Ковариант туындысы - Covariant derivative

Жылы математика, ковариант туынды көрсету тәсілі болып табылады туынды бойымен жанасу векторлары а көпжақты. Сонымен қатар, ковариантты туынды - а енгізу және жұмыс істеу тәсілі байланыс көмегімен коллекторда дифференциалдық оператор, берілген тәсілге қарама-қарсы қою керек негізгі байланыс жақтау байламында - қараңыз аффиндік байланыс. Коллектордың ерекше жағдайда изометриялық түрде жоғары өлшемді енгізілген Евклид кеңістігі, ковариантты туынды ретінде қарастыруға болады ортогональды проекция евклидтік бағытталған туынды коллектордың жанасу кеңістігіне. Бұл жағдайда Евклидтің туындысы екіге бөлінеді, сыртқы қалыпты компонент (ендіруге тәуелді) және ішкі ковариантты туынды компонент.

Атау маңыздылығымен түрткі болады координатаның өзгеруі жылы физика: ковариантты туынды түрлендірулер кез келген түрде жалпы координаталық түрлендіру кезінде, яғни арқылы түзу Якоб матрицасы түрлендіру.[1]

Бұл мақалада а-ның ковариант туындысына кіріспе келтірілген векторлық өріс векторлық өріске қатысты, координаталық еркін тілде де, локалды қолдана отырып координаттар жүйесі және дәстүрлі индекс жазбасы. А-ның ковариантты туындысы тензор өрісі сол тұжырымдаманың жалғасы ретінде ұсынылған. Ковариант туынды а-ға байланысты дифференциация ұғымына тікелей жалпылайды векторлық байламдағы байланыс, сондай-ақ а Қосзул байланысы.

Тарих

Тарихи тұрғыдан 20 ғасырдың басында ковариант туындысы енгізілді Грегорио Риччи-Кербастро және Туллио Леви-Сивита теориясында Риманниан және псевдо-риман геометриясы.[2] Риччи және Леви-Сивита (келесі идеялар Элвин Бруно Кристоффель ) байқалады Christoffel рәміздері анықтау үшін қолданылады қисықтық деген ұғымды бере алады саралау классиканы жалпылаған бағытталған туынды туралы векторлық өрістер коллекторда.[3][4] Бұл жаңа туынды - Levi-Civita байланысы - болды ковариант ол Риманның геометриядағы объектілер белгілі бір координаттар жүйесінде олардың сипаттамасынан тәуелсіз болуы керек деген талабын қанағаттандырды.

Көп ұзамай мұны атап өткен басқа математиктер атап өтті Герман Вейл, Jan Arnoldus Schouten, және Эли Картан,[5] ковариант туындысын а қатысуынсыз абстрактілі түрде анықтауға болатындығы метрикалық. Маңызды ерекшелігі метрикаға тәуелділік емес, Кристоффель белгілері екінші ретті трансформация заңын қанағаттандырды. Бұл трансформация заңы туындыны ковариантты түрде анықтаудың бастапқы нүктесі бола алады. Осылайша, ковариантты дифференциалдау теориясы қатаң Риман контекстінен басталып, мүмкін геометриялардың кең ауқымын қамтыды.

1940 жылдары практиктер дифференциалды геометрия жалпы ковариантты дифференциация туралы басқа түсініктерді енгізе бастады байламдар олар геометрлерге қызығушылық тудыратын классикалық байламдардан айырмашылығы болды тензорлық талдау коллектордың. Жалпы, бұл жалпыланған ковариантты туындыларды көрсету керек болды осы жағдай үшін байланыс тұжырымдамасының кейбір нұсқалары бойынша. 1950 жылы, Жан-Луи Косзул ковариантты дифференциацияның жаңа идеяларын векторлық шоғырда бүгінде а деп аталатын көмегімен біріктірді Қосзул байланысы немесе векторлық байламдағы байланыс.[6] Идеяларын қолдану Алгебра когомологиясы, Коззул ковариантты дифференциацияның көптеген аналитикалық ерекшеліктерін алгебралық сипаттамаларға сәтті түрлендірді. Атап айтқанда, Қосзул байланыстары ыңғайсыз манипуляциялар қажеттілігін жойды Christoffel рәміздері (және басқа аналогтық еместензорлық нысандар) дифференциалды геометрияда. Осылайша, олар тақырыпты 1950 жылдан кейінгі көптеген емдеу әдістерінде классикалық туынды туралы классикалық түсінікті тез ығыстырып шығарды.

