Аударма (геометрия) - Translation (geometry)

Аударма фигураның немесе кеңістіктің әр нүктесін берілген бағытта бірдей мөлшерде жылжытады.
The шағылысу оське қарсы қызыл фигураның пайда болуы, содан кейін пайда болған жасыл пішіннің екінші оське қарсы параллельге айналуы, жалпы қозғалысқа әкеледі, бұл қызыл фигураны көк пішіннің орнына ауыстыру.

Жылы Евклидтік геометрия, а аударма Бұл геометриялық түрлендіру фигураның немесе кеңістіктің әрбір нүктесін берілген бағытта бірдей қашықтыққа жылжытатын. Аударманы тұрақтының қосылуы деп те түсіндіруге болады вектор әр нүктеге немесе ауыстыру ретінде шығу тегі туралы координаттар жүйесі. Ішінде Евклид кеңістігі, кез-келген аударма изометрия.

Функция ретінде

Егер - деп аталатын тұрақты вектор аударма векторы, және - бұл кейбір объектінің бастапқы позициясы, содан кейін аударма функциясы ретінде жұмыс істейтін болады .

Егер - бұл аударма, содан кейін сурет ішкі жиын астында функциясы болып табылады аудару туралы арқылы . Аудармасы арқылы жиі жазылады .

Көлденең және тік аудармалар

Жылы геометрия, а тік аударма (сонымен бірге тік ауысым) Бұл аударма геометриялық объектінің тік осіне параллель бағытта Декарттық координаттар жүйесі.[1][2][3]

Функцияның әртүрлі антидеривативтерінің графиктері f(х) = 3х2 - 2. Барлығы бір-бірінің тік аудармалары.

Көбінесе тік аудармалар қарастырылады функцияның графигі. Егер f болып табыладых, содан кейін функцияның графигі f(х) + c (оның мәндері а қосу арқылы беріледі тұрақты c мәндеріне f) графигінің тік аудармасы арқылы алуға болады f(х) қашықтық бойынша c. Осы себепті функция f(х) + c кейде а деп аталады тік аудару туралы f(х).[4] Мысалы, антидеривативтер функцияның барлығы бір-бірінен а-мен ерекшеленеді интеграция тұрақтысы сондықтан бір-бірінің тік аудармалары болып табылады.[5]

Жылы графикалық сызба, а көлденең аударма Бұл трансформация нәтижесінде базалық графикті бағытына солға немесе оңға ауыстыруға эквивалентті график пайда болады х-аксис. Граф аударылады к графиктің әр нүктесін жылжыту арқылы көлденең бірліктер к көлденеңінен.

Үшін негізгі функция f(х) және а тұрақты к, арқылы берілген функция ж(х) = f(х − к), нобайын жасауға болады f(х) ауысқан к көлденеңінен.

Егер функцияны трансформациялау туралы геометриялық түрлендірулер туралы айтылған болса, онда функциялар көлденеңінен қалай аударылатыны түсінікті болуы мүмкін. Аудармаларға жүгінген кезде Декарттық жазықтық аудармалардың осы түрдегі белгілерге енуі заңды:

немесе

қайда және сәйкесінше көлденең және тік өзгерістер болып табылады ..

Мысал

Қабылдау парабола ж = х2 , көлденең аударма арқылы 5 бірлік оңға қарай ұсынылатын болады Т((х,ж)) = (х + 5, ж). Енді біз осы түрлендіру жазбасын алгебралық жазбаға қосуымыз керек. Нүктені қарастырайық (а.б) нүктеге ауысатын бастапқы параболада (c,г.) аударылған параболада. Біздің аудармаға сәйкес, c = а + 5 және г. = б. Параболаның түпнұсқасында нүкте болды б = а2. Біздің жаңа тармағымызды байланыстыру арқылы сипаттауға болады г. және c сол теңдеуде. б = г. және а = c - 5. Сонымен г. = б = а2 = (c − 5)2 Бұл біздің жаңа параболаның барлық нүктелеріне қатысты болғандықтан, жаңа теңдеу ж = (х − 5)2.

Классикалық физикада қолдану

Жылы классикалық физика, трансляциялық қозғалыс дегеніміз - өзгертетін қозғалыс позиция керісінше объектінің айналу. Мысалы, Уиттейкердің айтуы бойынша:[6]

Егер дене бір позициядан екінші позицияға ауыстырылса және дененің әр нүктесінің бастапқы және соңғы нүктелерін қосатын түзулер параллель ұзындықтағы түзулер жиынтығы болса , дененің кеңістіктегі бағыты өзгермейтін етіп, ығысу а деп аталады translation қашықтық арқылы түзулер бағытына параллель аудару.

Аударма - бұл барлық нүктелердің позицияларын өзгертетін операция формула бойынша объектінің

қайда бірдей вектор объектінің әр нүктесі үшін. Аударма векторы объектінің барлық нүктелеріне ортақ белгілі бір түрін сипаттайды орын ауыстыру объектінің, әдетте, а деп аталады сызықтық деп аталады, оны айналуды қамтитын ығысулардан ажырату үшін орын ауыстыру бұрыштық орын ауыстыру.

Қарастыру кезінде ғарыш уақыты, өзгерту уақыт координата аударма болып саналады.

