Проективті кеңістік - Projective space

Жылы графикалық перспектива, жазықтықтағы параллель түзулер а-мен қиылысады жоғалу нүктесі үстінде көкжиек.

Жылы математика, а тұжырымдамасы проективті кеңістік -ның визуалды әсерінен пайда болған перспектива, онда параллель сызықтар түйісетін сияқты шексіздікте. Проективті кеңістік осылайша а кеңістігі ретінде қарастырылуы мүмкін Евклид кеңістігі, немесе, жалпы, ан аффиналық кеңістік бірге шексіздікке бағытталған, әрқайсысының шексіздігінде бір нүкте болатындай етіп бағыт туралы параллель түзулер.

Проективті кеңістіктің бұл анықтамасында болмаудың кемшілігі бар изотропты, дәлелдемелерде бөлек қарастырылуы керек екі түрлі тармаққа ие. Сондықтан басқа анықтамаларға басымдық беріледі. Анықтамалардың екі класы бар. Жылы синтетикалық геометрия, нүкте және сызықтар бағдарланған «нүкте түзуде» немесе «сызық нүкте арқылы өтеді» инциденттік қатынасымен байланысты алғашқы адамдар проективті геометрияның аксиомалары. Кейбір осындай аксиомалар жиынтығы үшін проективті кеңістіктер қазіргі оқулықтарда жиі кездесетін келесі анықтаманың нәтижелерімен эквивалентті болып шықты.

Қолдану сызықтық алгебра, проективті өлшем кеңістігі n жиынтығы ретінде анықталады векторлық сызықтар (яғни өлшем бір векторлық ішкі кеңістіктер) а векторлық кеңістік V өлшем n + 1. Бұған тең жиынтық жиынтығы туралы V \ {0} бойынша эквиваленттік қатынас «бір векторлық сызықта болу». Векторлық сызық кесіндімен қиылысады бірлік сферасы туралы V екеуінде антиподальды нүктелер, проективті кеңістіктерді эквивалентті антиподальды нүктелер анықталған сфералар ретінде анықтауға болады. 1 өлшемінің проективті кеңістігі - а проекциялық сызық, және 2 өлшемінің проективті кеңістігі - а проективті жазықтық.

Проективті кеңістіктер кеңінен қолданылады геометрия, қарапайым тұжырымдар мен қарапайым дәлелдемелерге мүмкіндік беру ретінде. Мысалы, in аффиндік геометрия, жазықтықтағы екі айқын сызық ең көп дегенде бір нүктеде, ал, ішінде проективті геометрия, олар дәл бір нүктеде қиылысады. Сонымен қатар, тек бір ғана класс бар конустық бөлімдер, оларды тек шексіздік сызығымен қиылысуымен ажыратуға болады: үшін екі қиылысу нүктесі гиперболалар; біреуі парабола, ол шексіздікке сызықпен жанасады; және нақты қиылысу нүктесі жоқ эллипс.

Жылы топология, және нақтырақ айтқанда көпжақты теория, проективті кеңістіктер типтік мысалдар бола отырып, іргелі рөл атқарады бағдарланбайтын коллекторлар.

Мотивация

Проективті жазықтық және орталық проекция

Жоғарыда көрсетілгендей, «екі» сияқты тұжырымдарды формалдау үшін проективті кеңістіктер енгізілді қос сызықтар дәл бір нүктеде қиылысады, ал егер сызықтар болса, бұл нүкте шексіздікте болады параллель. «Мұндай мәлімдемелерді зерттеу ұсынады перспектива деп қарастырылуы мүмкін орталық проекция туралы үш өлшемді кеңістік а ұшақ (қараңыз Тесік камерасының моделі ). Дәлірек айтсақ, камераның немесе бақылаушының көзінің қарашығы болып табылады проекция орталығы, және кескін проекция жазықтығы.