Мотивация

The ковариант туынды жалпылау болып табылады бағытталған туынды бастап векторлық есептеу. Бағдарлы туындыдағы сияқты, ковариант туындысы ереже болып табылады, , оның кірістері: (1) вектор, сен, нүктеде анықталған P, және (2) а векторлық өріс, v, маңында анықталған P.[7] Нәтиже - вектор , сонымен қатар нүктеде P. Әдеттегі бағытталған туындыдан басты айырмашылығы мынада болуы керек, белгілі бір мағынада, болуы керек тәуелсіз оны қалай өрнектейтіні туралы координаттар жүйесі.

Вектор болуы мүмкін сипатталған а сандар тізімі ретінде негіз, бірақ геометриялық объект ретінде вектор оны қалай сипаттауды таңдағанына қарамастан өзіндік ерекшелігін сақтайды. Бұл сәйкестіліктің тұрақтылығы векторды бір негізге жазып, содан кейін базисті өзгерткен кезде вектордың компоненттері а-ға сәйкес түрленетіндігінде көрінеді. негізді өзгерту формула. Мұндай трансформация заңы а деп аталады ковариантты түрлендіру. Ковариант туындысы координаталардың өзгеруі кезінде негізге ұқсас түрлендіру үшін қажет: ковариант туынды ковариантты түрлендірумен өзгеруі керек (демек, атау).

Жағдайда Евклид кеңістігі, векторлық өрістің туындысын жақын орналасқан екі нүктедегі екі вектордың айырмасы бойынша анықтауға бейім. аударады параллельді сақтай отырып, екіншісінің басына векторлардың бірі. Декартпен (бекітілген) ортонормальды ) «параллельді сақтау» координаттар жүйесі компоненттерді тұрақты ұстауға тең. Евклид кеңістігі қарапайым мысал келтіреді: екі жақын нүктелер арасындағы орын ауыстыру векторының бағыты бойынша компоненттердің қарапайым бағытталған туындысын алу арқылы алынатын ковариантты туынды.

Жалпы жағдайда, алайда, координаттар жүйесінің өзгеруін ескеру қажет. Мысалы, егер сол ковариант туындысы жазылса полярлық координаттар екі өлшемді евклидтік жазықтықта, онда координаталық тордың өзі қалай «айналатынын» сипаттайтын қосымша терминдер бар. Басқа жағдайларда қосымша терминдер координаталық тордың қалай кеңейетінін, жиырылатынын, бұралуын, тоғысуын және т.с.с сипаттайды. Бұл жағдайда «параллельді сақтау» емес аударма кезінде компоненттерді тұрақты ұстауға арналған сома.

Қисық бойымен қозғалудың мысалын қарастырайық γ(т) Евклид жазықтығында. Полярлық координаттарда γ өзінің радиалды және бұрыштық координаталары бойынша жазылуы мүмкін γ(т) = (р(т), θ(т)). Белгілі бір уақытта вектор т[8] (мысалы, қисықтың үдеуі) арқылы өрнектеледі , қайда және - векторды радиалды және бөлшектеу үшін ыдыратуға негіз болатын полярлық координаттар үшін бірлік жанама векторлар. тангенциалды компоненттер. Сәл кейінірек полярлық координаттардағы жаңа негіз бірінші жиынтыққа қатысты сәл бұрылып шығады. Негізгі векторлардың ковариантты туындысы ( Christoffel рәміздері ) осы өзгерісті білдіруге қызмет етеді.

Қисық кеңістікте, мысалы, Жер бетінде (сфера ретінде қарастырылады) аударма дәл анықталмаған және оның аналогы, параллель тасымалдау, вектор аударылатын жолға байланысты.

