Қосылу формасы - Connection form - Wikipedia

Жылы математика және арнайы дифференциалды геометрия, а байланыс формасы а деректерін жүйелеу тәсілі болып табылады байланыс тілін пайдаланып жылжымалы рамалар және дифференциалды формалар.

Тарихи тұрғыдан байланыс формалары енгізілген Эли Картан 20 ғасырдың бірінші жартысында оның кадрларды жылжыту әдісі үшін негізгі мотивтердің бірі. Қосылу формасы негізінен a таңдауына байланысты координаталық жақтау, және олай емес тензорлық объект. Картаның алғашқы жұмысынан кейін байланыс формасын әр түрлі жалпылау және қайта түсіндіру тұжырымдалды. Атап айтқанда, а негізгі байлам, а негізгі байланыс - тензорлық объект ретінде байланыс формасын табиғи түрде қайта түсіндіру. Екінші жағынан, байланыс формасының артықшылығы бар, ол дифференциалды форма болып табылады дифференциалданатын коллектор оның орнына абстрактілі негізгі бумада емес. Демек, олардың созылғыштығына қарамастан, байланыс формалары олармен есептеулер жүргізудің салыстырмалы жеңілдігіне байланысты қолданыла береді.^[1] Жылы физика, байланыс формалары да кең көлемде қолданылады калибр теориясы, арқылы ковариантты туынды.

Байланыс формасы әрқайсысына байланысты негіз а векторлық шоғыр а матрица дифференциалды формалардың Байланыс формасы тензорлы емес, өйткені a негізді өзгерту, байланыс формасы түрлендіреді сыртқы туынды туралы ауысу функциялары, сияқты дәл осылай Christoffel рәміздері үшін Levi-Civita байланысы. Басты тензорлық байланыс формасының инварианты оның қисықтық нысаны. Қатысуымен а дәнекерлеу формасы векторлық дестені тангенс байламы, қосымша инвариант бар: бұралу формасы. Көптеген жағдайларда байланыс формалары қосымша құрылымы бар векторлық бумаларда қарастырылады: а талшық байламы а құрылым тобы.

Векторлық байламдар

Вектор байламындағы жақтаулар

Келіңіздер E болуы а векторлық шоғыр талшық өлшемі к астам дифференциалданатын коллектор М. A жергілікті жақтау үшін E тапсырыс берілген негіз туралы жергілікті бөлімдер туралы E. Әрдайым локальды жақтауды салуға болады, өйткені векторлық бумалар әрқашан анықталады жергілікті тривиализациялар, аналогы бойынша атлас коллектордың. Яғни кез-келген нүкте берілген х негізгі коллекторда М, бұл жерде ашық аудандар бар U ⊂ М туралы х ол үшін вектор жиынтығы аяқталды U кеңістікке изоморфты болып табылады U × R^к: бұл жергілікті тривиализация. Векторлық кеңістіктің құрылымы R^к осылайша бүкіл жергілікті тривиализациялауға негізделуі мүмкін R^к сонымен қатар ұзартылуы мүмкін; бұл жергілікті кадрды анықтайды. (Мұнда, R нақты numbers сандарын білдіруге арналған, дегенмен мұндағы дамудың көп бөлігі жалпы сақиналар бойынша модульдерге және complex күрделі сандарға арналған векторлық кеңістіктерге кеңейтілуі мүмкін.)

Келіңіздер e = (e_α)_{α=1,2,...,к} жергілікті жақтау болуы керек E. Бұл жақтау кез келген бөлімді жергілікті түрде білдіру үшін қолданыла алады E. Мысалы, солай делік ξ бұл фрейммен бірдей жиынтықта анықталған жергілікті бөлім e. Содан кейін

${ displaystyle xi = sum _ { alpha = 1} ^ {k} e _ { alpha} xi ^ { alpha} ( mathbf {e})}$

қайда ξ^α(e) дегенді білдіреді компоненттер туралы ξ жақтауда e. Матрицалық теңдеу ретінде бұл оқиды

${ displaystyle xi = { mathbf {e}} { begin {bmatrix} xi ^ {1} ( mathbf {e}) xi ^ {2} ( mathbf {e}) vdots xi ^ {k} ( mathbf {e}) end {bmatrix}} = { mathbf {e}} , xi ( mathbf {e})}$

Жылы жалпы салыстырмалылық, мұндай жақтау өрістері деп аталады тетрадалар. Тетрада локалды кадрды базалық коллектордағы нақты координаттар жүйесімен байланыстырады М (координаттар жүйесі қосулы М атласпен орнатылған).

