Симметриялық тензор - Symmetric tensor

Жылы математика, а симметриялық тензор Бұл тензор бұл өзгермейтін болып табылады ауыстыру оның векторлық аргументтерінің:

әрбір ауыстыру үшін σ шартты белгілер {1, 2, ..., р}. Сонымен қатар, ретті симметриялы тензор р координаттарда шамасы ретінде көрсетілген р индекстер қанағаттандырады

Реттіліктің симметриялық тензорларының кеңістігі р ақырлы өлшемді векторлық кеңістік V болып табылады табиғи түрде изоморфты кеңістігінің қосарына біртекті көпмүшелер дәрежесі р қосулы V. Аяқталды өрістер туралы сипаттамалық нөл, векторлық деңгей барлық симметриялық тензорларды табиғи түрде анықтауға болады симметриялы алгебра қосулы V. Осыған байланысты тұжырымдама антисимметриялық тензор немесе ауыспалы форма. Симметриялық тензорлар кең таралған инженерлік, физика және математика.

Анықтама

Келіңіздер V және векторлық кеңістік бол

тәртіп тензоры к. Содан кейін Т симметриялы тензор болып табылады, егер

үшін өру карталары {1,2, ..., таңбаларындағы әрбір m ауыстырумен байланыстык} (немесе әрқайсысына эквивалентті) транспозиция осы белгілерде).

Берілген негіз {eмен} of V, кез-келген симметриялық тензор Т дәреже к деп жазуға болады

коэффициенттердің бірегей тізімі үшін ( компоненттер индекс бойынша симметриялы) тензордың негізіндегі). Бұл дегеніміз

әрқайсысы үшін ауыстыру σ.

Барлық симметриялық тензорлардың кеңістігі к бойынша анықталған V арқылы жиі белгіленеді Sк(V) немесе Symк(V). Бұл өзі векторлық кеңістік, және егер V өлшемі бар N содан кейін Sym өлшемік(V) болып табылады биномдық коэффициент

Содан кейін біз Sym (V) ретінде тікелей сома Symк(V) үшін к = 0,1,2,...

Мысалдар

Симметриялық тензорлардың көптеген мысалдары бар. Кейбіреулеріне: метрикалық тензор, , Эйнштейн тензоры, және Ricci тензоры, .

Көптеген материалдық қасиеттері және өрістер физика мен техникада қолданылатын симметриялық тензор өрістері ретінде ұсынылуы мүмкін; Мысалға: стресс, штамм, және анизотропты өткізгіштік. Сондай-ақ, диффузиялық МРТ мидағы немесе дененің басқа бөліктеріндегі диффузияны сипаттау үшін көбінесе симметриялық тензорларды қолданады.

Эллипсоидтар мысал бола алады алгебралық сорттары; және жалпы ранг үшін симметриялы тензорлар, біртекті көпмүшелер, анықтау үшін қолданылады проективті сорттар, және жиі осылай зерттеледі.

Тензордың симметриялық бөлігі

Айталық өрісінің үстіндегі векторлық кеңістік сипаттамалық 0. Егер ТVк ретордың тензоры болып табылады , содан кейін симметриялы бөлігі - деп анықталған симметриялық тензор

қорытындысы кеңейтілген симметриялық топ қосулы к шартты белгілер. Негізге және жұмысқа орналастыру тұрғысынан Эйнштейн конвенциясы, егер

содан кейін

Тензордың оң жағында пайда болатын компоненттері көбінесе белгіленеді

индекстердің айналасында жақшалармен () симметрияланған. Анимметриялану үшін квадрат жақшалар [] қолданылады.

Симметриялық өнім

Егер Т таза тензор көбейтіндісі ретінде берілген қарапайым тензор

онда симметриялы бөлігі Т факторлардың симметриялық көбейтіндісі болып табылады:

Жалпы біз Sym (V) ішіне алгебра коммутативті және ассоциативті өнімді анықтау арқылы ⊙.[1] Екі тензор берілген Т1 Ym Symк1(V) және Т2 Ym Symк2(V), біз симметриялау операторын анықтаймыз:

Оны тексеруге болады (мұны Кострикин мен Манин жасайды[1]) алынған өнімнің іс жүзінде коммутативті және ассоциативті екендігі. Кейбір жағдайларда оператор алынып тасталады: Т1Т2 = Т1Т2.

Кейбір жағдайларда экспоненциалды белгі қолданылады:

Қайда v Тағы да, кейбір жағдайларда ⊙ қалдырылады:

Ыдырау

Теориясымен ұқсас симметриялық матрицалар, 2 ретті симметриялы тензор «қиғашталған» болуы мүмкін. Дәлірек айтқанда, кез-келген тензор үшін Т Ym Sym2(V), бүтін сан бар р, нөлдік емес векторлар v1,...,vр ∈ V және салмақ λ1,...,λр осындай

Минималды сан р үшін мұндай ыдырау мүмкін (симметриялы) дәрежесі Т. Бұл минималды өрнекте пайда болатын векторлар болып табылады негізгі осьтер тензордың және жалпы физикалық мағынасы бар. Мысалы, негізгі осьтері инерция тензоры анықтау Poinsot эллипсоиды инерция моментін білдіретін. Сондай-ақ қараңыз Сильвестрдің инерция заңы.

Кез-келген ретті симметриялы тензорлар үшін к, ыдырау

мүмкін. Минималды сан р ол үшін мұндай ыдырау мүмкін симметриялы дәреже туралы Т.[2] Бұл ең аз ыдырауды Waring ыдырауы деп атайды; бұл симметриялы түрі тензор дәрежесінің ыдырауы. Екінші ретті тензорлар үшін бұл кез-келген негізде тензорды бейнелейтін матрицаның дәрежесіне сәйкес келеді және максималды ранг негізгі векторлық кеңістіктің өлшеміне тең екендігі белгілі. Алайда жоғары тапсырыстар үшін бұны сақтау қажет емес: дәреже векторлық кеңістіктегі өлшемдер санынан жоғары болуы мүмкін. Сонымен қатар, симметриялық тензордың дәрежесі мен симметриялық дәрежесі әр түрлі болуы мүмкін.[3]

Сондай-ақ қараңыз

Ескертулер

  1. ^ а б Кострикин, Алексей И.; Манин, Юрий Иванович (1997). Сызықтық алгебра және геометрия. Алгебра, логика және қосымшалар. 1. Гордон және бұзу. 276–279 бет. ISBN  9056990497.
  2. ^ Комон, П .; Голуб, Г .; Лим, Л. Х .; Mourrain, B. (2008). «Симметриялық тензорлар және симметриялық тензорлар дәрежесі». Матрицалық анализ және қосымшалар туралы SIAM журналы. 30 (3): 1254. arXiv:0802.1681. дои:10.1137/060661569.
  3. ^ Шитов, Ярослав (2018). «Комонның болжамына қарсы мысал». Қолданбалы алгебра және геометрия бойынша SIAM журналы. 2 (3): 428–443. arXiv:1705.08740. дои:10.1137 / 17m1131970. ISSN  2470-6566.

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер