Векторлардың ковариациясы және қарсы нұсқасы - Covariance and contravariance of vectors

A   вектор, vтұрғысынан ұсынылған

тангенстік негіз

  e₁, e₂, e₃ дейін   қисық сызықтар (сол),

қос негіз, ковекторлы негіз немесе өзара негіз

  e¹, e², e³ дейін   координаталық беттер (дұрыс),

жылы 3-ж жалпы қисық сызықты координаттар (q¹, q², q³), а кортеж а нүктесін анықтайтын сандар орналасу кеңістігі. Негіз және кобазис негіз болған кезде ғана сәйкес келетініне назар аударыңыз ортогоналды.^[1]

Жылы көп сызықты алгебра және тензорлық талдау, коварианс және қайшылық а геометриялық немесе физикалық нысандардың сандық сипаттамасының а-мен қалай өзгеретінін сипаттаңыз негізді өзгерту.

Физикада негіз кейде тірек осьтердің жиынтығы ретінде қарастырылады. Эталондық осьтердегі масштабтың өзгеруі есептегі бірліктердің өзгеруіне сәйкес келеді. Мысалы, масштабты метрден сантиметрге өзгерту арқылы (яғни, бөлу сілтеме осьтерінің масштабы 100), өлшенетін компоненттер жылдамдық вектор болып табылады көбейтілді 100-ге дейін. Векторлар масштабтың өзгеріп отыратындығын көрсетеді кері масштабтағы өзгерістерге сілтеме осьтеріне және сәйкесінше шақырылады қарама-қайшы. Нәтижесінде векторларда басқа бірліктермен арақашықтық немесе қашықтық бірліктері жиі болады (мысалы, жылдамдықта уақытқа бөлінген қашықтық бірліктері болады).

Қайта, ковекторлар (деп те аталады қос векторлар) әдетте басқа арақашықтыққа немесе арақашықтыққа кері өлшем бірліктері болады. Ковектордың мысалы ретінде градиент, оның кеңістіктегі бірліктері бар туынды немесе қашықтық⁻¹. Ковекторлардың компоненттері сол сияқты эталондық осьтер масштабының өзгеруі және сәйкесінше деп аталады ковариант.

Коварианттылық пен қайшылыққа байланысты үшінші ұғым инварианттық. Физикалық мысал байқалатын анықтамалық осьтердегі шкаланың өзгеруімен өзгермейтін болып табылады масса массаның өлшем бірліктері бар бөлшектің (яғни арақашықтықтың бірлігі жоқ). Бойдақ, скаляр массаның мәні эталондық осьтер масштабының өзгеруіне тәуелді емес және сәйкесінше аталады өзгермейтін.

Негізіндегі жалпы өзгерістерге байланысты:

• Қарама-қарсы вектор немесе жанасу векторы (көбіне жай қысқартылған вектор, мысалы бағыт векторы немесе жылдамдық векторы) компоненттері бар қайшы өтеу негізінің өзгеруімен. Яғни, векторлық компоненттерді түрлендіретін матрица негізгі векторларды түрлендіретін матрицадан кері болуы керек. Векторлардың компоненттері (ковекторларға қарағанда) деп аталады қарама-қайшы. Векторларының мысалдары қарама-қарсы компоненттер бақылаушыға қатысты объектінің позициясын немесе жылдамдықпен қоса уақытқа қатысты позицияның кез-келген туындысын, үдеу, және жұлқу. Жылы Эйнштейн жазбасы, қарама-қарсы компоненттермен белгіленеді жоғарғы индекстер сияқты

  ${ displaystyle mathbf {v} = v ^ {i} mathbf {e} _ {i}.}$

• Ковариантты вектор немесе котангенс векторы (жиі қысқартылған ковекторкомпоненттері бар бірге өзгереді негізін өзгерту арқылы. Яғни, компоненттер базалық матрицаның өзгеруі сияқты матрицамен түрлендірілуі керек. Ковекторлардың компоненттері (векторларға қарағанда) деп аталады ковариант. Коварианттық векторлардың мысалдары, әдетте, а қабылдағанда пайда болады градиент функцияның. Жылы Эйнштейн жазбасы, ковариантты компоненттермен белгіленеді төменгі индекстер сияқты

  ${ displaystyle mathbf {e} _ {i} ( mathbf {v}) = v_ {i}.}$

Цилиндрлік немесе сфералық координаттар сияқты қисық сызықты координаттар жүйесі көбінесе физикалық және геометриялық есептерде қолданылады. Кез-келген координаталар жүйесімен байланысты - бұл кеңістіктің әр нүктесінде негізделген векторлар үшін координаталық негіздің табиғи таңдауы, ал коваритация мен қарама-қайшылық вектордың координаталық сипаттамасы бір координат жүйесінен екінші координат жүйесіне өту арқылы қалай өзгеретінін түсіну үшін өте маңызды.

Шарттар ковариант және қарама-қайшы арқылы енгізілді Джеймс Джозеф Сильвестр 1851 ж^[2][3] байланысты алгебралық формалар теориясы. Тензорлар объектілері болып табылады көп сызықты алгебра бұл коварианттың да, қайшылықтың да аспектілері болуы мүмкін.

Лексикасында категория теориясы, ковариация және қайшылық қасиеттері болып табылады функционалдар; өкінішке орай, бұл жалпы индексі бар объектілер (ковекторлар) кері тарту, олар керісінше, ал жоғарғы индекс нысандары (векторлар) орнына ие алға қарай ковариантты болып табылады. Бұл терминологиялық қақтығыстан, кереғар функционалдарды «кофекторлар» деп атай отырып, оларды «covector» терминологиясына сәйкес келтіріп, векторларды тұжырымдама ретінде, ал векторларды коконцепт ретінде қарастыру дәстүрін жалғастыра отырып, болдырмауға болады.

Кіріспе

Физикада вектор әдетте өлшеу немесе өлшемдер сериясы нәтижесінде пайда болады және тізім ретінде ұсынылады (немесе кортеж сияқты сандар

${ displaystyle (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}).}$

Тізімдегі сандар таңдауына байланысты координаттар жүйесі. Мысалы, егер вектор бақылаушыға қатысты позицияны көрсетсе (позиция векторы ), содан кейін координаттар жүйесін қатты шыбықтар жүйесінен немесе тірек осьтерінен алуға болады, олардың бойында компоненттер болады v₁, v₂, және v₃ өлшенеді. Вектор геометриялық нысанды бейнелеуі үшін оның кез-келген басқа координаттар жүйесінде қалай көрінетінін сипаттауға мүмкіндік беру керек. Яғни, векторлардың компоненттері болады түрлендіру белгілі бір жолмен бір координаталар жүйесінен екінші координаттар жүйесіне өту кезінде.

A қарама-қарсы вектор координаталардың өзгеруі кезінде «координаталар сияқты түрлендіретін» (және осьтердің түрленуіне кері) компоненттері бар, соның ішінде айналу және кеңею. Бұл операциялар кезінде вектордың өзі өзгермейді; оның орнына вектордың компоненттері кеңістіктік осьтердің өзгеруін болдырмайтын жолмен өзгереді, сол сияқты координаттар өзгереді. Басқаша айтқанда, егер тірек осьтері бір бағытта айналдырылса, вектордың компоненттік көрінісі тура керісінше айналатын еді. Сол сияқты, егер тірек осьтері бір бағытта созылса, вектордың компоненттері, координаттар сияқты, дәл компенсациялық жолмен азаяр еді. Математикалық тұрғыдан, егер координаталар жүйесі түрлендіруге ұшыраса, an кері матрица М, сондықтан а координаталық вектор х болып өзгереді ${ displaystyle mathbf {x} '= M mathbf {x}}$, содан кейін қарама-қарсы вектор v арқылы түрлендірілуі керек ${ displaystyle mathbf {v} '= M mathbf {v}}$. Бұл маңызды талап кез-келген векторды физикалық мағыналы шамалардың кез-келген басқа үштігінен ерекшелендіреді. Мысалы, егер v тұрады х-, ж-, және з- компоненттері жылдамдық, содан кейін v қарама-қарсы вектор болып табылады: егер кеңістіктің координаталары созылса, айналдырылса немесе бұралса, онда жылдамдық компоненттері дәл осылай өзгереді. Қарама-қарсы векторлардың мысалдары жатады орын ауыстыру, жылдамдық және үдеу. Екінші жағынан, мысалы, тікбұрышты қораптың ұзындығы, ені мен биіктігінен тұратын үштік рефераттың үш компонентін құрауы мүмкін вектор, бірақ бұл вектор қарама-қайшы болмас еді, өйткені кеңістіктегі координаталардың өзгеруі қораптың ұзындығын, енін және биіктігін өзгертпейді: оның орнына скалярлар.

Керісінше, а ковариантты вектор координаталарға қарама-қарсы өзгеретін немесе баламалы түрде тірек осьтері тәрізді өзгеретін компоненттері бар. Мысалы,. Компоненттері градиент функцияның векторы

${ displaystyle nabla f = { frac { ішінара f} { жартылай x ^ {1}}} { кең жол {x}} ^ {1} + { frac { жартылай f} { жартылай x ^ {2}}} { widehat {x}} ^ {2} + { frac { partial f} { partial x ^ {3}}} { widehat {x}} ^ {3}}$

тірек осьтері сияқты түрлендіреді.

Анықтама

Вектордың негізі ортогоналды болмаған кезде оның ковариантты және контрастты компоненттері.

Ковариация мен қайшылықтың жалпы тұжырымдамасы координаталық вектордың компоненттері а астында қалай өзгеретініне сілтеме жасайды негізді өзгерту (пассивті трансформация ). Осылайша рұқсат етіңіз V болуы а векторлық кеңістік өлшем n өрісінің үстінде скалярлар S, және әрқайсысына рұқсат етіңіз f = (X₁, ..., X_n) және f′ = (Y₁, ..., Y_n) болуы а негіз туралы V.^{[1 ескерту]} Сонымен қатар негізді өзгерту бастап f дейін fBy арқылы беріледі

${ displaystyle mathbf {f} mapsto mathbf {f} '= left ( sum _ {i} a_ {1} ^ {i} X_ {i}, dots, sum _ {i} a_ { n} ^ {i} X_ {i} right) = mathbf {f} A}$

(1)

кейбіреулер үшін төңкерілетін n×n матрица A жазбалармен ${ displaystyle a_ {j} ^ {i}}$Мұнда, әр вектор Y_j туралы f′ Негіз - векторлардың сызықтық комбинациясы X_мен туралы f негіз, сондықтан

${ displaystyle Y_ {j} = sum _ {i} a_ {j} ^ {i} X_ {i}.}$

Қарама-қарсы трансформация

Вектор ${ displaystyle v}$ жылы V ретінде ерекше түрде өрнектеледі сызықтық комбинация элементтерінің f негізі

${ displaystyle v = sum _ {i} v ^ {i} [ mathbf {f}] X_ {i},}$

(2)

қайда v^мен[f] болып табылады скалярлар жылы S ретінде белгілі компоненттер туралы v ішінде f негіз. Деп белгілеңіз баған векторы компоненттерінің v арқылы v[f]:

${ displaystyle mathbf {v} [ mathbf {f}] = { begin {bmatrix} v ^ {1} [ mathbf {f}] v ^ {2} [ mathbf {f}] vdots v ^ {n} [ mathbf {f}] end {bmatrix}}}$

сондай-ақ (2) матрицалық өнім ретінде қайта жазылуы мүмкін

${ displaystyle v = mathbf {f} , mathbf {v} [ mathbf {f}].}$

Вектор v терминдерімен де білдірілуі мүмкін f′ Негіз, сондықтан

${ displaystyle v = mathbf {f '} , mathbf {v} [ mathbf {f'}].}$

Алайда, вектордан бастап v өзі негіз таңдауымен өзгермейтін,

${ displaystyle mathbf {f} , mathbf {v} [ mathbf {f}] = v = mathbf {f '} , mathbf {v} [ mathbf {f'}].}$

Инвариантты v қатынаспен үйлеседі (1) арасында f және fThat мұны білдіреді

${ displaystyle mathbf {f} , mathbf {v} [ mathbf {f}] = mathbf {f} A , mathbf {v} [ mathbf {f} A],}$

трансформация ережесін беру

${ displaystyle mathbf {v} [ mathbf {f} A] = A ^ {- 1} mathbf {v} [ mathbf {f}].}$

Компоненттер тұрғысынан,

${ displaystyle v ^ {i} [ mathbf {f} A] = sum _ {j} { tilde {a}} _ {j} ^ {i} v ^ {j} [ mathbf {f}] }$

мұндағы коэффициенттер ${ displaystyle { tilde {a}} _ {j} ^ {i}}$ жазбалары кері матрица туралы A.

Себебі вектордың компоненттері v арқылы түрлендіру кері матрицаның A, бұл компоненттер айтылады керісінше өзгерту базаның өзгеруіне байланысты.

Жолы A байланыстырады, екі жұп келесі бейресми диаграммада көрсеткі арқылы бейнеленген. Жебенің кері бұрылуы қарама-қайшы өзгерісті білдіреді:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {f} & longrightarrow mathbf {f '} v [ mathbf {f}] & longleftarrow v [ mathbf {f'}] end {aligned} }}$

Ковариантты түрлендіру

A сызықтық функционалды α қосулы V тұрғысынан ерекше түрде көрінеді компоненттер (скалярлар S) ішінде f негізі

${ displaystyle alpha (X_ {i}) = alpha _ {i} [ mathbf {f}], quad i = 1,2, dots, n.}$

Бұл компоненттердің әрекеті болып табылады α векторлар негізінде X_мен туралы f негіз.

Бастап негізінің өзгеруі бойынша f дейін f′ (1), компоненттер осылай өзгереді

${ displaystyle { begin {aligned} alpha _ {i} [ mathbf {f} A] & = alpha (Y_ {i}) & = alpha left ( sum _ {j} a_ { i} ^ {j} X_ {j} right) & = sum _ {j} a_ {i} ^ {j} alpha (X_ {j}) & = sum _ {j} a_ {i} ^ {j} alpha _ {j} [ mathbf {f}]. end {aligned}}}$

(3)

Деп белгілеңіз жол векторы компоненттерінің α арқылы α[f]:

${ displaystyle mathbf { alpha} [ mathbf {f}] = { begin {bmatrix} alpha _ {1} [ mathbf {f}], alpha _ {2} [ mathbf {f}] , dots, alpha _ {n} [ mathbf {f}] end {bmatrix}}}$

сондай-ақ (3) матрица көбейтіндісі ретінде қайта жазылуы мүмкін

${ displaystyle alpha [ mathbf {f} A] = alpha [ mathbf {f}] A.}$

Себебі сызықтық функционалдық α компоненттері матрицамен бірге өзгереді A, бұл компоненттер айтылады өзгеріп отырады базаның өзгеруіне байланысты.

Жолы A байланыстырады, екі жұп келесі бейресми диаграммада көрсеткі арқылы бейнеленген. Ковариантты байланыс көрсетілген, өйткені көрсеткілер бір бағытта жүреді:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {f} & longrightarrow mathbf {f '} alpha [ mathbf {f}] & longrightarrow alpha [ mathbf {f'}] end { тураланған}}}$

Егер оның орнына векторлық баған ұсынылған болса, онда трансформация заңы болады транспозициялау

${ displaystyle alpha ^ { mathrm {T}} [ mathbf {f} A] = A ^ { mathrm {T}} alpha ^ { mathrm {T}} [ mathbf {f}].}$

Координаттар

Негізді таңдау f векторлық кеңістікте V бойынша координат функцияларының жиынтығын анықтайды Vарқылы

${ displaystyle x ^ {i} [ mathbf {f}] (v) = v ^ {i} [ mathbf {f}].}$

Координаттар қосулы V деген мағынада қайшы келеді

${ displaystyle x ^ {i} [ mathbf {f} A] = sum _ {k = 1} ^ {n} { tilde {a}} _ {k} ^ {i} x ^ {k} [ mathbf {f}].}$

Керісінше, жүйесі n шамалар v^мен координаталар сияқты өзгереді х^мен қосулы V қарама-қарсы векторды анықтайды. Жүйесі n координаталарға қарама-қарсы өзгеретін шамалар ковариантты вектор болады.

Келіспеушілік пен ковариацияның тұжырымдамасы көбінесе координаталық кеңістік бар қосымшаларда (а көпжақты ) қандай векторлар өмір сүреді жанасу векторлары немесе котангенс векторлары. Жергілікті координаттар жүйесі берілген х^мен коллекторда координаталар жүйесінің сілтеме осьтері болып табылады векторлық өрістер

${ displaystyle X_ {1} = { frac { жарымжан} { жартылай x ^ {1}}}, нүктелер, X_ {n} = { frac { жарым-жартылай} { жартылай x ^ {n}} }.}$

Бұл жақтаудың пайда болуына әкеледі f = (X₁, ..., X_n) координаталық патчтың әр нүктесінде.

Егер ж^мен басқа координаттар жүйесі және

${ displaystyle Y_ {1} = { frac { жарым-жартылай} { жартылай у ^ {1}}}, нүктелер, Y_ {n} = { frac { жарым-жартылай} { жартылай y ^ {n}} },}$

содан кейін жақтау f ' рамамен байланысты f керісінше Якоб матрицасы координаталық ауысудың:

${ displaystyle mathbf {f} '= mathbf {f} J ^ {- 1}, quad J = left ({ frac {циалды y ^ {i}} { жартылай x ^ {j}} } оң) _ {i, j = 1} ^ {n}.}$

Немесе индекстерде,

${ displaystyle { frac { жарым-жартылай} { жартылай у ^ {i}}} = қосынды _ {j = 1} ^ {n} { frac { жартылай x ^ {j}} { жартылай у ^ {i}}} { frac { жарымжан} { жартылай x ^ {j}}}.}$

Тангенс вектор дегеніміз - вектор, ол координаталық бөлшектердің сызықтық комбинациясы болып табылады ${ displaystyle жарым-жартылай / жартылай x ^ {i}}$. Осылайша жанамалы вектор анықталады

${ displaystyle v = sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} [ mathbf {f}] X_ {i} = mathbf {f} mathbf {v} [ mathbf {f }].}$

Мұндай вектор кадрдың өзгеруіне қатысты қайшы келеді. Координаттар жүйесіндегі өзгерістерге сәйкес, бар

${ displaystyle mathbf {v} left [ mathbf {f} ' right] = mathbf {v} left [ mathbf {f} J ^ {- 1} right] = J , mathbf { v} [ mathbf {f}].}$

Демек, жанама вектордың компоненттері арқылы түрленеді

${ displaystyle v ^ {i} left [ mathbf {f} ' right] = sum _ {j = 1} ^ {n} { frac {циалды у ^ {i}} { жартылай x ^ {j}}} v ^ {j} [ mathbf {f}].}$

Тиісінше, жүйесі n шамалар v^мен бір координаталар жүйесінен екінші координаталар жүйесіне өту кезінде осылай өзгеретін координаталарға байланысты қарама-қарсы вектор деп аталады.

Метрикасы бар вектордың ковариантты және қарама-қарсы компоненттері

Қарама-қайшы компоненттер   вектордың   арқылы алынады жобалау координаталық осьтерге. Ковариантты компоненттер   координаталық гиперпландарға қалыпты сызықтарға проекциялау арқылы алынады.

