Параллелепипед - Parallelepiped - Wikipedia

Параллелепипед

Түрі	Призма Плесиоэдр
Жүздер	6 параллелограммдар
Шеттер	12
Тік	8
Симметрия тобы	C_мен, [2⁺,2⁺], (×), тапсырыс 2
Қасиеттері	дөңес, зонэдр

Жылы геометрия, а параллелепипед, параллелопипед немесе параллелопедон - алтыдан құрылған үш өлшемді фигура параллелограммдар (термин ромбоидты кейде осы мағынада да қолданылады). Аналогия бойынша ол а-ға қатысты параллелограмм сияқты текше қатысты шаршы. Жылы Евклидтік геометрия, төрт ұғым -параллелепипед және текше үш өлшемде, параллелограмм және шаршы екі өлшемде - анықталған, бірақ жалпы сипатта аффиндік геометрия, онда бұрыштар сараланбайды, тек параллелограммдар және параллелепипедтер бар. Үш эквивалентті анықтамалар параллелепипед болып табылады

а полиэдр алты жүзімен (гексахедр ), олардың әрқайсысы параллелограмм,
параллель үш пар жұптары бар алтыбұрыш және
а призмасы оның негізі а параллелограмм.

Тік бұрышты кубоид (алты тікбұрышты жүздер), текше (алты шаршы және) ромбоведрон (алты ромб жүздер) - бұл параллелепипедтің нақты жағдайлары.

«Параллелепипед» қазір әдетте айтылады /ˌб.rəлɛлɪˈбɪбɛг./, /ˌб.rəлɛлɪˈбaɪбɛг./, немесе /-бɪг./; дәстүрлі түрде солай болды /ˌб.rəлɛлˈɛбɪбɛг./ PARR-ә-лел-EP-i-пед^[1] оның этимологиясына сәйкес Грек παραλληλ-επίπεδον, «параллель жазықтықтарға ие» дене.

Параллелепипедтер призматоидтар.

Қасиеттері

Параллель беттердің үш жұбының кез-келгенін призманың негізгі жазықтықтары ретінде қарастыруға болады. Параллелепипедтің төрт параллель шетінен тұратын үш жиынтығы бар; әрбір жиынтықтың шеттері бірдей ұзындықта болады.

Параллелепипедтер нәтижесі сызықтық түрлендірулер а текше (деградациялық емес жағдайлар үшін: биективті сызықтық түрлендірулер).

Әрбір тұлғада бар нүктелік симметрия, параллелепипед - бұл зонэдр. Сонымен қатар бүкіл параллелепипед нүктелік симметрияға ие C_мен (тағы қараңыз) триклиникалық ). Әрбір бет сыртқы жағынан көрінеді, қарама-қарсы тұлғаның айнадағы бейнесі. Бет-әлпеттері жалпы хирал, бірақ параллелепипед жоқ.

A кеңістікті толтыратын тесселляция мүмкін үйлесімді кез келген параллелепипедтің көшірмелері.

Көлемі

Параллелепипед, үш вектормен құрылған

Параллелепипедті ан деп санауға болады қиғаш призма а параллелограмм негіз ретінде. Демек, дыбыс деңгейі ${ displaystyle V}$ параллелепипедтің негізінің көбейтіндісі ${ displaystyle B}$ және биіктігі ${ displaystyle h}$ (сызбаны қараңыз). Бірге

{ displaystyle B = | { vec {a}} | cdot | { vec {b}} | cdot sin gamma = | { vec {a}} times { vec {b}} | ~}

(қайда

{ displaystyle gamma}

- векторлар арасындағы бұрыш

{ displaystyle { vec {a}}}

және

{ displaystyle { vec {b}}}

), және

{ displaystyle h = | { vec {c}} | cdot | cos theta ~ | ~}

(қайда

{ displaystyle theta}

- вектор арасындағы бұрыш

{ displaystyle { vec {c}}}

және қалыпты базаға), келесі:

{ displaystyle V = B cdot h = (| { vec {a}} || { vec {b}} | sin gamma) cdot | { vec {c}} || cos theta ~ | = | { vec {a}} times { vec {b}} | ~ | { vec {c}} | ~ | cos theta ~ | = | ({ vec {a}} ) рет { vec {b}}) cdot { vec {c}} | ~.}

Үш вектордың аралас көбейтіндісі деп аталады үш еселенген өнім. Оны a сипаттауы мүмкін анықтауыш. Сондықтан ${ displaystyle { vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) ^ {T}, ~ { vec {b}} = (b_ {1}, b_ {2 }, b_ {3}) ^ {T}, ~ { vec {c}} = (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}) ^ {T},}$ көлемі:

(V1)

{ displaystyle quad V = left | det { begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} end {bmatrix}} ; right |}

.