Вектор e экватордағы Q нүктесіндегі глобуста солтүстікке бағытталған. Біз параллель тасымалдау алдымен вектор экватор бойымен P нүктесіне дейін, содан кейін (өзіне параллель ұстап) оны меридиан бойымен N полюсіне сүйреп апарып (бағытты сол жерде ұстай отырып) оны басқа меридиан бойымен Q-ға жеткізеді. Содан кейін біз байқаймыз тұйық тізбек бойымен параллель тасымалданған вектор сол вектор сияқты қайтпайды; оның орнына оның тағы бір бағыты бар. Бұл Евклид кеңістігінде болмайды және себеп болады қисықтық Жер шары бетінің Егер векторды шексіз кішігірім тұйықталған беткей бойымен екі бағыт бойынша сүйреп апарып, содан кейін артқа қарай сүйрейтін болсақ, дәл осындай әсерді байқауға болады. Вектордың шексіз аз өзгеруі қисықтық өлшемі болып табылады.

Ескертулер

  • Ковариант туындысының анықтамасы кеңістіктегі метриканы қолданбайды. Алайда, әрбір метрика үшін ерекше болады бұралу - деп аталатын тегін ковариантты туынды Levi-Civita байланысы метриканың ковариантты туындысы нөлге тең болатындай етіп.
  • Туынды қасиеттері мұны білдіреді нүктенің ерікті түрде шағын ауданына байланысты б сияқты, мысалы. берілген нүктеде қисық бойымен скаляр функциясының туындысы б ерікті түрде шағын ауданға байланысты б.
  • Нүктенің маңайы туралы ақпарат б ковариант туындысын анықтау үшін қолдануға болады параллель тасымалдау вектордың Сондай-ақ қисықтық, бұралу, және геодезия тек а. идеясының ковариантты туындысы немесе басқа байланысты вариация тұрғысынан анықталуы мүмкін сызықтық байланыс.

Евклид кеңістігіне енуді қолданатын бейресми анықтама

Риман көпжақты делік , Евклид кеңістігіне енген арқылы екі рет үздіксіз-дифференциалданатын (C2) картаға түсіру жанасатын кеңістік векторлармен

және скалярлық өнім қосылады көрсеткішімен үйлесімді М:

(Коллекторлық метрика әрқашан тұрақты деп есептелетіндіктен, сыйысымдылық шарты ішінара туынды тангенс векторларының сызықтық тәуелсіздігін білдіреді).

Тангенс векторлық өріс үшін, , біреуінде бар

.

Соңғы термин үшін жанама емес М, бірақ -ты қолданатын жанамалық кеңістік базалық векторларының сызықтық комбинациясы ретінде көрсетуге болады Christoffel рәміздері жанама кеңістікке сызықты факторлар және ортогональ вектор ретінде:

.

Жағдайда Levi-Civita байланысы, ковариант туынды , сондай-ақ жазылған , кәдімгі туындының жанамалық кеңістікке ортогональ проекциясы ретінде анықталады:

Бастап тангенс кеңістігінен ортогональды, қалыпты теңдеулерді шешуге болады:

.

Басқа жақтан,

білдіреді

(скаляр көбейтіндінің симметриясын қолдану және ішінара дифференциалдау ретін ауыстыру)

және Леви-Сивитаның байланысы үшін Christoffel белгілерін береді:

Жоғарыдағы сипаттаманың мәнін бейнелейтін өте қарапайым мысал үшін тегіс қағазға шеңбер салыңыз. Шеңбер бойымен тұрақты жылдамдықпен жүріңіз. Сіздің жылдамдығыңыздың туындысы, сіздің үдеу векторыңыз әрқашан радиалды түрде ішке қарай бағытталады. Бұл қағазды цилиндрге айналдырыңыз. Енді сіздің жылдамдығыңыздың (евклидтік) туындысында кейде цилиндрдің өсіне қарай ішке қарай бағытталатын компонент бар, ол сіз күннің батуына немесе күн мен түннің теңелуіне жақын. (Оське параллель қозғалғанда шеңбер нүктесінде ішке қарай үдеу болмайды. Керісінше, жылдамдық цилиндр иілісі бойымен болған кезде нүктеде (шеңбердің 1/4 бөлігі), ішкі үдеу максималды болады. .) Бұл (Евклидтік) қалыпты компонент. Ковариантты туынды компонент цилиндр бетіне параллель компонент болып табылады және парақты цилиндрге айналдырғанға дейінгі құрамдас бөлік.