Ақырлы өлшемді векторлық кеңістік V өріс үстінде Қ симметриялы айқын сызық ж : V × V → Қ (деп аталуы мүмкін метрикалық тензор ), ковариантты және қарама-қарсы векторлар арасында аз айырмашылық бар, өйткені айқын сызық ковекторларды векторлармен сәйкестендіруге мүмкіндік береді. Яғни, вектор v ковекторды анықтайды α арқылы

${ displaystyle alpha (w) = g (v, w)}$

барлық векторлар үшін w. Керісінше, әрбір ковектор α бірегей векторды анықтайды v осы теңдеу бойынша. Квекторлармен векторларды сәйкестендіруге байланысты, туралы айтуға болады ковариантты компоненттер немесе қарама-қарсы компоненттер векторының, яғни олар тек сол вектордың өзара негіз.

Берілген негіз f = (X₁, ..., X_n) туралы V, бірегей өзара негіз бар f^# = (Y¹, ..., Yⁿ) туралы V талап етуімен анықталады

${ displaystyle Y ^ {i} (X_ {j}) = delta _ {j} ^ {i},}$

The Kronecker атырауы. Осы негіздер тұрғысынан кез-келген вектор v екі жолмен жазылуы мүмкін:

${ displaystyle { begin {aligned} v & = sum _ {i} v ^ {i} [ mathbf {f}] X_ {i} = mathbf {f} , mathbf {v} [ mathbf { f}] & = sum _ {i} v_ {i} [ mathbf {f}] Y ^ {i} = mathbf {f} ^ { sharp} mathbf {v} ^ { sharp} [ mathbf {f}]. end {aligned}}}$

Компоненттер v^мен[f] болып табылады қарама-қарсы компоненттер векторының v негізде fжәне компоненттері v_мен[f] болып табылады ковариантты компоненттер туралы v негізде f. Терминология орынды, өйткені негіздің өзгеруіне байланысты,

${ displaystyle mathbf {v} [ mathbf {f} A] = A ^ {- 1} mathbf {v} [ mathbf {f}], quad mathbf {v} ^ { sharp} [ mathbf {f} A] = A ^ {T} mathbf {v} ^ { sharp} [ mathbf {f}].}$

Евклидтік жазықтық

Евклид жазықтығында нүктелік өнім векторларды ковекторлармен сәйкестендіруге мүмкіндік береді. Егер ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}}$ негіз, содан кейін қос негіз болып табылады ${ displaystyle mathbf {e} ^ {1}, mathbf {e} ^ {2}}$ қанағаттандырады

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {e} ^ {1} cdot mathbf {e} _ {1} = 1, & quad mathbf {e} ^ {1} cdot mathbf {e } _ {2} = 0 mathbf {e} ^ {2} cdot mathbf {e} _ {1} = 0, & quad mathbf {e} ^ {2} cdot mathbf {e } _ {2} = 1. Соңы {тураланған}}}$

Осылайша, e¹ және e₂ сияқты, бір-біріне перпендикуляр e² және e₁және ұзындықтары e¹ және e² қарсы қалыпқа келтірілген e₁ және e₂сәйкесінше.

Мысал

Мысалға,^[4] бізге негіз беріліп отыр делік e₁, e₂ бір-біріне 45 ° бұрыш жасайтын векторлар жұбынан тұрады, осылайша e₁ ұзындығы 2 және e₂ 1 ұзындығына ие. Сонда екі негізді векторлар келесідей келтірілген:

• e² айналу нәтижесі болып табылады e₁ 90 ° бұрыш арқылы (мұнда сезім жұпты қабылдау арқылы өлшенеді) e₁, e₂ позитивті болуы керек), содан кейін қалпына келтіру e² ⋅ e₂ = 1 ұстайды.
• e¹ айналу нәтижесі болып табылады e₂ 90 ° бұрыш арқылы, содан кейін қайта бұру керек e¹ ⋅ e₁ = 1 ұстайды.

Осы ережелерді қолдана отырып, біз табамыз

${ displaystyle mathbf {e} ^ {1} = { frac {1} {2}} mathbf {e} _ {1} - { frac {1} { sqrt {2}}} mathbf { e} _ {2}}$

және

${ displaystyle mathbf {e} ^ {2} = - { frac {1} { sqrt {2}}} mathbf {e} _ {1} +2 mathbf {e} _ {2}.}$

Осылайша, бастапқы матрицадан кері негізге өту кезінде базалық матрицаның өзгеруі болып табылады

${ displaystyle R = { begin {bmatrix} { frac {1} {2}} & - { frac {1} { sqrt {2}}} - { frac {1} { sqrt { 2}}} & 2 end {bmatrix}},}$

