Эресманн байланысы - Ehresmann connection

Жылы дифференциалды геометрия, an Эресманн байланысы (француз математигінен кейін Чарльз Эресманн кім бұл тұжырымдаманы бірінші рет рәсімдеді) - а ұғымының нұсқасы байланыс, бұл кез-келген тегіс мағынасы бар талшық байламы. Атап айтқанда, ол талшықтың астарының мүмкін векторлық құрылымына сүйенбейді, бірақ сызықтық байланыстар ерекше жағдай ретінде қарастырылуы мүмкін. Эресманн байланыстарының тағы бір маңызды ерекше жағдайы негізгі байланыстар қосулы негізгі байламдар болуы керек эквивариант директорда Өтірік тобы әрекет.

Кіріспе

A ковариант туынды дифференциалдық геометрияда а сызықтық дифференциалдық оператор ол алады бағытталған туынды а бөлімінен векторлық байлам ішінде ковариант мәнер. Бұл сонымен қатар а ұғымын тұжырымдауға мүмкіндік береді параллель байламның вектор бағытындағы бөлімі: кесінді с вектор бойымен параллель орналасқан X егер ${displaystyle абла _ {X} s = 0}$. Сонымен, ковариантты туынды кем дегенде екі нәрсені ұсынады: дифференциалдық оператор, және әр бағытта параллель болу дегенді білдіретін ұғым. Ан Эресманн байланысы дифференциалдық операторды толығымен түсіреді және қосылымды аксиомалық тұрғыдан әр бағытта параллель қималар бойынша анықтайды (Эресманн 1950 ж ). Нақтырақ айтқанда, Эресманн байланысы а векторлық кеңістік әрқайсысы жанасу кеңістігі деп аталатын талшықты байламның жалпы кеңістігіне көлденең кеңістік. Бөлім с бағытта көлденең (яғни параллель) болады X егер ${displaystyle { м {д}} с (Х)}$ көлденең кеңістікте жатыр. Міне, біз қатысты с функция ретінде ${displaystyle scolon M o E}$ базадан М талшық байламына E, сондай-ақ ${displaystyle { m {d}} scolon TM o s ^ {*} TE}$ содан кейін алға жанамалы векторлар. Горизонталь кеңістіктер бірігіп векторлық қосынды құрайды ${displaystyle TE}$.

Бұл векторлық шоғырларға қарағанда құрылымдардың анағұрлым кең класы бойынша анықталатын бірден-бір пайда әкеледі. Атап айтқанда, ол жалпыға бірдей анықталған талшық байламы. Сонымен қатар, ковариант туындысының көптеген ерекшеліктері: параллельді тасымалдау, қисықтық, және голономия.

Байланыстың жетіспейтін ингредиенті, сызықтықтан басқа коварианс. Коварианттың классикалық туындыларымен ковариант - бұл постериори туынды ерекшелігі. Олардың құрылысында -ның түрлену заңы көрсетілген Christoffel рәміздері - бұл ковариантты емес - содан кейін жалпы коварианты туынды нәтижесінде пайда болады. Эресманн байланысы үшін басынан бастап жалпыланған ковариация принципін енгізу мүмкін. Өтірік тобы талшықтар дестесінің талшықтарына әсер ету. Сәйкес шарт - көлденең кеңістіктердің белгілі бір мағынада эквивариант топтық әрекетке қатысты.

Ehresmann байланысының түпкілікті ерекшелігі - оны а ретінде ұсынуға болады дифференциалды форма, а жағдайымен бірдей байланыс формасы. Егер топ талшықтарға әсер етсе және байланыс эквивариантты болса, онда форма да эквивариант болады. Сонымен қатар, байланыс формасы қисықтықты а ретінде анықтауға мүмкіндік береді қисықтық нысаны сонымен қатар.

Ресми анықтама

Келіңіздер ${displaystyle pi kolon E o M}$ тегіс болыңыз талшық байламы.^[1] Келіңіздер

${displaystyle V = ker (оператор атауы {d} pi қос нүкте TE o TM)}$

болуы тік байлам «талшықтарға жанасатын» векторлардан тұрады E, яғни V кезінде ${displaystyle ein E}$ болып табылады ${displaystyle V_ {e} = T_ {e} (E_ {pi (e)})}$. Бұл ішкі топтама ${displaystyle TE}$ канондық түрде анықталған, ал негізгі кеңістікке канондық ішкі кеңістік тангенсі жоқ М. (Әрине, бұл асимметрия «тек бір проекциясы бар» талшықтар байламының анықтамасынан шыққан ${displaystyle pi kolon E o M}$ ал өнім болса ${displaystyle E = M imes F}$ екі болар еді.)

Көлденең ішкі кеңістіктер арқылы анықтама

Ан Эресманн байланысы қосулы E тегіс қосалқы жиынтық H туралы ${displaystyle TE}$, деп аталады көлденең байлам толықтырушы болатын байланыстың V, ол анықтайтын мағынада тікелей сома ыдырау ${displaystyle TE = Hoplus V}$ (Kolář, Michor & Slovák 1993 ж ). Толығырақ көлденең байлам келесі қасиеттерге ие.

• Әр ұпай үшін ${displaystyle ein E}$, ${displaystyle H_ {e}}$ Бұл векторлық кеңістік жанас кеңістіктің ${displaystyle T_ {e} E}$ дейін E кезінде e, деп аталады көлденең ішкі кеңістік байланыстыру e.
• ${displaystyle H_ {e}}$ байланысты тегіс қосулы e.
• Әрқайсысы үшін ${displaystyle ein E}$, ${displaystyle H_ {e} cap V_ {e} = {0}}$.
• Кез келген жанама вектор Т_eE (кез-келгені үшін e∈E) - көлденең және тік компоненттің қосындысы, осылайша Т_eE = H_e + V_e.

Бұл қасиеттерді қанағаттандыратын горизонталь кеңістіктердің тағайындалуы неғұрлым күрделі терминдердің дәл тегіс қимасына сәйкес келеді реактивті байлам Дж¹E → E.

Қосылу формасы арқылы анықтама

Барабар, рұқсат етіңіз v тік байламға проекция болыңыз V бойымен H (сондай-ақ H = кер v). Бұл жоғарыда айтылғандармен анықталады тікелей сома ыдырауы TE көлденең және тік бөліктерге және кейде деп аталады байланыс формасы Эресманн байланысының. Осылайша v Бұл векторлық шумақ гомоморфизмі бастап TE өзіне келесі қасиеттермен (жалпы проекциялар):

• v² = v;
• v сәйкестілік V = кескін (v).

Керісінше, егер v - векторлық байлам эндоморфизм туралы TE осы екі қасиетті қанағаттандыру, содан кейін H = кер v - бұл Эресманн байланысының көлденең қосылысы.

Соңында, назар аударыңыз v, әрбір жанама кеңістіктің сызықтық кескіні бола отырып, а ретінде қарастырылуы мүмкін TE- 1-форма бойынша бағаланады E. Бұл алдағы бөлімдерде пайдалы перспектива болады.

Көлденең көтергіштер арқылы параллель тасымалдау

Ehresmann байланысы қисықтарды базалық коллектордан көтеру тәсілін де белгілейді М талшықты байламның жалпы кеңістігіне E қисыққа жанасатын элементтер көлденең болатындай етіп.^[2] Мыналар көлденең көтергіштер тікелей аналогы болып табылады параллель тасымалдау байланыстың формализмнің басқа нұсқалары үшін.

Нақтырақ айтсақ γ(т) - бұл тегіс қисық М нүкте арқылы х = γ(0). Келіңіздер e ∈ E_х талшықтың нүктесі бол х. A көтеру туралы γ арқылы e қисық болып табылады ${displaystyle {ilde {gamma}} (t)}$ жалпы кеңістікте E осындай

${displaystyle {ilde {gamma}} (0) = e}$, және ${displaystyle pi ({ilde {гамма}} (t)) = гамма (t).}$

Лифт - бұл көлденең егер, сонымен қатар, қисықтың әрбір тангенсі көлденең суббундта жатса TE:

${displaystyle {ilde {gamma}} '(t) in H _ {{ilde {gamma}} (t)}.}$

Оны көмегімен көрсетуге болады ранг-нөлдік теоремасы қатысты π және v әрбір вектор X∈Т_хМ векторға ерекше көлденең көтергішке ие ${displaystyle {ilde {X}} in T_ {e} E}$. Атап айтқанда, жанама өріс γ -ның жалпы кеңістігінде көлденең векторлық өрісті тудырады байлам γ*E. Бойынша Пикард - Линделёф теоремасы, бұл векторлық өріс интегралды. Осылайша, кез-келген қисық үшін γ және көрсетіңіз e аяқталды х = γ(0), а бар көлденең лифт туралы γ арқылы e аз уақытқа т.

Жалпы Эресманн қосылыстары үшін көлденең көтеру жолға тәуелді болатындығын ескеріңіз. Екі тегіс қисық болған кезде М, сәйкес келеді γ₁(0) = γ₂(0) = х₀ сонымен қатар басқа нүктеде қиылысады х₁ ∈ М, көлденеңінен көтеріледі E сол арқылы e ∈ π⁻¹(х₀), олар әдетте әр түрлі нүктелерден өтеді π⁻¹(х₁). Бұл талшықтардың байламдарының дифференциалды геометриясы үшін маңызды салдары бар H емес Өтірік субальгебра векторлық өрістер кеңістігі E, өйткені ол (жалпы) астында жабық емес Векторлық өрістердің кронштейні. Lie кронштейнінің жабылуының бұл сәтсіздігі қисықтық.

Қасиеттері

Қисықтық

Келіңіздер v Эресманн байланысы болыңыз. Содан кейін v арқылы беріледі^[3]

${displaystyle R = {frac {1} {2}} [v, v]}$

Мұндағы [-, -] таңбаны білдіреді Frölicher-Nijenhuis кронштейні туралы v ∈ Ω¹(E,TE) өзімен бірге. Осылайша R ∈ Ω²(E,TE) екі формалы болып табылады E мәндерімен TE арқылы анықталады

${displaystyle R (X, Y) = vleft ([(mathrm {id} -v) X, (mathrm {id} -v) Y) ight)}$,

немесе, басқаша айтқанда,

${displaystyle Rleft (X, Y ight) = солға [X_ {H}, Y_ {H} ight] _ {V}}$,

қайда X = X_H + X_V ішіндегі тікелей қосындының ыдырауын білдіреді H және V сәйкесінше компоненттер. Қисықтықтың осы соңғы өрнегінен көлденең ішкі топтама болған жағдайда бірдей жоғалады, тек егер Frobenius интегралды. Осылайша, қисықтық интегралдау шарты көлденең суббум үшін талшық байламының көлденең қималарын беру үшін E → М.

Эресманн байланысының қисықтығы сонымен бірге Бианки сәйкестігі:

${displaystyle сол жақта [v, R ight] = 0}$

қайтадан [-, -] - бұл V Fr Ω Frölicher-Nijenhuis жақшасы¹(E,TE) және R ∈ Ω²(E,TE).

Толықтығы

Ehresmann байланысы қисықтардың көлденең көтергіштерге ие болуына мүмкіндік береді жергілікті. Үшін толық Эресманн қосылымы, қисық бүкіл домен бойынша көлденең көтерілуі мүмкін.

Холономия

Қосылымның тегістігі жергілікті деңгейге сәйкес келеді Фробениустың интегралдылығы көлденең кеңістіктердің Басқа шетінен, жоғалып кетпейтін қисықтық бар дегенді білдіреді голономия қосылым.^[4]

Ерекше жағдайлар

Негізгі бумалар және негізгі байланыстар

Айталық E тегіс негізгі G-бума аяқталды М. Содан кейін Эресманн байланысы H қосулы E деп аталады негізгі (Ehresmann) байланыс^[5] егер ол инвариантты болса G әрекет E деген мағынада

${displaystyle H_ {eg} = mathrm {d} (R_ {g}) _ {e} (H_ {e})}$ кез келген үшін e∈E және ж∈G; Мұнда ${displaystyle mathrm {d} (R_ {g}) _ {e}}$ дифференциалын білдіреді дұрыс әрекет туралы ж қосулы E кезінде e.

Бір параметрлі топшалары G тігінен әрекет ету E. Бұл әрекеттің дифференциалы ішкі кеңістікті анықтауға мүмкіндік береді ${displaystyle V_ {e}}$ Ли алгебрасымен ж топ G, карта арқылы айтыңыз ${displaystyle iota қос нүкте V_ {e} o {mathfrak {g}}}$. Қосылу формасы v Эресманн қосылымын 1-форма ретінде қарастыруға болады ω қосулы E мәндерімен ж арқылы анықталады ω(X)=ι(v(X)).

