Талшықтар бойындағы интеграция - Integration along fibers - Wikipedia

Жылы дифференциалды геометрия, талшықтар бойындағы интеграция а к-форм өнімділік а ${ displaystyle (k-m)}$ -қай жерде екенін м «интеграция» арқылы талшықтың өлшемі болып табылады.

Анықтама

Келіңіздер ${ displaystyle pi: E to B}$ болуы а талшық байламы астам көпжақты ықшам талшықтармен. Егер ${ displaystyle alpha}$ Бұл к-қосу E, содан кейін жанама векторлар үшін w_менуақытта б, рұқсат етіңіз

{ displaystyle ( pi _ {*} alpha) _ {b} (w_ {1}, dots, w_ {k-m}) = int _ { pi ^ {- 1} (b)} beta}

қайда ${ displaystyle beta}$ бұл талшықтағы индукцияланған жоғарғы форма ${ displaystyle pi ^ {- 1} (b)}$ ; яғни ${ displaystyle m}$ -берген формасы: бірге ${ displaystyle { widetilde {w_ {i}}}}$ көтергіштер ${ displaystyle w_ {i}}$ дейін E,

{ displaystyle beta (v_ {1}, dots, v_ {m}) = alfa (v_ {1}, dots, v_ {m}, { widetilde {w_ {1}}}, dots, { widetilde {w_ {km}}}).}

(Көру ${ displaystyle b mapsto ( pi _ {*} alpha) _ {b}}$ тегіс, оны координаттар бойынша өңде; cf. төмендегі мысал.)

Содан кейін ${ displaystyle pi _ {*}}$ - бұл сызықтық карта ${ displaystyle Omega ^ {k} (E) to Omega ^ {k-m} (B)}$ . Стокс формуласы бойынша, егер талшықтардың шекаралары болмаса (яғни.). ${ displaystyle [d, int] = 0}$ ), карта төмендейді де Рам когомологиясы:

{ displaystyle pi _ {*}: operatorname {H} ^ {k} (E; mathbb {R}) to operatorname {H} ^ {k-m} (B; mathbb {R}).}

Мұны талшықты интеграция деп те атайды.

Енді, делік ${ displaystyle pi}$ Бұл шар байламы; яғни, әдеттегі талшық - сфера. Сонда бар нақты дәйектілік ${ displaystyle 0 to K to Omega ^ {*} (E) { overset { pi _ {*}} { to}} Omega ^ {*} (B) to 0}$ , Қ коэффициентті түсіріп, ұзақ дәл дәйектілікке әкелетін ядро ${ displaystyle mathbb {R}}$ және пайдалану ${ displaystyle operatorname {H} ^ {k} (B) simeq operatorname {H} ^ {k + m} (K)}$ :

{ displaystyle cdots rightarrow operatorname {H} ^ {k} (B) { overset { delta} { to}} operatorname {H} ^ {k + m + 1} (B) { overset { pi ^ {*}} { rightarrow}} оператор атауы {H} ^ {k + m + 1} (E) { overset { pi _ {*}} { rightarrow}} operatorname {H} ^ {k + 1} (B) rightarrow cdots}

,

деп аталады Гизин тізбегі.

Мысал

Келіңіздер ${ displaystyle pi: M times [0,1] to M}$ айқын проекция болу. Біріншіден ${ displaystyle M = mathbb {R} ^ {n}}$ координаттары бар ${ displaystyle x_ {j}}$ және а к-форм:

{ displaystyle alpha = f , dx_ {i_ {1}} wedge dots wedge dx_ {i_ {k}} + g , dt wedge dx_ {j_ {1}} wedge dots wedge dx_ {j_ {k-1}}.}

Содан кейін, әр нүктеде М,

{ Displaystyle pi _ {*} ( альфа) = pi _ {*} (g , dt wedge dx_ {j_ {1}} wedge dots wedge dx_ {j_ {k-1}}) = left ( int _ {0} ^ {1} g ( cdot, t) , dt right) , {dx_ {j_ {1}} wedge dots wedge dx_ {j_ {k-1 }}}.}

^[1]

Осы жергілікті есептеуден келесі формула оңай жүреді: егер ${ displaystyle alpha}$ кез келген к-қосу ${ displaystyle M times I,}$

{ displaystyle pi _ {*} (d альфа) = альфа _ {1} - альфа _ {0} -d pi _ {*} ( альфа)}

қайда ${ displaystyle alpha _ {i}}$ шектеу болып табылады ${ displaystyle alpha}$ дейін ${ displaystyle M times {i }}$ .