Сыртқы байланыстар

A байланыс жылы E түрі болып табылады дифференциалдық оператор

${ displaystyle D: Gamma (E) rightarrow Gamma (E otimes Omega ^ {1} M)}$

Мұндағы Γ мәнін білдіреді шоқ жергілікті бөлімдер векторлық байламның және Ω¹М дифференциалдық 1-пішіндер жиынтығы М. Үшін Д. қосылым болу үшін оны дұрыс байланыстыру керек сыртқы туынды. Нақтырақ айтқанда, егер v жергілікті бөлімі болып табылады E, және f тегіс функция болып табылады

${ displaystyle D (fv) = v otimes (df) + fDv}$

қайда df сыртқы туындысы болып табылады f.

Кейде анықтамасын кеңейту ыңғайлы Д. ерікті E-бағаланатын формалар, осылайша оны тензор көбейтіндісіндегі дифференциалды оператор ретінде қарастырамыз E толықтай сыртқы алгебра дифференциалды формалардың Сыртқы байланыс берілген Д. Бұл үйлесімділік қасиетін қанағаттандыратын ерекше кеңейту бар Д.:

${ displaystyle D: Gamma (E otimes Omega ^ {*} M) rightarrow Gamma (E otimes Omega ^ {*} M)}$

осындай

${ displaystyle D (v wedge alpha) = (Dv) wedge alpha + (- 1) ^ {{ text {deg}} , v} v wedge d alpha}$

қайда v градус біртекті v. Басқа сөздермен айтқанда, Д. Бұл туынды бағаланған модульдер шоғырында on (E ⊗ Ω^*М).

Байланыс формалары

The байланыс формасы сыртқы байланысты белгілі бір жақтауға қолданғанда пайда болады e. Сыртқы қосылымды қолданған кезде e_α, бұл бірегей к × к матрица (ω_α^β) of бір формалы қосулы М осындай

${ displaystyle De _ { alpha} = sum _ { beta = 1} ^ {k} e _ { beta} otimes omega _ { alpha} ^ { beta}.}$

Байланыс формасы тұрғысынан кез-келген бөлімнің сыртқы байланысы E енді білдіруге болады. Мысалы, солай делік ξ = Σ_α e_αξ^α. Содан кейін

${ displaystyle D xi = sum _ { alpha = 1} ^ {k} D (e _ { alpha} xi ^ { alpha} ( mathbf {e})) = sum _ { alpha = 1} ^ {k} e _ { alpha} otimes d xi ^ { alpha} ( mathbf {e}) + sum _ { alpha = 1} ^ {k} sum _ { beta = 1 } ^ {k} e _ { beta} otimes omega _ { alpha} ^ { beta} xi ^ { alpha} ( mathbf {e}).}$

Екі жағынан да компоненттерді қабылдау,

${ displaystyle D xi ( mathbf {e}) = d xi ( mathbf {e}) + omega xi ( mathbf {e}) = (d + omega) xi ( mathbf {e} )}$

мұны қайда түсінеді г. және ω кадрға қатысты компоненттік туындыға сілтеме жасау e, және компоненттеріне әсер ететін сәйкесінше 1-формалы матрица ξ. Керісінше, 1-формалардың матрицасы ω болып табылады априори бөлімді негізге алатын ашық жиынтықта жергілікті байланысты толығымен анықтауға жеткілікті e анықталды.

