Симметриялық кеңістік - Symmetric space

Жылы математика, а симметриялық кеңістік Бұл жалған-риманналық коллектор оның симметрия тобында ан инверсиялық симметрия әр пункт туралы. Құралдарымен зерттеуге болады Риман геометриясы, теориясында салдарға алып келеді голономия; немесе алгебралық жолмен Өтірік теориясы, бұл мүмкіндік берді Картан толық жіктеу беру. Симметриялық кеңістіктер әдетте пайда болады дифференциалды геометрия, ұсыну теориясы және гармоникалық талдау.

Геометриялық тұрғыдан алғанда, толық, жай жалғанған Риман коллекторы параллель тасымалдау кезінде оның қисықтық тензоры инвариантты болған жағдайда ғана симметриялық кеңістік болып табылады. Жалпы, Риман коллекторы (М, ж) әр нүкте үшін, егер болса ғана, симметриялы деп аталады б туралы М, изометриясы бар М бекіту б жанасу кеңістігінде әрекет ету ${ displaystyle T_ {p} M}$ идентификациядан минус ретінде (барлық симметриялық кеңістік болады толық, кез келген геодезияны соңғы нүктелер туралы симметриялар арқылы шексіз ұзартуға болады). Екі сипаттама, әрине, параметрге дейін кеңейтілуі мүмкін жалған-риманналық коллекторлар.

Өтірік теориясы тұрғысынан симметриялы кеңістік - бұл квоент G/H жалғанған Өтірік тобы G Lie кіші тобы арқылы H бұл анның инварианттық тобы болып табылады (байланысты компонент) инволюция туралы Г. Бұл анықтама Риман анықтамасынан көбірек нәрсені қамтиды және оны қысқартуға мүмкіндік береді H ықшам.

Римандық симметриялық кеңістіктер математикада да, физикада да әртүрлі жағдайларда туындайды. Олардың голономия теориясындағы орталық рөлін ашты Марсель Бергер. Олар бейнелеу теориясы мен гармоникалық анализде, сонымен қатар дифференциалды геометрияда зерттеудің маңызды объектілері болып табылады.

Геометриялық анықтама

Келіңіздер М байланысты Риманн коллекторы және б нүктесі М. Диффеоморфизм f маңайының б деп аталады геодезиялық симметрия егер ол нүктені түзетсе б және геодезияны осы нүкте арқылы қайтарады, яғни γ геодезиялық болып табылады ${ displaystyle gamma (0) = p}$ содан кейін ${ displaystyle f ( gamma (t)) = gamma (-t).}$ Бұдан картаның туындысы шығады f кезінде б жеке куәлік картасын алып тастағанда жанасу кеңістігі туралы б. Жалпы Риман коллекторында, f изометриялық емес болуы керек, және оны кеңейту мүмкін емес б бәріне М.

М деп айтылады жергілікті симметриялы риман егер оның геодезиялық симметриялары іс жүзінде изометриялық болса. Бұл қисықтық тензорының ковариантты туындысының жойылуына тең. Жергілікті симметриялық кеңістік а деп аталады (ғаламдық) симметриялық кеңістік егер оған қосымша, оның геодезиялық симметриялары анықталса М.

Негізгі қасиеттері

The Картан-Амброза-Хикс теоремасы мұны білдіреді М жергілікті симметриялы риман егер және егер болса оның қисықтық тензоры әрқашан тұрақты және, сонымен қатар, әрқайсысы жай қосылған, толық жергілікті Риман симметриялы кеңістігі шын мәнінде Риман симметриялы.

Әрбір римандық симметриялық кеңістік М толық және Риман біртекті (изометрия тобы дегенді білдіреді М өтпелі түрде әрекет етеді М). Шындығында, қазірдің өзінде изометрия тобының сәйкестендіру компоненті өтпелі түрде әрекет етеді М (өйткені М жалғанған).

Риман симметриясына жатпайтын жергілікті Риман симметриялы кеңістігі Риман симметриялы кеңістігінің квоенті ретінде тұрақты нүктелері жоқ изометриялардың дискретті топтары арқылы және (жергілікті) Риман симметрия кеңістігінің ашық ішкі жиыны ретінде салынуы мүмкін.

Мысалдар

Риман симметриялы кеңістігінің негізгі мысалдары Евклид кеңістігі, сфералар, проективті кеңістіктер, және гиперболалық кеңістіктер, әрқайсысы стандартты римандық көрсеткіштерімен. Қосымша мысалдар ықшам, жартылай қарапайым Өтірік топтар бивариантты Риман метрикасымен жабдықталған.

Әр ықшам Риман беті 1-ден үлкен тұқым (әдеттегі қисықтықтың әдеттегі метрикасымен) - жергілікті симметриялы кеңістік, бірақ симметриялық кеңістік емес.

Әрқайсысы объектив кеңістігі жергілікті симметриялы, бірақ симметриялы емес, тек қоспағанда ${ displaystyle L (2,1)}$ ол симметриялы. Линзалар кеңістігі - бұл 3 нүктенің тұрақты нүктелері жоқ дискретті изометрия бойынша квоенттері.

Римандық емес симметриялы кеңістіктің мысалы болып табылады Sitter-ге қарсы кеңістік.

Алгебралық анықтама

Келіңіздер G байланысты болу Өтірік тобы. Сонда а симметриялық кеңістік үшін G біртекті кеңістік болып табылады G/H мұнда тұрақтандырғыш H типтік нүктенің анықталған нүкте жиынының ашық кіші тобы болып табылады инволюция σ Aut ішінде (G). Осылайша σ автоморфизмі болып табылады G бірге σ² = идентификатор_G және H инвариантты жиынның ашық кіші тобы болып табылады

{ displaystyle G ^ { sigma} = {g in G: sigma (g) = g }.}

Себебі H ашық, бұл компоненттерінің бірігуі G^σ (оның ішінде, әрине, сәйкестендіру компоненті).

