Пуанкаре тобы - Poincaré group

Анри Пуанкаре

The Пуанкаре тобы, атындағы Анри Пуанкаре (1906),[1] бірінші анықталды Герман Минковский (1908) ретінде топ туралы Минковский кеңістігінің изометриялары.[2][3] Бұл он өлшемді абельдік емес Өтірік тобы, бұл біздің негізгі түсініктерімізді түсіну үшін үлгі ретінде маңызды физика. Мысалы, дәл қандай тәсілмен дәл анықтау керек а субатомдық бөлшек болып табылады, Шелдон Ли Глешоу деп білдірді «Бөлшектер ең аз дегенде Пуанкаре тобының қысқартылмайтын өкілдіктерімен сипатталады ».[4]

Шолу

A Минковский кеңістігінің изометриясы аралығында болатын қасиетке ие іс-шаралар өзгеріссіз қалады. Мысалы, егер сіз екі оқиғаны және бірінен екіншісіне өтуді қоса алғанда, бәрін екі сағатқа кейінге қалдырған болсаңыз, онда сіз өзіңізбен бірге алып жүретін стоп-вахт арқылы жазған оқиғалар арасындағы уақыт аралығы бірдей болар еді. Немесе бәрі батысқа қарай бес шақырымға жылжытылса немесе оңға 60 градусқа бұрылса, сіз де интервалда өзгеріс байқамас едіңіз. Бұл тиісті ұзындық объектінің өзгеруіне де әсер етпейді. Уақыттың немесе кеңістіктің өзгеруі (рефлексия) осы топтың изометриясы болып табылады.

Минковский кеңістігінде (яғни әсерін елемеу ауырлық ), онның еркіндік деңгейі бар изометрия уақыт немесе кеңістік арқылы аударма ретінде қарастырылуы мүмкін (төрт өлшем, бір өлшемге); жазықтық арқылы шағылысу (үш градус, осы жазықтықты бағдарлау еркіндігі); немесе «күшейту «үш кеңістіктік бағыттың кез келгенінде (үш градус). Түрлендірулер құрамы - Пуанкаре тобының әрекеті, тиісті айналымдар шағылыстырудың жұп санының құрамы ретінде шығарылады.

Жылы классикалық физика, Галилея тобы - әрекет ететін салыстырмалы он параметрлі топ абсолютті уақыт пен кеңістік. Көтерудің орнына, ол ерекшеленеді кесу кескіндері бірге қозғалатын анықтамалық жүйелерді байланыстыру.

Пуанкаре симметриясы

Пуанкаре симметриясы толық симметриясы болып табылады арнайы салыстырмалылық. Оған мыналар кіреді:

Соңғы екі симметрия, Дж және Қ, бірге жасайды Лоренц тобы (тағы қараңыз) Лоренц инварианты ); The жартылай тікелей өнім Аударма тобы мен Лоренц тобы Пуанкаре тобын шығарады. Осы топқа сәйкес инвариантты нысандарға ие болады деп айтады Пуанкаре инварианты немесе релятивистік инварианттық.

Пуанкаре тобы

Пуанкаре тобы - Минковский кеңістігінің тобы изометрия. Бұл он өлшемді жинақы емес Өтірік тобы. The абель тобы туралы аудармалар Бұл қалыпты топша, ал Лоренц тобы сонымен қатар кіші топ болып табылады тұрақтандырғыш шығу тегі Пуанкаре тобының өзі минималды кіші топ болып табылады аффиндік топ оған барлық аудармалар және Лоренц түрлендірулері. Дәлірек айтқанда, бұл жартылай бағыт өнім аудармалар мен Лоренц тобының,

топтық көбейту арқылы

.[5]

Мұны қоюдың тағы бір тәсілі - Пуанкаре тобы a топты кеңейту туралы Лоренц тобы вектор бойынша өкілдік оның; оны кейде ресми емес деп атайды біртекті емес Лоренц тобы. Өз кезегінде, оны а ретінде алуға болады топтық жиырылу de Sitter тобының SO (4,1) ~ Sp (2,2), ретінде Sitter радиусы шексіздікке жетеді.

Оның оң энергиясы біртұтас өкілдіктер арқылы индекстеледі масса (теріс емес сан) және айналдыру (бүтін немесе жарты бүтін сан) және ішіндегі бөлшектермен байланысты кванттық механика (қараңыз Вигнердің классификациясы ).

Сәйкес Эрланген бағдарламасы, Минковский кеңістігінің геометриясын Пуанкаре тобы анықтайды: Минковский кеңістігі біртекті кеңістік топ үшін.

Жылы өрістің кванттық теориясы, Пуанкаре тобының әмбебап мұқабасы

ол екі қақпақпен анықталуы мүмкін

неғұрлым маңызды, өйткені 1/2 спинмен өрістерді сипаттай алмайды, яғни. фермиондар. Мұнда күрделі топ болып табылады үшін изоморфты бірлік детерминанты бар матрицалар Лоренц-қол спин тобы .

Пуанкаре алгебрасы

The Пуанкаре алгебрасы болып табылады Алгебра Пуанкаре тобының. Бұл Алгебраны кеңейту Лоренц тобының Ли алгебрасы. Нақтырақ айтқанда, дұрыс (дет Λ = 1), ортохронды (Λ00 ≥ 1) Лоренц кіші тобының бөлігі (оның сәйкестендіру компоненті ), СО+(1, 3), сәйкестікке байланысты және осылайша дәрежелеу exp (iaμ Pμ) exp (менμν Мμν/2) осы туралы Алгебра. Компонаттық қатынастар компонент түрінде Пуанкаре алгебрасын береді:[6][7]

қайда P болып табылады генератор аудармалар, М Лоренц түрлендірулерінің генераторы болып табылады және η Минковский метрикасы (+, -, -, -) болып табылады (қараңыз) Конвенцияға қол қойыңыз ).