Осылайша байланыс формасы қайта түсіндірілді ω келесі екі қасиетті қанағаттандырады:

• Ол өзгереді теңбе-тең астында G әрекет: ${displaystyle R_ {h} ^ {*} omega = {hbox {Ad}} (h ^ {- 1}) omega}$ барлығына сағ∈G, қайда R_сағ^* болып табылады кері тарту дұрыс әрекет ету кезінде және Жарнама болып табылады бірлескен өкілдік туралы G оның алгебрасында.
• Ол карталар тік векторлық өрістер жалған алгебраның байланысты элементтеріне: ω(X)=ι(X) барлығына X∈V.

Керісінше, мұндай а ж-бағаланған 1 пішінді негізгі бумада жоғарыда айтылған қасиеттерді қанағаттандыратын көлденең үлестіру пайда болады.

Жергілікті тривиализацияны ескере отырып, азайтуға болады ω көлденең векторлық өрістерге (осы тривиализацияда). Ол 1 пішінді анықтайды ω ' қосулы B арқылы кері тарту. Пішін ω ' анықтайды ω толығымен, бірақ бұл тривиализация таңдауына байланысты. (Бұл форманы көбінесе а деп те атайды байланыс формасы және жай ғана белгіленеді ω.)

Векторлық шоғырлар және ковариантты туындылар

Айталық E тегіс векторлық байлам аяқталды М. Содан кейін Эресманн байланысы H қосулы E деп аталады сызықтық (Ehresmann) байланыс егер H_e тәуелді болады e ∈ E_х әрқайсысы үшін х ∈ М. Мұны нақтылау үшін рұқсат етіңіз S_λ скалярлық көбейтуді белгілеңіз λ қосулы E. Содан кейін H тек егер болса, онда ол сызықтық болып табылады ${displaystyle H_ {lambda e} = mathrm {d} (S_ {lambda}) _ {e} (H_ {e})}$кез келген үшін e ∈ E және скаляр λ.

Бастап E - векторлық шоқ, оның тік шоғыры V изоморфты болып табылады π*E. Сондықтан егер с бөлімі болып табылады E, содан кейін v(г.с):ТМ→с*V=с*π*E=E. Бұл векторлық байлам морфизмі, сондықтан ∇ кесіндісімен беріледіс Hom векторлық байламының (ТМ,E). Эресманн байланысының сызықтық екендігі, сонымен қатар оның әр функция үшін тексеретіндігін білдіреді ${displaystyle f}$ қосулы ${displaystyle M}$ Лейбниц ережесі, яғни ${displaystyle abla (fs) = f abla (s) + d (f) otimes s}$, демек, а ковариант туынды туралы с.

Керісінше а ковариант туынды ∇ векторлық байламда сызықтық Эресманн байланысын анықтау арқылы анықтайды H_e, үшін e ∈ E бірге х=π(e), сурет болу dс_х(Т_хМ) қайда с бөлімі болып табылады E бірге с(х) = e және ∇_Xс = 0 барлығы үшін X ∈ Т_хМ.

Терминнің (тарихи себептерге байланысты) екенін ескеріңіз сызықтық жалғауларға қолданғанда, кейде қолданылады (сөз сияқты) аффин - қараңыз Аффиндік байланыс ) жанама байламда анықталған қосылыстарға сілтеме жасау үшін жақтау байламы.

Байланыстырылған байламдар

Ehresmann байланысы талшық байламы (құрылым тобымен қамтамасыз етілген) кейде Эресманн байланысын тудырады байланысты байлам. Мысалы, (сызықтық) векторлық байламдағы байланыс E, параллелизмін беру туралы ойладым E жоғарыда көрсетілгендей, P рамаларының байланыстырылған байламына қосылуды тудырадыE туралы E. Керісінше, P-дегі байланысE ішіндегі (сызықтық) байланыс тудырады E P-да байланыс болған жағдайдаE жалпы сызықтық топтың кадрларға әсер етуіне қатысты эквивариант болып табылады (және осылайша а негізгі байланыс ). Бұл әрдайым емес Эресманн байланысының табиғи байланыстырылған байламға қосылуын тудыруы мүмкін. Мысалы, векторлық шоғырдың жақтауларындағы эквивалентті емес Эресманн байланысы векторлық шоғырға қосылуды тудырмауы мүмкін.