Математикалық тұрғыдан проекция орталығы нүкте болып табылады O кеңістіктің (суреттегі осьтердің қиылысы); проекция жазықтығы (P2, суретте көк түспен) - бұл өтпейтін жазықтық O, ол көбінесе теңдеу жазықтығы ретінде таңдалады з = 1, қашан Декарттық координаттар қарастырылады. Содан кейін, орталық проекция нүктені бейнелейді P сызықтың қиылысына дейін ОП проекция жазықтығымен Мұндай қиылысу нүкте болған жағдайда ғана болады P ұшаққа жатпайды (P1, суретте жасыл түспен) O және параллель P2.

Бұл сызықтар арқылы өтеді O бөлінбеген екі жиынға бөлінеді: құрамында жоқ жолдар P1, олар нүктелермен бір-бірден сәйкес келеді P2, және онда қамтылған P1, олар параллель түзулердің бағыттарымен бір-бірден сәйкес келеді P2. Бұл анықтауға кеңес береді ұпай (осында шақырылды проективті нүктелер сызықтар арқылы өтетін проекциялық жазықтықтың анықтығы үшін) O. A проекциялық сызық осы жазықтықта өтетін жазықтықта орналасқан барлық проективті нүктелер (олар түзулер) тұрады O. Өткен екі жазықтықтың қиылысы ретінде O арқылы өтетін сызық O, екі айқын проекциялық сызықтың қиылысы бір проективті нүктеден тұрады. Ұшақ P1деп аталатын проективті сызықты анықтайды шексіздік сызығы туралы P2. Әрбір нүктесін анықтау арқылы P2 сәйкес проекциялық нүктемен проективті жазықтық деп айтуға болады бірлескен одақ туралы P2 және шексіздіктегі (проективті) сызық.

Ретінде аффиналық кеңістік айтулы нүктемен O онымен байланысты болуы мүмкін векторлық кеңістік (қараңыз Аффин кеңістігі § Векторлық кеңістік аффиналық кеңістік ретінде ), алдыңғы құрылыс негізінен векторлық кеңістіктен басталады және деп аталады проекциялау. Сондай-ақ, кез-келген оң өлшемді векторлық кеңістіктен бастап құрылысты жасауға болады.

Сонымен, проективті өлшем кеңістігі n жиынтығы ретінде анықтауға болады векторлық сызықтар (векторлық өлшем бір векторлық кеңістік) векторлық өлшем кеңістігінде n + 1. Проективті кеңістікті осы векторлық сызықтар жиынтығымен табиғи сәйкес келетін кез-келген жиынның элементтері ретінде де анықтауға болады.

Бұл жиынның жиынтығы болуы мүмкін эквиваленттік сыныптар векторлар арасындағы эквиваленттік қатынас бойынша «бір вектор екінші нөлдің нөлдік скалярмен көбейтіндісі» деп анықталады. Басқаша айтқанда, бұл нөлдік вектор жойылған векторлық сызықтардың жиынтығы ретінде проективті кеңістікті анықтауға тең келеді.

Үшінші баламалы анықтама - өлшемнің проективті кеңістігін анықтау n жұптарының жиынтығы ретінде антиподальды нүктелер өлшем саласында n (өлшем кеңістігінде) n + 1).

Анықтама

Берілген векторлық кеңістік V астам өріс Қ, проективті кеңістік P(V) жиынтығы эквиваленттік сыныптар туралы V \{0} эквиваленттік қатынас бойынша ~ арқылы анықталады х ~ ж егер нөлдік емес элемент болса λ туралы Қ осындай х = λy. Егер V Бұл топологиялық векторлық кеңістік, кеңістік P(V) Бұл топологиялық кеңістік, топология. Бұл жағдайда Қ өріс туралы нақты сандар немесе өріс туралы күрделі сандар. Егер V ақырлы өлшемді, өлшем туралы P(V) өлшемі болып табылады V минус біреу.

Жалпы жағдайда қайда V = Қn+1, проективті кеңістік P(V) деп белгіленеді Pn(Қ) (Сонымен қатар ҚPn немесе Pn(Қ), дегенмен бұл жазуды дәрежелендірумен шатастыруға болады). Кеңістік Pn(Қ) деп аталады The проективті өлшем кеңістігі n аяқталды Қ, немесе проективті n-ғарыш, өлшемнің барлық проективті кеңістіктері болғандықтан n болып табылады изоморфты оған (өйткені әрқайсысы Қ векторлық өлшем кеңістігі n + 1 изоморфты болып табылады Қn+1.