бері

${ displaystyle [ mathbf {e} ^ {1} mathbf {e} ^ {2}] = [ mathbf {e} _ {1} mathbf {e} _ {2}] { begin { bmatrix} { frac {1} {2}} & - { frac {1} { sqrt {2}}} - { frac {1} { sqrt {2}}} & 2 end {bmatrix }}.}$

Мысалы, вектор

${ displaystyle v = { frac {3} {2}} mathbf {e} _ {1} +2 mathbf {e} _ {2}}$

- бұл қарама-қарсы компоненттері бар вектор

${ displaystyle v ^ {1} = { frac {3} {2}}, quad v ^ {2} = 2.}$

Ковариантты компоненттер вектор үшін екі өрнекті теңестіру арқылы алынады v:

${ displaystyle v = v_ {1} mathbf {e} ^ {1} + v_ {2} mathbf {e} ^ {2} = v ^ {1} mathbf {e} _ {1} + v ^ {2} mathbf {e} _ {2}}$

сондықтан

${ displaystyle { begin {aligned} { begin {bmatrix} v_ {1} v_ {2} end {bmatrix}} & = R ^ {- 1} { begin {bmatrix} v ^ {1} v ^ {2} end {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} 4 & { sqrt {2}} { sqrt {2}} & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} v ^ {1} v ^ {2} end {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} 6 + 2 { sqrt {2}} 2 + { frac {3 } { sqrt {2}}} end {bmatrix}} end {aligned}}.}$

Үш өлшемді эвклид кеңістігі

Үшөлшемді Евклид кеңістігі, сондай-ақ берілген жиынтыққа қосарланған негізді анық анықтауға болады негізгі векторлар e₁, e₂, e₃ туралы E₃ олар міндетті түрде ортогоналды немесе бірлік норма деп қабылданбайды. Екі негізді векторлар:

${ displaystyle mathbf {e} ^ {1} = { frac { mathbf {e} _ {2} times mathbf {e} _ {3}} { mathbf {e} _ {1} cdot ( mathbf {e} _ {2} times mathbf {e} _ {3})}}; qquad mathbf {e} ^ {2} = { frac { mathbf {e} _ {3} times mathbf {e} _ {1}} { mathbf {e} _ {2} cdot ( mathbf {e} _ {3} times mathbf {e} _ {1})}}; qquad mathbf {e} ^ {3} = { frac { mathbf {e} _ {1} times mathbf {e} _ {2}} { mathbf {e} _ {3} cdot ( mathbf {e} _ {1} times mathbf {e} _ {2})}}.}$

Тіпті e_мен және e^мен емес ортонормальды, олар әлі де өзара өзара байланысты:

${ displaystyle mathbf {e} ^ {i} cdot mathbf {e} _ {j} = delta _ {j} ^ {i},}$

Сонда кез-келген вектордың қарама-қарсы компоненттері v арқылы алуға болады нүктелік өнім туралы v екі негізді векторлармен:

${ displaystyle q ^ {1} = mathbf {v} cdot mathbf {e} ^ {1}; qquad q ^ {2} = mathbf {v} cdot mathbf {e} ^ {2} ; qquad q ^ {3} = mathbf {v} cdot mathbf {e} ^ {3}.}$

Сол сияқты, -ның ковариантты компоненттері v нүктелік көбейтіндісінен алуға болады v негізгі векторлармен, яғни.

${ displaystyle q_ {1} = mathbf {v} cdot mathbf {e} _ {1}; qquad q_ {2} = mathbf {v} cdot mathbf {e} _ {2}; qquad q_ {3} = mathbf {v} cdot mathbf {e} _ {3}.}$

Содан кейін v екі (өзара) тәсілмен көрсетілуі мүмкін, яғни.

${ displaystyle mathbf {v} = q ^ {i} mathbf {e} _ {i} = q ^ {1} mathbf {e} _ {1} + q ^ {2} mathbf {e} _ {2} + q ^ {3} mathbf {e} _ {3}.}$

немесе

${ displaystyle mathbf {v} = q_ {i} mathbf {e} ^ {i} = q_ {1} mathbf {e} ^ {1} + q_ {2} mathbf {e} ^ {2} + q_ {3} mathbf {e} ^ {3}}$

Жоғарыда аталған қатынастарды біріктіре отырып, бізде бар

${ displaystyle mathbf {v} = ( mathbf {v} cdot mathbf {e} ^ {i}) mathbf {e} _ {i} = ( mathbf {v} cdot mathbf {e} _ {i}) mathbf {e} ^ {i}}$

және біз негіз бен қос негіз арасындағы түрлендіре аламыз

${ displaystyle q_ {i} = mathbf {v} cdot mathbf {e} _ {i} = (q ^ {j} mathbf {e} _ {j}) cdot mathbf {e} _ { i} = ( mathbf {e} _ {j} cdot mathbf {e} _ {i}) q ^ {j}}$

және

${ displaystyle q ^ {i} = mathbf {v} cdot mathbf {e} ^ {i} = (q_ {j} mathbf {e} ^ {j}) cdot mathbf {e} ^ { i} = ( mathbf {e} ^ {j} cdot mathbf {e} ^ {i}) q_ {j}.}$

Егер негізгі векторлар болса ортонормальды, онда олар екі негізді векторлармен бірдей. Сонымен, қарама-қарсы компоненттер мен ковариантты компоненттерді бөлудің қажеті жоқ, олар да тең.