Жақтаудың өзгеруі

Ұзарту үшін ω қолайлы ғаламдық объектіге, оның негізгі бөлімдерін басқаша таңдағанда өзін қалай ұстайтынын тексеру қажет E таңдалды. Жазыңыз ω_α^β = ω_α^β(e) таңдауына тәуелділікті көрсету үшін e.

Айталық e′ Бұл жергілікті негізді таңдау. Одан кейін аударылатын нәрсе бар к × к функциялар матрицасы ж осындай

${ displaystyle { mathbf {e}} '= { mathbf {e}} , g, quad { text {ie,}} , e' _ { alpha} = sum _ { beta} e _ { бета} g _ { альфа} ^ { бета}.}$

Сыртқы байланысты екі жаққа да қолдану трансформация заңын береді ω:

${ displaystyle omega ( mathbf {e} , g) = g ^ {- 1} dg + g ^ {- 1} omega ( mathbf {e}) g.}$

Әсіресе, бұған назар аударыңыз ω а өзгерте алмайды тензорлық тәсілі, өйткені бір кадрдан екінші кадрға өту ережесі матрицаның туындыларын қамтиды ж.

Ғаламдық байланыс формалары

Егер {U_б} - ашық жабыны Мжәне әрқайсысы U_б тривиализациямен жабдықталған e_б туралы E, содан кейін қабаттасқан аймақтардағы жергілікті байланыс формалары арасындағы түзету деректері бойынша ғаламдық байланыс формасын анықтауға болады. Толығырақ, а байланыс формасы қосулы М матрицалар жүйесі ω(e_б) әрқайсысында анықталған 1-пішінді U_б келесі үйлесімділік шарттарын қанағаттандырады

${ displaystyle omega ( mathbf {e} _ {q}) = ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}) ^ {- 1} d ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}) + ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}) ^ {-1} omega ( mathbf {e} _ {p}) ( mathbf {e} _ {p} ^ {- 1} mathbf {e} _ {q}).}$

Бұл үйлесімділік шарты секциясының сыртқы байланысын қамтамасыз етеді E, абстрактілі бөлім ретінде қарастырылған кезде E ⊗ Ω¹М, қосылымды анықтау үшін қолданылатын базалық бөлімді таңдауға байланысты емес.

Қисықтық

The қисықтық екі пішінді байланыс формасының E арқылы анықталады

${ displaystyle Omega ( mathbf {e}) = d omega ( mathbf {e}) + omega ( mathbf {e}) wedge omega ( mathbf {e}).}$

Қосылу формасынан айырмашылығы, қисықтық кадрдың өзгеруі кезінде оншақты жүреді, оны тікелей көмегімен тексеруге болады. Пуанкаре леммасы. Нақтырақ айтқанда, егер e → e ж - бұл кадрдың өзгеруі, содан кейін қисықтық екі түрге айналады

${ displaystyle Omega ( mathbf {e} , g) = g ^ {- 1} Omega ( mathbf {e}) g.}$

Осы трансформация заңының бір түсіндірмесі келесідей. Келіңіздер e^* болуы қосарланған негіз жақтауға сәйкес келеді e. Содан кейін 2-форма

${ displaystyle Omega = { mathbf {e}} Omega ( mathbf {e}) { mathbf {e}} ^ {*}}$

кадр таңдауына тәуелсіз. Атап айтқанда, Ω - векторлық мәнді екі форма М мәндерімен эндоморфизм сақинасы Хом (E,E). Символикалық түрде,

${ displaystyle Omega in Gamma ( Omega ^ {2} M otimes { text {Hom}} (E, E)).}$

Сыртқы байланыс тұрғысынан Д., қисықтық эндоморфизм беріледі

${ displaystyle Omega (v) = D (Dv) = D ^ {2} v ,}$

үшін v ∈ E. Осылайша қисықтық реттіліктің сәтсіздігін өлшейді

${ displaystyle Gamma (E) { stackrel {D} { to}} Gamma (E otimes Omega ^ {1} M) { stackrel {D} { to}} Gamma (E otimes Omega ^ {2} M) { stackrel {D} { to}} dots { stackrel {D} { to}} Gamma (E otimes Omega ^ { n} (M))}$

болу тізбекті кешен (мағынасында де Рам когомологиясы ).