Автоморфизмі ретінде G, σ сәйкестендіру элементін бекітеді, демек, сәйкестендіруді ажырата отырып, ол Ли алгебрасының автоморфизмін тудырады ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ туралы G, деп белгіленеді σ, оның квадраты - сәйкестік. Бұдан меншікті мәндері шығады σ ± 1 құрайды. +1 жеке кеңістігі - Lie алгебрасы ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ туралы H (өйткені бұл Lie алгебрасы G^σ), ал −1 меншікті кеңістігі белгіленеді ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ . Бастап σ автоморфизмі болып табылады ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , бұл а береді тікелей сома ыдырау

{ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {m}}}

бірге

{ displaystyle [{ mathfrak {h}}, { mathfrak {h}}] subset { mathfrak {h}}, ; [{ mathfrak {h}}, { mathfrak {m}}]] ішкі жиын { mathfrak {m}}, ; [{ mathfrak {m}}, { mathfrak {m}}] ішкі жиын { mathfrak {h}}.}

Бірінші шарт кез-келген біртекті кеңістік үшін автоматты болып табылады: жай шексіз тұрақтандырғыш дейді ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ - бұл Lie субальгебрасы ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Екінші шарт дегеніміз ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ болып табылады ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ -ге өзгермейтін толықтауыш ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ жылы ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Сонымен кез-келген симметриялық кеңістік а редуктивті біртекті кеңістік, бірақ симметриялы емес кеңістіктегі редуктивті біртекті кеңістіктер көп. Симметриялық кеңістіктердің басты ерекшелігі - үшінші шарт ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ жақшаға ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ .

Керісінше, кез-келген Lie алгебрасы берілген ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ осы үш шартты қанағаттандыратын тура қосынды ыдырауымен, сызықтық карта σ, сәйкестікке тең ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ және жеке тұлғаны алып тастау ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ , - бұл еріксіз автоморфизм.

Римандық симметриялық кеңістіктер Ли-теоретикалық сипаттаманы қанағаттандырады

Егер М Риман симметриялық кеңістігі, сәйкестендіру компоненті G изометрия тобының М Бұл Өтірік тобы өтпелі түрде әрекет ету М (Бұл, М біртектес римандық). Сондықтан, егер біз қандай да бір нүктені түзететін болсақ б туралы М, М берілгенге диффеоморфты болып келеді G / K, қайда Қ дегенді білдіреді изотропия тобы әрекетінің G қосулы М кезінде б. Кезіндегі әрекетті дифференциалдау арқылы б изометриялық әсерін аламыз Қ Т.-да_бМ. Бұл әрекет сенімді (мысалы, Костант теоремасы бойынша, сәйкестендіру компонентіндегі кез-келген изометрия оның көмегімен анықталады 1-реактивті кез келген сәтте) және т.б. Қ - Т-нің ортогональды тобының кіші тобы_бМ, демек жинақы. Сонымен, егер біз оны белгілесек с_б: M → M геодезиялық симметрия М кезінде б, карта

{ displaystyle sigma: G to G, h mapsto s_ {p} circ h circ s_ {p}}

болып табылады еріксіз Өтірік тобы автоморфизм изотропия тобы сияқты Қ -ның тіркелген нүктелік тобы арасында болады σ және оның^{[түсіндіру қажет ]} сәйкестендіру компоненті (демек, ашық кіші топ).

Қорытындылау үшін, М симметриялы кеңістік болып табылады G/Қ ықшам изотропиялық топпен Қ. Керісінше, ықшам изотропиялық тобы бар симметриялы кеңістіктер риман симметриялы кеңістігі болып табылады, дегенмен бұл ерекше түрде емес. Римандық симметриялық кеңістіктің құрылымын алу үшін а түзету керек Қтангенс кеңістігіндегі өзгермейтін ішкі өнім G/Қ жеке тұлғаны тану кеңістігінде eK: мұндай ішкі өнім әрқашан орташалау арқылы болады, өйткені Қ жинақы, және әрекет ету арқылы G, біз a G- инвариантты Риман метрикасы ж қосулы G/Қ.

Мұны көрсету үшін G/Қ симметриялы римандық, кез келген нүктені қарастырайық б = hK (косет Қ, қайда сағ ∈ G) анықтаңыз

{ displaystyle s_ {p}: M ден M, quad h'K mapsto h sigma (h ^ {- 1} h ') K}

қайда σ болып табылады G бекіту Қ. Сонда біреу мұны тексере алады с_б изометрия болып табылады (анық) с_б(б) = б және (саралау арқылы) dс_б T-дегі минусқа тең_бМ. Осылайша с_б геодезиялық симметрия болып табылады және б ерікті болды, М бұл Риман симметриялы кеңістігі.

Егер Риман симметриялы кеңістігінен басталса М, содан кейін осы екі құрылысты дәйектілікпен орындайды, содан кейін алынған Риман симметриялық кеңістігі бастапқыға изометриялық болады. Бұл «алгебралық деректер» (G,Қ,σ,ж) құрылымын толығымен сипаттаңыз М.

Риман симметриялы кеңістігінің жіктелуі

Риман симметриялы кеңістігінің алгебралық сипаттамасы қосылды Эли Картан 1926 жылы олардың толық классификациясын алу.

Берілген Риман симметриялы кеңістігі үшін М рұқсат етіңіз (G,Қ,σ,ж) онымен байланысты алгебралық деректер болуы керек. Мүмкін болатын изометрия кластарын жіктеу М, бірінші ескеріңіз әмбебап қақпақ Риман симметриялы кеңістігі қайтадан Риман симметриялы, ал жабық карта байланысты изометрия тобын бөлу арқылы сипатталады G оның орталығының кіші тобымен жабынның. Сондықтан біз жалпылықты жоғалтпай-ақ ойлаймыз М жай жалғанған. (Бұл білдіреді Қ арқылы байланысады фибрацияның нақты дәл реттілігі, өйткені G жорамал арқылы байланысады.)

Жіктеу сызбасы

Жай римандық симметриялы кеңістік деп аталады қысқартылмайтын егер бұл екі немесе одан да көп Риман симметриялы кеңістігінің туындысы болмаса. Содан кейін кез-келген қарапайым жалғанған Риман симметриялы кеңістігі - бұл азайтылатындардың Риман туындысы екенін көрсетуге болады. Сондықтан біз өзімізді қысқартылмайтын, жай байланысқан Риман симметриялы кеңістігін жіктеумен шектеуіміз мүмкін.