Ресми анықтама

Ковариант туындысы - а (Қосзул) байланыс үстінде тангенс байламы және басқа да тензор байламы: бұл векторлық өрістерді әдеттегі функциялар бойынша дифференциалға ұқсас етіп ажыратады. Анықтама векторлық өрістердің қосарланған дифференциациясына дейін таралады (яғни. ковектор өрістер) және ерікті тензор өрістері, тензор өнімімен үйлесімділікті қамтамасыз ететін ерекше тәсілмен және қадағалау операциялары (тензордың жиырылуы).

Функциялар

Нүкте берілген б нақты функция f коллекторда және жанама векторда v кезінде б, -ның ковариант туындысы f кезінде б бойымен v скаляр болып табылады б, деп белгіленді , бұл негізгі бөлім мәнінің өзгеруі f болған кезде f шексіз орын ауыстыру векторымен өзгереді v. (Бұл дифференциалды туралы f векторына қарай бағаланды v.) Формальды түрде дифференциалданатын қисық бар осындай және , және ковариант туындысы f кезінде б арқылы анықталады

Қашан v - векторлық өріс, ковариант туынды - бұл әр нүктемен байланыстыратын функция б ортақ доменінде f және v скаляр . Бұл әдеттегіге сәйкес келеді Өтірік туынды туралы f векторлық өріс бойымен v.

Векторлық өрістер

A ковариант туынды бір сәтте б тегіс коллекторда жанама векторды тағайындайды әр жұпқа тангенс векторынан тұрады v кезінде б және векторлық өріс сен маңында анықталған б, келесі қасиеттер орындалатындай (кез келген векторлар үшін) v, х және ж кезінде б, векторлық өрістер сен және w маңында анықталған б, скалярлық мәндер ж және сағ кезінде б, және скалярлық функция f маңында анықталған б):

  1. сызықтық болып табылады сондықтан
  2. қоспа болып табылады сондықтан:
  3. бағынады өнім ережесі; яғни қайда жоғарыда анықталған,
    .

Егер сен және v екеуі де жалпы доменде анықталған векторлық өрістер, содан кейін мәні әр нүктеде болатын векторлық өрісті білдіреді б доменнің тангенс векторы болып табылады . Ескертіп қой мәніне ғана байланысты емес сен және v кезінде б сонымен қатар сен шексіз шағын ауданда б соңғы қасиет болғандықтан, өнім ережесі.

Ковекторлық өрістер

Өрісі берілген ковекторлар (немесе бір пішінді ) маңында анықталған б, оның ковариант туындысы алынған операция тензорлық жиырылуға және өнімнің ережесіне сәйкес келетін етіп анықталады. Бұл, at бірегей формасы ретінде анықталады б барлық векторлық өрістер үшін келесі сәйкестік қанағаттандырылатындай сен маңында б

Векторлық өріс бойындағы ковекторлы өрістің ковариантты туындысы v бұл тағы да ковекторлы өріс.

Тензор өрістері

Векторлар мен ковекторлардың өрістері үшін ковариантты туынды анықталғаннан кейін оны ерікті түрде анықтауға болады тензор өрістер тензор өрісінің әр жұбы үшін келесі сәйкестіліктерді енгізу арқылы және нүктенің маңында б:

және үшін және сол валенттіліктің

Векторлық өріс бойындағы тензор өрісінің ковариантты туындысы v қайтадан сол типтегі тензор өрісі болып табылады.