Дәнекерлеу және бұралу

Талшықтың өлшемі делік к туралы E коллектордың өлшеміне тең М. Бұл жағдайда векторлық шоғыр E кейде қосылымнан басқа қосымша мәліметтермен жабдықталған: а дәнекерлеу формасы. A дәнекерлеу формасы жаһандық деңгейде анықталған векторлық-бір форма θ ∈ Ω¹(М,E) картаға түсіру үшін

${ displaystyle theta _ {x}: T_ {x} M оң жақ E_ {x}}$

барлығы үшін сызықтық изоморфизм болып табылады х ∈ М. Егер дәнекерлеу формасы берілген болса, онда анықтауға болады бұралу байланыстың (сыртқы байланыс тұрғысынан) ретінде

${ displaystyle Theta = D theta. ,}$

Бұралу an E-2 формасы бойынша бағаланады М.

Дәнекерлеу формасы және онымен байланысты бұралу екеуі де жергілікті жақтау түрінде сипатталуы мүмкін e туралы E. Егер θ дәнекерлеу формасы болса, онда ол рамалық компоненттерге ыдырайды

${ displaystyle theta = sum _ {i} theta ^ {i} ( mathbf {e}) e_ {i}.}$

Бұралу компоненттері сол кезде болады

${ displaystyle Theta ^ {i} ( mathbf {e}) = d theta ^ {i} ( mathbf {e}) + sum _ {j} omega _ {j} ^ {i} ( mathbf {e}) wedge theta ^ {j} ( mathbf {e}).}$

Қисықтық сияқты, Θ өзін а ретінде ұстайтындығын көрсетуге болады қарама-қарсы тензор кадрдың өзгеруі бойынша:

${ displaystyle Theta ^ {i} ( mathbf {e} , g) = sum _ {j} g_ {j} ^ {i} Theta ^ {j} ( mathbf {e}).}$

Рамадан тәуелсіз бұралу кадрдың компоненттерінен қалпына келтірілуі мүмкін:

${ displaystyle Theta = sum _ {i} e_ {i} Theta ^ {i} ( mathbf {e}).}$

Бианки сәйкестілігі

The Бианки сәйкестілігі бұралуды қисықтықпен байланыстырыңыз. Бірінші Бианки сәйкестігі бұл туралы айтады

${ displaystyle D Theta = Omega wedge theta.}$

ал екінші Бианки сәйкестігі бұл туралы айтады

${ displaystyle , D Omega = 0}$

Мысалы: Levi-Civita байланысы

Мысал ретінде солай делік М а Риман метрикасы. Егер біреуінде болса векторлық шоғыр E аяқталды М, содан кейін метриканы бүкіл векторлық бумаға таратуға болады байлам метрикасы. Осыдан кейін біреу осы метрикамен сәйкес келетін байланысты анықтай алады, бұл - метрикалық байланыс. Ерекше жағдай үшін E болу тангенс байламы ТМ, метрикалық байланыс деп аталады Риман байланысы. Риман байланысын ескере отырып, әрқашан теңдестірілген теңдестірілген қосылысты табуға болады бұралмалы емес. Бұл Levi-Civita байланысы жанасатын байламда ТМ туралы М.^[2][3]

Тангенс байламындағы жергілікті кадр - бұл векторлық өрістердің реттелген тізімі e = (e_мен | i = 1,2, ..., n = күңгірт М) ашық ішкі жиында анықталған М доменінің әр нүктесінде сызықтық тәуелсіз. Christoffel белгілері Levi-Civita байланысын анықтайды

${ displaystyle nabla _ {e_ {i}} e_ {j} = sum _ {k = 1} ^ {n} Gamma _ {ij} ^ {k} ( mathbf {e}) e_ {k} .}$

Егер θ = {θ^мен | i = 1,2, ..., n}, дегенді білдіреді қосарланған негіз туралы котангенс байламы, мұндай θ^мен(e_j) = δ^мен_j ( Kronecker атырауы ), содан кейін байланыс формасы болып табылады