Проективті кеңістіктің элементтері P(V) деп аталады ұпай. Егер а негіз туралы V таңдалды, және, атап айтқанда, егер V = Қn+1, проективті координаттар нүктенің P сәйкес эквиваленттік кластың кез-келген элементі негізінде координаталар болып табылады. Бұл координаттар әдетте белгіленеді [х0 : ... : хn], координаталарды кәдімгіден ажырату үшін қолданылатын қос нүктелер мен жақшалар және бұл эквиваленттік класс екенін анықтап дейін нөлге тең емес тұрақтыға көбейту. Яғни, егер [х0 : ... : хn] нүктенің проективті координаттары, сонда [λx0 : ... : λxn] кез келген нөлдік емес үшін бірдей нүктенің проективті координаттары болып табылады λ жылы Қ. Сондай-ақ, жоғарыдағы анықтама мұны білдіреді [х0 : ... : хn] егер координаттардың ең болмағанда біреуі нөлге тең болса ғана, нүктенің проективті координаттары болып табылады.

Егер Қ нақты немесе күрделі сандардың өрісі, проективті кеңістік а деп аталады нақты проективті кеңістік немесе а күрделі проекциялық кеңістік сәйкесінше. Егер n бір немесе екі, проективті өлшем кеңістігі n а деп аталады проекциялық сызық немесе а проективті жазықтық сәйкесінше. Күрделі проекциялық сызық сонымен қатар деп аталады Риман сферасы.

Барлық осы анықтамалар жағдайға табиғи түрде таралады Қ Бұл бөлу сақинасы; қараңыз, мысалы, Кватерниондық проекциялық кеңістік. Белгілеу PG (n, Қ) үшін кейде қолданылады Pn(Қ).[1] Егер Қ Бұл ақырлы өріс бірге q элементтер, Pn(Қ) жиі белгіленеді PG (n, q) (қараңыз PG (3,2) ).[2]

Байланысты ұғымдар

Қосалқы кеңістік

Келіңіздер P(V) проективті кеңістік болыңыз, қайда V өрістің үстіндегі векторлық кеңістік Қ, және

болуы канондық карта нөлдік векторды эквиваленттілік класына түсіретін, ол векторлық сызық құрамында б нөлдік вектор алынып тасталды.

Әрқайсысы сызықтық ішкі кеңістік W туралы V - бұл сызықтардың бірігуі. Бұдан шығатыны б(W) деп анықтауға болатын проективті кеңістік болып табылады P(W).

A проективті ішкі кеңістік осылайша анықтайтын эквиваленттік қатынасты сызықтық ішкі кеңістікпен шектеу арқылы алынған проективті кеңістік болып табылады P(V).

Егер б(v) және б(w) нүктелерінің екі түрлі нүктелері болып табылады P(V), векторлар v және w болып табылады сызықтық тәуелсіз. Бұдан шығатыны:

Нүктелерінің екі түрлі нүктелерінен өтетін дәл бір проекциялық сызық бар P(V)

және

Ішкі жиыны P(V) проективті ішкі кеңістік болып табылады, егер тек кез-келген екі түрлі нүкте берілген болса, онда ол осы нүктелер арқылы өтетін бүкіл проективті сызықты қамтиды.

Жылы синтетикалық геометрия, онда проективті сызықтар қарабайыр объектілер болса, бірінші қасиет - аксиома, ал екіншісі - проективті ішкі кеңістіктің анықтамасы.

Аралық

Әрқайсысы қиылысу проективті ішкі кеңістіктер - бұл проективті ішкі кеңістік. Бұдан шығатыны әр ішкі жиын үшін S проективті кеңістіктің құрамында ең кіші проективті ішкі кеңістік бар S, қамтитын барлық проективті ішкі кеңістіктердің қиылысы S. Бұл проективті ішкі кеңістік деп аталады проективті аралық туралы S, және S бұл оған арналған жиынтық.

