Тізбек кешені - Chain complex

Жылы математика, а тізбекті кешен болып табылады алгебралық құрылым тізбегінен тұрады абель топтары (немесе модульдер ) және тізбегі гомоморфизмдер сияқты дәйекті топтар арасында сурет әрбір гомоморфизмнің құрамына кіреді ядро келесі. Тізбекті кешенмен байланысты оның гомология суреттердің ядроларға қалай енетінін сипаттайтын.

A кока кешені тізбекті кешенге ұқсайды, тек оның гомоморфизмдері басқа конвенцияны ұстанады. Кохейндік кешеннің гомологиясы оның когомологиясы деп аталады.

Жылы алгебралық топология, а-ның сингулярлы тізбек кешені топологиялық кеңістік X көмегімен салынған үздіксіз карталар а қарапайым X-ге дейін, ал тізбекті кешеннің гомоморфизмдері бұл карталардың симплекс шекарасына қалай шектелетінін анықтайды. Осы тізбекті кешеннің гомологиясы деп аталады сингулярлы гомология X, және әдетте қолданылады өзгермейтін топологиялық кеңістіктің.

Желілік кешендер зерттелген гомологиялық алгебра, бірақ математиканың бірнеше саласында, соның ішінде қолданылады абстрактілі алгебра, Галуа теориясы, дифференциалды геометрия және алгебралық геометрия. Оларды жалпы түрде анықтауға болады абель категориялары.

Анықтамалар

A тізбекті кешен ${ displaystyle (A _ { bullet}, d _ { bullet})}$ бұл абелиялық топтардың немесе модульдердің ..., A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, ... гомоморфизмдермен байланысты (деп аталады шекаралық операторлар немесе дифференциалдар) г._n : A_n → A_n−1, кез келген екі картаның құрамы нөлдік карта болатындай етіп. Дифференциалдар қанағаттандырады г._n ∘ г._n+1 = 0немесе индекстер басылған, г.² = 0. Кешен келесі түрде жазылуы мүмкін.

{ displaystyle cdots { xleftarrow {d_ {0}}} A_ {0} { xleftarrow {d_ {1}}} A_ {1} { xleftarrow {d_ {2}}} A_ {2} { xleftarrow {d_ {3}}} A_ {3} { xleftarrow {d_ {4}}} A_ {4} { xleftarrow {d_ {5}}} cdots}

The кока кешені ${ displaystyle (A ^ { bullet}, d ^ { bullet})}$ болып табылады қосарланған тізбекті кешен туралы түсінік. Ол абелия топтарының немесе модульдер тізбегінен тұрады ..., A⁰, A¹, A², A³, A⁴, ... гомоморфизмдермен байланысты г.ⁿ : Aⁿ → Aⁿ⁺¹ қанағаттанарлық г.ⁿ⁺¹ ∘ г.ⁿ = 0. Cochain кешені тізбекті кешенге ұқсас түрде жазылуы мүмкін.

{ displaystyle cdots { xrightarrow {d ^ {- 1}}} A ^ {0} { xrightarrow {d ^ {0}}} A ^ {1} { xrightarrow {d ^ {1}}} A ^ {2} { xrightarrow {d ^ {2}}} A ^ {3} { xrightarrow {d ^ {3}}} A ^ {4} { xrightarrow {d ^ {4}}} cdots}

Көрсеткіш n екеуінде де A_n немесе Aⁿ деп аталады дәрежесі (немесе өлшем). Тізбекті және кокаинді комплекстердің айырмашылығы мынада: тізбекті кешендерде дифференциалдар өлшемді төмендетеді, ал кокаиндік кешендерде өлшемді жоғарылатады. Тізбекті кешендерге арналған барлық ұғымдар мен анықтамалар кохейндік кешендерге қолданылады, тек егер олар өлшем бойынша осы әр түрлі конвенцияны ұстанатын болса, көбінесе терминдер беріледі префикс бірге. Бұл мақалада ажырату қажет болмаған кезде тізбекті кешендерге анықтамалар беріледі.

A шектелген тізбекті кешен біреуі барлығы дерлік The A_n 0; яғни солға және оңға 0-ге созылған ақырлы кешен, мысалы, анықтайтын тізбекті кешен қарапайым гомология ақырлы қарапайым кешен. Тізбекті кешен жоғарыда шектелген егер барлық модульдер белгіленген деңгейден жоғары болса N 0, және болып табылады төменде шектелген егер барлық белгіленген модульдерден төмен барлық модульдер 0-ге тең болса, онда кешен шектелген жағдайда ғана, жоғарыдан да, төменнен де шектеледі.