${ displaystyle omega _ {i} ^ {j} ( mathbf {e}) = sum _ {k} Gamma _ {ki} ^ {j} ( mathbf {e}) theta ^ {k} .}$

Байланыс формасы тұрғысынан векторлық өрістегі сыртқы байланыс v = Σ_менe_менv^мен арқылы беріледі

${ displaystyle Dv = sum _ {k} e_ {k} otimes (dv ^ {k}) + sum _ {j, k} e_ {k} otimes omega _ {j} ^ {k} ( mathbf {e}) v ^ {j}.}$

Levi-Civita байланысын, әдеттегідей, келісімшарт арқылы қалпына келтіруге болады e_мен:

${ displaystyle nabla _ {e_ {i}} v = lv Dv, e_ {i} rangle = sum _ {k} e_ {k} left ( nabla _ {e_ {i}} v ^ { k} + sum _ {j} Gamma _ {ij} ^ {k} ( mathbf {e}) v ^ {j} right)}$

Қисықтық

Levi-Civita байланысының қисықтық 2-формасы матрица (is) болып табылады_мен^j) берілген

${ displaystyle Omega _ {i} ^ {j} ( mathbf {e}) = d omega _ {i} ^ {j} ( mathbf {e}) + sum _ {k} omega _ { k} ^ {j} ( mathbf {e}) wedge omega _ {i} ^ {k} ( mathbf {e}).}$

Қарапайымдылық үшін, рамка делік e болып табылады холономикалық, сондықтан dθ^мен=0.^[4] Содан кейін, қазір жиынтық конвенция қайталанатын көрсеткіштер бойынша,

${ displaystyle { begin {array} {ll} Omega _ {i} ^ {j} & = d ( Gamma _ {qi} ^ {j} theta ^ {q}) + ( Gamma _ {pk } ^ {j} theta ^ {p}) wedge ( Gamma _ {qi} ^ {k} theta ^ {q}) & & = theta ^ {p} wedge theta ^ {q} сол жаққа ( ішінара _ {p} Гамма _ {qi} ^ {j} + Гамма _ {pk} ^ {j} Гамма _ {qi} ^ {к}) оңға) & & = { tfrac {1} {2}} theta ^ {p} wedge theta ^ {q} R_ {pqi} {} ^ {j} end {массив}}}$

қайда R болып табылады Риманның қисықтық тензоры.

Бұралу

Levi-Civita байланысы ерекше деп сипатталады метрикалық байланыс жанама байламда нөлдік бұралумен. Бұралуды сипаттау үшін векторлық шоғырға назар аударыңыз E тангенс байламы. Бұл канондық дәнекерлеу формасын алып жүреді (кейде деп аталады канондық бір форма, әсіресе классикалық механика ) бұл Хомның θ бөлімі (TМ, Т.М) = Т.^∗М . ТМ тангенс кеңістігінің сәйкестік эндоморфизміне сәйкес келеді. Жақтауда e, дәнекерлеу формасы болып табылады θ = Σ_мен e_мен ⊗ θ^мен, қайда θ^мен қосарланған негіз болып табылады.

Қосылыстың бұралуы Θ = арқылы беріледі Д. θ, немесе дәнекерлеудің рамалық компоненттері бойынша

${ displaystyle Theta ^ {i} ( mathbf {e}) = d theta ^ {i} + sum _ {j} omega _ {j} ^ {i} ( mathbf {e}) wedge theta ^ {j}.}$

Қарапайымдылық үшін тағы бір рет e холономикалық, бұл өрнек -ке дейін азаяды

${ displaystyle Theta ^ {i} = Gamma _ {kj} ^ {i} theta ^ {k} wedge theta ^ {j}}$,

ол жоғалады, егер ол and болған жағдайда ғана^мен_кж оның төменгі индекстері бойынша симметриялы.

Торсионмен метрикалық байланысты ескере отырып, әрқашан бұралусыз жалғыз, бірегей қосылысты табуға болады, бұл Леви-Сивита байланысы. Риман байланысы мен оның Леви-Сивита байланысының арасындағы айырмашылық мынада консорциялық тензор.

