Эквивариантты дифференциалды форма - Equivariant differential form

Дифференциалды геометрияда ан эквивариантты дифференциалды форма коллекторда М әрекет етті а Өтірік тобы G Бұл көпмүшелік карта

{ displaystyle alpha: { mathfrak {g}} to Omega ^ {*} (M)}

Ли алгебрасынан ${ displaystyle { mathfrak {g}} = operatorname {Lie} (G)}$ кеңістігіне дифференциалды формалар қосулы М эквивалентті; яғни,

{ displaystyle alpha ( operatorname {Ad} (g) X) = g alpha (X).}

Басқаша айтқанда, эквивариантты дифференциалды форма - инвариантты элементі

{ displaystyle mathbb {C} [{ mathfrak {g}}] otimes Omega ^ {*} (M) = operatorname {Sym} ({ mathfrak {g}} ^ {*}) otimes Омега ^ {*} (М).}

^[1]

Эквивариантты дифференциалды форма үшін ${ displaystyle alpha}$ , эквивалентті сыртқы туынды ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}} alpha}$ туралы ${ displaystyle alpha}$ арқылы анықталады

{ displaystyle (d _ { mathfrak {g}} альфа) (X) = d ( альфа (X)) - i_ {X ^ { #}} ( альфа (X))}

қайда г. - бұл әдеттегі сыртқы туынды және ${ displaystyle i_ {X ^ { #}}}$ болып табылады интерьер өнімі бойынша негізгі векторлық өріс жасаған X.Оны көру оңай ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}} circ d _ { mathfrak {g}} = 0}$ (жалған туындысын қолданыңыз ${ displaystyle alpha (X)}$ бойымен ${ displaystyle X ^ { #}}$ нөлге тең) және біреуін қояды

{ displaystyle H_ {G} ^ {*} (X) = оператордың аты {ker} d _ { mathfrak {g}} / operatorname {im} d _ { mathfrak {g}}}

,

деп аталады эквивариантты когомология туралы М (бұл шартты түрде анықталған қарапайым эквивариантты когомологиямен сәйкес келеді Борель құрылысы.) Анықтама Х.Картанға байланысты. Түсініктің келесіге қосымшасы бар эквивариантты теория теориясы.

${ displaystyle d _ { mathfrak {g}}}$ - жабық немесе ${ displaystyle d _ { mathfrak {g}}}$ -нақты формалар деп аталады теңдей жабық немесе бірдей дәл.

Эквивалентті түрде жабық түрдің интегралын оның шектеулерінен бастап белгіленген нүктеге дейін арқылы бағалауға болады оқшаулау формуласы.

Әдебиеттер тізімі

^ Дәлел: ${ displaystyle V = Omega ^ {*} (M)}$ , Бізде бар: ${ displaystyle operatorname {Mor} _ {G} ({ mathfrak {g}}, V) = operatorname {Mor} ({ mathfrak {g}}, V) ^ {G} = ( operatorname {Mor } ({ mathfrak {g}}, mathbb {C}) otimes V) ^ {G}.}$ Ескерту ${ displaystyle mathbb {C} [{ mathfrak {g}}]}$ -ның сызықтық функционалдарындағы көпмүшеліктер сақинасы ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ; қараңыз көпмүшелік функциялар сақинасы. Сондай-ақ қараңыз https://math.stackexchange.com/q/101453 М.Эмертонның түсініктемесі үшін.

Берлин, Николь; Гетцлер, Е .; Вергне, Мишель (2004), Жылу ядролары және операторлар, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг

Бұл байланысты дифференциалды геометрия мақала бұта. Сіз Уикипедияға көмектесе аласыз оны кеңейту.

[1] Дәлел: ${ displaystyle V = Omega ^ {*} (M)}$ , Бізде бар: ${ displaystyle operatorname {Mor} _ {G} ({ mathfrak {g}}, V) = operatorname {Mor} ({ mathfrak {g}}, V) ^ {G} = ( operatorname {Mor } ({ mathfrak {g}}, mathbb {C}) otimes V) ^ {G}.}$ Ескерту ${ displaystyle mathbb {C} [{ mathfrak {g}}]}$ -ның сызықтық функционалдарындағы көпмүшеліктер сақинасы ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ; қараңыз көпмүшелік функциялар сақинасы. Сондай-ақ қараңыз https://math.stackexchange.com/q/101453 М.Эмертонның түсініктемесі үшін.

[1]