Географиялық қашықтық - Geographical distance

Географиялық қашықтық болып табылады қашықтық беті бойымен өлшенген жер. Осы мақаладағы формулалар географиялық координаттармен анықталатын нүктелер арасындағы қашықтықты есептейді ендік және бойлық. Бұл қашықтық - шешудің элементі екінші (кері) геодезиялық мәселе.

Кіріспе

Географиялық координаттар арасындағы қашықтықты есептеу абстракцияның қандай да бір деңгейіне негізделген; ол қамтамасыз етпейді дәл қашықтық, егер бұл жер бетіндегі барлық заңсыздықтарды есепке алуға тырысса, қол жетімді емес.^[1] Екі географиялық нүктелер арасындағы беттің жалпы абстракциялары:

Тегіс бет;
Сфералық беті;
Эллипсоидтық беті.

Жоғарыдағы барлық абстракциялар биіктіктегі өзгерістерді елемейді. Идеалданған бетке қатысты биіктіктің өзгеруін ескеретін қашықтықты есептеу бұл мақалада қарастырылмаған.

Номенклатура

Қашықтық, ${displaystyle D ,,!}$ екі нүкте аралығында есептеледі, ${displaystyle P_ {1} ,!}$ және ${displaystyle P_ {2} ,!}$ . Екі нүктенің географиялық координаттары, (ендік, бойлық) жұптары болып табылады ${displaystyle (phi _ {1}, lambda _ {1}) ,!}$ және ${displaystyle (phi _ {2}, lambda _ {2}) ,,!}$ сәйкесінше. Екі тармақтың қайсысы ретінде белгіленеді ${displaystyle P_ {1} ,!}$ қашықтықты есептеу үшін маңызды емес.

Карталардағы ендік пен бойлық координаттары әдетте өрнектеледі градус. Төмендегі формулалардың берілген формаларында бір немесе бірнеше мәндер беріледі керек дұрыс нәтиже алу үшін көрсетілген бірліктерде көрсетілуі керек. Географиялық координаттар тригонометриялық функцияның аргументі ретінде қолданылған жағдайда, мәндер тригонометриялық функцияның мәнін анықтау үшін қолданылатын әдіспен үйлесімді кез келген бұрыштық бірліктерде көрсетілуі мүмкін. Көптеген электронды калькуляторлар тригонометриялық функцияларды екі дәрежеде немесе бойынша есептеуге мүмкіндік береді радиан. Калькулятор режимі геометриялық координаттар үшін қолданылатын өлшем бірліктерімен үйлесімді болуы керек.

Ендік пен бойлықтағы айырмашылықтар келесідей белгіленеді және есептеледі:

{displaystyle {egin {aligned} Delta phi & = phi _ {2} -phi _ {1}; Delta lambda & = lambda _ {2} -lambda _ {1} .end {aligned}} ,!}

Төмендегі формулаларда қолданған кезде нәтиже оң немесе теріс болуы маңызды емес.

«Орташа ендік» келесі түрде белгіленеді және есептеледі:

{displaystyle phi _ {m} = {frac {phi _ {1} + phi _ {2}} {2}}.,!}

Қолайлылық келесідей белгіленеді және есептеледі:

Радианмен көрсетілген ендік үшін:

{displaystyle heta = {frac {pi} {2}} - phi;,!}

Градуспен көрсетілген ендіктер үшін:

{displaystyle heta = 90 ^ {circ} -phi.,!}

Егер басқаша көрсетілмесе, радиусы Төмендегі есептеулер үшін жердің мөлшері:

{displaystyle R ,!}

= 6,371.009 шақырым = 3,958.761 жарамды миль = 3,440.069 теңіз милі.

${displaystyle D_ {,}!}$ = Жер беті бойымен өлшенген және екі нүкте арасындағы қашықтық, егер басқаша көрсетілмесе, радиус үшін қолданылатын мәнмен бірдей.

