Дифференциалданатын қисық - Differentiable curve

Қисықтардың дифференциалды геометриясы филиалы болып табылады геометрия бұл тегіс мәселелермен айналысады қисықтар ішінде ұшақ және Евклид кеңістігі әдістері бойынша дифференциалды және интегралды есептеу.

Көптеген нақты қисықтар көмегімен мұқият зерттелген синтетикалық тәсіл. Дифференциалды геометрия басқа жолды алады: қисықтар а түрінде бейнеленген параметрленген форма, және олардың геометриялық қасиеттері және олармен байланысты әр түрлі шамалар, мысалы қисықтық және доғаның ұзындығы, арқылы көрсетіледі туындылар және интегралдар қолдану векторлық есептеу. Қисық сызықты талдау үшін қолданылатын маңызды құралдардың бірі Фрэнет жақтауы, сол нүктенің жанындағы қисыққа «жақсы бейімделген» қисықтың әр нүктесінде координаттар жүйесін қамтамасыз ететін қозғалмалы кадр.

Қисықтар теориясы ауқымына қарағанда әлдеқайда қарапайым және тар беттер теориясы және оның жоғары өлшемді жалпыламалары, өйткені эвклид кеңістігіндегі тұрақты қисық сызықта ішкі геометрия болмайды. Кез-келген тұрақты қисықты доғаның ұзындығымен параметрлеуге болады ( табиғи параметрлеу). Тұрғысынан а теориялық нүкте қоршаған кеңістік туралы ештеңе білмейтін қисықта барлық қисықтар бірдей болып шығады. Әр түрлі кеңістік қисықтары олардың иілуімен және бұралуымен ғана ерекшеленеді. Сандық жағынан бұл дифференциалды-геометриялық инварианттармен өлшенеді қисықтық және бұралу қисық. The қисықтардың негізгі теоремасы осы инварианттар туралы білім қисықты толығымен анықтайды деп бекітеді.

Анықтамалар

A параметрлік Cр-қисық немесе а Cр-параметрлеу Бұл векторлық функция

Бұл р-тайм үздіксіз дифференциалданатын (яғни, компоненттерінің функциялары γ үздіксіз сараланатын), мұндағы n, р ∈ ℕ ∪ {∞}, және Мен бос емес болу аралық нақты сандар. The сурет параметрлік қисықтың γ[Мен] ⊆ n. Параметрлік қисық γ және оның бейнесі γ[Мен] ерекшеленуі керек, өйткені берілген жиынтығы n бірнеше айқын параметрлік қисықтардың кескіні болуы мүмкін. Параметр т жылы γ(т) уақытты бейнелейтін деп ойлауға болады, және γ The траектория кеңістіктегі қозғалатын нүктенің Қашан Мен жабық интервал [а,б], γ(а) бастапқы нүкте деп аталады және γ(б) соңғы нүктесі болып табылады γ. Егер бастапқы және соңғы нүктелер сәйкес келсе (яғни, γ(а) = γ(б)), содан кейін γ Бұл жабық қисық немесе а цикл. Болу үшін Cр- цикл, функция γ болуы тиіс р- уақыт үздіксіз ерекшеленеді және қанағаттандырылады γ(к)(а) = γ(к)(б) үшін 0 ≤ кр.

Параметрлік қисық қарапайым егер

болып табылады инъекциялық. Бұл аналитикалық егер әрбір компоненттің функциясы γ болып табылады аналитикалық функция, яғни бұл класс Cω.

Қисық γ болып табылады тұрақты тапсырыс м (қайда мр) егер, әрқайсысы үшін тМен,

Бұл сызықтық тәуелсіз ішкі жиыны n. Атап айтқанда, параметрлік C1- қисық γ болып табылады тұрақты егер және егер болса γ′(т) ≠ 0 кез келген үшін тМен.

Қайта параметрлеу және эквиваленттік қатынас

Параметрлік қисықтың кескінін ескере отырып, параметрлік қисықтың бірнеше әртүрлі параметрлері бар. Дифференциалдық геометрия белгілі бір репарметризация кезінде инвариантты болатын параметрлік қисықтардың қасиеттерін сипаттауға бағытталған. Қолайлы эквиваленттік қатынас барлық параметрлік қисықтардың жиынтығында анықталуы керек. Параметрлік қисықтың дифференциалды-геометриялық қасиеттері (мысалы, оның ұзындығы, оның Фрэнет жақтауы, және оның жалпыланған қисықтығы) репараметризация кезінде инвариантты, сондықтан эквиваленттілік класы өзі. Эквиваленттік кластар деп аталады Cр- қисықтар және қисықтардың дифференциалды геометриясында зерттелетін орталық объектілер.