Рұқсат етіңіз Т типтегі тензор өрісі болуы керек (б, q). Қарастырайық Т дифференциалданатын болу көп сызықты карта туралы тегіс бөлімдер α1, α2, ..., αq котангенс байламы ТМ және бөлімдер X1, X2, ... Xб туралы тангенс байламы ТМ, жазылған Т1, α2, ..., X1, X2, ...) ішіне R. Ковариант туындысы Т бойымен Y формула бойынша берілген

Координаталық сипаттама

Берілген координаталық функциялар

,

кез келген жанасу векторы компоненттері негізінде сипаттауға болады

.

Базистік вектордың базалық вектордың ковариантты туындысы қайтадан вектор болып табылады, сондықтан сызықтық комбинация түрінде көрсетуге болады .Ковариант туындысын көрсету үшін әр базис вектор өрісінің ковариант туындысын көрсету жеткілікті бойымен .

коэффициенттер жергілікті координаттар жүйесіне қатысты қосылыстың компоненттері болып табылады. Риман және псевдо-риман коллекторларының теориясында жергілікті координаттар жүйесіне қатысты Леви-Сивитаның байланыс компоненттері деп аталады. Christoffel рәміздері.

Содан кейін анықтамадағы ережелерді қолдана отырып, жалпы векторлық өрістер үшін екенін анықтаймыз және Біз алып жатырмыз

сондықтан

Осы формуладағы бірінші мүше координаттар жүйесін ковариант туындысына қатысты «бұрау» үшін жауап береді, ал екіншісі векторлық өрістің компоненттерін өзгерту үшін сен. Соның ішінде

Бір сөзбен айтқанда: ковариант туынды - бұл координаттардың қалай өзгеретінін көрсететін түзету мүшелері бар координаттар бойындағы әдеттегі туынды.

Ковекторлар үшін бізде де бар

қайда .

Ковариант туындысы (р, с) тензор өрісі бойымен өрнекпен берілген:

Немесе, сөзбен айтқанда: тензордың ішінара туындысын алып, қосыңыз: әрбір жоғарғы индекс үшін , және әрбір төменгі индекс үшін .

Егер тензордың орнына а-ны ажыратуға тырысса тензор тығыздығы (салмағы +1), содан кейін сіз де термин қосасыз

Егер бұл салмақтың тензорлық тығыздығы болса W, содан кейін осы мүшені көбейтіңіз W.Мысалға, скалярлық тығыздығы (салмағы +1), сондықтан мынаны аламыз:

«;» нүктелі үтір ковариантты дифференциацияны және үтірді «,» жартылай дифференциацияны көрсетеді. Айтпақшы, бұл нақты өрнек нөлге тең, өйткені тек метриканың функциясының ковариантты туындысы әрқашан нөлге тең болады.

Мысалдар

Скаляр өрісі үшін , ковариантты дифференциация дегеніміз жай ішінара дифференциация:

Қарама-қарсы векторлық өріс үшін , Бізде бар:

Ковариантты векторлық өріс үшін , Бізде бар:

(2,0) тензор өрісі үшін , Бізде бар:

(0,2) типті тензор өрісі үшін , Бізде бар:

(1,1) типті тензор өрісі үшін , Бізде бар:

Жоғарыдағы белгілер мағынасында берілген

Ковариант туындылары ауыстырылмайды; яғни . Көрсетуге болады:

қайда болып табылады Риман тензоры. Сол сияқты,

және

Соңғысын (жалпылықты жоғалтпай) қабылдау арқылы көрсетуге болады .

Ескерту

Физика бойынша оқулықтарда ковариант туынды кейде осы теңдеудегі оның компоненттері тұрғысынан жай айтылады.

Көбінесе нотариус қолданылады, онда ковариант туындысы а-мен берілген нүктелі үтір, ал қалыпты жағдай ішінара туынды арқылы белгіленеді үтір. Бұл нотада біз былайша жазамыз:

Бұл тағы бір рет векторлық өрістің ковариантты туындысының координаталарға дифференциалдау арқылы ғана алынбайтындығын көрсетеді. , сонымен қатар векторға байланысты v өзі арқылы .