Құрылымдық топтар

Векторлық шоғырлану кезінде байланыстыру формасының нақты түрін жасауға болады E а құрылым тобы. Бұл жақтаулардың қолайлы класына тең e қосулы Eбайланысты, олар а Өтірік тобы G. Мысалы, а метрикалық жылы E, бірі ан түзетін кадрлармен жұмыс істейді ортонормальды негіз әр сәтте. Құрылым тобы - бұл ортогональды топ, өйткені бұл топ кадрлардың ортонормальдығын сақтайды. Басқа мысалдарға мыналар жатады:

• Алдыңғы бөлімде қарастырылған әдеттегі кадрларда құрылымдық топ GL бар (к) қайда к болып табылады E.
• А-ның голоморфты жанама шоғыры күрделі көпжақты (немесе күрделі дерлік коллектор ).^[5] Мұнда құрылым тобы - GL_n(C) ⊂ GL_2n(R).^[6] Жағдайда гермитикалық метрика беріледі, содан кейін құрылым тобы төмендейді унитарлық топ біртұтас жақтауда әрекет ету.^[5]
• Шпинаторлар жабдықталған коллекторда спин құрылымы. Рамалар айналдыру кеңістігіндегі инвариантты ішкі өнімге қатысты біртұтас, ал топ кішіге дейін кішірейтеді айналдыру тобы.
• Холоморфты жанама байламдар қосулы CR коллекторлары.^[7]

Жалпы, рұқсат етіңіз E талшықтың берілген векторлық шоғыры болуы керек к және G L GL (к) жалпы сызықтық тобының берілген Lie кіші тобы R^к. Егер (e_α) -ның жергілікті жақтауы E, содан кейін матрица-бағаланатын функция (ж_мен^j): М → G бойынша әрекет етуі мүмкін e_α жаңа кадр жасау үшін

${ displaystyle e _ { alpha} '= sum _ { beta} e _ { beta} g _ { alpha} ^ { beta}.}$

Осындай екі жақтау G-байланысты. Бейресми түрде, векторлық шоқ E бар а құрылымы G-бума егер кадрлардың таңдаулы класы көрсетілген болса, олардың барлығы жергілікті G-бір-бірімен байланысты. Ресми түрде E Бұл талшық байламы құрылым тобымен G оның типтік талшықтары R^к табиғи әрекетімен G GL кіші тобы ретінде (к).

Үйлесімді қосылыстар

Байланыс үйлесімді а құрылымымен G-бума қосулы E байланысты болған жағдайда параллель тасымалдау карталар әрқашан біреуін жібереді G- басқасына. Формальды түрде, cur қисығы бойында, төмендегілер жергілікті деңгейде болуы керек (яғни, шамалы мәндері үшін) т):

${ displaystyle Gamma ( gamma) _ {0} ^ {t} e _ { alpha} ( gamma (0)) = sum _ { beta} e _ { beta} ( gamma (t)) g_ { альфа} ^ { бета} (т)}$

кейбір матрица үшін ж_α^β (бұл да тәуелді болуы мүмкін т). Дифференциалдау т= 0 береді

${ displaystyle nabla _ {{ dot { gamma}} (0)} e _ { alpha} = sum _ { beta} e _ { beta} omega _ { alpha} ^ { beta} ( { нүкте { гамма}} (0))}$

мұндағы коэффициенттер ω_α^β ішінде Алгебра ж Өтірік тобының G.

Осы бақылаумен байланыс формасы ω_α^β арқылы анықталады

${ displaystyle De _ { alpha} = sum _ { beta} e _ { beta} otimes omega _ { alpha} ^ { beta} ( mathbf {e})}$

болып табылады құрылымымен үйлесімді егер бір пішіннің матрицасы ω_α^β(e) оның мәндерін қабылдайды ж.

Үйлесімді байланыстың қисықтық формасы, сонымен қатар, а ж- екі пішінді.