Жинақ S ұпай болып табылады проективті тәуелсіз егер оның аралығы кез-келген тиісті жиынның аралығы болмаса S. Егер S бұл проективті кеңістіктің кеңейтілген жиынтығы P, содан кейін S ол созылады P және проективті түрде тәуелсіз (бұл векторлық кеңістік үшін ұқсас теореманың нәтижесі). Егер өлшемі P болып табылады n, осындай тәуелсіз кеңейту жиынтығы бар n + 1 элементтер.

Жағдайларына қарсы векторлық кеңістіктер және аффиналық кеңістіктер, координаттарды анықтау үшін тәуелсіз ауқым жиынтығы жеткіліксіз. Тағы бір ұпай қажет, келесі бөлімді қараңыз.

Жақтау

A проекциялық жақтау - координаттарды анықтауға мүмкіндік беретін проективті кеңістіктегі реттелген нүктелер жиынтығы. Дәлірек айтқанда, а n-өлшемді проекциялық кеңістік, проективті жақтау - бұл кортеж n + 2 кез келген болуы керек n + 1 олардың біреуі тәуелсіз, яғни гиперпланетте жоқ.

Егер V Бұл (n + 1)-өлшемді векторлық кеңістік, және б канондық проекциясы болып табылады V дейін P(V), содан кейін тек егер болса, ол проективті жақтау болып табылады негізі болып табылады V, және коэффициенттері осы негізде нөлдік емес. Біріншісін алып тастау арқылы n векторларын, кез-келген кадрды келесідей етіп жазуға болады осындай бұл көрініс бәрін көбейтуге дейін ерекше жалпы нөлдік емес фактормен.

The проективті координаттар немесе біртекті координаттар нүктенің б(v) жақтауда бірге координаттары болып табылады v негізінде Олар қайтадан жалпы нөлдік емес фактормен масштабтауға дейін анықталады.

The канондық рамка проективті кеңістіктің Pn(Қ) арқылы бейнелерден тұрады б элементтерінің канондық негізі Қn + 1 ( кортеждер нөлге тең емес бір жазба бар, 1-ге тең, және кескін б олардың сомасынан.

Проективті трансформация

Топология

Проективті кеңістік - бұл топологиялық кеңістік, ретінде берілген топология ақырлы өлшемді нақты векторлық кеңістіктің топологиясы.

Келіңіздер S болуы бірлік сферасы нормаланған векторлық кеңістікте V, және функциясын қарастырыңыз

нүктесін бейнелейді S ол арқылы өтетін векторлық сызыққа. Бұл функция үздіксіз және болжамды болып табылады. Нүктесінің кері бейнесі P(V) екіден тұрады антиподальды нүктелер. Сфералар сияқты ықшам кеңістіктер, бұдан:

(Шекті өлшемді) проективті кеңістік ықшам.

Әр ұпай үшін P туралы S, шектеу π ауданына P Бұл гомеоморфизм егер оның маңында антиподальды нүктелер болмайтындай шағын болса, оның кескініне. Бұл проективті кеңістіктің көпқырлы екенін көрсетеді. Қарапайым атлас қамтамасыз етілуі мүмкін, келесідей.

Негізі таңдала салысымен V, кез-келген векторды оның координаттарымен және кез келген нүктесімен анықтауға болады P(V) онымен сәйкестендірілуі мүмкін біртекті координаттар. Үшін мен = 0, ..., n, жиынтық

ашық ішкі жиыны болып табылады P(V), және

өйткені әр тармақ P(V) кем дегенде бір нөлдік емес координатасы бар.

Әрқайсысына Uмен байланысты диаграмма, бұл гомеоморфизмдер

осындай

мұнда шляпалар тиісті терминнің жоқтығын білдіреді.

Нақты проективті сызықтың көпқырлы құрылымы

Бұл диаграммалар атлас, және, сияқты өтпелі карталар болып табылады аналитикалық функциялар, бұл проективті кеңістіктер болады аналитикалық коллекторлар.