А (ко) тізбекті кешеннің жеке топтарының элементтері деп аталады (бірлескен) тізбектер. Ядросындағы элементтер г. деп аталады (ко) циклдар (немесе жабық элементтер), ал суреттегі элементтер г. деп аталады (бірлескен) шекаралар (немесе дәл элементтер). Дифференциал анықтамасынан бастап барлық шекаралар циклдар болып табылады. The n- гомологиялық топ H_n (Hⁿ) - (ц) циклдар тобы модуль (co) дәреже шекаралары n, Бұл,

{ displaystyle H_ {n} = { frac { ker d_ {n}} {{ mbox {im}} d_ {n + 1}}} quad left (H ^ {n} = { frac { ker d ^ {n}} {{ mbox {im}} d ^ {n-1}}} оң)}

Дәл тізбектер

Ан нақты дәйектілік (немесе дәл күрделі) - бұл гомологиялық топтардың барлығы нөлге тең болатын тізбекті кешен. Бұл кешендегі барлық жабық элементтердің дәлдігін білдіреді. A қысқа нақты дәйектілік тек топтар болатын шектелген дәл реттілік A_к, A_к+1, A_к+2 нөлдік емес болуы мүмкін. Мысалы, келесі тізбекті кешен - қысқа дәл дәйектілік.

{ displaystyle cdots { xrightarrow {}} ; 0 ; { xrightarrow {}} ; mathbf {Z} ; { xrightarrow { times p}} ; mathbf {Z} twoheadrightrightrow mathbf {Z} / p mathbf {Z} ; { xrightarrow {}} ; 0 ; { xrightarrow {}} cdots}

Ортаңғы топта тұйық элементтер р элементтері болып табыладыЗ; бұл осы топтағы нақты элементтер.

Карталар тізбегі

A тізбек картасы f екі тізбекті кешендер арасында ${ displaystyle (A _ { bullet}, d_ {A, bullet})}$ және ${ displaystyle (B _ { bullet}, d_ {B, bullet})}$ бұл бірізділік ${ displaystyle f _ { bullet}}$ гомоморфизмдер ${ displaystyle f_ {n}: A_ {n} rightarrow B_ {n}}$ әрқайсысы үшін n екі тізбекті кешендегі шекаралық операторлармен жүретін, сондықтан ${ displaystyle d_ {B, n} circ f_ {n} = f_ {n-1} circ d_ {A, n}}$ . Бұл келесіде жазылған коммутациялық диаграмма.

Тізбекті карта циклдарды циклдарға, шекараларды шекараларға жібереді және осылайша гомология картасын итермелейді ${ displaystyle (f _ { bullet}) _ {*}: H _ { bullet} (A _ { bullet}, d_ {A, bullet}) rightarrow H _ { bullet} (B _ { bullet}, d_ {B, bullet})}$ .

Үздіксіз карта f топологиялық кеңістіктер арасында X және Y сингулярлық тізбек кешендері арасында тізбекті картаны шығарады X және Y, демек, картаны итермелейді f_* арасындағы сингулярлық гомология X және Y сонымен қатар. Қашан X және Y екеуі де тең n-сфера, гомологияға келтірілген карта анықтайды дәрежесі картаның f.

Тізбекті карта тұжырымдамасы -ның құрылысы арқылы шекараға дейін азаяды конус тізбекті картаның

Тізбекті гомотопия

Тізбекті гомотопия карталар әртүрлі болғанымен, гомологиялық топтарға бірдей картаны шақыратын екі тізбекті картаны байланыстыру әдісін ұсынады. Екі тізбекті кешен берілген A және Bжәне екі тізбекті карта f, ж : A → B, а тізбекті гомотопия гомоморфизмдердің бірізділігі болып табылады сағ_n : A_n → B_n+1 осындай hd_A + г._Bсағ = f − ж. Карталар диаграммада келесі түрде жазылуы мүмкін, бірақ бұл схема коммутативті емес.

Карта hd_A + г._Bсағ гомологияға нөлдік картаны енгізу үшін оңай тексеріледі сағ. Бұл бірден пайда болады f және ж бірдей картаны гомологияға енгізу. Біреуі айтады f және ж болып табылады гомотоптық тізбек (немесе жай гомотоптық), және бұл қасиет анықтайды эквиваленттік қатынас тізбекті карталар арасында.

Келіңіздер X және Y топологиялық кеңістіктер болыңыз. Сингулярлы гомология жағдайында, а гомотопия үздіксіз карталар арасында f, ж : X → Y сәйкес келетін тізбек карталары арасында тізбекті гомотопияны тудырады f және ж. Бұл екі гомотоптық картаның сингулярлық гомологияға бірдей картаны итермелейтіндігін көрсетеді. «Тізбекті гомотопия» атауына осы мысал түрткі болды.

