Тензор операторы - Tensor operator

Жылы таза және қолданбалы математика, кванттық механика және компьютерлік графика, а тензор операторы туралы түсініктерін жалпылайды операторлар қайсысы скалярлар және векторлар. Бұлардың ерекше сыныбы сфералық тензор операторлары ұғымын қолданатын сфералық негіз және сфералық гармоника. Сфералық негіз сипаттамамен тығыз байланысты бұрыштық импульс кванттық механикада және сфералық гармоникалық функцияларда. The координатасыз тензор операторын жалпылау а деп аталады ұсыну операторы.[1]

Скаляр, вектор және тензор операторларының жалпы түсінігі

Кванттық механикада скаляр, вектор және тензор болатын физикалық бақыланатын заттар сәйкесінше скаляр, вектор және тензор операторларымен ұсынылуы керек. Заттың скаляр, вектор немесе тензор болуы оны координаталық кадрлары бір-бірімен айналу арқылы байланысқан екі бақылаушының қалай қарауына байланысты. Сонымен қатар, біреудің бақылаушысы үшін жүйенің күйі айналған жағдайда физикалық шама қалай өзгеретінін сұрауға болады. Мысалы, масса молекуласынан тұратын жүйені қарастырайық , белгілі бір импульс центрімен жүру, , ішінде бағыт. Егер жүйені айналдыратын болсақ туралы импульс осіне өзгереді , ол бағыт. Молекуланың масса центрінің кинетикалық энергиясы өзгермеген болады . Кинетикалық энергия - скаляр, импульс - вектор, және бұл екі шаманы сәйкесінше скаляр және векторлық оператор ұсынуы керек. Әсіресе соңғысы деп біз бастапқы және айналдырылған күйлердегі күтілетін мәндері болатын операторды айтамыз және . Екінші жағынан кинетикалық энергия скалярлық оператормен ұсынылуы керек, оның бастапқы және айналған күйлерінде күтілетін мәні бірдей болуы керек.

Сол сияқты тензор шамаларын тензор операторлары ұсынуы керек. Тензор шамасына мысал ретінде (екінші дәрежелі) жоғарыда аталған молекуланың электрлік квадруполдық моментін алуға болады. Сол сияқты сегіздік пен он алтылықтағы моменттер сәйкесінше үш және төрт дәрежелі тензорлар болады.

Скалярлық операторлардың басқа мысалдары - жалпы энергия операторы (көбінесе. Деп аталады Гамильтониан ), потенциалдық энергия және екі атомның диполь-дипольді әрекеттесу энергиясы. Векторлық операторлардың мысалдары импульс, позиция, орбиталық бұрыштық импульс, және айналдыру бұрыштық импульсі, . (Жіңішке басып шығару: Бұрыштық импульс - бұл айналу кезіндегі вектор, бірақ ол орнынан немесе импульсінен айырмашылығы ол кеңістіктің инверсиясындағы белгіні өзгертпейді, және егер адам осы ақпаратты бергісі келсе, ол жалған вектор деп аталады.)

Скалярлық, векторлық және тензорлық операторларды операторлар туындылары да құра алады. Мысалы, скалярлық өнім екі векторлық операторлардың, және , скалярлық оператор болып табылады, ол талқылау кезінде ерекше орын алады спин-орбитаның өзара әрекеттесуі. Сол сияқты біздің мысал молекуламыздың квадруполдық момент тензоры тоғыз компоненттен тұрады

.

Міне, индекстер және 1, 2 және 3 мәндерін дербес қабылдай алады (немесе , , және ) үш декарттық оське сәйкес, индекс молекуладағы барлық бөлшектердің (электрондар мен ядролардың) үстінен өтеді, бұл бөлшектің заряды , және болып табылады осы бөлшектің орналасуының үшінші компоненті. Қосындыдағы әрбір мүше - тензор операторы. Атап айтқанда, тоғыз өнім бірге векторлық оператордың тікелей туындысын алу арқылы құрылған екінші рангтік тензорды құрайды өзімен бірге.

Кванттық күйлердің айналуы

Кванттық айналу операторы

The айналдыру операторы туралы бірлік векторы n (айналу осін анықтау) бұрыш арқылы θ болып табылады

қайда Дж = (Джх, Джж, Джз) айналу генераторлары (сонымен қатар бұрыштық импульс матрицалары):

және рұқсат етіңіз болуы а айналу матрицасы. Сәйкес Родригестің айналу формуласы, айналу операторы содан кейін тең болады

Оператор унитарлық трансформация кезінде инвариантты U егер

бұл жағдайда айналу үшін ,

Бұрыштық импульс

Жалпы бұрыштық импульс үшін орнатылған ортонормальды негіз , қайда j - бұл жалпы бұрыштық импульс кванттық саны және м - мәндерді қабылдайтын магниттік бұрыштық импульс кванттық саны -j, −j + 1, ..., j − 1, j. Жалпы мемлекет

кеңістікте жаңа күйге ауысады автор:

Пайдалану толықтығы:

Бізде бар

Таныстыру Wigner D матрицасы элементтер:

матрицалық көбейтуді береді:

Бір негіз үшін:

Орбиталық бұрыштық импульс жағдайында меншікті мемлекет орбиталық бұрыштық импульс операторы L және шешімдері Лаплас теңдеуі 3d сферада сфералық гармоника:

қайда Pм болып табылады байланысты Легендра көпмүшесі, ℓ - орбиталық бұрыштық импульс кванттық саны, және м орбиталық магнит болып табылады кванттық сан −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ - 1, the мәндерін қабылдайтын, сфералық гармониканың формализмі қолданбалы математикада кең қолданыста және төменде көрсетілгендей сфералық тензорлардың формализмімен тығыз байланысты.

Сфералық гармоника - бұл полярлық және азимуттық бұрыштардың функциялары, ϕ және θ сәйкесінше, оны векторлық бірлікке ыңғайлы түрде жинауға болады n(θ, ϕ) сол бұрыштардың бағытын көрсетіп, декарттық негізде:

Сонымен, сфералық гармониканы да жазуға болады . Сфералық гармоникалық күйлер кері айналдыру матрицасы бойынша айналдыру U(R−1), ал бастапқы айналу матрицасы бойынша айналады .

Тензор операторларының айналуы

Оператордың айналуын бастапқы оператордың күту мәнін талап ету арқылы анықтаймыз бастапқы күйге қатысты, айналдырылған күйге қатысты айналдырылған оператордың күту мәніне тең болады,

Енді,

Бізде бар,

бастап, ерікті,

Скалярлық операторлар

Скалярлық оператор айналу кезінде инвариантты болады:[2]

Бұл скалярлық оператор айналу генераторларымен жүреді дегенге тең:

Скалярлық операторлардың мысалдары жатады

Векторлық операторлар

Векторлық операторлар (сонымен қатар жалған вектор операторлар) - бұл келесіге айналдырылатын 3 оператордың жиынтығы.[2]

осыдан және шексіз айналу операторынан және оның гермиттік коньюгатынан және екінші ретті мүшені ескермей , айналу генераторымен коммутация қатынасын алуға болады:

қайда εijk болып табылады Levi-Civita белгісі, оны векторлық операторлар құруы бойынша қанағаттандыруы керек. Символ ретінде εijk Бұл псевдотензор, жалған векторлық операторлар инвариантты дейін белгі: үшін +1 тиісті айналымдар және −1 дұрыс емес айналымдар.

Векторлық операторларға кіреді

және пеусодовектор операторларына кіреді

Дирак жазбасында:

және бастап | Ψ > кез-келген кванттық күй, нәтиже келесідей:

Мұнда «вектор» термині екі түрлі тәсілмен қолданылатындығын ескеріңіз: мысалы, кеттер |ψ - абстрактты Гильберт кеңістігінің элементтері, ал векторлық оператор компоненттері айналу кезінде белгілі бір жолмен өзгеретін шама ретінде анықталады.

Сфералық векторлар операторлары

Векторлық операторы сфералық негіз болып табылады V = (V+1, V0, V−1) мұнда компоненттер:[2]

және айналу генераторлары бар коммутаторлар:

қайда q сфералық негіз белгілері үшін толтырғыш болып табылады (+1, 0, -1) және:

(кейбір авторлар теңдеудің сол жағына 1/2 коэффициентін қоюы мүмкін) және көтереді (Дж+) немесе төменгі (Дж) жалпы магнит кванттық сан м бір бірлікке. Сфералық негізде генераторлар:

Сфералық негіздегі айналу трансформациясы (бастапқыда декарттық негізде жазылған):

Жалғастыруға болады вектор оператор тұжырымдамасы оңай тензорлық операторлар, келесіде көрсетілген.

Тензор операторлары және олардың төмендетілетін және төмендетілмейтін көріністері

Тензор операторын келесі жолмен айналдыруға болады:[2]

Компоненттері бар диадикалық тензорды қарастырайық Тиж = аменбj, бұл шексіз айналады:

Пішіннің декадиялық диадикалық тензорлары

қайда а және б екі векторлық операторлар:

қысқартылатын болып табылады, яғни оларды қайта көрсетуге болатындығын білдіреді а және б 0 тензор дәрежесі ретінде (скаляр), плюс 1 тензор дәрежесі (антисимметриялық тензор), плюс 2 тензор дәрежесі (нөлге тең симметриялы тензор із ):

мұнда бірінші тоқсан

тек бір компонентті қамтиды, скалярлық эквивалентті түрде жазылған (а·б) / 3, екінші

құрамына үш тәуелсіз компонент кіреді,а×б) / 2, ал үшіншісі

бес тәуелсіз компоненттерді қамтиды. Бойы, δиж болып табылады Kronecker атырауы компоненттері сәйкестік матрицасы. Жоғарғы жазылған жақшалардағы сан тензор дәрежесін білдіреді. Бұл үш термин қысқартылмайды, демек, оларды одан әрі ыдыратуға болмайды және олар өзгермейтін трансформация заңдарын қанағаттандыратын тензор болып табылады. Бұлар сонымен қатар tens = 0, 1, 2 үшін сфералық гармоникалық функциялардың 2ℓ + 1 санына сәйкес келеді, әр тензор үшін дәрежелермен бірдей. Әр қайсысы қысқартылған Т(1), Т(2) ... дербес компоненттердің санына сәйкес бұрыштық импульс жеке меншікті күйге айналады.

Тензор операторының мысалы,

  • Тензордың екі операторын көбейтіп, басқа Тензор операторын беруге болады.

жалпы алғанда,

Ескерту: Бұл тек мысал, жалпы жоғарыда келтірілген мысалда келтірілгендей тензор операторын екі тензор операторының көбейтіндісі ретінде жазу мүмкін емес.

Сфералық тензор операторлары

Екінші ретті диадикалық тензордың алдыңғы мысалын жалғастыра отырып Т = аб, әрқайсысын кастинг а және б сфералық негізге және орнына Т екінші ретті сфералық тензор операторларын береді, олар:

Шексіз айналу операторын және оның гермиттік конъюгатын пайдаланып, сфералық негізде коммутация қатынасын алуға болады:

және сфералық негіздегі ақырлы айналу трансформациясы:

Жалпы, тензор операторларын екі тұрғыдан тұрғызуға болады.[3]

Бір тәсілі - физикалық айналу кезінде сфералық тензорлардың қалай өзгеретінін көрсету - а топтық теориялық анықтама. Айналмалы бұрыштық импульс меншікті күйін бастапқы меншікті күйлердің сызықтық тіркесіміне бөлуге болады: сызықтық комбинациядағы коэффициенттер Вингердің айналу матрицасының жазбаларынан тұрады. Сфералық тензор операторлары кейде айналу кезіндегі меншікті күш сияқты өзгеретін операторлар жиыны ретінде анықталады.

Сфералық тензор Тq(к) дәреже к айналу үшін анықталған Тq(к) сәйкес:

қайда q = к, к − 1, ..., −к + 1, −к. Сфералық тензорлар үшін к және q ℓ және -ге ұқсас белгілер болып табылады м сәйкесінше, сфералық гармоника үшін. Кейбір авторлар жазады Ткq орнына Тq(к), бар немесе жоқ жақша қатардағы нөмір к.

Осыған байланысты тағы бір процедура сфералық тензорлардың айналу генераторларына қатысты белгілі бір коммутациялық қатынастарды қанағаттандыруын талап етеді Джх, Джж, Джз - алгебралық анықтама.

Бұрыштық импульс компоненттерінің тензор операторларымен коммутациялық қатынастары:

Кез-келген 3d векторы үшін бірлік векторы ғана емес, сонымен қатар тек позиция векторы:

сфералық тензор - бұл вектордың функциясы ретінде сфералық гармоника а, және Dirac жазбасында:

(супер және подпискалар тиісті белгілерге орын ауыстырады к және мq сфералық тензорлар мен сфералық гармониктер қандай қолданады).

Сонымен қатар сфералық гармоникалық күйлер мен сфералық тензорлар құрылуы мүмкін Клебш-Гордан коэффициенттері. Төмендетілмейтін сфералық тензорлар жоғары деңгейлі сфералық тензорларды құра алады; егер Aq1(к1) және Bq2(к2) қатарлардың екі сфералық тензоры болып табылады к1 және к2 сәйкесінше, содан кейін:

дәреженің сфералық тензоры болып табылады к.

The Эрмитический сфералық тензордың анықталуы мүмкін

Фазалық коэффициентті таңдауда кейбір ерікті жағдайлар бар: кез келген фактор (−1)±q коммутация қатынастарын қанағаттандырады.[4] Жоғарыда аталған фазаның таңдауы нақты болудың артықшылықтары бар және екі жүрістің тензор көбейтіндісі Эрмитиан операторлары әлі де эрмитический.[5] Кейбір авторлар оны басқа белгімен анықтайды q, жоқ к, немесе тек пайдаланыңыз еден туралы к.[6]

Бұрыштық импульс және сфералық гармоника

Орбиталық бұрыштық импульс және сфералық гармоника

Орбиталық импульс импульсінің операторлары бар баспалдақ операторлары:

орбиталық магниттік кванттық санды жоғарылататын немесе төмендететін м бір бірлікке. Бұл тұрақты мультипликативті факторлардан бөлек, сфералық негіз сияқты формамен бірдей.

Сфералық тензор операторлары және кванттық спин

Сфералық тензорларды спин операторларының алгебралық комбинацияларынан да құруға болады Sх, Sж, Sз, матрица ретінде, жалпы кванттық санмен спиндік жүйе үшін j = ℓ + с (және ℓ = 0). Айналдыру операторларында баспалдақ операторлары бар:

спиндік магниттік кванттық санды көтеретін немесе төмендететін мс бір бірлікке.

Қолданбалар

Сфералық негіздер сфералық геометриялар пайда болатын таза және қолданбалы математика мен физика ғылымдарында кең қолданыста.

Бір электронды атомдағы дипольдік радиациялық өтулер (сілтілік)

Өтпелі амплитуда бастапқы және соңғы күйлер арасындағы дипольдік оператордың матрицалық элементтеріне пропорционалды. Біз атом үшін электростатикалық, иірімсіз модельді қолданамыз және бастапқы энергетикалық деңгейден Е-ге көшуді қарастырамызnℓ E деңгейіне дейінn′ℓ ′. Бұл деңгейлер деградацияланған, өйткені энергия магниттік кванттық сан m немесе m ′ тәуелді емес. Толқындық функциялардың формасы бар,

Дипольдік оператор электронның орналасу операторына пропорционалды, сондықтан біз форманың матрицалық элементтерін бағалауымыз керек,

мұнда бастапқы күй оң жақта, ал соңғы күй сол жақта. Позиция операторы р үш компоненттен тұрады, ал бастапқы және соңғы деңгейлер сәйкесінше 2ℓ + 1 және 2ℓ ′ + 1 дегенеративті күйлерден тұрады. Сондықтан, егер біз спектрлік сызықтың қарқындылығын байқалатындай етіп бағалағымыз келсе, онда 3 (2ℓ ′ + 1) (2ℓ + 1) матрицалық элементтерді бағалауымыз керек, мысалы, 3 × 3 × 5 = 45 3d → 2p ауысу. Бұл іс жүзінде асыра сілтеушілік, өйткені біз көретініміздей, матрицалық элементтердің көпшілігі жоғалады, бірақ жоғалып кетпейтін матрицалық элементтерді есептеуге тура келеді.

R компоненттерін декарттық негізге емес, сфералық негізге қатысты білдіру арқылы үлкен жеңілдетуге болады. Алдымен біз анықтаймыз,

Келесі, Ү кестесін тексеру арқылыℓм′ С, біз ℓ = 1 үшін бізде,

мұнда біз Y санын көбейттік r радиусы бойынша. Оң жағында біз сфералық r компоненттерін көремізq позиция векторының р. Нәтижелерді келесі жолдармен қорытындылауға болады:

q = 1, 0, −1 үшін, мұндағы q магниттік кванттық сан ретінде айқын көрінеді. Бұл теңдеу векторлық операторлар мен ℓ = 1 бұрыштық импульс мәнінің арасындағы байланысты анықтайды, бұл туралы біз қазір көп айтатын боламыз. Енді матрица элементтері бұрыштық интегралдың радиалды интегралының көбейтіндісіне айналады,

Үш магниттік кванттық сандарға (m ′, q, m) тәуелділіктің барлығы интегралдың бұрыштық бөлігінде болатынын көреміз. Бұрыштық интегралды үштік Y арқылы бағалауға боладыℓм формула, содан кейін ол Клебш-Гордан коэффициентіне пропорционалды болады,

Радиалды интеграл үш магниттік кванттық сандарға тәуелді емес (m ′, q, m) және біз қолданған қулық оны бағалауға көмектеспейді. Бірақ бұл тек бір ғана интеграл, ал ол аяқталғаннан кейін барлық қалған интегралдарды тек Клебш-Горданкоэффициенттерді есептеу немесе іздеу арқылы бағалауға болады.

Клебш-Гордан коэффициентіндегі m ′ = q + m таңдау ережесі көптеген интегралдардың жоғалып кетуін білдіреді, сондықтан біз орындалуы керек интегралдардың жалпы санын асырып жібердік. Бірақ біз декарттық компоненттермен жұмыс істедік rмен туралы р, бұл таңдау ережесі айқын болмауы мүмкін. Кез-келген жағдайда, тіпті таңдау ережесімен де нөлдік интегралдар көп болуы мүмкін (тоғыз, 3d → 2p жағдайында). Біз дипольдік көшу үшін матрица элементтерін есептеуді жеңілдету туралы жаңа келтірген мысал шынымен де Вингер-Эккарт теоремасының қосымшасы, оны біз кейінірек осы ескертпелерде қарастырамыз.

Магнитті резонанс

Сфералық тензор формализм когеренттілік пен релаксацияны емдеуге арналған жалпы алаң ұсынады ядролық магниттік резонанс. Жылы NMR және EPR, тензорының сфералық операторлары кванттық динамикасын өрнектеу үшін қолданылады бөлшектердің айналуы, үшін қозғалыс теңдеуі арқылы тығыздық матрицасы жазбалар немесе қозғалыс теңдеуі тұрғысынан динамиканы тұжырымдау Лиувилл кеңістігі. Лиовильдің кеңістіктік теңдеуі спин айнымалыларының байқалатын орташа мәндерін басқарады. Релаксация Лиуилл кеңістігіндегі сфералық тензор негізін қолданумен тұжырымдалғанда, түсіну пайда болады, өйткені релаксация матрицасы спин бақыланатын заттардың крест-релаксациясын көрсетеді.[3]

Суреттерді өңдеу және компьютерлік графика

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

Ескертулер

  1. ^ Джеванжи, Надир (2015). Физиктер үшін тензорға және топтық теорияға кіріспе (2-ші басылым). Бирхаузер. ISBN  978-0-8176-4714-8.
  2. ^ а б в г. Э. Аберс (2004). «5». Кванттық механика. Аддисон Уэсли. ISBN  978-0-13-146100-0.
  3. ^ а б Р.Д.Нильсен; Б.Х. Робинсон (2006). «Магнитті резонанстағы релаксацияға қолданылатын сфералық тензор формализмі» (PDF). 270–271 бет. Архивтелген түпнұсқа (PDF) 2014-04-07. Алынған 2013-06-13.
  4. ^ МакКарти, Ян Э .; Вайгольд, Эрих (2005). Электрон-атом соқтығысуы (атом, молекулалық және химиялық физика бойынша Кембридж монографияларының 5-томы). Кембридж университетінің баспасы. б. 68. ISBN  9780521019682.
  5. ^ Эдмондс, А.Р. (1957). Кванттық механикадағы бұрыштық импульс. Принстон университетінің баспасы. б.78. ISBN  9780691025896.
  6. ^ Degl'Innocenti, M. Landi; Ландолфи, М. (2006). Спектрлік сызықтардағы поляризация. Springer Science & Business Media. б. 65. ISBN  9781402024153.

Дереккөздер

Әрі қарай оқу

Сфералық гармоника

Бұрыштық импульс және айналу

  • Деванатхан, V (2002). «Сфералық негіздегі векторлар мен тензорлар». Кванттық механикадағы бұрыштық импульс техникасы. Физиканың негізгі теориялары. 108. 24-33 бет. дои:10.1007 / 0-306-47123-X_3. ISBN  978-0-306-47123-0.
  • Қ.Т. Хехт (2000). Кванттық механика. Қазіргі заманғы физикадағы магистратура мәтіндері. Спрингер. ISBN  978-0-387-989-198.

Конденсацияланған зат физикасы

Магнитті резонанс

Кескінді өңдеу

Сыртқы сілтемелер