Осы формуланы қолдану ретінде, рұқсат етіңіз ${ displaystyle f: M times [0,1] to N}$ тегіс карта болыңыз (гомотоп ретінде қарастырыңыз). Содан кейін композиция ${ displaystyle h = pi _ {*} circ f ^ {*}}$ Бұл гомотопия операторы:

{ displaystyle d circ h + h circ d = f_ {1} ^ {*} - f_ {0} ^ {*}: Omega ^ {k} (N) to Omega ^ {k} (M ),}

бұл білдіреді ${ displaystyle f_ {1}, f_ {0}}$ сол картаны когомологияға итермелейді, бұл факт де Рам кохомологиясының гомотопиялық инварианты деп аталады. Қорытынды ретінде, мысалы, рұқсат етіңіз U ашық доп бол Rⁿ центрі шыққан және рұқсат етілген ${ displaystyle f_ {t}: U - U, x mapsto tx}$ . Содан кейін ${ displaystyle operatorname {H} ^ {k} (U; mathbb {R}) = operatorname {H} ^ {k} (pt; mathbb {R})}$ , деп аталатын факт Пуанкаре леммасы.

Проекция формуласы

Векторлық шоқ берілген π : E → B коллектордың үстінде біз дифференциалды форма дейміз α қосулы E егер шектеу болса, тік-ықшам тірегі бар ${ displaystyle alpha | _ { pi ^ {- 1} (b)}}$ әрқайсысы үшін ықшам қолдау бар б жылы B. Біз жазамыз ${ displaystyle Omega _ {vc} ^ {*} (E)}$ дифференциалды формалардың векторлық кеңістігі үшін E тік-ықшам тірекпен E болып табылады бағдарланған векторлық байлам ретінде, дәл бұрынғыдай, біз талшық бойымен интегралдауды анықтай аламыз:

{ displaystyle pi _ {*}: Omega _ {vc} ^ {*} (E) to Omega ^ {*} (B).}

Келесі проекция формуласы ретінде белгілі.^[2] Біз жасаймыз ${ displaystyle Omega _ {vc} ^ {*} (E)}$ құқық ${ displaystyle Omega ^ {*} (B)}$ -модульді орнату арқылы ${ displaystyle alpha cdot beta = alpha wedge pi ^ {*} beta}$ .

Ұсыныс — Келіңіздер ${ displaystyle pi: E to B}$ коллектордың үстінен бағытталған векторлық шоғыр болу және ${ displaystyle pi _ {*}}$ талшық бойындағы интеграция. Содан кейін

${ displaystyle pi _ {*}}$ болып табылады ${ displaystyle Omega ^ {*} (B)}$ -сызықтық; яғни кез-келген форма үшін β қосулы B және кез келген нысанда α қосулы E тік-ықшам тірекпен,
${ displaystyle pi _ {*} ( alpha wedge pi ^ {*} beta) = pi _ {*} alpha wedge beta.}$
Егер B коллектор ретінде бағытталған, содан кейін кез-келген формаға арналған α қосулы E тік ықшам тірекпен және кез-келген формада β қосулы B ықшам қолдауымен,
${ displaystyle int _ {E} alpha wedge pi ^ {*} beta = int _ {B} pi _ {*} alpha wedge beta}$ .