Коммутацияның төменгі қатынасы - айналымнан тұратын («біртекті») Лоренц тобы, Джмен = ϵимн Ммн/2және күшейтеді, Қмен = Ммен0. Бұл белгілеуде бүкіл Пуанкаре алгебрасы ковариантты емес (бірақ практикалық) тілде айқын көрінеді

мұнда екі күшейтудің төменгі сызығы коммутаторы жиі «Вингердің айналуы» деп аталады. Жеңілдету [Джм + i Қм , Джn - мен Қn] = 0 Лоренц субальгебрасын төмендетуге мүмкіндік береді су(2) ⊕ су(2) және онымен байланысты тиімді емдеу өкілдіктер. Физикалық параметрлер бойынша бізде бар

The Casimir инварианттары осы алгебрадан тұрады Pμ Pμ және Wμ Wμ қайда Wμ болып табылады Паули – Лубанский псевдовекторы; олар топ өкілдерінің белгілері ретінде қызмет етеді.

Пуанкаре тобы - кез-келген адамның толық симметрия тобы релятивистік өріс теориясы. Нәтижесінде барлығы қарапайым бөлшектер кіру осы топтың өкілдіктері. Бұлар әдетте төрт импульс әрбір бөлшектің квадраты (яғни оның массасы квадрат) және меншікті кванттық сандар ДжДК, қайда Дж болып табылады айналдыру кванттық нөмір, P болып табылады паритет және C болып табылады заряд-конъюгация кванттық сан. Іс жүзінде заряд конъюгациясы мен паритетті көптеген адамдар бұзады кванттық өріс теориялары; бұл қай жерде болады, P және C тәркіленді. Бастап CPT симметриясы болып табылады өзгермейтін өрістің кванттық теориясында а уақытты қайтару кванттық саны берілгендерден салынуы мүмкін.

Сияқты топологиялық кеңістік, топта төрт байланысты компонент бар: сәйкестіктің компоненті; уақыт кері компонент; кеңістіктік инверсия компоненті; және уақытқа кері және кеңістіктегі инверсиялы компонент.

Басқа өлшемдер

Жоғарыдағы анықтамаларды ерікті өлшемдерге дейін тікелей түрде жалпылауға болады. The г.-өлшемді Пуанкаре тобы жартылай тікелей өніммен ұқсас түрде анықталады

ұқсас көбейту арқылы

.[5]

Ли алгебрасы индекстермен бірге өз формасын сақтайды µ және ν арасындағы мәндерді қабылдаймыз 0 және г. − 1. Тұрғысынан балама ұсыну Джмен және Қмен жоғары өлшемдерде аналогы жоқ.

Супер-Пуанкаре алгебрасы

Осыған байланысты бақылау: Лоренц тобының өкілдіктері теңсіз екі өлшемді кешенді қосыңыз шпинатор өкілдіктер және кімдікі тензор өнімі болып табылады бірлескен өкілдік. Осы соңғы битті төрт өлшемді Минковский кеңістігінің өзімен анықтауға болады (оны спин-1 бөлшегімен анықтауға қарағанда, әдетте жұп үшін жасалатындай) фермиондар, мысалы. а пион құрамы а кварк -анти-кварк жұбы). Бұл Пуанкаре алгебрасын спинорларды да қосуға болатындығын кеңінен ұсынуға болады. Бұл тікелей ұғымына алып келеді супер-Пуанкаре алгебрасы. Бұл идеяның математикалық тартымдылығы - біреуімен жұмыс істейтіндігінде іргелі өкілдіктер, байланыстырылған өкілдіктердің орнына. Бұл идеяның физикалық тартымдылығы - іргелі ұсыныстар сәйкес келеді фермиондар, олар табиғатта көрінеді. Әзірге, дегенмен, болжалды суперсиметрия мұнда кеңістіктік және фермиондық бағыттар арасындағы симметрия табиғатта эксперименталды түрде көрінбейді. Эксперименттік мәселені шамамен сұрақ ретінде айтуға болады: егер біз іргелес өкілдікте тұрсақ (Минковский кеңістігі), онда іргелі көрініс қайда жасырылады?

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ Пуанкаре, Анри (желтоқсан, 1906), «Sur la dynamique de l'électron», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 21: 129–176, Бибкод:1906RCMP ... 21..129P, дои:10.1007 / bf03013466, hdl:2027 / uiug.30112063899089, S2CID  120211823 (Уикисөз аударма: Электронның динамикасы туралы ). Осы жұмыста анықталған топ енді скалярлық көбейткіштері бар біртекті Лоренц тобы ретінде сипатталады.
  2. ^ Минковский, Герман, «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern», Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111 (Уикисөзге аударма: Қозғалыстағы денелердегі электромагниттік процестердің негізгі теңдеулері ).
  3. ^ Минковский, Герман, «Raum und Zeit», Physikalische Zeitschrift, 10: 75–88
  4. ^ https://www.quantamagazine.org/what-is-a-particle-20201112/
  5. ^ а б Облак, Благоже (2017-08-01). Үш өлшемдегі БМС бөлшектері. Спрингер. б. 80. ISBN  9783319618784.
  6. ^ Н.Н. Боголубов (1989). Кванттық өріс теориясының жалпы принциптері (2-ші басылым). Спрингер. б. 272. ISBN  0-7923-0540-X.
  7. ^ Т.Охлссон (2011). Релятивистік кванттық физика: кеңейтілген кванттық механикадан кіріспе кванттық өріс теориясына дейін. Кембридж университетінің баспасы. б. 10. ISBN  978-1-13950-4324.

Әдебиеттер тізімі