Ендік / бойлық бойындағы ерекшеліктер мен үзіліс

Бойлық бар даралық кезінде Поляктар (бойлық анықталмаған) және а үзіліс ±180 ° меридиан. Сондай-ақ, жазықтықтағы проекциялар тұрақты ендік шеңберлері поляктар маңында өте қисық. Демек, үшін жоғарыда келтірілген теңдеулер атырау ендік / бойлық ( ${displaystyle Delta phi!}$ , ${displaystyle Delta lambda!}$ ) және орташа ендік ( ${displaystyle phi _ {m}!}$ ) полюстерге немесе ± 180 ° меридианға жақын позициялар үшін күтілетін жауапты бере алмауы мүмкін. Мысалы, қарастырайық. мәні ${displaystyle Delta lambda!}$ («шығыс жылжуы») қашан ${displaystyle lambda _ {1}!}$ және ${displaystyle lambda _ {2}!}$ ± 180 ° меридианының немесе жағының екі жағында орналасқан ${displaystyle phi _ {m}!}$ («орташа ендік») екі позиция үшін ( ${displaystyle phi _ {1}!}$ =89°, ${displaystyle lambda _ {1}!}$ = 45 °) және ( ${displaystyle phi _ {2}!}$ =89°, ${displaystyle lambda _ {2}!}$ =−135°).

Егер ендік / бойлыққа негізделген есептеу Жердің барлық позициялары үшін жарамды болса, үзіліс пен полюстердің дұрыс өңделгендігін тексеру керек. Тағы бір шешім - пайдалану n-вектор ендік / бойлық орнына, содан бері өкілдік үзілістерге немесе ерекшеліктерге ие емес.

Тегіс формулалар

Жер бетіне жазықтықта жуықтау шамалы қашықтықта пайдалы болуы мүмкін. Осы жуықтауды пайдаланып қашықтықты есептеу дәлдігі барған сайын дәл бола бастайды:

Нүктелер арасындағы айырмашылық үлкен болады;
Нүкте географиялық полюске жақындай түседі.

Жазықтықтағы екі нүктенің арасындағы ең қысқа қашықтық - түзу сызық. The Пифагор теоремасы жазықтықтағы нүктелер арасындағы қашықтықты есептеу үшін қолданылады.

Тіпті қысқа қашықтықта да тегіс Жерді қабылдайтын географиялық қашықтықты есептеу дәлдігі ендік пен бойлық координаталарының әдісіне байланысты болады. жобаланған ұшаққа. Ендік пен бойлық координаталарының жазықтыққа проекциясы - аймақ картография.

Осы бөлімде ұсынылған формулалар әртүрлі дәлдік дәрежесін ұсынады.

Сфералық Жер жазықтыққа проекцияланған

Бұл формула ендікке ие меридиандар арасындағы қашықтықтың өзгеруін ескереді:

{displaystyle D = R {sqrt {(Delta phi) ^ {2} + (cos (phi _ {m}) Delta lambda) ^ {2}}},}

қайда:

{displaystyle Delta phi,!}

және

{displaystyle Delta lambda,!}

радианға жатады;

{displaystyle phi _ {m} ,!}

анықтау үшін қолданылатын әдіспен үйлесімді бірлікте болуы керек

{displaystyle cos (phi _ {m}).,!}

Ендік пен бойлықты радианға айналдыру үшін пайдаланыңыз

{displaystyle 1 ^ {circ} = (pi / 180), mathrm {radians}.}

Бұл жуықтау өте жылдам және кішігірім қашықтыққа нақты нәтиже береді^{[дәйексөз қажет ]}. Сондай-ақ, қашықтық бойынша орындарға тапсырыс беру кезінде, мысалы, мәліметтер қорының сұранысында квадраттық түбірді есептеу қажеттілігін жоққа шығарып, квадраттық қашықтыққа тапсырыс беру әлдеқайда жылдам болады.

Эллипсоидтық Жер жазықтыққа шығарылды

The FCC 475 шақырымнан (295 миль) аспайтын қашықтыққа келесі формулаларды тағайындайды:^[2]

{displaystyle D = {sqrt {(K_ {1} Delta phi) ^ {2} + (K_ {2} Delta lambda) ^ {2}}},}

қайда

{displaystyle D ,!}

= Қашықтықпен арақашықтық;

{displaystyle Delta phi,!}

және

{displaystyle Delta lambda,!}

градуспен;