Көлемнің альтернативті көрінісі геометриялық қасиеттерді (бұрыштар мен жиектердің ұзындығын) ғана қолданады:

(V2)

{ displaystyle quad V = abc { sqrt {1 + 2 cos ( альфа) cos ( бета) cos ( гамма) - cos ^ {2} ( альфа) - cos ^ {2 } ( бета) - cos ^ {2} ( гамма)}}}

,

қайда ${ displaystyle alpha = angle ({ vec {b}}, { vec {c}}), ; beta = angle ({ vec {a}}, { vec {c}} ), ; гамма = бұрыш ({ vec {a}}, { vec {b}}), }$ және ${ displaystyle a, b, c}$ шеткі ұзындықтар.

(V2) дәлелі

Дәлелі (V2) қолданады детерминанттың қасиеттері және нүктелік көбейтіндіге геометриялық түсінік беру:

Болсын ${ displaystyle M}$ 3x3-матрица, оның бағандары векторлар болып табылады ${ displaystyle { vec {a}}, { vec {b}}, { vec {c}}}$ (жоғарыдан қараңыз). Сонда мыналар дұрыс:

{ displaystyle V ^ {2} = ( det M) ^ {2} = det M det M = det M ^ {T} det M = det (M ^ {T} M)}

{ displaystyle = det { begin {bmatrix} { vec {a}} cdot { vec {a}} & { vec {a}} cdot { vec {b}} & { vec { a}} cdot { vec {c}} { vec {b}} cdot { vec {a}} & { vec {b}} cdot { vec {b}} & { vec {b}} cdot { vec {c}} { vec {c}} cdot { vec {a}} & { vec {c}} cdot { vec {b}} & { vec {c}} cdot { vec {c}} end {bmatrix}}}

(жоғарыдағы детерминантты бірінші қатарға кеңейту)

{ displaystyle = a ^ {2} left (b ^ {2} c ^ {2} -b ^ {2} c ^ {2} cos ( alpha) right)}

{ displaystyle -ab cos ( гамма) сол (ab cos ( гамма) c ^ {2} -ac cos ( бета) ; bc cos ( альфа) оң)}

{ displaystyle + ac cos ( beta) left (ab cos ( гамма) bc cos ( alpha) -ac cos ( beta) b ^ {2} right)}

{ displaystyle = a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} -а ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ( alpha)}

{ displaystyle -a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ^ {2} ( гамма) + a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ( альфа ) cos ( бета) cos ( гамма)}

{ displaystyle + a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ( альфа) cos ( бета) cos ( гамма) -а ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} cos ( бета)}

{ displaystyle = a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} сол жақ (1- cos ^ {2} ( альфа) - cos ^ {2} ( гамма) + cos ( альфа) cos ( бета) cos ( гамма) + cos ( альфа) cos ( бета) cos ( гамма) + cos ^ {2} ( бета) оң)}

{ displaystyle = a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} ; сол жақ (1 + 2 cos ( альфа) cos ( бета) cos ( гамма) - cos ^ {2} ( альфа) - cos ^ {2} ( бета) - cos ^ {2} ( гамма) оң).}

(Соңғы қадамдар қолданылады ${ displaystyle { vec {a}} cdot { vec {a}} = a ^ {2}, ..., ; { vec {a}} cdot { vec {b}} = ab cos гамма, ; { vec {a}} cdot { vec {c}} = ac cos beta, ; { vec {b}} cdot { vec {c}} = bc cos альфа, ...}$ )


Сәйкес тетраэдр

Кез келгенінің көлемі тетраэдр параллелепипедтің үш шоғырланған жиектерін бөлетін болса, осы параллелепипедтің көлемінің алтыдан біріне тең болады (қараңыз) дәлел ).

Жер бетінің ауданы

Параллелепипедтің беткі ауданы - шектелетін параллелограммдардың аудандарының қосындысы:

{ displaystyle A = 2 cdot left (| { vec {a}} times { vec {b}} | + | { vec {a}} times { vec {c}} | + | { vec {b}} times { vec {c}} | right)}

{ displaystyle = 2 (ab sin gamma + bc sin alpha + ca sin beta) }

.

(Таңбалау үшін: алдыңғы бөлімді қараңыз.)