Жақтаудың өзгеруі

Жақтаудың өзгеруі астында

${ displaystyle e _ { alpha} '= sum _ { beta} e _ { beta} g _ { alpha} ^ { beta}}$

қайда ж Бұл G-ның ашық жиынтығында анықталған функция М, байланыс формасы арқылы түрленеді

${ displaystyle omega _ { alpha} ^ { beta} ( mathbf {e} cdot g) = (g ^ {- 1}) _ { gamma} ^ { beta} dg _ { alpha} ^ { гамма} + (g ^ {- 1}) _ { гамма} ^ { бета} омега _ { дельта} ^ { гамма} ( mathbf {e}) g _ { альфа} ^ { атырау}.}$

Немесе матрицалық өнімдерді қолдану арқылы:

${ displaystyle omega ({ mathbf {e}} cdot g) = g ^ {- 1} dg + g ^ {- 1} omega g.}$

Осы терминдердің әрқайсысын түсіндіру үшін еске түсіріңіз ж : М → G Бұл G-мәнді (жергілікті анықталған) функция. Осыны ескере отырып,

${ displaystyle omega ({ mathbf {e}} cdot g) = g ^ {*} omega _ { mathfrak {g}} + { text {Ad}} _ {g ^ {- 1}} omega ( mathbf {e})}$

қайда ω_ж болып табылады Маурер-Картан формасы топ үшін G, Мұнда артқа тартылды дейін М функция бойымен ж, және Жарнама бірлескен өкілдік туралы G оның алгебрасында.

Негізгі бумалар

Қосылу формасы, осы уақытқа дейін енгізілген, белгілі бір кадр таңдауына байланысты. Бірінші анықтамада кадр тек бөлімдердің жергілікті негізі болып табылады. Әр кадрға бір кадрдан екіншісіне өту үшін трансформация заңымен байланыс формасы беріледі. Екінші анықтамада кадрлардың өздері Lie тобы ұсынатын қосымша құрылымды алып жүреді, ал кадрдың өзгеруі олардың мәндерін қабылдайтындармен шектеледі. Пионер болып табылатын негізгі байламдардың тілі Чарльз Эресманн 1940 жж. осы көптеген байланыстыру формаларын және оларды трансформациялаудың бірыңғай ережелерімен біртұтас ішкі формаға байланыстыратын трансформация заңдылықтарын ұйымдастырудың тәсілін ұсынады. Бұл тәсілдің кемшілігі мынада: формалар енді коллектордың өзінде емес, үлкенірек байламда анықталады.

Қосылу формасы үшін негізгі байланыс

Айталық E → М - құрылымдық тобы бар векторлық байлам G. Рұқсат етіңізU} ашық мұқабасы болуы керек М, бірге G-әрқайсысында кадрлар U, деп белгіленеді e_U. Бұл сәйкес келетін ашық жиындардың қиылысында байланысты

${ displaystyle { mathbf {e}} _ {V} = { mathbf {e}} _ {U} cdot h_ {UV}}$

кейбіреулер үшін G-қызметі сағ_{Ультрафиолет} бойынша анықталған U ∩ V.

F болсын_GE бәрінің жиынтығы болыңыз G-әрбір нүктеге алынған кадрлар М. Бұл директор G-бума аяқталды М. Егжей-тегжейлі, фактіні пайдаланып G-кадрлар барлығы Gқатысты, Ф._GE ашық мұқабаның жиынтықтары арасында деректерді желімдеу тұрғысынан жүзеге асырылуы мүмкін:

${ displaystyle F_ {G} E = left. coprod _ {U} U times G right / sim}$

қайда эквиваленттік қатынас ${ displaystyle sim}$ арқылы анықталады

${ displaystyle ((x, g_ {U}) in U times G) sim ((x, g_ {V}) in V times G) iff { mathbf {e}} _ {V} = { mathbf {e}} _ {U} cdot h_ {UV} { text {and}} g_ {U} = h_ {UV} ^ {- 1} (x) g_ {V}.}$

