Тізбек (алгебралық топология) - Chain (algebraic topology)

Жылы алгебралық топология, а к-шынжырБұл формальды сызықтық комбинация туралы к- ұялы байланыс жасуша кешені. Жылы қарапайым кешендер (сәйкесінше, кубтық кешендер ), к- тізбектер - бұл комбинациялар к- қарапайым көшірмелер (сәйкесінше, к-кубтар).^[1][2][3] Тізбектер қолданылады гомология; гомологиялық топтың элементтері тізбектердің эквиваленттік кластары болып табылады.

Тізбектердегі интеграция

Интеграция тізбектердегі интегралдардың сызықтық комбинациясын коэффициенттері бар тізбектегі қарапайымдар арқылы анықтайды (олар әдетте бүтін сандар болып табылады). к-тізбектер топ құрайды және осы топтардың реттілігі а деп аталады тізбекті кешен.

Тізбектердегі шекаралық оператор

А шекарасы көп бұрышты қисық бұл оның түйіндерінің сызықтық комбинациясы; бұл жағдайда А-ның кейбір сызықтық комбинациясы₁ А арқылы₆. Сегменттердің барлығы солдан оңға бағытталған деп есептесек (А-дан бастап өсу ретімен)_к А-ға_к+1), шекарасы A₆ - A₁.

Жабық полигональды қисық, дәйекті бағдар қабылдай отырып, нөлдік шекараға ие.

Тізбектің шекарасы - бұл тізбектегі қарапайымдардың шекараларының сызықтық комбинациясы. А шекарасы к- тізбек - бұл (к−1) -тізбек. Симплекстің шекарасы симплекс емес, 1 немесе −1 коэффициенттері бар тізбек екенін ескеріңіз - осылайша тізбектер шекаралас оператордың астындағы қарапайымдардың жабылуы болып табылады.

1-мысал: А шекарасы жол оның соңғы нүктелерінің формальды айырмашылығы: бұл а телескоптық сома. Көрнекі түрде, егер 1 тізбек болса ${ displaystyle c = t_ {1} + t_ {2} + t_ {3} ,}$ нүктеден шыққан жол ${ displaystyle v_ {1} ,}$ көрсету ${ displaystyle v_ {4} ,}$, қайда ${ displaystyle t_ {1} = [v_ {1}, v_ {2}] ,}$,${ displaystyle t_ {2} = [v_ {2}, v_ {3}] ,}$ және${ displaystyle t_ {3} = [v_ {3}, v_ {4}] ,}$ оны құрайтын 1-қарапайым болып табылады

${ displaystyle { begin {aligned} kısalt _ {1} c & = жартылай _ {1} (t_ {1} + t_ {2} + t_ {3}) & = жарымжан _ {1} ( t_ {1}) + жартылай _ {1} (t_ {2}) + жартылай _ {1} (t_ {3}) & = жартылай _ {1} ([v_ {1}, v_ {) 2}]) + жартылай _ {1} ([v_ {2}, v_ {3}]) + жартылай _ {1} ([v_ {3}, v_ {4}]) & = ([ v_ {2}] - [v_ {1}]) + ([v_ {3}] - [v_ {2}]) + ([v_ {4}] - [v_ {3}]) & = [ v_ {4}] - [v_ {1}]. соңы {тураланған}}}$

2-мысал: Үшбұрыштың шекарасы дегеніміз - шекараны сағат тіліне қарсы өту үшін орналастырылған белгілері бар оның жиектерінің формальды қосындысы.

Тізбек а деп аталады цикл оның шекарасы нөлге тең болғанда. Басқа тізбектің шекарасы болатын тізбек а деп аталады шекара. Шекаралар циклдар, сондықтан тізбектер а құрайды тізбекті кешен, олардың гомологиялық топтары (циклдар модулінің шекаралары) қарапайым деп аталады гомология топтар.

3-мысал: 0-цикл - бұл барлық коэффициенттердің қосындысы 0 болатын нүктелердің сызықтық комбинациясы, осылайша 0-гомология тобы кеңістіктің жолмен байланысқан компоненттерінің санын өлшейді.

4 мысал: Бастапқыда тесілген жазықтықтың нитритсіз 1-гомологиялық тобы бар, өйткені бірлік шеңбер цикл, бірақ шекара емес.

Жылы дифференциалды геометрия, тізбектердегі шекаралық оператор арасындағы екілік және сыртқы туынды генералмен өрнектеледі Стокс теоремасы.

Әдебиеттер тізімі