Биполярлық цилиндрлік координаттар - Bipolar cylindrical coordinates - Wikipedia

Координаталық беттер биполярлық цилиндрлік координаталар. Сары жарты ай σ, қызыл түтік τ, ал көк жазықтық сәйкес келеді з= 1. Үш бет нүктеде қиылысады P (қара шар түрінде көрсетілген).

Биполярлық цилиндрлік координаттар үш өлшемді болып табылады ортогоналды координаттар жүйесі бұл екі өлшемді проекциялау нәтижесінде пайда болады биполярлық координаттар жүйесі перпендикуляр ${ displaystyle z}$- бағыт. Екі жол ошақтар ${ displaystyle F_ {1}}$ және ${ displaystyle F_ {2}}$ жобаланған Аполлондық үйірмелер негізінен анықталады ${ displaystyle x = -a}$ және ${ displaystyle x = + a}$сәйкесінше, (және ${ displaystyle y = 0}$) ішінде Декарттық координаттар жүйесі.

«Биполярлық» термині екі ерекше нүктеге (фокусқа) ие басқа қисықтарды сипаттау үшін жиі қолданылады, мысалы эллипс, гиперболалар, және Кассини сопақшалары. Алайда, термин биполярлық координаттар сол қисықтармен байланысты координаттарды сипаттау үшін ешқашан пайдаланылмайды, мысалы. эллиптикалық координаттар.

Негізгі анықтама

Биполярлық цилиндрлік координаталардың ең кең таралған анықтамасы ${ displaystyle ( sigma, tau, z)}$ болып табылады

${ displaystyle x = a { frac { sinh tau} { cosh tau - cos sigma}}}$

${ displaystyle y = a { frac { sin sigma} { cosh tau - cos sigma}}}$

${ displaystyle z = z}$

қайда ${ displaystyle sigma}$ нүктенің координаты ${ displaystyle P}$бұрышқа тең ${ displaystyle F_ {1} PF_ {2}}$ және ${ displaystyle tau}$ координатасы тең табиғи логарифм арақашықтықтың арақатынасы ${ displaystyle d_ {1}}$ және ${ displaystyle d_ {2}}$ фокустық сызықтарға

${ displaystyle tau = ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}$

(Фокустық сызықтарды еске түсіріңіз ${ displaystyle F_ {1}}$ және ${ displaystyle F_ {2}}$ орналасқан ${ displaystyle x = -a}$ және ${ displaystyle x = + a}$сәйкесінше.)

Тұрақты беттер ${ displaystyle sigma}$ радиустары әртүрлі цилиндрлерге сәйкес келеді

${ displaystyle x ^ {2} + сол жақ (y-a cot sigma оң) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sin ^ {2} sigma}}}$

барлығы фокустық сызықтар арқылы өтетін және концентрлі емес. Тұрақты беттер ${ displaystyle tau}$ радиустары қиылыспайтын цилиндрлер болып табылады

${ displaystyle y ^ {2} + сол жақ (x-a coth tau right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}}}$

фокустық сызықтарды қоршап тұрған, бірақ қайтадан концентрлі емес. Фокустық сызықтар мен барлық осы цилиндрлер параллельге тең ${ displaystyle z}$-аксис (проекция бағыты). Ішінде ${ displaystyle z = 0}$ жазықтық, тұрақты центрлер${ displaystyle sigma}$ және тұрақты-${ displaystyle tau}$ цилиндрлер ${ displaystyle y}$ және ${ displaystyle x}$ сәйкесінше осьтер.

Масштаб факторлары

Биполярлық координаталардың масштабты факторлары ${ displaystyle sigma}$ және ${ displaystyle tau}$ тең

${ displaystyle h _ { sigma} = h _ { tau} = { frac {a} { cosh tau - cos sigma}}}$

ал қалған масштабты фактор ${ displaystyle h_ {z} = 1}$. Сонымен, шексіз көлемдік элемент тең болады

${ displaystyle dV = { frac {a ^ {2}} { сол жақ ( cosh tau - cos sigma right) ^ {2}}} d sigma d tau dz}$

ал лаплаций берілген

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} {a ^ {2}}} left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {2} left ({ frac { жарым-жартылай ^ {2} Phi} { жартылай sigma ^ {2}}} + { frac { жартылай ^ {2} Phi} { жартылай tau ^ {2}}} оң) + { frac { ішіндегі ^ {2} Phi} { жартылай z ^ {2}}}}$

Сияқты басқа дифференциалдық операторлар ${ displaystyle nabla cdot mathbf {F}}$ және ${ displaystyle nabla times mathbf {F}}$ координаталар арқылы көрсетілуі мүмкін ${ displaystyle ( sigma, tau)}$ масштабты факторларды табылған жалпы формулаларға ауыстыру арқылы ортогоналды координаталар.

Қолданбалар

Биполярлық координаталардың классикалық қосымшалары шешуде дербес дифференциалдық теңдеулер мысалы, Лаплас теңдеуі немесе Гельмгольц теңдеуі, ол үшін биполярлық координаттар а мүмкіндік береді айнымалыларды бөлу (2D форматында). Типтік мысал болады электр өрісі екі параллель цилиндрлік өткізгіштерді қоршап.

Библиография

• Маргенау Х, Мерфи Г.М. (1956). Физика және химия математикасы. Нью-Йорк: Д. ван Ностран. бет.187 –190. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Ғалымдар мен инженерлерге арналған математикалық анықтамалық. Нью-Йорк: МакГрав-Хилл. б. 182. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Мун П, Спенсер DE (1988). «Конустық координаталар (r, θ, λ)». Координаталық жүйелерді, дифференциалдық теңдеулерді және олардың шешімдерін қосқандағы өріс теориясының анықтамалығы (түзетілген 2-ші басылым, 3-ші басылым). Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. белгісіз. ISBN  978-0-387-18430-2.

Сыртқы сілтемелер

• Биполярлық цилиндрлік координаттардың MathWorld сипаттамасы