F-де_GE, а анықтаңыз негізгі G-қосылу а) көрсету арқылы келесідей ж-әрбір өнімде бір форма бойынша бағаланады U × G, бұл қабаттасқан аймақтардағы эквиваленттік қатынасты құрметтейді. Алдымен рұқсат етіңіз

${ displaystyle pi _ {1}: U есе G -дан U, quad pi _ {2}: U G-ге G} дейін$

проекциялық карталар болуы керек. Енді бір нүкте үшін (х,ж) ∈ U × G, орнатылған

${ displaystyle omega _ {(x, g)} = Ad_ {g ^ {- 1}} pi _ {1} ^ {*} omega ( mathbf {e} _ {U}) + pi _ {2} ^ {*} omega _ { mathbf {g}}.}$

Осылай салынған 1-форма over қабаттасқан жиындар арасындағы ауысуларға құрметпен қарайды, сондықтан F негізгі бумасында ғаламдық анықталған 1-пішінді беру үшін түседі._GE. Ω - бұл құқық генераторларын ойнататын мағынасында негізгі байланыс екенін көрсетуге болады G F-ге қатысты әрекет_GE, және T-ге дұрыс әрекетті теңестіреді (F_GE) G.

Негізгі байланысқа байланысты байланыс формалары

Керісінше, директор G- байланыс n директорда G-бума P→М бойынша байланыс формаларының жиынтығын тудырады М. Айталық e : М → P жергілікті бөлімі болып табылады P. Содан кейін ω-нің кері тартылуы e анықтайды а ж-бір форма бойынша бағаланады М:

${ displaystyle omega ({ mathbf {e}}) = { mathbf {e}} ^ {*} omega.}$

А кадрларын өзгерту G-қызметі ж, біреуі ω (e) Лейбниц ережесін қолдану арқылы қажетті тәртіпте өзгертеді және қосымша:

${ displaystyle langle X, ({ mathbf {e}} cdot g) ^ {*} omega rangle = langle [d ( mathbf {e} cdot g)] (X), omega қоңырау}$

қайда X вектор болып табылады М, және г. дегенді білдіреді алға.

Сондай-ақ қараңыз

• Эресманн байланысы
• Картандық байланыс
• Аффиндік байланыс
• Қисықтық формасы

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Черн, С.-С., Дифференциалды геометрия тақырыптары, Жетілдірілген зерттеу институты, мимеографиялық дәріс жазбалары, 1951 ж.
• Chern S. S .; Мозер, Дж. (1974), «Күрделі коллекторлардағы гипер беткейлер», Acta Math., 133: 219–271, дои:10.1007 / BF02392146
• Грифитс, Филлип; Харрис, Джозеф (1978), Алгебралық геометрияның принциптері, Джон Вили және ұлдары, ISBN  0-471-05059-8
• Джост, Юрген (2011), Риман геометриясы және геометриялық анализ (PDF), Университекст (Алтыншы басылым), Спрингер, Гейдельберг, дои:10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN  978-3-642-21297-0, МЫРЗА  2829653
• Кобаяши, Шошичи; Номизу, Катсуми (1996), Дифференциалдық геометрияның негіздері, т. 1 (Жаңа ред.), Вили-Интерсианс, ISBN  0-471-15733-3
• Кобаяши, Шошичи; Номизу, Катсуми (1996), Дифференциалдық геометрияның негіздері, т. 2018-04-21 121 2 (Жаңа ред.), Вили-Интерсианс, ISBN  0-471-15732-5
• Спивак, Майкл (1999), Дифференциалды геометрияға жан-жақты кіріспе (2 том), Жариялау немесе құрту, ISBN  0-914098-71-3
• Спивак, Майкл (1999), Дифференциалды геометрияға жан-жақты кіріспе (3 том), Жариялау немесе құрту, ISBN  0-914098-72-1
• Уэллс, Р.О. (1973), Күрделі коллекторлар бойынша дифференциалды талдау, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90419-0
• Уэллс, Р.О. (1980), Күрделі коллекторлар бойынша дифференциалды талдау, Prentice – Холл