Симметрия бойынша ерекше жағдайлар

Октаэдрлік симметрияның кіші тобы қатынастар инверсия орталығы	Параллелепипедтің ерекше жағдайлары

Форма	Текше	Шаршы кубоид	Тригональды трапеция	Тік бұрышты кубоид	Оң жақ ромбикалық призма	Оң параллелограммалық призма	Қиғаш ромбты призма
Шектеулер	${ displaystyle a = b = c}$ ${ displaystyle alpha = beta = gamma = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle a = b}$ ${ displaystyle alpha = beta = gamma = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle a = b = c}$ ${ displaystyle alpha = beta = gamma}$	${ displaystyle alpha = beta = gamma = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle a = b}$ ${ displaystyle alpha = beta = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle alpha = beta = 90 ^ { circ}}$	${ displaystyle a = b}$ ${ displaystyle alpha = beta}$
Симметрия	O_сағ тапсырыс 48	Д._{4 сағ} тапсырыс 16	Д._3d тапсырыс 12	Д._2с тапсырыс 8		C_2с тапсырыс 4
Кескін
Жүздер	6 квадрат	2 квадрат, 4 тіктөртбұрыш	6 ромби	6 тіктөртбұрыш	4 тіктөртбұрыш, 2 ромби	4 тіктөртбұрыш, 2 параллелограмм	2 ромби, 4 параллелограмм

О-мен параллелепипед_сағ симметрия а деп аталады текше, оның алты үйлесімді квадрат беті бар.
D бар параллелепипед_{4 сағ} симметрия а деп аталады шаршы кубоид, оның екі квадрат беті және төрт үйлесімді тікбұрышты беті бар.
D бар параллелепипед_3d симметрия а деп аталады тригональды трапецияалты сәйкестік бар ромбикалық беттер (сонымен бірге изоэдрлік ромбоведр).
D бар параллелепипедтер үшін_2с симметрия, екі жағдай бар:
- Тік бұрышты кубоид: оның алты тік бұрышты беті бар (оларды а деп те атайды тік бұрышты параллелепипед, немесе кейде жай кубоид).
- Оң жақ ромбикалық призма: оның екі ромбты беті және төрт сәйкес келетін тік бұрышты беті бар.

Ескерту: екі ромбты тұлға және төрт квадраттық төртбұрышты бетпен, толық ромбикалық ерекше корпус

{ displaystyle (a = b = c)}

, аттас және бірдей симметрия тобы бар (Д._2с , тапсырыс 8).

С-мен параллелепипедтер үшін_2с симметрия, екі жағдай бар:
- Оң параллелограммалық призма: оның төрт тік бұрышты беті және екі параллелограммалық беті бар.
- Қиғаш ромбты призма: оның екі ромбты беті бар, ал қалған беттерінде екі көрші тең, ал қалған екеуі де тең (екі жұп бір-бірінің айна бейнесі).

Мінсіз параллелепипед

A тамаша параллелепипед - бүтін ұзындықтағы шеттері, беткейлері диагональдары бар параллелепипед кеңістік диагональдары. 2009 жылы ондаған мінсіз параллелепипедтердің бар екендігі көрсетілді,^[2] деген ашық сұраққа жауап беру Ричард Гай. Бір мысалда 271, 106 және 103 шеттері, кіші бет диагоналдары 101, 266 және 255, үлкен бет диагоналдары 183, 312 және 323 және кеңістік диагоналдары 374, 300, 278 және 272.

Екі тік бұрышты беткейлері бар кейбір тамаша параллелопедтер белгілі. Бірақ барлық жүздері тікбұрышты болатыны белгісіз; мұндай жағдайды мінсіз деп атауға болады кубоид.

Параллелопоп

Коксетер параллелепипедтің жоғары өлшемдердегі а параллелопат.

Дәлірек айтқанда n-өлшемдік кеңістік деп аталады n-өлшемді параллелопоп, немесе жай n-параллелопоп. Осылайша а параллелограмм - 2-параллелопоп, ал параллелепипед - 3-параллелопоп.

Жалпы параллелотоп,^[3] немесе параллелопопон, параллель және үйлесімді қарама-қарсы жақтары бар. Демек, 2 параллелопоп - а параллелогон ол белгілі алтыбұрыштарды да қамтуы мүмкін, ал 3 параллелопоп - а параллеледр, оның ішінде полиэдраның 5 түрі.

The диагональдар туралы n-параллелопоп бір нүктеде қиылысады және осы нүктемен екіге бөлінеді. Инверсия осы сәтте n-параллелопоп өзгермеген. Сондай-ақ қараңыз Евклид кеңістігіндегі изометрия топтарының бекітілген нүктелері.