Келесі қадам - кез-келген қысқартылмайтын, жай байланысқан Риман симметриялы кеңістігін көрсету М келесі үш түрдің біріне жатады:

1. Евклид типі: М жоғалып бара жатқан қисықтыққа ие, сондықтан а-ға изометриялық Евклид кеңістігі.

2. Ықшам түрі: М теріс емес (бірақ нөлге тең емес) қисықтық қисаюы.

3. Шағын емес түрі: М позитивті емес (бірақ нөлге тең емес) қиманың қисаюы бар.

Неғұрлым нақтыланған инвариант - бұл дәреже, бұл қисықтық бірдей нөлге тең болатын жанасу кеңістігінің ішкі кеңістігінің максималды өлшемі (кез келген нүктеге). Дәреже әрқашан кем дегенде бір болады, егер қисықтық қисықтығы оң немесе теріс болса, теңдік болады. Егер қисықтық оң болса, кеңістік ықшам типке, ал теріс болса, жинақы емес типке ие болады. Евклид типінің кеңістігі олардың өлшеміне тең дәрежеге ие және осы өлшемдегі эвклид кеңістігіне изометриялық болып табылады. Сондықтан ықшам және ықшам емес типтегі қысқартылмайтын, жай байланысқан Риман симметриялы кеңістіктерін жіктеу қалады. Екі жағдайда да екі сынып бар.

А. G бұл (нақты) Lie тобы;

Б. G немесе өзімен бірге ықшам қарапайым Lie тобының өнімі (ықшам түрі), немесе осындай Lie тобының (ықшам емес түрі) күрделенуі.

В классындағы мысалдар толығымен классификацияланған қарапайым Lie топтары. Ықшам түрі үшін, М қарапайым жалғанған жинақы қарапайым топ, G болып табылады М×М және Қ қиғаш топшасы болып табылады. Шағын емес тип үшін G жай жалғанған күрделі қарапайым Lie тобы және Қ оның максималды ықшам топшасы. Екі жағдайда да дәреже дәрежесі G.

Шағын және жалғанған Lie топтары классикалық Lie топтарының әмбебап мұқабалары болып табылады ${ displaystyle mathrm {SO} (n)}$ , ${ displaystyle mathrm {SU} (n)}$ , ${ displaystyle mathrm {Sp} (n)}$ және бесеу ерекше Өтірік топтары E₆, E₇, E₈, F₄, G₂.

А класының мысалдары компакты емес жалғанған қарапайым қарапайым Lie топтарын жіктеу арқылы толық сипатталады. Шағын емес тип үшін G осындай топ және Қ оның максималды ықшам топшасы. Комплекстің максималды ықшам топшасын қарастыра отырып, осындай мысалдардың әрқайсысына ықшам типтің сәйкес мысалдары келтірілген G құрамында бар Қ. Тікелей, ықшам типтің мысалдары қарапайым жалғанған қарапайым Lie топтарының индуктивті автоморфизмдерімен жіктеледі G (конъюгацияға дейін). Мұндай қосылыстар комплекстің индукцияларына таралады G, және олар өз кезегінде ықшам емес нақты формаларын жіктейді G.

А класында да, В сыныбында да ықшам типтегі және ықшам емес типтегі симметриялы кеңістіктер арасында сәйкестік бар. Бұл Риман симметриялы кеңістігі үшін қосарланған деп аталады.

Жіктеу нәтижесі

Риман А симметриялы кеңістігіне және ықшам типке маманданған Картан келесі жеті шексіз қатар мен он екі ерекше Риман симметриялы кеңістігі бар екенін анықтады G/Қ. Олар осында берілген G және Қ, геометриялық интерпретациямен бірге, егер қол жетімді болса. Бұл кеңістіктердің таңбалануы Картанмен берілген.

