Қосылым (алгебралық негіз) - Connection (algebraic framework) - Wikipedia

Геометриясы кванттық жүйелер (мысалы,коммутативті емес геометрия және супергеометрия ) негізінен алгебралық терминдермен фразаланған модульдер жәнеалгебралар. Байланыстар модульдер бойынша сызықты генерализациялау байланыс тегіс векторлық шоғыр ${ displaystyle E to X}$ ретінде жазылған Қосзул байланысы үстінде${ displaystyle C ^ { infty} (X)}$-бөлімдерінің модулі ${ displaystyle E to X}$.^[1]

Коммутативті алгебра

Келіңіздер ${ displaystyle A}$ ауыстыру сақина және ${ displaystyle P}$ ан A-модуль. Қосылымның әр түрлі эквивалентті анықтамасы бар ${ displaystyle P}$.^[2] Келіңіздер ${ displaystyle D (A)}$ модулі болуы туындылар сақина ${ displaystyle A}$. Анонинге қосылу A-модуль ${ displaystyle P}$ ретінде анықталады A-модуль морфизмі

${ displaystyle nabla: D (A) ni u to nabla _ {u} in mathrm {Diff} _ {1} (P, P)}$

бірінші ретті дифференциалдық операторлар ${ displaystyle nabla _ {u}}$ қосулы${ displaystyle P}$ Лейбниц ережесіне бағыну

${ displaystyle nabla _ {u} (ap) = u (a) p + a nabla _ {u} (p), quad a in A, quad p in P}$

Коммутативті сақина арқылы модульдегі байланыстар әрдайым бар.

Байланыстың қисықтығы ${ displaystyle nabla}$ нөлдік ретті дифференциалдық оператор анықталған

${ displaystyle R (u, u ') = [ nabla _ {u}, nabla _ {u'}] - nabla _ {[u, u ']} ,}$

модульде ${ displaystyle P}$ барлығына ${ displaystyle u, u ' in D (A)}$.

Егер ${ displaystyle E to X}$ - векторлық шоғыр, арасында сәйкестік бар сызықтық байланыстар ${ displaystyle Gamma}$ қосулы ${ displaystyle E to X}$ және байланыстар ${ displaystyle nabla}$ үстінде${ displaystyle C ^ { infty} (X)}$-бөлімдерінің модулі ${ displaystyle E to X}$. Қатаң түрде, ${ displaystyle nabla}$ сәйкес келеді ковариантты дифференциал қосылу ${ displaystyle E to X}$.

Коммутативті алгебра

Коммутативті сақиналар арқылы модульдерге қосылу ұғымы а модульдеріне тікелей кеңейтілген жиынтық алгебра.^[3] Бұл жағдайсуперқосылыстар жылы супергеометрия туралыдеңгейлі коллекторлар және супервектор байламдары.Жалпы байланыстар әрдайым бар.

Коммутативті емес алгебра

Егер ${ displaystyle A}$ бұл оң жақта және оң жақта қосылмаған сақина A-модульдер коммутативті сақиналардағы модульдерге ұқсас анықталады.^[4] Алайда бұл байланыстардың қажеті жоқ.

Сол және оң модульдердегі байланыстардан айырмашылығы, андағы қосылымды қалай анықтауға болатындығы туралы апроблема барR-S-екі модуль жалпы емес сақиналардың үстіненR және S. Мұндай байланыстың әр түрлі анықтамасы бар.^[5] Енді солардың бірін атап өтейік. Бойынша байланысR-S-бимодуль ${ displaystyle P}$ бимодулеморфизм ретінде анықталады

${ displaystyle nabla: D (A) ni u to nabla _ {u} in mathrm {Diff} _ {1} (P, P)}$

ол Лейбниц ережесіне бағынады

${ displaystyle nabla _ {u} (apb) = u (a) pb + a nabla _ {u} (p) b + apu (b), quad a R, quad b in S, quad p in P.}$

Сондай-ақ қараңыз

• Қосылым (векторлық жинақ)
• Байланыс (математика)
• Коммутативті емес геометрия
• Супергеометрия
• Коммутативті алгебралар бойынша дифференциалдық есептеу

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie,Хабарлама де ла Сосьете Математикасы 78 (1950) 65
• Қосзул, Дж., Талшық шоғыры және дифференциалды геометрия туралы дәрістер (Тата университеті, Бомбей, 1960)
• Бартокки, С., Бруцзо, У., Эрнандес Руйперес, Д., Супер көп қабатты геометрия (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN  0-7923-1440-9
• Дюбуа-Виолетт, М., Мичор, П., Коммутативті емес дифференциалды геометриядағы орталық биодулдардағы байланыстар, Дж.Геом. Физ. 20 (1996) 218. arXiv:q-alg / 9503020
• Ланди, Г., Коммутативті емес кеңістіктерге және олардың геометрияларына кіріспе, Дәріс. Физика жазбалары, жаңа серия: монографиялар, 51 (Springer, 1997) arXiv:hep-th / 9701078, iv + 181 бет.
• Мангиаротти, Л., Сарданашвили, Г., Классикалық және кванттық өріс теориясындағы байланыстар (World Scientific, 2000) ISBN  981-02-2013-8

Сыртқы сілтемелер

• Сарданашвили, Г., Модульдер мен сақиналардың дифференциалды геометриясы бойынша дәрістер (Ламберт академиялық баспасы, Саарбрюккен, 2012); arXiv:0910.1515