Мысалы, жағдайда n = 1, яғни проективті сызық, тек екеуі бар Uмен, оны әрқайсысының көшірмесіне сәйкестендіруге болады нақты сызық. Екі сызықта да екі диаграмманың қиылысы нөлдік емес нақты сандар жиыны болып табылады, ал өтпелі карта солай болады

екі бағытта. Кескін проективті сызықты антиподальды нүктелер анықталған шеңбер ретінде бейнелейді және проективті сызыққа нақты сызықтың екі гомеоморфизмін көрсетеді; антиподальды нүктелер анықталғандықтан, әрбір сызықтың кескіні ашық жарты шеңбер түрінде ұсынылады, оны бір нүктені алып тастап проективті сызықпен анықтауға болады.

CW күрделі құрылымы

Нақты проективті кеңістіктер қарапайым CW кешені құрылымы Pn(R) -дан алуға болады Pn − 1(R) бекіту арқылы n- проекциясы бар ұялы байланыс Sn−1Pn−1(R) тіркеу картасы ретінде.

Алгебралық геометрия

Бастапқыда, алгебралық геометрия жиындарының ортақ нөлдерін зерттеу болды көп айнымалы көпмүшеліктер. Бұл жалпы нөлдер деп аталады алгебралық сорттары тиесілі аффиналық кеңістік. Көп ұзамай пайда болды, нақты коэффициенттер жағдайында нақты нәтижелерге жету үшін барлық нөлдерді ескеру керек. Мысалы, алгебраның негізгі теоремасы бір айнымалы деп бекітеді шаршысыз көпмүше дәрежесі n дәл бар n күрделі тамырлар. Көп айнымалы жағдайда күрделі нөлдерді қарастыру қажет, бірақ жеткіліксіз: оны да ескеру қажет шексіздіктегі нөлдер. Мысалға, Безут теоремасы екі жазықтықтың қиылысы екенін дәлелдейді алгебралық қисықтар сәйкес дәрежелер г. және e дәл тұрады де егер біреу проективті жазықтықтағы күрделі нүктелерді қарастырса, ал егер нүктелерді олардың еселігімен санаса.[3] Тағы бір мысал дәрежелік формула жазықтықтың түрін есептеуге мүмкіндік береді алгебралық қисық оны құрайды даралық ішінде күрделі проекциялық жазықтық.

Сонымен а проективті әртүрлілік - бұл проективті кеңістіктегі нүктелер жиынтығы, оның біртекті координаттар жиынының ортақ нөлдері біртекті көпмүшелер.[4]

Кез-келген аффинді әртүрлілік болуы мүмкін аяқталды, оны қосу арқылы проективті әртүрлілікке шексіздікке бағытталған, ол тұрады гомогенизациялау анықтайтын көпмүшеліктер және гиперпланға кіретін компоненттерді шексіздікпен жою қанықтыру біртектес айнымалыға қатысты.

Проективті кеңістіктер мен проективті сорттардың маңызды қасиеті - астында проективті сорттың бейнесі алгебралық сорттардың морфизмі үшін жабық Зариски топологиясы (яғни бұл алгебралық жиынтық ). Бұл нақты және күрделі проективті кеңістіктің ықшамдылығын әр жер өрісіне жалпылау.

Проективті кеңістік - бұл нөлдік көпмүшенің нөлдер жиыны бола отырып, проективті әртүрлілік.

Схема теориясы

Схема теориясы, енгізген Александр Гротендик 20 ғасырдың екінші жартысында, деп аталатын алгебралық сорттарды жалпылауға мүмкіндік береді схемалар, деп аталатын кішігірім бөліктерді желімдеу арқылы аффиндік схемалар, ұқсас коллекторлар ашық жиынтықтарын желімдеу арқылы салуға болады The Proj құрылысы бұл аффиндік схемаларды бір-біріне жабыстыру арқылы проективті кеңістіктің схемасын, және кез-келген проективті әртүрліліктің құрылысы. Проективтік кеңістіктер жағдайында жоғарыда көрсетілген аффиналық схемаларға аффиналық схемаларды (аффиналық кеңістіктерге) жоғарыда көрсетілген проективті кеңістіктің сипаттамасы коллектор ретінде алуға болады.

