Маурер-картандық форма - Maurer–Cartan form

Жылы математика, Маурер-картандық форма үшін Өтірік тобы G ерекшеленеді дифференциалды бір форма қосулы G құрылымы туралы негізгі шексіз ақпаратты алып жүретін G. Бұл оны көп қолданған Эли Картан оның негізгі ингредиенті ретінде кадрларды жылжыту әдісі, және оның есімімен бірге аталады Людвиг Маурер.

Маурер-картандық форма бір форма ретінде өзінің мәндерін қабылдайтындығымен ерекшеленеді Алгебра Өтірік тобымен байланысты G. Ли алгебрасы жанасу кеңістігі туралы G жеке тұлғаның белгісі бойынша ТeG. Маурер-картандық форма ω Осылайша, бүкіл әлемде анықталған бір форма болып табылады G тангенс кеңістігінің сызықтық картасы ТжG әрқайсысында жG ішіне ТeG. Ол ретінде беріледі алға векторының ТжG топтағы солға аударма бойынша:

Мотивация және интерпретация

Lie тобы картаға көбейту арқылы өздігінен әрекет етеді

Картан және оның замандастары үшін маңызды мәселе а негізгі біртекті кеңістік туралы G. Яғни, а көпжақты P топпен бірдей G, бірақ бірлік элементінің тұрақты таңдауынсыз. Бұл ынталандыру ішінара келді Феликс Клейн Келіңіздер Эрланген бағдарламасы қайда деген түсінікке қызығушылық танытты симметрия кеңістіктің симметриялары болған кеңістікте түрлендірулер Өтірік тобын құру. Қызығушылық геометриясы болды біртекті кеңістіктер G/H, бірақ әдетте шығу тегі бойынша сәйкес келетін шығу тегі жоқ косет eH.

-Ның негізгі біртекті кеңістігі G коллектор болып табылады P абстрактілі болуымен сипатталады еркін және өтпелі әрекет туралы G қосулы P. The Маурер-картандық форма[1] сәйкес келеді шексіз негізгі біртекті кеңістіктің сипаттамасы. Бұл анықталған бір пішінді P қанағаттандыратын интегралдау шарты Маурер-Картан теңдеуі деп аталады. Осы интегралдылық шартын қолдана отырып, анықтауға болады экспоненциалды карта Lie алгебрасының және осылайша жергілікті әрекетке топтық әрекетті алады P.

Құрылыс

Ішкі құрылыс

Келіңіздер ж . ТeG Lie тобының тангенс кеңістігі болыңыз G сәйкестілік бойынша (оның Алгебра ). G сол аударма арқылы өздігінен әрекет етеді

берілген үшін жG Бізде бар

және бұл. картасын жасайды тангенс байламы өзіне:Сол жақ өзгермейтін векторлық өріс бұл бөлім X туралы ТG осындай [2]

The Маурер-картандық форма ω Бұл ж-бір форма бойынша бағаланады G векторлар бойынша анықталған v . ТжG формула бойынша

Сыртқы құрылыс

Егер G ендірілген GL (n) матрица арқылы бағаланатын картаға түсіру арқылы ж =(жиж), содан кейін біреу жаза алады ω нақты ретінде

Бұл мағынада Маурер-Картан формасы әрдайым сол жақта болады логарифмдік туынды сәйкестендіру картасы G.

Байланыс ретінде сипаттама

Егер өтірік тобын қарастыратын болсақ G сияқты негізгі байлам бір нүктеден тұратын коллектордың үстінен Маурер-Картан формасын бірегей ретінде абстрактілі сипаттауға болады негізгі байланыс негізгі бумада G. Шынында да, бұл бірегей ж = TeG бағаланады 1-қосу G қанағаттанарлық

қайда Rсағ* болып табылады кері тарту топтағы оң аударма бойындағы формалар және Жарнама (сағ) болып табылады бірлескен әрекет Lie алгебрасында.

Қасиеттері

Егер X - солға өзгермейтін векторлық өріс G, содан кейін ω(X) тұрақты болып табылады G. Сонымен қатар, егер X және Y екеуі де сол жақта өзгермейді

сол жақтағы кронштейн сол жақта Векторлық өрістердің кронштейні, ал оң жақтағы кронштейн - Lie алгебрасындағы кронштейн ж. (Бұл кронштейннің анықтамасы ретінде қолданылуы мүмкін ж.) Бұл фактілер Ли алгебраларының изоморфизмін анықтау үшін пайдаланылуы мүмкін

Анықтамасы бойынша сыртқы туынды, егер X және Y бұл кезде ерікті векторлық өрістер

Мұнда ω(Y) болып табылады ж-бір форманың жұптасуынан қосарлану арқылы алынған функция ω өрісімен Y, және X(ω(Y)) болып табылады Өтірік туынды осы функцияның X. Сол сияқты Y(ω(X)) «Lie» туындысы Y туралы ж-қызметі ω(X).