Екі параметрлік Cр- қисықтар, γ1 : Мен1n және γ2 : Мен2n, деп айтылады балама егер бар болса ғана биективті Cр-қарта φ : Мен1Мен2 осындай

және

γ2 содан кейін а қайта параметрлеу туралы γ1.

Қайта параметрлеу барлық параметрліктердің жиынтығындағы эквиваленттік қатынасты анықтайды Cр- сынып қисықтары Cр. Бұл қатынастың эквиваленттік класы жай а Cр- қисық.

Жұп жіңішке бағдарланған параметрліктің эквиваленттік қатынасы Cр-қисықтарды талап ету арқылы анықтауға болады φ қанағаттандыру φ′(т) > 0.

Эквивалентті параметрлік Cр-қисықтардың бейнесі бірдей, эквивалентті-параметрлі Cр-қисықтар кескінді бір бағытта жүріп өтеді.

Ұзындығы және табиғи параметризациясы

Ұзындығы л параметрлік C1- қисық γ : [а,б] → n ретінде анықталады

Параметрлік қисықтың ұзындығы репарметризация кезінде инвариантты, сондықтан параметрлік қисықтың дифференциалды-геометриялық қасиеті болып табылады.

Әрбір тұрақты параметр үшін Cр- қисық γ : [а,б] → n, қайда р ≥ 1, функциясы анықталған

Жазу γ(с) = γ(т(с)), қайда т(с) дегеннің кері функциясы болып табылады с(т). Бұл қайта параметрлеу γ туралы γ деп аталады доға ұзындығын параметрлеу, табиғи параметрлеу, бірлік жылдамдықты параметрлеу. Параметр с(т) деп аталады табиғи параметр туралы γ.

Бұл параметризация табиғи параметр болғандықтан қолайлы с(т) кескінін кесіп өтеді γ жылдамдықпен, сондықтан

Тәжірибеде көбінесе параметрлік қисықтың табиғи параметрленуін есептеу өте қиын, бірақ теориялық дәлелдер үшін пайдалы.

Берілген параметрлік қисық үшін γ, табиғи ығысу параметрдің ауысуына дейін ерекше.

Саны

кейде деп аталады энергия немесе әрекет қисықтың; бұл атау орынды, өйткені геодезиялық теңдеулер Эйлер-Лагранж теңдеулері осы әрекеттің қозғалысы.

Фрэнет жақтауы

Кеңістік қисығындағы нүктеге арналған Френет жақтауының иллюстрациясы. Т тангенс болып табылады, P құрылғы қалыпты, және B қалыпты емес құрылғы.

Frenet жақтауы - бұл жылжымалы санақ жүйесі туралы n ортонормальды векторлар eмен(т) олар әр нүктеде жергілікті қисықты сипаттау үшін қолданылады γ(т). Бұл қисықтарды дифференциалды геометриялық өңдеудің негізгі құралы, өйткені жергілікті қасиеттерді (мысалы, қисықтық, бұралу) сипаттау евклидтік координаттар сияқты ғаламдықты қолданғаннан гөрі жергілікті сілтеме жүйесі тұрғысынан сипаттау әлдеқайда оңай және табиғи.

Берілген Cn + 1- қисық γ жылы n бұл тұрақты тәртіп n қисыққа арналған Френет жақтауы - ортонормальды векторлар жиыны

деп аталады Френет векторлары. Олар туындылардан жасалған γ(т) пайдаланып Грам-Шмидт ортогоналдау алгоритмі бірге

Нақты бағаланатын функциялар χмен(т) жалпыланған қисықтық деп аталады және анықталады

Френет жақтауы және жалпыланған қисықтықтар репараметризация кезінде инвариантты, сондықтан қисықтың дифференциалды геометриялық қасиеттері болып табылады.

Бертран қисығы

Бертран қисығы - бұл Френеттің қисығы 3 екінші қисық бар қосымша қасиетімен 3 сияқты негізгі қалыпты векторлар осы екі қисық әр сәйкес нүктеде бірдей болады. Басқаша айтқанда, егер р1(т) және р2(т) екі қисық 3 кез келген үшін т, N1 = N2, содан кейін р1 және р2 Бертранның қисықтары. Осы себепті Бертранның қисық жұбы туралы айту әдеттегідей (мысалы р1 және р2 алдыңғы мысалда). Кюхнельдің «Дифференциалдық геометрия қисықтары - беттер - көпфункциялардағы» 25-мәселеге сәйкес, бірдей екі өлшемді жазықтықта жатпайтын екі Бертран қисығы сызықтық қатынастың болуымен сипатталатыны да ақиқат + = 1 қайда а және б нақты тұрақтылар болып табылады а ≠ 0.[1] Сонымен бірге бұралу қисықтардың жұптары тұрақты.[2]

Арнайы Френет векторлары және жалпыланған қисықтықтар

Алғашқы үш Френет векторы және жалпыланған қисықтық үш өлшемді кеңістікте көрінуі мүмкін. Оларда қосымша атаулар және оларға қосымша мағыналық ақпарат берілген.