А шыңынан сәулеленетін шеттер к- параллелотоп а к-кадр ${ displaystyle (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$ векторлық кеңістіктің, ал параллелотопты векторлардың салмақтары 0-ден 1-ге дейінгі сызықтық комбинацияларын алу арқылы қалпына келтіруге болады.

The n- көлем n-параллелопоп енгізілген ${ displaystyle mathbb {R} ^ {m}}$ қайда ${ displaystyle m geq n}$ көмегімен есептеуге болады Грам анықтаушы. Сонымен қатар, дыбыс деңгейі - нормасы сыртқы өнім векторлардың:

{ displaystyle V = left | v_ {1} wedge cdots wedge v_ {n} right |.}

Егер м = n, бұл детерминанттың абсолюттік мәніне тең n векторлар.

Ан көлемін есептеудің тағы бір формуласы n-параллелопоп P жылы ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , кімнің n + 1 шыңдар болып табылады ${ displaystyle V_ {0}, V_ {1}, ldots, V_ {n}}$ , болып табылады

{ displaystyle { rm {Vol}} (P) = | { rm {det}} ([V_ {0} 1] ^ { rm {T}}, [V_ {1} 1] ^ { rm {T}}, ldots, [V_ {n} 1] ^ { rm {T}}) |,}

қайда ${ displaystyle [V_ {i} 1]}$ қатарының векторы болып табылады ${ displaystyle V_ {i}}$ және 1. Шынында да, анықтауыш өзгермейді, егер ${ displaystyle [V_ {0} 1]}$ алынып тасталады ${ displaystyle [V_ {i} 1]}$ (мен > 0) және орналастыру ${ displaystyle [V_ {0} 1]}$ соңғы позицияда тек өзінің белгісін өзгертеді.

Сол сияқты кез-келген көлем n-қарапайым бұл бөліседі n параллелопоттың жиектерінің көлемі 1-ге тең /n! сол параллелопаттың көлемінің

Лексикография

Бұл сөз келесідей болады параллелепипедон жылы Сэр Генри Биллингслидікі аудармасы Евклидтің элементтері, 1570 ж. 1644 жылғы басылымда оның Курс математикасы, Пьер Эригоне емлесін қолданды параллелепипед. The Оксфорд ағылшын сөздігі қазіргі заманға сілтеме жасайды параллелепипед бірінші пайда болған сияқты Уолтер Шарлтондікі Хорея гигантумы (1663).

Чарльз Хаттондікі Сөздік (1795) көрсетеді параллелопипед және параллелопедон, біріктіруші форманың әсерін көрсете отырып параллель-, екінші элемент болған сияқты пипедон гөрі эпипедон. Ноа Вебстер (1806) емле кіреді параллелопипед. 1989 жылғы басылым Оксфорд ағылшын сөздігі сипаттайды параллелопипед (және параллелепипед) қате формалар ретінде айқын, бірақ олар 2004 жылғы басылымда түсініктемелерсіз келтірілген және тек бесінші буынға екпінмен айтылатын сөздер pi (/ paɪ /) берілген.

Дәстүрлі айтылымнан алшақтау грек түбірлері ұсынған әр түрлі бөлімді жасырды epi- («қосулы») және педон («жер») беру үшін біріктіру эпипед, жалпақ «ұшақ». Осылайша параллелепипедтің беттері жазық, қарама-қарсы беттері параллель болады.

Сондай-ақ қараңыз

Пішіндердің тізімдері

Ескертулер

^ Оксфорд ағылшын сөздігі 1904; Вебстердің екінші халықаралық 1947
^ Сойер, Хорхе Ф .; Рейтер, Клиффорд А. (2011). «Мінсіз параллелепипедтер бар». Есептеу математикасы. 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220. дои:10.1090 / s0025-5718-2010-02400-7..
^ Параллелоптардың қасиеттері Вороной болжамына баламалы

Әдебиеттер тізімі

Коксетер, H. S. M. Тұрақты политоптар, 3-ші басылым. Нью-Йорк: Довер, б. 122, 1973. (Ол анықтайды параллелопат n өлшемдеріндегі параллелограмм мен параллелепипедті жалпылау ретінде.)

Сыртқы сілтемелер

[1] Оксфорд ағылшын сөздігі 1904; Вебстердің екінші халықаралық 1947

[2] Сойер, Хорхе Ф .; Рейтер, Клиффорд А. (2011). «Мінсіз параллелепипедтер бар». Есептеу математикасы. 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220. дои:10.1090 / s0025-5718-2010-02400-7..

[3] Параллелоптардың қасиеттері Вороной болжамына баламалы

[1]

[2]

[3]