Кейбір ескі мәтіндерде (атап айтқанда Адлер, Базин және Шиффер, Жалпы салыстырмалылыққа кіріспе), ковариантты туынды қос құбырмен, ал ішінара туынды бір түтікпен белгіленеді:

Қисық бойымен туынды

Ковариант туындысынан бастап тензор өрісінің бір сәтте тек векторлық өрістің мәніне байланысты кезінде ковариант туындысын тегіс қисық бойымен анықтауға болады коллекторда:

Тензор өрісі екенін ескеріңіз тек қисықта анықтау керек бұл анықтама мағыналы болуы үшін.

Соның ішінде, - қисық бойындағы векторлық өріс өзі. Егер жояды, содан кейін қисық ковариант туындысының геодезиясы деп аталады. Егер ковариант туындысы Levi-Civita байланысы Белгілі бір метриканың қосылысы үшін геодезия дәл осы болып табылады геодезия туралы метрикалық доға ұзындығымен параметрленген.

Қисық бойындағы туынды да анықтау үшін қолданылады параллель тасымалдау қисық бойымен.

Кейде қисық бойындағы ковариант туынды деп аталады абсолютті немесе меншікті туынды.

«Өтірік» туындысымен байланыс

Ковариантты туынды коллекторға қосымша геометриялық құрылымды енгізеді, бұл көршілес тангенс кеңістігіндегі векторларды салыстыруға мүмкіндік береді: әр түрлі жанас кеңістіктердегі векторларды салыстырудың канондық тәсілі жоқ, өйткені канондық координаттар жүйесі жоқ.

Сонымен қатар бағытталған туындыларды тағы бір жалпылау бар болып табылады канондық: Өтірік туынды, бұл басқа векторлық өрістің ағыны бойымен бір векторлық өрістің өзгеруін бағалайды. Осылайша, бір векторлық өрісті тек бір нүктеде емес, ашық ауданда білу керек. Ковариант туындысы берілген бағыттағы векторлар үшін өзіндік өзгерісті енгізеді және ол нүктенің ашық маңындағы векторлық өріске емес, тек бір нүктеде векторлық бағытқа тәуелді болады. Басқаша айтқанда, ковариант туындысы сызықтық болып табылады (үстінен C(М)) бағыт аргументінде, ал Lie туындысы екі аргументте де сызықтық емес.

Антисимметрияланған ковариант туынды екенін ескеріңіз сенv − ∇vсенжәне Lie туындысы Lсенv ерекшеленеді қосылыстың бұралуы Егер қосылыс бұралмалы болмаса, онда оның антисимметриялануы болады болып табылады Lie туындысы

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Эйнштейн, Альберт (1922). «Салыстырмалылықтың жалпы теориясы». Салыстырмалылықтың мәні.
  2. ^ Риччи, Г .; Леви-Сивита, Т. (1901). «Méthodes de calcul différential absolu et leurs қосымшалары». Mathematische Annalen. 54: 125–201. дои:10.1007 / bf01454201.
  3. ^ Riemann, G. F. B. (1866). «Über die гипотезасы, welche der Geometrie zu Grunde liegen». Gesammelte Mathematische Werke.; қайта басып шығару, ред. Вебер, Х. (1953), Нью-Йорк: Довер.
  4. ^ Christoffel, E. B. (1869). «Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten сыныптары». Mathematik журналы жазылады. 70: 46–70.
  5. ^ cf. бірге Картан, É (1923). «Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée». Анналес, Экол Нормаль. 40: 325–412.
  6. ^ Қосзул, Дж. Л. (1950). «Homologie et cohomologie des algebres de Lie». Хабарлама де ла Сосьете Математикасы. 78: 65–127.
  7. ^ Ковариант туындысы әр түрлі түрде белгіленеді vсен, Д.vсен, немесе басқа белгілер.
  8. ^ Көптеген қосымшаларда ойланбаған дұрыс шығар т уақытқа сәйкес, кем дегенде өтінімдер үшін жалпы салыстырмалылық. Бұл жай жол бойында біркелкі және монотонды түрде өзгеретін дерексіз параметр ретінде қарастырылады.

Пайдаланылған әдебиеттер