Жалпы евклид кеңістігі

Жалпы, ан n-өлшемді эвклид кеңістігі V, егер негіз болса

${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, нүктелер, mathbf {e} _ {n},}$

өзара негіз негізделеді (қос индекстер жинақталады),

${ displaystyle mathbf {e} ^ {i} = g ^ {ij} mathbf {e} _ {j}}$

мұндағы коэффициенттер ж^иж -ның кері матрицасының жазбалары болып табылады

${ displaystyle g_ {ij} = mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j}.}$

Шынында да, бізде бар

${ displaystyle mathbf {e} ^ {i} cdot mathbf {e} _ {k} = g ^ {ij} mathbf {e} _ {j} cdot mathbf {e} _ {k} = g ^ {ij} g_ {jk} = delta _ {k} ^ {i}.}$

Кез-келген вектордың ковариантты және қарама-қарсы компоненттері

${ displaystyle mathbf {v} = q_ {i} mathbf {e} ^ {i} = q ^ {i} mathbf {e} _ {i} ,}$

жоғарыда көрсетілгендей байланысты

${ displaystyle q_ {i} = mathbf {v} cdot mathbf {e} _ {i} = (q ^ {j} mathbf {e} _ {j}) cdot mathbf {e} _ { i} = q ^ {j} g_ {ji}}$

және

${ displaystyle q ^ {i} = mathbf {v} cdot mathbf {e} ^ {i} = (q_ {j} mathbf {e} ^ {j}) cdot mathbf {e} ^ { i} = q_ {j} g ^ {ji}.}$

Ресми емес пайдалану

Өрісінде физика, сын есім ковариант инварианттың синонимі ретінде көбінесе бейресми түрде қолданылады. Мысалы, Шредингер теңдеуі координаталық түрлендірулерінің астында өзінің жазбаша түрін сақтамайды арнайы салыстырмалылық. Осылайша, физик Шредингер теңдеуі деп айтуы мүмкін ковариантты емес. Керісінше, Клейн-Гордон теңдеуі және Дирак теңдеуі осы координаталық түрлендірулердің астында олардың жазбаша түрін сақтаңыз. Осылайша, физик бұл теңдеулерді айтуы мүмкін ковариант.

«Ковариантты» осылай қолданғанмен, Клейн-Гордон және Дирак теңдеулері инвариантты, ал Шредингер теңдеуі инвариантты емес деп айту дәлірек. Сонымен қатар, екіұштылықты жою үшін өзгермейтіндік бағаланатын трансформацияны көрсету керек.

Векторлардың компоненттері қарама-қарсы, ал ковекторлардың компоненттері ковариантты болғандықтан, векторлардың өзін көбінесе контраварианттық, ал ковекторларын ковариантты деп атайды.

Тензорлық анализде қолданыңыз

Ковариантты және қайшылықты айырмашылықты есептеу үшін әсіресе маңызды тензорлар, олар жиі кездеседі аралас дисперсия. Бұл дегеніміз, оларда ковариантты да, контрастты да, векторлық және ковекторлық компоненттер де бар. Тензордың валенттілігі - бұл варианттық және коварианттық терминдердің саны, және Эйнштейн жазбасы, ковариантты компоненттердің индекстері төмен, ал қарама-қарсы компоненттердің жоғарғы индекстері бар. Ковариация мен қарама-қайшылық арасындағы қосарлық вектордың немесе тензордың шамасы оның компоненттерімен ұсынылған кезде араласады, дегенмен қазіргі заманғы дифференциалды геометрия неғұрлым күрделі қолданады тензорларды ұсынудың индекссіз әдістері.

Жылы тензорлық талдау, а ковариант векторы сәйкес келмейтін векторға қатысты азды-көпті өзара өзгереді. Векторлық кеңістіктегі объектілердің ұзындықтары, аудандары мен көлемдерінің өрнектерін ковариантты және қарама-қайшы индекстері бар тензорлар түрінде беруге болады. Координаталардың қарапайым кеңеюі мен қысылуында өзара теңдік дәл болады; аффиналық түрлендірулер кезінде вектордың компоненттері ковариантты және қарама-қайшы өрнек арасында жүреді.

Үстінде көпжақты, а тензор өрісі Эйнштейн жазбасы кеңінен қолданылатын бірнеше, жоғарғы және төменгі индекстер болады. Коллектор а метрикалық, ковариантты және қарама-қайшы индекстер бір-бірімен өте тығыз байланысты болады. Қарама-қарсы индекстерді ковариантты индекстерге айналдыруға болады келісім-шарт метрикалық тензормен. Кері метрикалық тензорға (матрица) кері келісім жасау арқылы мүмкін болады. Жалпы, метрикалық тензормен қамтамасыз етілмеген кеңістіктерде мұндай қатынас жоқ екенін ескеріңіз. Сонымен, неғұрлым абстрактілі тұрғыдан алғанда, тензор жай «бар» және оның құрамдас бөліктері тек таңдалған координаттарға тәуелді болатын есептеу артефактілері болып табылады.