Синтетикалық геометрия

Жылы синтетикалық геометрия, а проективті кеңістік S жиын ретінде аксиоматикалық түрде анықталуы мүмкін P (нүктелер жиынтығы), жиынтықпен бірге L ішкі жиындарының P (сызықтар жиынтығы), осы аксиомаларды қанағаттандырады:[5]

  • Әр екі нақты нүкте б және q дәл бір жолда орналасқан.
  • Веблен аксиома:[6] Егер а, б, c, г. нақты нүктелер мен сызықтар аб және CD кездесулер, содан кейін сызықтар арқылы ак және bd.
  • Кез-келген жолда кем дегенде 3 нүкте болады.

Соңғы аксиома проекциялық кеңістіктің дисконтталған бірігуі ретінде жазылатын қысқартылатын жағдайларды жоққа шығарады, олар екі проективті кеңістіктердегі кез-келген екі нүктені біріктіретін 2 нүктелі сызықтармен бірге. Неғұрлым абстрактілі түрде оны анықтауға болады аурудың құрылымы (P, L, Мен) жиынтықтан тұрады P ұпай, жиынтық L сызықтар, және ауру қатынасы Мен қай нүктелер қандай сызықтарда жатқанын көрсетеді.

Осы аксиомалармен анықталған құрылымдар жоғарыда келтірілген кеңістіктік векторлық құрылыстан алынған құрылымдарға қарағанда жалпы болып табылады. Егер (проективті) өлшем кемінде үш болса, онда, бойынша Веблен – Янг теоремасы, ешқандай айырмашылық жоқ. Алайда, екінші өлшем үшін векторлық кеңістіктен (немесе бөлу сақиналарының үстінен тіпті модульдерден) тұрғызуға болмайтын осы аксиомаларды қанағаттандыратын мысалдар бар. Бұл мысалдар қанағаттандырмайды Дезарг теоремасы және ретінде белгілі Дезаргезиялық емес ұшақтар. Бірінші өлшемде кем дегенде үш элементтен тұратын кез-келген жиын аксиомаларды қанағаттандырады, сондықтан аксиоматикалық түрде анықталған проективті сызықтар үшін қосымша құрылымды қабылдау әдеттегідей.[7]

Проективті кеңістікті анықтайтын аксиомаларды қосу немесе өзгерту арқылы төмен өлшемдердегі қиын жағдайларды болдырмауға болады. Коксетер (1969 ж.), б. 231) Бахманның арқасында осындай кеңейту береді.[8] Өлшемнің кем дегенде екі екендігіне көз жеткізу үшін жоғарыдағы аксиоманың бір жолына үш нүктені ауыстырыңыз;

  • Төрт нүкте бар, олардың үшеуі де бірдей емес.

Desarguesian емес ұшақтардан аулақ болу үшін, оларды қосыңыз Паппус теоремасы аксиома ретінде;[9]

  • Егер алтыбұрыштың алты төбесі кезекпен екі түзуде жатса, қарама-қарсы жақтардың жұптарының қиылысуының үш нүктесі коллинеар болады.

Сонымен, векторлық кеңістіктің тең емес өріс бойынша анықталуын қамтамасыз ету үшін сипаттамалық қосу Фано аксиомасы;[10]

A ішкі кеңістік проективті кеңістіктің ішкі жиыны X, нүктелерінің екі нүктесін қамтитын кез-келген жол X ішкі бөлігі болып табылады X (яғни толығымен қамтылған X). Толық кеңістік пен бос кеңістік әрқашан қосалқы кеңістік болып табылады.

Кеңістіктің геометриялық өлшемі дейді n егер бұл осы форманың кіші кеңістігінің қатаң түрде өсетін тізбегі болатын ең үлкен сан болса:

Қосалқы кеңістік мұндай тізбекте (геометриялық) өлшем бар дейді . 0 өлшемді ішкі кеңістіктер деп аталады ұпай, 1 өлшемі деп аталады сызықтар және тағы басқа. Егер кеңістіктің өлшемі болса содан кейін өлшемнің кез-келген ішкі кеңістігі а деп аталады гиперплан.