Айталық E байланыстырылған байлам болып табылады P, сондай-ақ E = P ×_G F. A G-қосылу қосулы E параллельді көлік картасы that болатын Эресманн байланысы: F_х → F_{x ′} арқылы беріледі G- талшықтардың трансформациясы (жақын орналасқан нүктелер бойынша) х және х′ In М қисықпен қосылды).^[6]

Берілген негізгі байланыс P, біреуін алады a G- байланыстырылған талшықты байламға E = P ×_G F арқылы кері тарту.

Керісінше, а G-қосу E байланысты негізгі байламда негізгі байланысты қалпына келтіруге болады P. Осы негізгі байланысты қалпына келтіру үшін а ұғымы енгізіледі жақтау әдеттегі талшықта F. Бастап G ақырлы өлшемді болып табылады^[7] Тиімді әрекет ететін өтірік топ F, нүктелердің ақырғы конфигурациясы болуы керек (ж₁,...,ж_м) ішінде F сияқты G-орбит R = {(gy₁,...,gy_м) | ж ∈ G} - негізгі біртекті кеңістік G. Біреу туралы ойлауға болады R үшін рамка ұғымын жалпылау ретінде G- әрекет F. Бастап екенін ескеріңіз R үшін негізгі біртекті кеңістік болып табылады G, талшық байламы E(R) байланысты E типтік талшықпен R болып табылады (барабар) байланысты негізгі бума E. Бірақ бұл сонымен қатар м- өнімнің бумасы E өзімен бірге. Көлденең кеңістіктердің таралуы E осы өнімнің орамында бос орындардың таралуын тудырады. Параллельді тасымалдау карталары байланысты болғандықтан G-карталар, олар ішкі кеңістікті сақтайды E(R), сондықтан G- байланыс директорға түседі G-қосу E(R).

Қысқаша айтқанда, байланыстырылған талшық шоғырларымен негізгі байланыстардың түсімдері арасында бір-біріне сәйкестік (эквиваленттілікке дейін) бар және G-аспалы талшықты байламдардағы қосылыстар. Осы себепті құрылымдық тобы бар талшық шоғыры санатында G, негізгі байланыс үшін барлық тиісті ақпарат бар G-байланыстырылған байламдардағы байланыстар. Демек, байланыстырылған байламдардағы байланыстарды қарастырудың маңызды себебі болмаса (мысалы, мысалы, Картандық байланыстар ) біреуі әдетте негізгі байланыспен тікелей жұмыс істейді.

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Эресманн, Чарльз (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable, Colloque de Toplogie, Bruxelles, 29-55 бб
• Элиасон, Н (1967), «Карталардың көптүрлі геометриясы», Дифференциалдық геометрия журналы, 1: 169–194
• Кобаяши, Шошичи; Номизу, Катсуми (1996), Дифференциалдық геометрияның негіздері, Т. 1 (Жаңа ред.), Вили-Интерсианс, ISBN  0-471-15733-3
• Кобаяши, Шошичи; Номизу, Катсуми (1996), Дифференциалдық геометрияның негіздері, Т. 2 (Жаңа ред.), Вили-Интерсианс, ISBN  978-0-471-15732-8
• Колаш, Иван; Мичор, Петр; Словак, қаңтар (1993), Дифференциалдық геометриядағы натурал операторлар (PDF), Springer-Verlag, мұрағатталған түпнұсқа (PDF) 2017-03-30, алынды 2007-04-25
• Ланг, Серж (1999), Дифференциалды геометрия негіздері, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98593-X
• Lumiste, Ülo (2001) [1994], «Талшықты байламға қосу», Математика энциклопедиясы, EMS Press
• Lumiste, Ülo (2001) [1994], «Коллектордағы қосылыстар», Математика энциклопедиясы, EMS Press
• Риб, Джордж (1952), Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Париж: Герман

Әрі қарай оқу

• Рауль Ботт (1970) «Интеграциялануға топологиялық кедергі», Proc. Симптом. Таза математика., 16 Amer. Математика. Soc., Providence, RI.