Атап айтқанда, егер X және Y сол кезде инвариантты болып табылады

сондықтан

бірақ сол жақ өзгермейтін өрістер кез-келген нүктеде жанама кеңістікті қамтиды (in-тегі алға қарай алға жылжу) ТeG диффеоморфизм кезінде әлі де негіз болып табылады), сондықтан векторлық өрістердің кез-келген жұбы үшін теңдеу орындалады X және Y. Бұл белгілі Маурер - Картан теңдеуі. Ол көбінесе ретінде жазылады

Мұнда [ω, ω] дегенді білдіреді Lie алгебрасымен бағаланатын формалардың жақшасы.

Маурер-картандық жақтау

Maurer-Cartan формасын а-дан құрастырылған деп қарастыруға болады Маурер-картандық жақтау. Келіңіздер Eмен болуы а негіз бөлімдерінің ТG сол жақ өзгермейтін векторлық өрістерден тұрады, және θj болуы қосарланған негіз бөлімдерінің Т*G осындай θj(Eмен) = δменj, Kronecker атырауы. Содан кейін Eмен бұл Maurer-Cartan жақтауы және θмен Бұл Маурер-картандық кофрамма.

Бастап Eмен солға инвариантты, оған Маурер-Картан формасын қолдану жай мәнін қайтарады Eмен жеке басы бойынша. Осылайша ω(Eмен) = Eмен(e) ∈ ж. Сонымен, Маурер-Картан формасын жазуға болады

 

 

 

 

(1)

Векторлық өрістердің Lie жақшалары делік Eмен арқылы беріледі

Шамалар вижк болып табылады құрылымның тұрақтылары Ли алгебрасы (негізге қатысты) Eмен). Сыртқы туынды анықтамасын қолдана отырып қарапайым есептеу г., өнімділік

сондықтан екіұштылықпен

 

 

 

 

(2)

Бұл теңдеуді көбінесе Маурер - Картан теңдеуі. Мұны тек Маурер-Картан формасына қатысты алдыңғы анықтамамен байланыстыру ω, -ның сыртқы туындысын алыңыз (1):

Жақтау компоненттері берілген

ол Маурер-Картан теңдеуінің екі формасының эквиваленттілігін белгілейді.

Біртекті кеңістікте

Маурер-картан формалары Cartan-да маңызды рөл атқарады кадрларды жылжыту әдісі. Бұл тұрғыда Maurer-Cartan формасын а түрінде қарастыруға болады 1-форм тавтологиялық анықталған негізгі байлам байланысты біртекті кеңістік. Егер H Бұл жабық кіші топ туралы G, содан кейін G/H - бұл өлшемнің тегіс коллекторы күңгірт G - күңгірт H. Карталар картасы GG/H құрылымын индукциялайды H- негізгі бума аяқталды G/H. Lie тобындағы Маурер-Картан формасы G пәтер береді Картандық байланыс осы негізгі бума үшін. Атап айтқанда, егер H = {e}, онда бұл Cartan байланысы қарапайым болып табылады байланыс формасы және бізде бар

бұл қисықтықтың жойылу шарты.

Қозғалыстағы кадрлар әдісінде кейде таутологиялық байламның жергілікті бөлімі қарастырылады с : G/HG. (Егер жұмыс істейтін болса субманифольд біртекті кеңістіктің с тек субманифольдтің үстіндегі жергілікті бөлім болуы керек.) кері тарту қатарынан Маурер-Картан формасы с деградацияланбайтындығын анықтайды ж- бағаланады 1-форм θ = с*ω негіздің үстінен. Маурер-Картан теңдеуі мұны білдіреді

Сонымен қатар, егер сU және сV сәйкесінше ашық жиындар бойынша анықталған жергілікті секциялар жұбы U және V, содан кейін олар. элементімен байланысты H буманың әр талшығында:

Дифференциалды сағ қабаттасу аймағындағы екі бөлімге қатысты үйлесімділік шартын береді:

қайда ωH топтағы Маурер-Картан формасы H.

Бұзылмайтын жүйе ж- бағаланады 1-формалар θU коллектордағы ашық жиынтықтарда анықталған ММаурер-Картанның құрылымдық теңдеулерін қанағаттандыру және үйлесімділік шарттары әр түрлі болып келеді М біртекті кеңістіктің құрылымымен жергілікті G/H. Басқаша айтқанда, жергілікті а диффеоморфизм туралы М біртекті кеңістікке, θU Маурер-Картан формасының таутологиялық байламның кейбір бөлігі бойымен кері тартылуы. Бұл примитивтердің болуының салдары Darboux туындысы.

Ескертулер

  1. ^ Картан енгізген (1904).
  2. ^ Нәзіктік: векторын береді

Әдебиеттер тізімі

  • Картан, Эли (1904). «Sur la structure des groupes infinis de transformations» (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 21: 153–206.
  • Р.В.Шарп (1996). Дифференциалдық геометрия: Клейннің Эрланген бағдарламасын картаның жалпылауы. Спрингер-Верлаг, Берлин. ISBN  0-387-94732-9.
  • Шломо Штернберг (1964). «V тарау, өтірік топтары. 2 бөлім, инвариантты формалар және жалған алгебра.». Дифференциалды геометрия бойынша дәрістер. Prentice-Hall. LCCN  64-7993.