Жіктелуі

  • Өлшем 0 (сызықтар жоқ): кеңістік бір нүкте.
  • 1 өлшем (дәл бір жол): барлық нүктелер бірегей сызықта жатыр.
  • Өлшем 2: кем дегенде 2 жол бар, және кез-келген екі жол сәйкес келеді. Үшін проективті кеңістік n = 2 а-ға тең проективті жазықтық. Оларды жіктеу әлдеқайда қиын, өйткені олардың барлығы а-мен изоморфты емес PG (г., Қ). The Дезаргезиан жазықтықтары (а-мен изоморфты болатындар PG (2, Қ)) қанағаттандыру Дезарг теоремасы және бөлу сақиналарының үстіндегі проекциялық жазықтықтар, бірақ олар көп десаргезиялық емес ұшақтар.
  • Көлемі кем дегенде 3: қиылыспайтын екі сызық бар. Veblen & Young (1965) дәлелдеді Веблен – Янг теоремасы өлшемнің әрбір проективті кеңістігі n ≥ 3 а-мен изоморфты PG (n, Қ), n- кейбіреулерге проективті кеңістік бөлу сақинасы Қ.

Соңғы проективті кеңістіктер мен жазықтықтар

A соңғы проективті кеңістік бұл проективті кеңістік P нүктелердің ақырғы жиынтығы. Кез-келген ақырлы проекциялық кеңістіктегі әр жолда нүктелер саны бірдей болады тапсырыс кеңістіктің мәні осы жалпы саннан бір кем деп анықталады. Шекті проективті кеңістіктер үшін кемінде үш, Ведберберн теоремасы проективті кеңістік анықталған бөлу сақинасы а болуы керек дегенді білдіреді ақырлы өріс, GF (q), оның реті (яғни элементтер саны) q (негізгі күш). Осындай ақырлы өрісте анықталған ақырғы проективті кеңістік бар q + 1 сызықтағы нүктелер, сондықтан тәртіптің екі ұғымы сәйкес келеді. Ерекше, PG (n, GF (q)) әдетте ретінде жазылады PG (n, q).

Бірдей ретті барлық ақырлы өрістер изоморфты болып табылады, сондықтан изоморфизмге дейін берілген шекті өрістің үстінде әр өлшем үшін үштен үлкен немесе тең болатын бір ғана ақырлы проекциялық кеңістік болады. Алайда, екінші өлшемде десаргезиялық емес жазықтықтар бар. Изоморфизмге дейін бар

1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0,… (реттілік A001231 ішінде OEIS )

сәйкесінше 2, 3, 4, ..., 10 ретті шектеулі проекциялық жазықтықтар. Одан тыс сандарды есептеу өте қиын және олардың салдарынан болатын кейбір нөлдік мәндерден басқа анықталмайды Брук-Ризер теоремасы.

Ең кіші проекциялық жазықтық Фано ұшағы, PG (2, 2) 7 нүктеден және 7 жолдан тұрады. Ең кіші 3 өлшемді проекциялық кеңістік PG (3,2), 15 нүктемен, 35 сызықпен және 15 ұшақпен.

Морфизмдер

Инъективті сызықтық карталар ТL(V, W) екі векторлық кеңістік арасында V және W сол өрісте к сәйкес проективті кеңістіктердің кескіндерін келтіріңіз P(V) → P(W) арқылы:

[v] → [Т(v)],

қайда v нөлдің емес элементі болып табылады V және [...] сәйкес проективті кеңістіктерді анықтайтын идентификациядағы вектордың эквиваленттік кластарын білдіреді. Эквиваленттік кластың мүшелері скалярлық фактормен ерекшеленетіндіктен және сызықтық карталарда скалярлық факторлар сақталғандықтан, бұл индукцияланған карта жақсы анықталған. (Егер Т инъекциялық емес, а бос орын {0} үлкен; бұл жағдайда. класының мәні Т(v) егер проблемалы болса v нөлге тең емес және бос кеңістікте. Бұл жағдайда біреу деп аталатынды алады ұтымды карта, қараңыз бирациялық геометрия ).