{displaystyle phi _ {m} ,!}

анықтау үшін қолданылатын әдіспен үйлесімді бірлікте болуы керек

{displaystyle cos (phi _ {m});,!}

{displaystyle {egin {aligned} K_ {1} & = 111.13209-0.56605cos (2phi _ {m}) + 0.00120cos (4phi _ {m}); K_ {2} & = 111.41513cos (phi _ {m}) ) -0.09455cos (3phi _ {m}) + 0.00012cos (5phi _ {m}). Соңы {тураланған}} ,!}

Қайда

{displaystyle K_ {1}}

және

{displaystyle K_ {2}}

градусқа бірлігінде. Мынаны атап өту қызықты болуы мүмкін:

{displaystyle K_ {1} = M {frac {pi} {180}} ,!}

= ендік айырымының градусына километр;

{displaystyle K_ {2} = cos (phi _ {m}) N {frac {pi} {180}} ,!}

= бойлық айырмашылығының градусына километр;

қайда

{displaystyle M ,!}

және

{displaystyle N ,!}

болып табылады мқұрғақ және оның перпендикуляр немесе «nоральды", қисықтық радиустары (FCC формуласындағы өрнектер биномдық қатар кеңейту нысаны

{displaystyle M ,!}

және

{displaystyle N ,!}

, орнатыңыз Кларк 1866 сілтеме эллипсоид ).

Полярлық координатаның жазық формуласы

{displaystyle D = R {sqrt {heta _ {1} ^ {2}; {oldsymbol {+}}; heta _ {2} ^ {2}; mathbf {-}; 2 heta _ {1} heta _ {2} cos (Delta lambda)}},}

мұндағы коалиция мәндері радианмен. Градуспен өлшенген ендік үшін радианмен коэффициент келесі түрде есептелуі мүмкін:

{displaystyle heta = {frac {pi} {180}} (90 ^ {circ} -phi).,!}

Сфералық-беттік формулалар

Егер біреу 0,5% ықтимал қатені қабылдағысы келсе, формулаларын қолдануға болады сфералық тригонометрия жер бетіне жақындаған сферада.

Сфераның бетіндегі екі нүктенің арасындағы ең қысқа қашықтық екі нүктеден тұратын үлкен шеңбер бойымен жүреді.

The үлкен шеңбер қашықтығы мақалада шар өлшемі бойынша үлкен Жер шарының арақашықтығын Жердің өлшеміне теңестіру формуласы келтірілген. Бұл мақалада есептеудің мысалы келтірілген.

Туннель қашықтығы

Жердегі нүктелер арасындағы туннельді қызықтыратын нүктелер арасындағы үш өлшемді кеңістік арқылы өтетін сызық анықтайды, үлкен шеңбер хордасының ұзындығын сәйкес өлшем бірлігі үшін келесідей есептеуге болады:

{displaystyle {egin {aligned} & Delta {X} = cos (phi _ {2}) cos (lambda _ {2}) - cos (phi _ {1}) cos (lambda _ {1}); & Delta {Y } = cos (phi _ {2}) sin (lambda _ {2}) - cos (phi _ {1}) sin (lambda _ {1}); & Delta {Z} = sin (phi _ {2}) -sin (phi _ {1}); & C_ {h} = {sqrt {(Delta {X}) ^ {2} + (Delta {Y}) ^ {2} + (Delta {Z}) ^ {2 }}}. соңы {тураланған}}}

Сфералық Жер бетіндегі нүктелер арасындағы туннель арақашықтықты құрайды ${displaystyle D = RC_ {h}}$ . Қысқа қашықтыққа ( ${displaystyle Dll R}$ ), бұл үлкен шеңбер арақашықтықты төмен бағалайды ${displaystyle D (D / R) ^ {2} / 24}$ .

Эллипсоидты-беттік формулалар

Плит тәрізді эллипсоидтағы геодезиялық

Эллипсоид жер бетіне асфераға қарағанда немесе тегіс бетке қарағанда жақсырақ келеді. Беттің екі нүктесінің арасындағы эллипсоидтың беткі қабаты бойымен ең қысқа қашықтық - бойыменгеодезиялық. Геодезия үлкен шеңберлерге қарағанда күрделі жолдармен жүреді, атап айтқанда, олар жердің бір айналымынан кейін бастапқы қалпына қайтып оралмайды. Бұл оң жақтағы суретте көрсетілген f эффектке екпін беру үшін 1/50 деп алынады. Жер бетіндегі екі нүкте арасындағы геодезияны табу кері геодезиялық мәселе, 18-19 ғасырларда көптеген математиктер мен геодезистер назар аударды.Клеро,^[3]Легенда,^[4]Бессель,^[5]және Хельмерт.^[6]Рэп^[7]осы жұмыстың жақсы қысқаша мазмұнын ұсынады.