Тангенс векторы

Егер қисық болса γ бөлшектің, содан кейін лездік жолын білдіреді жылдамдық берілген нүктеде бөлшектің P арқылы өрнектеледі вектор, қисыққа жанама вектор деп аталады P. Параметрленген берілген математикалық C1 қисық γ = γ(т), әрбір мән үшін т = т0 параметр, вектор

нүктесінде жанама вектор болып табылады P = γ(т0). Жалпы алғанда, жанама вектор болуы мүмкін нөл. Тангенс векторының шамасы

бұл жылдамдық т0.

Бірінші Френет векторы e1(т) - әрбір тұрақты нүктесінде анықталған, сол бағыттағы бірлік жанама вектор γ:

Егер т = с - бұл табиғи параметр, сонда тангенс векторының бірлік ұзындығы болады. Формула жеңілдетеді:

.

Бірлік жанасу векторы параметрдің өсу мәндеріне сәйкес келетін қисықтың бағытын немесе алға бағытталған бағытын анықтайды. Қисық ретінде алынған бірлік жанасу векторы сфералық кескін бастапқы қисықтың.

Қалыпты немесе қисықтық векторы

Кейде қисықтық векторы деп аталатын қалыпты вектор қисықтың түзу сызықтан ауытқуын көрсетеді.

Ол ретінде анықталады

Оның қалыпқа келтірілген формасы, бірлік қалыпты вектор - екінші Френет векторы e2(т) және ретінде анықталады

Тангенс және нүктедегі қалыпты вектор т анықтау тербелетін жазықтық нүктесінде т.

Мұны көрсетуге болады ē2(т) ∝ e1(т). Сондықтан,

Қисықтық

Бірінші жалпыланған қисықтық χ1(т) қисықтық деп аталады және ауытқуды өлшейді γ тербелетін жазықтыққа қатысты түзу сызықтан. Ол ретінде анықталады

және деп аталады қисықтық туралы γ нүктесінде т. Мұны көрсетуге болады

The өзара қисықтық

деп аталады қисықтық радиусы.

Радиусы бар шеңбер р тұрақты қисықтыққа ие

ал түзудің қисықтығы 0-ге тең.

Бинормальды вектор

Бірлік қалыпты вектор - үшінші Френет векторы e3(т). Ол әрқашан жанама және векторлық бірлік векторларына ортогональ болады т. Ол ретінде анықталады

3 өлшемді кеңістіктегі теңдеу жеңілдейді

немесе

Бұл екі белгі де болуы мүмкін, оң жақ спираль мен сол жақ спираль мысалдарында көрсетілген.

Бұралу

Екінші жалпыланған қисықтық χ2(т) аталады бұралу және ауытқуын өлшейді γ жазықтық қисығы болудан. Басқаша айтқанда, егер бұралу нөлге тең болса, онда қисық толығымен бірдей тербелетін жазықтықта орналасады (әр нүктеге бір ғана осцуляциялық жазықтық бар т). Ол ретінде анықталады

және деп аталады бұралу туралы γ нүктесінде т.

Қисық теориясының негізгі теоремасы

Берілген n − 1 функциялар:

онда бірегей болады (түрлендірулерге дейін Евклид тобы ) Cn + 1- қисық γ бұл тұрақты тәртіп n және келесі қасиеттерге ие:

қайда жиынтық

қисыққа арналған Френет жақтауы.

Қосымша бастауды қамтамасыз ету арқылы т0 жылы Мен, бастапқы нүкте б0 жылы n және алғашқы оң ортонормальды Frenet жақтауы {e1, …, en − 1} бірге

Евклидтік түрлендірулер бірегей қисық алу үшін жойылады γ.

Frenet – Serret формулалары

Frenet-Serret формулалары жиынтығы болып табылады қарапайым дифференциалдық теңдеулер бірінші ретті. Шешім - жалпыланған қисықтық функцияларымен көрсетілген қисықты сипаттайтын Френет векторларының жиынтығы χмен.

2 өлшем

3 өлшем

n өлшемдер (жалпы формула)

Сондай-ақ қараңыз

Пайдаланылған әдебиеттер

  1. ^ Кюль, Вольфганг (2005). Дифференциалдық геометрия: қисықтар, беттер, көп қатпарлы. Дәлелдеме: AMS. б. 53. ISBN  0-8218-3988-8.
  2. ^ http://mathworld.wolfram.com/BertrandCurves.html

Әрі қарай оқу

  • Крейциг, Эрвин (1991). Дифференциалдық геометрия. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-66721-9. II тарау - классикалық емдеу әдісі Қисықтар теориясы 3 өлшемді.