Геометриялық тұрғыдан түсіндіретін болсақ, жалпы тензорда контрвариант индекстермен қатар контрвариант индекстер болады, өйткені онда бөліктер орналасқан. тангенс байламы сияқты котангенс байламы.

Келіспейтін вектор дегеніміз - түрлендіретін вектор ${ displaystyle { frac {dx ^ { mu}} {d tau}}}$, қайда ${ displaystyle x ^ { mu} !}$ бөлшектің координаталары дұрыс уақыт ${ displaystyle tau}$. Ковариантты вектор - бұл өзгеретін вектор ${ displaystyle { frac { жарым-жартылай varphi} { жартылай x ^ { mu}}}}$, қайда ${ displaystyle varphi}$ скаляр өріс.

Алгебра және геометрия

Жылы категория теориясы, Сонда ковариантты функционалдар және қарама-қайшы функционалдар. Тағайындау қос кеңістік векторлық кеңістікке қарама-қайшы функцияның стандартты мысалы келтірілген. Кейбір конструкциялары көп сызықты алгебра «аралас» дисперсияға ие, бұл олардың функционерлер болуына жол бермейді.

Жылы дифференциалды геометрия, векторының негізіне қатысты компоненттері тангенс байламы егер олар базалық өзгеріс сияқты сызықтық түрлендірумен өзгерсе, ковариантты болады. Егер олар кері түрлену арқылы өзгерсе, олар қарама-қайшы келеді. Кейде бұл екі түрлі, бірақ өзара байланысты себептер бойынша шатасулардың көзі болып табылады. Біріншісі - векторлары, олардың компоненттері ковариантты (ковекторлар деп аталады немесе 1-формалар ) шын мәнінде артқа тартыңыз тегіс функциялардың астында, яғни ковекторлардың кеңістігін тегіс коллекторға беру операциясы шын мәнінде а қарама-қайшы функция. Сол сияқты, компоненттері қайшы келетін векторлар алға итеру тегіс кескіндер астында, сондықтан векторлардың кеңістігін тегіс коллекторға тағайындау - бұл ковариант функция. Екіншіден, дифференциалды геометрияға классикалық көзқараста жанама шоғырдың негіздері ең қарабайыр объект емес, координаттар жүйесінің өзгеруі болып табылады. Қарама-қарсы компоненттері бар векторлар координаталардың өзгеруіне ұқсас өзгереді (өйткені олар негіздің индукцияланған өзгеруіне қарама-қарсы өзгереді). Сол сияқты ковариантты компоненттері бар векторлар координаталардың өзгеруіне қарай керісінше өзгереді.

Сондай-ақ қараңыз

• Белсенді және пассивті трансформация
• Аралас тензор
• Екі нүктелі тензор, индекстерге бірнеше векторлық негіздерге сілтеме жасауға мүмкіндік беретін қорыту

Ескертулер

Дәйексөздер

Әдебиеттер тізімі

• Арфкен, Джордж Б.; Вебер, Ханс Дж. (2005), Физиктерге арналған математикалық әдістер (6-шы басылым), Сан-Диего: Харкорт, ISBN  0-12-059876-0.
• Додсон, Дж. Дж .; Постон, Т. (1991), Тензор геометриясы, Математика бойынша магистратура мәтіндері, 130 (2-ші басылым), Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN  978-3-540-52018-4, МЫРЗА  1223091.
• Греб, Вернер Хильберт (1967), Көп сызықты алгебра, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 136 тобы, Springer-Verlag New York, Inc., Нью-Йорк, МЫРЗА  0224623.
• Штернберг, Шломо (1983), Дифференциалды геометрия бойынша дәрістер, Нью-Йорк: Челси, ISBN  978-0-8284-0316-0.
• Сильвестр, Дж.Дж. (1853), «Штурмның функциялары теориясына және ең үлкен алгебралық ортақ өлшемге қосымшадан тұратын екі рационалды интегралды функцияның синизетикалық қатынастарының теориясы туралы» (PDF), Лондон Корольдік қоғамының философиялық операциялары, Корольдік қоғам, 143: 407–548, дои:10.1098 / rstl.1853.0018, JSTOR  108572.

Сыртқы сілтемелер

• «Ковариант тензоры», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
• «Қарама-қайшы тензор», Математика энциклопедиясы, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Ковариантты тензор». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Қарама-қайшы тензор». MathWorld.
• Инварианттық, қайшылық және коварианс
• Тензор есептеуіне кіріспе - Kees Dullemond & Kasper Peeters