Геодезиялық қашықтықты есептеу әдістері кеңінен қол жетімдігеографиялық ақпараттық жүйелер, бағдарламалық жасақтама кітапханалары, оқшау функциялар және онлайн-құралдар. Ең көп қолданылатын алгоритм - болып табыладыВинсентий,^[8]эллипсоидты тегістеу кезінде үшінші ретті дәл серияны кім пайдаланады, яғни шамамен 0,5 мм; дегенмен, алгоритм нүктелер үшін бір-біріне жақындамайды антиподальды. (Fordetails, қараңыз Винсентийдің формулалары.) Бұл ақаулық Карни берген алгоритмде жазылады,^[9]тегістеу кезінде алтыншы реттік дәлдікке ие серияларды қолданады, нәтижесінде алгоритм толық екі дәлдікке дәл келеді және жердегі нүктелердің ерікті жұптарын біріктіреді. Бұл алгоритм GeographicLib-те енгізілген.^[10]

Жоғарыда көрсетілген дәл әдістер аккомпьютерде есептеулер жүргізу кезінде мүмкін болады. Олар кез-келген ұзындықтағы сызықтарға миллиметрлік дәлдік беруге арналған; егер миллиметрлік дәлдік қажет болмаса немесе миллиметрлік дәлдік қажет болса, бірақ сызығы қысқа болса, қарапайым формулаларды қолдануға болады.^[11] Тарау. 6, сипаттайды Пуассан әдісі, орта ендік Гаусс әдісі және Bowring әдісі.^[12]

Ламберттің ұзын сызықтарға арналған формуласы

Ламберттің формулалары^[13]мыңдаған шақырымнан 10 метрге дәлдік беру. Алдымен ендіктерді түрлендіріңіз ${displaystyle сценарий phi _ {1}}$ , ${displaystyle сценарий phi _ {2}}$ екі нүктенің қысқартылған ендік ${displaystyle scriptstyle eta _ {1}}$ , ${displaystyle scriptstyle eta _ {2}}$

${displaystyle an eta = (1-f) phi,}$

қайда ${displaystyle f}$ болып табылады тегістеу.Сосын есептеңіз орталық бұрыш ${displaystyle sigma}$ екі нүктенің арасындағы радианмен ${displaystyle (eta _ {1} ,; lambda _ {1})}$ және ${displaystyle (eta _ {2} ,; lambda _ {2})}$ пайдалану сферасында үлкен шеңбердің қашықтық әдісі (косинустар заңы немесе гаверсин формуласы ), бойлықпен ${displaystyle lambda _ {1};}$ және ${displaystyle lambda _ {2};}$ сфероидтағы сияқты сферада бірдей.

${displaystyle P = {frac {eta _ {1} + eta _ {2}} {2}} qquad Q = {frac {eta _ {2} - eta _ {1}} {2}}}$

${displaystyle X = (sigma -sin sigma) {frac {sin ^ {2} Pcos ^ {2} Q} {cos ^ {2} {frac {sigma} {2}}}} qquad qquad Y = (sigma + sin сигма) {frac {cos ^ {2} Psin ^ {2} Q} {sin ^ {2} {frac {sigma} {2}}}}}$

${extstyle mathrm {қашықтық} = a {igl (} sigma - {frac {f} {2}} (X + Y) {igr)}}$

қайда ${displaystyle a}$ таңдалған сфероидтің экваторлық радиусы.