Заттаңба	G	Қ	Өлшем	Дәреже	Геометриялық интерпретация
ИИ	${ displaystyle mathrm {SU} (n) ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (n) ,}$	${ displaystyle (n-1) (n + 2) / 2}$	n − 1	Нақты құрылымдардың кеңістігі ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ олар күрделі анықтаушы инвариантты қалдырады
AII	${ displaystyle mathrm {SU} (2n) ,}$	${ displaystyle mathrm {Sp} (n) ,}$	${ displaystyle (n-1) (2n + 1)}$	n − 1	Кватернионды құрылымдардың кеңістігі ${ displaystyle mathbb {C} ^ {2n}}$ Эрмитический метрикамен үйлесімді
AIII	${ displaystyle mathrm {SU} (p + q) ,}$	${ displaystyle mathrm {S} ( mathrm {U} (p) times mathrm {U} (q)) ,}$	${ displaystyle 2pq}$	мин (б,q)	Грассманниан күрделі бөлшемді ішкі кеңістіктері ${ displaystyle mathbb {C} ^ {p + q}}$
BDI	${ displaystyle mathrm {SO} (p + q) ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (p) times mathrm {SO} (q) ,}$	${ displaystyle pq}$	мин (б,q)	Грассманниан бағдарланған нақты бөлшемді ішкі кеңістіктері ${ displaystyle mathbb {R} ^ {p + q}}$
DIII	${ displaystyle mathrm {SO} (2n) ,}$	${ displaystyle mathrm {U} (n) ,}$	${ displaystyle n (n-1)}$	[n/2]	Ортогональды күрделі құрылымдар кеңістігі ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2n}}$
CI	${ displaystyle mathrm {Sp} (n) ,}$	${ displaystyle mathrm {U} (n) ,}$	${ displaystyle n (n + 1)}$	n	Бойынша күрделі құрылымдар кеңістігі ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ ішкі өніммен үйлесімді
CII	${ displaystyle mathrm {Sp} (p + q) ,}$	${ displaystyle mathrm {Sp} (p) times mathrm {Sp} (q) ,}$	${ displaystyle 4pq}$	мин (б,q)	Грассманниан кватернионды бөлшемді ішкі кеңістіктері ${ displaystyle mathbb {H} ^ {p + q}}$
EI	${ displaystyle E_ {6} ,}$	${ displaystyle mathrm {Sp} (4) / { pm I } ,}$	42	6
EII	${ displaystyle E_ {6} ,}$	${ displaystyle mathrm {SU} (6) cdot mathrm {SU} (2) ,}$	40	4	Симметриялы ішкі кеңістіктерінің кеңістігі ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ изометриялық ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {H}) P ^ {2}}$
EIII	${ displaystyle E_ {6} ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (10) cdot mathrm {SO} (2) ,}$	32	2	Кешенді Кейли проективті жазықтығы ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$
EIV	${ displaystyle E_ {6} ,}$	${ displaystyle F_ {4} ,}$	26	2	Симметриялы ішкі кеңістіктерінің кеңістігі ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ изометриялық ${ displaystyle mathbb {OP} ^ {2}}$
EV	${ displaystyle E_ {7} ,}$	${ displaystyle mathrm {SU} (8) / { pm I } ,}$	70	7
EVI	${ displaystyle E_ {7} ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (12) cdot mathrm {SU} (2) ,}$	64	4	Розенфельд проективті жазықтығы ${ displaystyle ( mathbb {H} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ аяқталды ${ displaystyle mathbb {H} otimes mathbb {O}}$
EVII	${ displaystyle E_ {7} ,}$	${ displaystyle E_ {6} cdot mathrm {SO} (2) ,}$	54	3	Симметриялы ішкі кеңістіктерінің кеңістігі ${ displaystyle ( mathbb {H} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ изоморфты ${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$
EVIII	${ displaystyle E_ {8} ,}$	${ displaystyle mathrm {Spin} (16) / { pm mathrm {vol} } ,}$	128	8	Розенфельд проективті жазықтығы ${ displaystyle ( mathbb {O} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$
EIX	${ displaystyle E_ {8} ,}$	${ displaystyle E_ {7} cdot mathrm {SU} (2) ,}$	112	4	Симметриялы ішкі кеңістіктерінің кеңістігі ${ displaystyle ( mathbb {O} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$ изоморфты ${ displaystyle ( mathbb {H} otimes mathbb {O}) P ^ {2}}$
FI	${ displaystyle F_ {4} ,}$	${ displaystyle mathrm {Sp} (3) cdot mathrm {SU} (2) ,}$	28	4	Симметриялы ішкі кеңістіктерінің кеңістігі ${ displaystyle mathbb {O} P ^ {2}}$ изоморфты ${ displaystyle mathbb {H} P ^ {2}}$
FII	${ displaystyle F_ {4} ,}$	${ displaystyle mathrm {Айналдыру} (9) ,}$	16	1	Кейли проективті жазықтығы ${ displaystyle mathbb {O} P ^ {2}}$
G	${ displaystyle G_ {2} ,}$	${ displaystyle mathrm {SO} (4) ,}$	8	2	Субалгебралардың кеңістігі октион алгебрасы ${ displaystyle mathbb {O}}$ изоморфты болып табылады кватернион алгебрасы ${ displaystyle mathbb {H}}$

Grassmannians ретінде

Қазіргі заманғы классификация (Huang & Leung 2011 жыл ) а арқылы ықшам және ықшам емес Риман симметриялы кеңістігін біркелкі жіктейді Фрейдентальдық сиқырлы алаң құрылыс. Төмендетілмейтін ықшам Риман симметриялы кеңістігі - ақырлы қақпақтарға дейін, немесе қарапайым Lie тобы, Grassmannian, a Лагранж Грассманниан немесе а қос лагранждық грассманниан ішкі кеңістіктері ${ displaystyle ( mathbf {A} otimes mathbf {B}) ^ {n},}$ нормаланған алгебралар үшін A және B. Ұқсас конструкция ықшам емес риман симметриялы кеңістігін шығарады.

Жалпы симметриялық кеңістіктер

Риман симметриялы кеңістіктерін қорытатын симметриялық кеңістіктердің маңызды класы болып табылады псевдо-римандық симметриялы кеңістіктер, онда Риман метрикасы а жалған-римандық метрика (әрбір жанасу кеңістігінде позитивті анықтаманың орнына жаңару). Соның ішінде, Лоренцийлік симметриялық кеңістіктер, яғни, n өлшемді псевдо-римандық симметриялық қол қою кеңістіктері (n - 1,1), маңызды жалпы салыстырмалылық, ең көрнекті мысалдар Минковский кеңістігі, De Sitter кеңістігі және Sitter-ге қарсы кеңістік (нөлге сәйкес, оң және теріс қисықтықпен). De Sitter өлшемді кеңістігі n Минковский өлшем кеңістігінде 1 парақты гиперболоидпен анықталуы мүмкін n + 1.

Симметриялы және локальді симметриялы кеңістіктерді аффиндік симметриялы кеңістік деп санауға болады. Егер М = G/H симметриялық кеңістік болып табылады, содан кейін Номизу а бар екенін көрсетті G- айнымалы емес бұралу аффиндік байланыс (яғни аффиндік байланыс кімнің бұралу тензоры жоғалады) М кімдікі қисықтық болып табылады параллель. Мұндай байланысы бар коллектор керісінше жергілікті симметриялы (яғни, оның) әмбебап қақпақ симметриялы кеңістік). Мұндай коллекторларды геодезиялық симметриялары глобалды түрде анықталған аффиндік диффеоморфизмдер болып табылатын аффиндік коллекторлар деп те айтуға болады, олар Риман және Псевдо-Риман жағдайларын жалпылайды.

Жіктеу нәтижелері

Риман симметриялы кеңістігінің жіктелуі симметриялы кеңістіктің қысқартылмайтын туындыға жалпы бөлінуі жоқ деген қарапайым себеппен жалпы жағдайға жайылмайды. Мұнда симметриялық кеңістік G/H Ли алгебрасымен

{ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {m}}}

егер бұл азайтылатын болса ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ болып табылады қысқартылмаған өкілдік туралы ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Бастап ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ жалпы жартылай қарапайым емес (немесе тіпті редуктивті), ол болуы мүмкін ажырамас төмендетілмейтін емес өкілдіктер.