Оператор ретінде

The аударма операторы функцияны бастапқы күйге айналдырады, , соңғы позицияның функциясына, . Басқа сөздермен айтқанда, деп анықталды Бұл оператор функцияға қарағанда абстрактілі, өйткені векторлардың өздеріне емес, екі функцияның арасындағы байланысты анықтайды. Аударма операторы көптеген функцияларды орындай алады, мысалы аударма операторы толқындық функция бойынша әрекет етеді, ол кванттық механика саласында зерттеледі.

Топ болып

Барлық аудармалар жиынтығы аударма тобы , бұл кеңістіктің өзіне изоморфты және а қалыпты топша туралы Евклид тобы . The квоталық топ туралы арқылы изоморфты болып табылады ортогональды топ :

Аударма коммутативті болғандықтан, аударма тобы абель. Аударманың шексіз саны бар, сондықтан аударма тобы - бұл шексіз топ.

Ішінде салыстырмалылық теориясы, кеңістік пен уақытты біртұтас ретінде қарастырудың арқасында ғарыш уақыты, аудармаларындағы өзгерістерге де сілтеме жасай алады уақыт координаты. Мысалы, Галилея тобы және Пуанкаре тобы уақытқа қатысты аудармаларды қосыңыз.

Торлы топтар

Бір түрі кіші топ үш өлшемді аударма тобына жатады торлы топтар, олар шексіз топтар, бірақ аударма топтарынан айырмашылығы түпкілікті құрылды. Яғни, ақырлы генератор жиынтығы бүкіл топты құрайды.

Матрицаны ұсыну

Аударма - бұл аффиналық трансформация бірге жоқ бекітілген нүктелер. Матрицалық көбейту әрқашан бар шығу тегі бекітілген нүкте ретінде. Дегенмен, жалпыға ортақ нәрсе бар уақытша шешім қолдану біртекті координаттар а аудармасын ұсыну векторлық кеңістік бірге матрицаны көбейту: 3 өлшемді векторды жазыңыз ретінде 4 біртекті координаттарды қолдану .[7]

Нысанды а-ға аудару үшін вектор , әрбір біртекті вектор (біртекті координаттармен жазылған) осымен көбейтуге болады аударма матрицасы:

Төменде көрсетілгендей, көбейту күтілген нәтиже береді:

Аударма матрицасына кері мәнді вектордың бағытын өзгерту арқылы алуға болады:

Сол сияқты, аударма матрицаларының көбейтіндісі векторларды қосу арқылы беріледі:

Себебі векторларды қосу болып табылады ауыстырмалы, сондықтан аударма матрицаларын көбейту коммутативті болып табылады (ерікті матрицаларды көбейтуге қарағанда).

Осьтердің аудармасы

Геометриялық аударма көбінесе геометриялық объектінің орнын өзгертетін белсенді процесс ретінде қарастырылса, а ұқсас нәтиже координаттар жүйесін өзі қозғалатын, бірақ нысанды бекітілген күйде қалдыратын пассивті түрлендіру арқылы қол жеткізуге болады. Белсенді геометриялық аударманың пассивті нұсқасы а деп аталады осьтердің аудармасы.

Трансляциялық симметрия

Аудармаға дейін де, кейін де бірдей көрінетін объектіде болады дейді трансляциялық симметрия. Жалпы мысал мерзімді функциялар, олар өзіндік функциялар аударма операторының.

Сондай-ақ қараңыз

Сыртқы сілтемелер

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Де Берг, Марк; Чеонг, Отфрид; Ван Кревельд, Марк; Мармар (2008), Есептеу геометриясының алгоритмдері және қолданбалары, Берлин: Спрингер, б. 91, дои:10.1007/978-3-540-77974-2, ISBN  978-3-540-77973-5.
  2. ^ Смит, Джеймс Т. (2011), Геометрия әдістері, Джон Вили және ұлдары, б. 356, ISBN  9781118031032.
  3. ^ Фолкнер, Джон Р. (2014), Проективті геометриядағы ассоциативті емес алгебраның рөлі, Математика бойынша магистратура, 159, Американдық математикалық қоғам, б. 13, ISBN  9781470418496.
  4. ^ Догерти, Эдвард Р .; Astol, Jaakko (1999), Суреттерді өңдеуге арналған сызықтық емес сүзгілер, SPIE / IEEE ғылым және инженерлік бейнелеу бойынша сериясы, 59, SPIE Press, б. 169, ISBN  9780819430335.
  5. ^ Цилл, Деннис; Райт, Уоррен С. (2009), Бір айнымалы есептеу: ерте трансцендентальдар, Джонс және Бартлетт оқыту, б. 269, ISBN  9780763749651.
  6. ^ Эдмунд Тейлор Уиттейкер (1988). Бөлшектер мен қатты денелердің аналитикалық динамикасы туралы трактат (1936 жылғы төртінші басылымның қайта басылуы, алғы сөзімен Уильям МакКрея ред.). Кембридж университетінің баспасы. б. 1. ISBN  0-521-35883-3.
  7. ^ Ричард Пол, 1981, Робот-манипуляторлар: математика, бағдарламалау және басқару: робот манипуляторларын компьютерлік басқару, MIT Press, Кембридж, MA
  • Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Функцияны аудару туралы түсініктер: кедергілер, интуициялар және бағытты өзгерту. Математикалық мінез-құлық журналы, 22, 437-450. 29 сәуір 2014 ж., Www.elsevier.com/locate/jmathb сайтынан алынды
  • Графиктерді түрлендіру: Көлденең аудармалар. (2006, 1 қаңтар). BioMath: Графиктерді түрлендіру. Тексерілді, 29 сәуір 2014 ж