Үстінде GRS 80 сфероидты Ламберттің формуласы өшірулі

0 Солтүстік 0 Батыстан 40 Солтүстікке 120 Батыс, 12,6 метр

0N 0W - 40N 60W, 6,6 метр

40N 0W - 40N 60W, 0,85 метр

Қысқа сызықтарға арналған Bowring әдісі

Таяқтау нүктелерін радиус сферасына бейнелейді R ′, ендік пен бойлық φ ′ және λ ′ түрінде көрсетілген. Анықтаңыз

{displaystyle A = {sqrt {1 + e '^ {2} cos ^ {4} phi _ {1}}}, квадрат B = {sqrt {1 + e' ^ {2} cos ^ {2} phi _ { 1}}},}

мұнда екінші эксцентриситет квадраты орналасқан

{displaystyle e '^ {2} = {frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} = {frac {f (2-f)} {(1-f) ^ {2}}}.}

Сфералық радиусы

{displaystyle R '= {frac {sqrt {1 + e' ^ {2}}} {B ^ {2}}} a.}

(The Гаусстық қисықтық lip кезінде эллипсоидтың₁ 1 / құрайдыR ′².) Сфералық координаталар арқылы беріледі

{displaystyle {egin {aligned} an phi _ {1} '& = {frac {an phi} {B}}, Delta phi' & = {frac {Delta phi} {B}} {iggl [} 1+ { frac {3e '^ {2}} {4B ^ {2}}} (Delta phi) sin (2phi _ {1} + {frac {2} {3}} Delta phi) {iggr]}, Delta lambda' & = ADelta lambda, соңы {тураланған}}}

қайда ${displaystyle Delta phi = phi _ {2} -phi _ {1}}$ , ${displaystyle Delta phi '= phi _ {2}' - phi _ {1} '}$ , ${displaystyle Delta lambda = lambda _ {2} -lambda _ {1}}$ , ${displaystyle Delta lambda '= лямбда _ {2}' - лямбда _ {1} '}$ . Сферадағы туындаған мәселені келесі тәсілдерді қолдану арқылы шешуге болады үлкен шеңберлік навигация сфероидалық қашықтық пен мойынтіректің жуықтауын беру. Толық формулаларды Rapp ұсынады,^[11] §6.5 және Bowring.^[12]

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

^ http://www.cartography.org.uk/default.asp?contentID=749
^ «Анықтамалық нүктелер және қашықтықты есептеу» (PDF). Федералдық регламенттер кодексі (жылдық басылым). 47 тақырып: Телекоммуникация. 73 (208). 2016 жылғы 1 қазан. Алынған 8 қараша 2017.
^ Клеро, А. (1735). «Détermination géometrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini» [Жак Кассини салған меридианға перпендикулярды геометриялық анықтау]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris 1733 ж (француз тілінде): 406–416.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
^ Legendre, A. M. (1806). «Analysis des triangles tracées sur la surface d'un sphéroïde» [Сфероидты үшбұрыштарды талдау]. Mémoires de l'Institut National de France (француз тілінде) (1 семестр): 130–161.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
^ Бессель, Ф. В. (2010) [1825]. . Аударған: C. F. F. Karney & R. E. Deakin. «Геодезиялық өлшеулерден бойлық пен ендікті есептеу». Astronomische Nachrichten. 331 (8): 852–861. arXiv:0908.1824. Бибкод:2010АН .... 331..852K. дои:10.1002 / asna.201011352. Ағылшын тіліндегі аудармасы Астрон. Начр. 4, 241–254 (1825). Эррата.
^ Хельмерт, Ф. Р. (1964) [1880]. Жоғары геодезияның математикалық және физикалық теориялары. 1. Сент-Луис: аэронавигациялық диаграмма және ақпарат орталығы. Ағылшын тіліндегі аудармасы Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie, Т. 1 (Тубнер, Лейпциг, 1880).
^ Rapp, R. H. (наурыз 1993). Геометриялық геодезия, II бөлім (Техникалық есеп). Огайо мемлекеттік университеті. Алынған 2011-08-01.
^ Винсентий, Т. (Сәуір 1975). «Эллипсоидтағы геодезияның тура және кері шешімдері кірістірілген теңдеулерді қолдана отырып» (PDF). Сауалнамаға шолу. 23 (176): 88–93. дои:10.1179 / sre.1975.23.176.88. Алынған 2009-07-11. Қосымша: сауалнамаға шолу 23 (180): 294 (1976).
^ Карни, C. F. F. (2013). «Геодезия алгоритмдері». Геодезия журналы. 87 (1): 43–55. arXiv:1109.4448. Бибкод:2013JGeod..87 ... 43K. дои:10.1007 / s00190-012-0578-z (ашық қол жетімділік). Адденда.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
^ Карни, C. F. F. (2013). «GeographicLib». 1.32.
^ ^а ^б Rapp, R, H (1991). Геометриялық геодезия, I бөлім (есеп). Ohio Start Univ. hdl:1811/24333.
^ ^а ^б Bowring, B. R. (1981). «Эллипсоидтағы қысқа геодезиялық сызықтарға арналған тура және кері есептер». Геодезия және картаға түсіру. 41 (2): 135–141.
^ Ламберт, В.Д (1942). «Жер бетіндегі кеңінен бөлінген екі нүктенің арақашықтығы». Дж. Вашингтон ғылым академиясы. 32 (5): 125–130.