Алайда, қысқартылмайтын симметриялық кеңістіктерді жіктеуге болады. Көрсетілгендей Катсуми Номизу, дихотомия бар: төмендетілмейтін симметриялық кеңістік G/H не жазық (яғни аффиналық кеңістік) немесе ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ жартылай қарапайым. Бұл эвклид кеңістігі мен ықшам немесе ықшам емес типтегі Риман дихотомиясының аналогы және ол М.Бергерді жартылай симметриялы кеңістікті (яғни, ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ жартылай қарапайым) және олардың қайсысы төмендетілмейтінін анықтаңыз. Соңғы сұрақ Риман жағдайына қарағанда нәзік: тіпті егер ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ қарапайым, G/H мүмкін емес болуы мүмкін.

Риман жағдайындағы сияқты симметриялы кеңістіктер бар G = H × H. Кез-келген жартылай симметриялы кеңістік - осы формадағы симметриялы кеңістіктің, симметриялы кеңістіктің туындысы. ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ қарапайым. Соңғы жағдайды сипаттау қалады. Ол үшін біріктіруді жіктеу керек σ (нақты) Ли алгебрасының ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Егер ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$ бұл қарапайым емес ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - бұл қарапайым Лидің алгебрасы және оған сәйкес келетін симметриялық кеңістіктер формасы бар G/H, қайда H нақты формасы болып табылады G: бұл Риман симметриялы кеңістігінің аналогтары G/Қ бірге G күрделі қарапайым Lie тобы және Қ максималды ықшам топша.

Осылайша біз болжай аламыз ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$ қарапайым. Нағыз субальгебра ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ кешеннің бекітілген нүктелік жиыны ретінде қарастырылуы мүмкін антилинирлік инволюция τ туралы ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$ , ал σ күрделі антилинирлік инволюцияға дейін созылады ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$ бірге жүру τ сонымен қатар күрделі сызықтық инволюция σ∘τ.

Сондықтан классификация күрделі Ли алгебрасының антилиниалды қосылуларының жұптарының жіктелуіне дейін азаяды. Композит σ∘τ күрделі симметриялық кеңістікті анықтайды, ал τ нақты форманы анықтайды. Осыдан симметриялы кеңістіктердің кез-келгені үшін кесте құру оңай ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {c}}$ Сонымен қатар, алмасу арқылы берілген айқын екі жақтылық бар σ және τ. Бұл Риман жағдайынан жинақы / ықшам емес екі жақтылықты кеңейтеді σ немесе τ Бұл Картаның инволюциясы, яғни оның бекітілген нүктелік жиыны максималды ықшам субальгебра болып табылады.

Кестелер

Келесі кестеде нақты симметриялы кеңістіктер күрделі симметриялы кеңістіктер мен нақты формалар бойынша индекстелген, әр қарапайым классикалық және ерекше күрделі қарапайым Lie тобы үшін.

G^в = SL (n,C)	G^в/ SO (n,C)	G^в/ S (GL (к,C) GL (ℓ,C)), к + ℓ = n	G^в/ Sp (n,C), n тіпті
G = SL (n,R)	G/ SO (к,л)	G/ S (GL (к,R) GL (л,R)) немесе G/ GL (n/2,C), n тіпті	G/ Sp (n,R), n тіпті
G = SU (б,q), б + q = n	G/ SO (б,q) немесе SU (б,б) / Sk (б,H)	G/ S (U (к_б,к_q× U (л_б,л_q)) немесе SU (б,б) / GL (б,C)	G/ Sp (б/2,q/2), б,q тіпті немесе SU (б,б) / Sp (2б,R)
G= SL (n/2,H), n тіпті	G/ Sk (n/2,H)	G/ S (GL (к/2,H) × GL (ℓ/2,H)), к,ℓ тіпті немесе G/ GL (n/2,C)	G/ Sp (к/2,ℓ/2), к,ℓ тіпті, к + ℓ = n

G^в= SO (n,C)	G^в/ SO (к,C) СО (ℓ,C), к + ℓ = n	G^в/ GL (n/2,C), n тіпті
G= SO (б,q)	G/ SO (к_б,к_q) СО (ℓ_б,л_q) немесе SO (n,n) / SO (n,C)	G/ U (б/2,q/2), б,q тіпті немесе SO (n,n) / GL (n,R)
G = Sk (n/2,H), n тіпті	G/ Sk (к/2,ℓ/2), к,ℓ тіпті немесе G/ SO (n/2,C)	G/ U (к/2,ℓ/2), к,ℓ тіпті немесе G/ SL (n/4,H)

G^в = Sp (2n,C)	G^в/ Sp (2к,C) × Sp (2ℓ,C), к + ℓ = n	G^в/ GL (n,C)
G = Sp (б,q), б + q = n	G/ Sp (к_б,к_q× Sp (ℓ_б,ℓ_q) немесе Sp (n,n) / Sp (n,C)	G/ U (б,q) немесе Sp (б,б) / GL (б,H)
G = Sp (2n,R)	G/ Sp (2к,R) × Sp (2л,R) немесе G/ Sp (n,C)	G/ U (к,ℓ), к + ℓ = n немесе G/ GL (n,R)

Ерекше қарапайым Өтірік топтары үшін Риман ісі төменде, рұқсат етілген σ жеке куәлікке ие болу (сызықшамен көрсетілген). Жоғарыда келтірілген кестелерде бұл жағдай тікелей қамтылған кл=0.