Мысалдар

Сингулярлық гомология

Келіңіздер X топологиялық кеңістік болыңыз. Анықтаңыз C_n(X) үшін табиғи n болу тегін абель тобы ресми түрде жасалған жекеше n-қарапайымдар жылы X, және шекара картасын анықтаңыз ${ displaystyle kısalt _ {n}: C_ {n} (X) - C_ {n-1} (X)}$ болу

{ displaystyle kısalt _ {n}: , ( sigma: [v_ {0}, ldots, v_ {n}] to X) mapsto sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} ( sigma: [v_ {0}, ldots, { hat {v}} _ {i}, ldots, v_ {n}] to X)}

мұнда шляпа а-ның жоқтығын білдіреді шың. Яғни, сингулярлық симплекстің шекарасы - бұл оның шектеулерінің ауыспалы жиынтығы. Мұны ∂ деп көрсетуге болады² = 0, сондықтан ${ displaystyle (C _ { bullet}, partial _ { bullet})}$ бұл тізбекті кешен; The сингулярлы гомология ${ displaystyle H _ { bullet} (X)}$ осы кешеннің гомологиясы болып табылады.

Сингулярлық гомология - топологиялық кеңістіктің пайдалы инварианты гомотопиялық эквиваленттілік. Нөлдік деңгейдегі гомологиялық топ - бұл абельдік топ жол компоненттері туралы X.

де Рам когомологиясы

The дифференциалды к-формалар кез келген тегіс коллектор М а нақты векторлық кеңістік called деп аталады^к(М) қосымша бойынша. The сыртқы туынды г. карталар Ω^к(М) дейін Ω^к+1(М), және г.² = 0 мәні келесіден тұрады екінші туындылардың симметриясы, сондықтан векторлық кеңістіктері к-формалар сыртқы туындымен бірге кохейндік кешен болып табылады.

{ displaystyle Omega ^ {0} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {1} (M) to Omega ^ {2} (M) to Omega ^ {3} (M) to cdots}

Бұл кешеннің когомологиясы деп аталады де Рам когомологиясы туралы X. Нөлдік өлшемдегі гомология тобы -ның векторлық кеңістігіне изоморфты жергілікті тұрақты функциялар бастап М дейін R. Осылайша, ықшам коллектор үшін бұл нақты векторлық кеңістік, оның өлшемі байланысты компоненттердің саны болып табылады М.

Тегіс карталар коллекторлар арасында тізбекті карталар, ал карталар арасындағы тегіс гомотоптар тізбекті гомотоптарды тудырады.

Тізбекті кешендердің санаты

Тізбекті кешендері Қ-тізбекті карталары бар модульдер а санат Ч._Қ, қайда Қ ауыстырылатын сақина.

Егер V = V ${ displaystyle {} _ {*}}$ және W = W ${ displaystyle {} _ {*}}$ тізбекті кешендер болып табылады, олардың тензор өнімі ${ displaystyle V otimes W}$ дәрежесі бар тізбекті кешен болып табылады n берілген элементтер

{ displaystyle (V otimes W) _ {n} = bigoplus _ { {i, j | i + j = n }} V_ {i} otimes W_ {j}}

және берілген

{ displaystyle жарым-жартылай (a otimes b) = жартылай a otimes b + (- 1) ^ { сол | а оң |} a otimes жартылай b}

қайда а және б кез келген екі біртекті вектор болып табылады V және W сәйкесінше және ${ displaystyle сол жақ | а оң |}$ дәрежесін білдіреді а.

Бұл тензор өнімі Ch категориясын құрайды_Қ ішіне симметриялық моноидты категория. Осы моноидты өнімге қатысты сәйкестендіру нысаны базалық сақина болып табылады Қ 0 дәрежелі тізбекті кешен ретінде қарастырылды өру біртекті элементтердің қарапайым тензорларында беріледі

{ displaystyle a otimes b mapsto (-1) ^ { сол | а оң | сол | b оң |} b otimes a}

Белгі өру үшін тізбектің картасы болу үшін қажет.

Сонымен қатар, тізбекті кешендер санаты Қ-модульдерде де бар ішкі Hom: берілген тізбекті кешендер V және W, ішкі Hom V және W, Hom деп белгіленді (V,W), бұл дәрежесі бар тізбекті кешен n берілген элементтер ${ displaystyle Pi _ {i} { text {Hom}} _ {K} (V_ {i}, W_ {i + n})}$ және берілген