Сыртқы сілтемелер

Ан желідегі геодезиялық калькулятор (GeographicLib негізінде).
Ан желідегі геодезиялық библиография.

[1] ttp://www.cartography.org.uk/default.asp?contentID=749

[2] «Анықтамалық нүктелер және қашықтықты есептеу» (PDF). Федералдық регламенттер кодексі (жылдық басылым). 47 тақырып: Телекоммуникация. 73 (208). 2016 жылғы 1 қазан. Алынған 8 қараша 2017.

[3] Клеро, А. (1735). «Détermination géometrique de la perpendiculaire à la méridienne tracée par M. Cassini» [Жак Кассини салған меридианға перпендикулярды геометриялық анықтау]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris 1733 ж (француз тілінде): 406–416.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

[4] Legendre, A. M. (1806). «Analysis des triangles tracées sur la surface d'un sphéroïde» [Сфероидты үшбұрыштарды талдау]. Mémoires de l'Institut National de France (француз тілінде) (1 семестр): 130–161.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

[5] Бессель, Ф. В. (2010) [1825]. . Аударған: C. F. F. Karney & R. E. Deakin. «Геодезиялық өлшеулерден бойлық пен ендікті есептеу». Astronomische Nachrichten. 331 (8): 852–861. arXiv:0908.1824. Бибкод:2010АН .... 331..852K. дои:10.1002 / asna.201011352. Ағылшын тіліндегі аудармасы Астрон. Начр. 4, 241–254 (1825). Эррата.

[6] Хельмерт, Ф. Р. (1964) [1880]. Жоғары геодезияның математикалық және физикалық теориялары. 1. Сент-Луис: аэронавигациялық диаграмма және ақпарат орталығы. Ағылшын тіліндегі аудармасы Mathematischen und Physikalischen Theorieen der Höheren Geodäsie, Т. 1 (Тубнер, Лейпциг, 1880).

[7] Rapp, R. H. (наурыз 1993). Геометриялық геодезия, II бөлім (Техникалық есеп). Огайо мемлекеттік университеті. Алынған 2011-08-01.

[8] Винсентий, Т. (Сәуір 1975). «Эллипсоидтағы геодезияның тура және кері шешімдері кірістірілген теңдеулерді қолдана отырып» (PDF). Сауалнамаға шолу. 23 (176): 88–93. дои:10.1179 / sre.1975.23.176.88. Алынған 2009-07-11. Қосымша: сауалнамаға шолу 23 (180): 294 (1976).

[9] Карни, C. F. F. (2013). «Геодезия алгоритмдері». Геодезия журналы. 87 (1): 43–55. arXiv:1109.4448. Бибкод:2013JGeod..87 ... 43K. дои:10.1007 / s00190-012-0578-z (ашық қол жетімділік). Адденда.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)

[10] Карни, C. F. F. (2013). «GeographicLib». 1.32.

[rapp91-11] а ^б Rapp, R, H (1991). Геометриялық геодезия, I бөлім (есеп). Ohio Start Univ. hdl:1811/24333.

[bowring81-12] а ^б Bowring, B. R. (1981). «Эллипсоидтағы қысқа геодезиялық сызықтарға арналған тура және кері есептер». Геодезия және картаға түсіру. 41 (2): 135–141.

[13] Ламберт, В.Д (1942). «Жер бетіндегі кеңінен бөлінген екі нүктенің арақашықтығы». Дж. Вашингтон ғылым академиясы. 32 (5): 125–130.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]