G₂^в	–	G₂^в/ SL (2,C× SL (2,C)
G₂	–	G₂/ SU (2) × SU (2)
G₂₍₂₎	G₂₍₂₎/ SU (2) × SU (2)	G₂₍₂₎/ SL (2,R× SL (2,R)

F₄^в	–	F₄^в/ Sp (6,C× Sp (2,C)	F₄^в/ SO (9,C)
F₄	–	F₄/ Sp (3) × Sp (1)	F₄/ SO (9)
F₄₍₄₎	F₄₍₄₎/ Sp (3) × Sp (1)	F₄₍₄₎/ Sp (6,R× Sp (2,R) немесе F₄₍₄₎/ Sp (2,1) × Sp (1)	F₄₍₄₎/ SO (5,4)
F₄₍₋₂₀₎	F₄₍₋₂₀₎/ SO (9)	F₄₍₋₂₀₎/ Sp (2,1) × Sp (1)	F₄₍₋₂₀₎/ SO (8,1)

E₆^в	–	E₆^в/ Sp (8,C)	E₆^в/ SL (6,C× SL (2,C)	E₆^в/ SO (10,C× SO (2,C)	E₆^в/ F₄^в
E₆	–	E₆/ Sp (4)	E₆/ SU (6) × SU (2)	E₆/ SO (10) × SO (2)	E₆/ F₄
E₆₍₆₎	E₆₍₆₎/ Sp (4)	E₆₍₆₎/ Sp (2,2) немесе E₆₍₆₎/ Sp (8,R)	E₆₍₆₎/ SL (6,R× SL (2,R) немесе E₆₍₆₎/ SL (3,H) × SU (2)	E₆₍₆₎/ SO (5,5) × SO (1,1)	E₆₍₆₎/ F₄₍₄₎
E₆₍₂₎	E₆₍₂₎/ SU (6) × SU (2)	E₆₍₂₎/ Sp (3,1) немесе E₆₍₂₎/ Sp (8,R)	E₆₍₂₎/ SU (4,2) × SU (2) немесе E₆₍₂₎/ SU (3,3) × SL (2,R)	E₆₍₂₎/ SO (6,4) × SO (2) немесе E₆₍₂₎/ Sk (5,H) × SO (2)	E₆₍₂₎/ F₄₍₄₎
E₆₍₋₁₄₎	E₆₍₋₁₄₎/ SO (10) × SO (2)	E₆₍₋₁₄₎/ Sp (2,2)	E₆₍₋₁₄₎/ SU (4,2) × SU (2) немесе E₆₍₋₁₄₎/ SU (5,1) × SL (2,R)	E₆₍₋₁₄₎/ SO (8,2) × SO (2) немесе Sk (5,H) × SO (2)	E₆₍₋₁₄₎/ F₄₍₋₂₀₎
E₆₍₋₂₆₎	E₆₍₋₂₆₎/ F₄	E₆₍₋₂₆₎/ Sp (3,1)	E₆₍₋₂₆₎/ SL (3,H× Sp (1)	E₆₍₋₂₆₎/ SO (9,1) × SO (1,1)	E₆₍₋₂₆₎/ F₄₍₋₂₀₎

E₇^в	–	E₇^в/ SL (8,C)	E₇^в/ SO (12,C× Sp (2,C)	E₇^в/ E₆^в× SO (2,C)
E₇	–	E₇/ SU (8)	E₇/ SO (12) × Sp (1)	E₇/ E₆× SO (2)
E₇₍₇₎	E₇₍₇₎/ SU (8)	E₇₍₇₎/ SU (4,4) немесе E₇₍₇₎/ SL (8,R) немесе E₇₍₇₎/ SL (4,H)	E₇₍₇₎/ SO (6,6) × SL (2,R) немесе E₇₍₇₎/ Sk (6,H× Sp (1)	E₇₍₇₎/ E₆₍₆₎× SO (1,1) немесе E₇₍₇₎/ E₆₍₂₎× SO (2)
E₇₍₋₅₎	E₇₍₋₅₎/ SO (12) × Sp (1)	E₇₍₋₅₎/ SU (4,4) немесе E₇₍₋₅₎/ SU (6,2)	E₇₍₋₅₎/ SO (8,4) × SU (2) немесе E₇₍₋₅₎/ Sk (6,H× SL (2,R)	E₇₍₋₅₎/ E₆₍₂₎× SO (2) немесе E₇₍₋₅₎/ E₆₍₋₁₄₎× SO (2)
E₇₍₋₂₅₎	E₇₍₋₂₅₎/ E₆× SO (2)	E₇₍₋₂₅₎/ SL (4,H) немесе E₇₍₋₂₅₎/ SU (6,2)	E₇₍₋₂₅₎/ SO (10,2) × SL (2,R) немесе E₇₍₋₂₅₎/ Sk (6,H× Sp (1)	E₇₍₋₂₅₎/ E₆₍₋₁₄₎× SO (2) немесе E₇₍₋₂₅₎/ E₆₍₋₂₆₎× SO (1,1)

E₈^в	–	E₈^в/ SO (16,C)	E₈^в/ E₇^в× Sp (2,C)
E₈	–	E₈/ SO (16)	E₈/ E₇× Sp (1)
E₈₍₈₎	E₈₍₈₎/ SO (16)	E₈₍₈₎/ SO (8,8) немесе E₈₍₈₎/ Sk (8,H)	E₈₍₈₎/ E₇₍₇₎× SL (2,R) немесе E₈₍₈₎/ E₇₍₋₅₎× SU (2)
E₈₍₋₂₄₎	E₈₍₋₂₄₎/ E₇× Sp (1)	E₈₍₋₂₄₎/ SO (12,4) немесе E₈₍₋₂₄₎/ Sk (8,H)	E₈₍₋₂₄₎/ E₇₍₋₅₎× SU (2) немесе E₈₍₋₂₄₎/ E₇₍₋₂₅₎× SL (2,R)

Риманның әлсіз симметриялы кеңістігі

1950 жылдары Atle Selberg Картанның симметриялық кеңістіктің анықтамасын келесіге дейін кеңейтті әлсіз симметриялы Риман кеңістігі, немесе қазіргі терминологияда әлсіз симметриялық кеңістік. Олар Риман коллекторлары ретінде анықталады М изометриялардың өтпелі жалғанған тобымен G және изометрия - қалыпқа келтіру G берілген х, ж жылы М изометрия бар с жылы G осындай схема = σж және sy = σх. (Селбергтің σ деген жорамалы² элементі болуы керек G кейіннен қажетсіз болып шықты Эрнест Винберг.) Сельберг әлсіз симметриялық кеңістіктер пайда болатындығын дәлелдеді Гельфанд жұптары, сондықтан, атап айтқанда унитарлық өкілдік туралы G қосулы L²(М) еселік тегін.

