac {1} {2}} қалды (Delta (X, Y) + Delta (Y, X) ight)}$

${displaystyle A (X, Y) = {frac {1} {2}} сол жақта (Delta (X, Y) -Delta (Y, X) ight)}$

Содан кейін

• ${displaystyle A (X, Y) = {frac {1} {2}} сол (T (X, Y) -T '(X, Y) ight)}$ бұралу тензорларының айырымы.
• ∇ және ∇ ′ аффинаментті параметрленген геодезияның бірдей отбасыларын анықтайды, егер болса және солай S(X, Y) = 0.

Басқаша айтқанда, екі қосылыстың айырымының симметриялық бөлігі олардың бірдей параметрленген геодезиясының бар-жоғын анықтайды, ал айырмашылықтың қисық бөлігі екі қосылыстың салыстырмалы бұралуымен анықталады. Тағы бір нәтиже:

• Кез-келген аффиндік қосылысты ескере отырып, aff ly аффинелік параметрленген геодезияның бір тұқымдасымен бірегей бұралусыз қосылыс бар. Осы екі байланыстың айырмашылығы шын мәнінде тензор, консорциялық тензор.

Бұл жалпылау Риман геометриясының негізгі теоремасы жалпы аффиндік (метрикалық емес) байланыстарға. Параметрленген геодезиялар тобына бағынатын ерекше бұралусыз қосылысты таңдау бұралудың сіңірілуі, және бұл кезеңдердің бірі Картанның эквиваленттік әдісі.

Сондай-ақ қараңыз

• Консорционды тензор
• Кертрайт өрісі
• Қисықтық тензоры
• Levi-Civita байланысы
• Бұралу коэффициенті
• Қисықтардың бұралуы

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Епископ, Р.Л.; Голдберг, С.И. (1980), Коллекторларға тензорлық талдау, Dover жарияланымдары
• Картан, É. (1923), «Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)» «, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40: 325–412
• Картан, É. (1924), «Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première part)) (Suite)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 41: 1–25
• Эльзановский, М .; Эпштейн, М. (1985), «Гипереластикалық біртектіліктің геометриялық сипаттамасы», Рационалды механика және талдау мұрағаты, 88 (4): 347–357, Бибкод:1985ArRMA..88..347E, дои:10.1007 / BF00250871
• Гориели, А .; Робертсон-Тесси, М .; Табор, М .; Vandiver, R. (2006), «Серпімді өсу модельдері» (PDF), BIOMAT-2006, Шпрингер-Верлаг, мұрағатталған түпнұсқа (PDF) 2006-12-29 жж
• Хель, Ф.В .; фон дер Хейде, П .; Керлик, Г.Д .; Nester, JM (1976), «Айналу мен бұралу кезіндегі жалпы салыстырмалылық: негіздер мен перспективалар», Аян. Физ., 48, Бибкод:1976RvMP ... 48..393H, дои:10.1103 / revmodphys.48.393, 393.
• Киббл, Т.Б.Б. (1961), «Лоренц инварианты және гравитациялық өріс», Дж. Математика. Физ., 2: 212–221, Бибкод:1961JMP ..... 2..212K, дои:10.1063/1.1703702, 212.
• Кобаяши, С .; Номизу, К. (1963), Дифференциалдық геометрияның негіздері, 1 & 2 (Жаңа ред.), Вили-Интерсианс (1996 ж. Жарияланған), ISBN  0-471-15733-3
• Поплавски, Н.Ж. (2009), Бос уақыт және өрістер, arXiv:0911.0334, Бибкод:2009arXiv0911.0334P
• Schouten, J.A. (1954), Ricci Calculus, Шпрингер-Верлаг
• Шредингер, Е. (1950), Ғарыш-уақыт құрылымы, Кембридж университетінің баспасы
• Sciama, D.W. (1964), «Жалпы салыстырмалылықтың физикалық құрылымы», Аян. Физ., 36: 463, Бибкод:1964RvMP ... 36..463S, дои:10.1103 / RevModPhys.36.463
• Спивак, М. (1999), Дифференциалды геометрияға жан-жақты кіріспе, II том, Хьюстон, Техас: Жариялаңыз немесе жойылыңыз, ISBN  0-914098-71-3