Дәлел: 1. Бекіту жергілікті болғандықтан, біз болжай аламыз π тривиальды: яғни, ${ displaystyle pi: E = B times mathbb {R} ^ {n} to B}$ проекция болып табылады. Келіңіздер ${ displaystyle t_ {j}}$ талшықтағы координаталар болуы керек. Егер ${ displaystyle alpha = g , dt_ {1} wedge cdots wedge dt_ {n} wedge pi ^ {*} eta}$ , содан кейін, бері ${ displaystyle pi ^ {*}}$ сақиналы гомоморфизм,

{ displaystyle pi _ {*} ( alpha wedge pi ^ {*} beta) = left ( int _ { mathbb {R} ^ {n}} g ( cdot, t_ {1} , dots, t_ {n}) dt_ {1} dots dt_ {n} right) eta wedge beta = pi _ {*} ( alpha) wedge beta.}

Сол сияқты, екі жағы да нөлге тең, егер α құрамында жоқ дт. 2. дәлелі ұқсас. ${ displaystyle square}$

Сондай-ақ қараңыз

Трансгрессия картасы

Ескертулер

^ Егер ${ displaystyle alpha = g , dt wedge dx_ {j_ {1}} wedge cdots wedge dx_ {j_ {k-1}}}$ , содан кейін, бір сәтте б туралы М, анықтау ${ displaystyle kısalt _ {x_ {j}}}$ олардың көтергіштерімен бізде:
${ displaystyle beta ( qismer _ {t}) = альфа ( жартылай _ {t}, жартылай _ {x_ {j_ {1}}}, нүктелер, жартылай _ {x_ {j_ {k-) 1}}}) = g (b, t)}$
солай
${ displaystyle pi _ {*} ( альфа) _ {b} ( жартылай _ {x_ {j_ {1}}}, нүктелер, жартылай _ {x_ {j_ {k-1}}}) = int _ {[0,1]} beta = int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt.}$
Демек, ${ displaystyle pi _ {*} ( альфа) _ {b} = сол жақ ( int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt right) dx_ {j_ {1}} wedge cdots wedge dx_ {j_ {k-1}}.}$ Сол есептеу бойынша, ${ displaystyle pi _ {*} ( альфа) = 0}$ егер дт ішінде көрінбейді α.
^ Bott − Tu 1982 ж, Ұсыныс 6.15.; ескеріңіз, олар мұндағыдан басқа анықтаманы қолданады, нәтижесінде белгі өзгереді.

Әдебиеттер тізімі

Мишель Аудин, Торпустың симплектикалық коллекторлардағы әрекеттері, Бирхаузер, 2004 ж
Ботт, Рауль; Ту, Лоринг (1982), Алгебралық топологиядағы дифференциалды формалар, Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 0-387-90613-4

[1] Егер ${ displaystyle alpha = g , dt wedge dx_ {j_ {1}} wedge cdots wedge dx_ {j_ {k-1}}}$ , содан кейін, бір сәтте б туралы М, анықтау ${ displaystyle kısalt _ {x_ {j}}}$ олардың көтергіштерімен бізде:
${ displaystyle beta ( qismer _ {t}) = альфа ( жартылай _ {t}, жартылай _ {x_ {j_ {1}}}, нүктелер, жартылай _ {x_ {j_ {k-) 1}}}) = g (b, t)}$
солай
${ displaystyle pi _ {*} ( альфа) _ {b} ( жартылай _ {x_ {j_ {1}}}, нүктелер, жартылай _ {x_ {j_ {k-1}}}) = int _ {[0,1]} beta = int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt.}$
Демек, ${ displaystyle pi _ {*} ( альфа) _ {b} = сол жақ ( int _ {0} ^ {1} g (b, t) , dt right) dx_ {j_ {1}} wedge cdots wedge dx_ {j_ {k-1}}.}$ Сол есептеу бойынша, ${ displaystyle pi _ {*} ( альфа) = 0}$ егер дт ішінде көрінбейді α.

[2] Bott − Tu 1982 ж, Ұсыныс 6.15.; ескеріңіз, олар мұндағыдан басқа анықтаманы қолданады, нәтижесінде белгі өзгереді.

[1]

[2]