Селбергтің анықтамасын геодезиялық симметрияны жалпылау тұрғысынан эквивалентті түрде де айтуға болады. Әр пункт үшін қажет х жылы М жанамалы вектор X кезінде х, изометрия бар с туралы М, байланысты х және X, осылай

с түзетулер х;
туындысы с кезінде х жібереді X дейін -X.

Қашан с тәуелді емес X, М симметриялы кеңістік болып табылады.

Комплекстің периодты автоморфизмдерін жіктеуге негізделген әлсіз симметриялық кеңістіктер және оларды Ахиезер мен Винберг жіктеуі туралы есеп жартылай алгебралар, берілген Қасқыр (2007).

Қасиеттері

Симметриялық кеңістіктердің кейбір қасиеттері мен формаларын атап өтуге болады.

Метрикалық тензорды көтеру

The метрикалық тензор Риман коллекторында ${ displaystyle M}$ скалярлық өнімге дейін көтерілуі мүмкін ${ displaystyle G}$ оны үйлестіру арқылы Өлтіру нысаны. Бұл анықтау арқылы жүзеге асырылады

{ displaystyle langle X, Y rangle _ { mathfrak {g}} = { begin {case}} langle X, Y rangle _ {p} quad & X, Y in T_ {p} M cong { mathfrak {m}} - B (X, Y) quad & X, Y in { mathfrak {h}} 0 & { mbox {әйтпесе}} end {жағдайлар}}}

Мұнда, ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ {p}}$ - анықталған Риман метрикасы ${ displaystyle T_ {p} M}$ , және ${ displaystyle B (X, Y) = operatorname {trace} ( operatorname {ad} X circ operatorname {ad} Y)}$ болып табылады Өлтіру нысаны. Минус белгісі пайда болады, себебі Killing нысаны теріс-анықталған ${ displaystyle { mathfrak {h}} ~;}$ бұл жасайды ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle _ { mathfrak {g}}}$ позитивті-анықталған.

Факторизация

Тангенс кеңістігі ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ бұдан әрі Killing нысаны бойынша жіктелген жеке кеңістіктерге енгізуге болады.^[1] Бұл ілеспе картаны анықтау арқылы жүзеге асырылады ${ displaystyle { mathfrak {m}} - { mathfrak {m}}}$ қабылдау ${ displaystyle Y mapsto Y ^ { #}}$ сияқты

{ displaystyle langle X, Y ^ { #} rangle = B (X, Y)}

қайда ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ бұл Риман метрикасы ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ және ${ displaystyle B ( cdot, cdot)}$ Killing нысаны болып табылады. Бұл картаны кейде деп атайды жалпыланған транспоз, ортогоналды топтар үшін транспозаға және унитарлық топтарға арналған гермит конъюгатына сәйкес келеді. Бұл сызықтық функционалды және ол өзін-өзі біріктіреді, сондықтан ортонормальды негіз бар деген қорытындыға келеді ${ displaystyle Y_ {1}, ldots, Y_ {n}}$ туралы ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ бірге

{ displaystyle Y_ {i} ^ { #} = lambda _ {i} Y_ {i}}

Бұл метрикаға қатысты ортогоналды, яғни

{ displaystyle langle Y_ {i} ^ { #}, Y_ {j} rangle = lambda _ {i} langle Y_ {i}, Y_ {j} rangle = B (Y_ {i}, Y_ {j}) = langle Y_ {j} ^ { #}, Y_ {i} rangle = lambda _ {j} langle Y_ {j}, Y_ {i} rangle}

Killing формасы симметриялы болғандықтан. Бұл факторизирует ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ жеке кеңістікке

{ displaystyle { mathfrak {m}} = { mathfrak {m}} _ {1} oplus cdots oplus { mathfrak {m}} _ {d}}

бірге

{ displaystyle [{ mathfrak {m}} _ {i}, { mathfrak {m}} _ {j}] = 0}

үшін ${ displaystyle i neq j}$ . Жағдайда ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ жартылай қарапайым, сондықтан Killing нысаны деградацияланбайды, сондықтан метрика да факторизациялайды:

{ displaystyle langle cdot, cdot rangle = { frac {1} { lambda _ {1}}} left.B right | _ {{ mathfrak {m}} _ {1}} + cdots + { frac {1} { lambda _ {d}}} left.B right | _ {{ mathfrak {m}} _ {d}}}

Белгілі бір практикалық қосымшаларда бұл факторизацияны операторлардың спектрі ретінде түсіндіруге болады, мысалы меншікті мәндері орбитаның бұрыштық импульсінің әртүрлі мәндеріне сәйкес келетін сутегі атомының спектрі (яғни өлтіру нысаны а Casimir операторы әр түрлі орбитальдар түрленетін әртүрлі ұсыныстарды жіктей алады.)

Симметриялық кеңістікті жіктеу Killing формасының оң / теріс анықталғандығына немесе болмайтындығына байланысты жүреді.

Өтініштер және ерекше жағдайлар

Симметриялық кеңістіктер және холономия

Егер сәйкестендіру компоненті болса голономия тобы Риман манифольдінің нүктесінде жанасу кеңістігіне әсер етпейтін әсер етеді, ал ол коллектор жергілікті риман симметриялы кеңістігі немесе ол бірінде болады 7 отбасы.

Эрмициандық симметриялық кеңістіктер

Риман метрикасына сәйкес келетін параллель күрделі құрылыммен қосымша жабдықталған Риман симметриялы кеңістігі деп аталады Эрмициандық симметриялық кеңістік. Кейбір мысалдар күрделі векторлық кеңістіктер және күрделі проективтік кеңістіктер, олардың әдеттегі Риман метрикасы және сәйкес өлшемдермен күрделі бірлік шарлары толық және риман симметриялы болады.

Төмендетілмейтін симметриялық кеңістік G/Қ егер ол болса және тек егер ол болса Қ орталық шеңберден тұрады. Осы шеңбердің ширек бұрылысы көбейтудің рөлін атқарады мен тану кеңістігінде жанасу кеңістігінде. Осылайша, гермиттік симметриялық кеңістіктер жіктелімнен оңай шығарылады. Ықшам және ықшам емес жағдайларда төрт шексіз қатар бар, яғни AIII, BDI p = 2, DIII және CI және екі ерекше кеңістік, атап айтқанда EIII және EVII. Ықшам емес гермиттік симметриялық кеңістіктер күрделі векторлық кеңістіктерде шектелген симметриялық домендер ретінде жүзеге асырылуы мүмкін.

Кватернион-Калер симметриялы кеңістіктері

Риманның симметриялы кеңістігі, ол параллельді End (T) параллель подбумымен қосымша жабдықталғанМ) әр нүктеде ойдан шығарылған кватерниондарға изоморфты және Риман метрикасымен үйлесімді деп аталады. кватернион-калар симметриялы кеңістігі.

Төмендетілмейтін симметриялық кеңістік G/Қ изотропты түрде ұсынылған жағдайда ғана кватернион-кәлер болып табылады Қ сияқты әрекет ететін Sp (1) жиынтығы бар кватерниондар үстінде кватерниондық векторлық кеңістік. Осылайша, кватернион-кәйлер симметриялы кеңістігі жіктелімнен оңай шығарылады. Ықшам да, ықшам емес жағдайларда да Lie қарапайым топтарының әрқайсысы үшін дәл біреу бар, яғни AI бар б = 2 немесе q = 2 (бұлар изоморфты), BDI с б = 4 немесе q = 4, CII с б = 1 немесе q = 1, EII, EVI, EIX, FI және G.

Боттың мерзімділік теоремасы

Ішінде Боттың мерзімділік теоремасы, цикл аралықтары қораның ортогональды топ редуктивті симметриялық кеңістіктер ретінде түсіндіруге болады.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

Ахиезер, Д.Н .; Винберг, Е.Б. (1999), «Әлсіз симметриялық кеңістіктер және сфералық сорттар», Трансф. Топтар, 4: 3–24, дои:10.1007 / BF01236659
ван ден Бан, Э. П .; Фленстед-Дженсен, М .; Schlichtkrull, H. (1997), Жартылай симметриялық кеңістіктегі гармоникалық талдау: кейбір жалпы нәтижелерге шолу, өкілдік теориясы мен автоморфтық формаларында: нұсқаулық конференциясы, Халықаралық математика ғылымдарының орталығы, наурыз 1996 ж., Эдинбург, Шотландия, американдық математикалық қоғам, ISBN 978-0-8218-0609-8
Бергер, Марсель (1957), «Les espaces symétriques non compact», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 74 (2): 85–177, дои:10.24033 / asens.1054
Бесс, Артур Ланселот (1987), Эйнштейн манифольдтары, Springer-Verlag, ISBN 0-387-15279-2 Құрамында ықшам кіріспе және көптеген кестелер бар.
Борел, Арманд (2001), Өтірік топтары мен алгебралық топтар очерктері, Американдық математикалық қоғам, ISBN 0-8218-0288-7
Картан, Эли (1926), «Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, мен», Францияның Mathématique бюллетені, 54: 214–216, дои:10.24033 / bsmf.1105
Картан, Эли (1927), «Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann, II», Францияның Mathématique бюллетені, 55: 114–134, дои:10.24033 / bsmf.1113
Фленстед-Дженсен, Могенс (1986), Римандық емес симметриялы кеңістіктерде талдау, CBMS аймақтық конференциясы, американдық математикалық қоғам, ISBN 978-0-8218-0711-8
Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциалдық геометрия, Өтірік топтары және симметриялық кеңістіктер, Academic Press, ISBN 0-12-338460-5 Риман симметриялы кеңістігі туралы стандартты кітап.
Хельгасон, Сигурдур (1984), Топтар және геометриялық анализ: интегралды геометрия, инвариантты дифференциалдық операторлар және сфералық функциялар, Academic Press, ISBN 0-12-338301-3
Хуанг, Ёндун; Леунг, Найчунг Конан (2010). «Сиқырлы квадратты қолданатын грассманниялықтар сияқты ықшам симметриялық кеңістіктердің біркелкі сипаттамасы (PDF). Mathematische Annalen. 350 (1): 79–106. дои:10.1007 / s00208-010-0549-8.CS1 maint: ref = harv (сілтеме)
Кобаяши, Шошичи; Номизу, Катсуми (1996), Дифференциалдық геометрияның негіздері, II том, Wiley Classics кітапханасының басылымы, ISBN 0-471-15732-5 XI тарауда Риман симметриялы кеңістігіне жақсы кіріспе бар.
Лос, Оттмар (1969), Симметриялық кеңістіктер I: Жалпы теория, Бенджамин
Лос, Оттмар (1969), Симметриялық кеңістіктер II: Шағын кеңістіктер және жіктеу, Бенджамин
Номизу, К. (1954), «Біртекті кеңістіктердегі инвариантты аффиналық байланыстар», Amer. Дж. Математика., 76 (1): 33–65, дои:10.2307/2372398, JSTOR 2372398
Сельберг, Атл (1956), «Дирихле қатарына қосымшалары бар, әлсіз симметриялы риман кеңістігіндегі гармоникалық талдау және үзіліссіз топтар», Дж. Үнді математикасы. Қоғам, 20: 47–87
Қасқыр, Джозеф А. (1999), Тұрақты қисықтық кеңістіктері (5-ші басылым), McGraw-Hill
Қасқыр, Джозеф А. (2007), Коммутативті кеңістіктегі гармоникалық талдау, Американдық математикалық қоғам, ISBN 978-0-8218-4289-8

^ Юрген Джост, (2002) «Риман геометриясы және геометриялық анализ», Үшінші басылым, Springer (5.3 бөлімді, 256-бетті қараңыз)

[1] Юрген Джост, (2002) «Риман геометриясы және геометриялық анализ», Үшінші басылым, Springer (5.3 бөлімді, 256-бетті қараңыз)

[1]