Екі сызықтық карта S және Т жылы L(V, W) арасында бірдей картаны шығару P(V) және P(W) егер және егер болса олар скалярлық еселікпен ерекшеленеді, яғни Т = .S кейбіреулер үшін λ ≠ 0. Осылайша, егер скалярлық еселіктерді анықтаса жеке куәлік негізгі өріспен Қ, жиынтығы Қ- сызықтық морфизмдер бастап P(V) дейін P(W) жай P(L(V, W)).

The автоморфизмдер P(V) → P(V) нақтырақ сипаттауға болады. (Біз базалық өрісті сақтайтын автоморфизмдермен ғана айналысамыз Қ). Ұғымын қолдану жаһандық бөлімдермен құрылған шоқтар, кез-келген алгебралық (міндетті емес сызықтық) автоморфизм сызықтық болуы керек, яғни векторлық кеңістіктің (сызықтық) автоморфизмінен шығатындығын көрсетуге болады. V. Соңғысы топ GL (V). Скалярмен ерекшеленетін карталарды анықтау арқылы біреу қорытынды жасайды

Авт. (P(V)) = АвтV)/Қ× = GL (V)/Қ× =: PGL (V),

The квоталық топ GL (V) сәйкестіліктің скалярлық еселігі болып табылатын матрицаларды модульдеу. (Бұл матрицалар орталығы Авт (V).) PGL топтары деп аталады сызықтық топтар. Күрделі проективті сызықтың автоморфизмдері P1(C) деп аталады Мобиус түрлендірулері.

Қос проективті кеңістік

Жоғарыда көрсетілген құрылысты қолданған кезде қос кеңістік V гөрі V, гиперпланеталар кеңістігімен канондық түрде анықталуы мүмкін қос проективті кеңістікті алады V. Яғни, егер V болып табылады n өлшемді, содан кейін P(V) болып табылады Грассманниан туралы n − 1 ұшақтар V.

Алгебралық геометрияда бұл конструкция проективті шоқтарды құруда үлкен икемділікке мүмкіндік береді. Адам проективті кеңістікті байланыстырғысы келеді әрқайсысы квазиогерентті шоқ E схема бойынша Y, тек жергілікті емес.[түсіндіру қажет ] Қараңыз EGAII, Тарау. II, аб. Толығырақ ақпарат алу үшін 4.

Жалпылау

өлшем
Проективті кеңістік, берілген векторлық кеңістіктің барлық бір өлшемді сызықтық ішкі кеңістіктерінің «кеңістігі» бола отырып V жалпыланған Грассманния коллекторы, бұл үлкен өлшемді ішкі кеңістікті (кейбір бекітілген өлшемді) параметрлейді V.
ішкі кеңістіктер тізбегі
Жалпы алғанда жалауша коллекторы - жалаулар кеңістігі, яғни сызықтық ішкі кеңістіктердің тізбектері V.
басқа кіші сорттар
Жалпы, кеңістіктер сияқты нысандарды параметрлейді эллиптикалық қисықтар берілген түрдегі.
басқа сақиналар
Ассоциативті жалпылау сақиналар (өрістерден гөрі), мысалы, сақинаның үстінен проекциялық сызық.
жамау
Проективті кеңістікті жамау өнімділікке әкеледі проективті ғарыш байламдары.

Севери-Брауэр сорттары болып табылады алгебралық сорттары өріс үстінде к, олар өрістің кеңеюінен кейін проективті кеңістіктерге изоморфты болады к.

Проективті кеңістіктің тағы бір жалпылауы болып табылады проективті кеңістіктер; бұл ерекше жағдайлар торик сорттары.[11]

Сондай-ақ қараңыз

Жалпылау

Проективті геометрия

Байланысты

Ескертулер

  1. ^ Мауро Билиотти, Викрам Джа, Норман Л. Джонсон (2001) Аударма ұшақтарының негіздері, б. 506, Марсель Деккер ISBN  0-8247-0609-9
  2. ^ Үтірден кейін бос орын болмауы бұл белгілер үшін жиі кездеседі.
  3. ^ Көптіктің дұрыс анықтамасы, егер бұл оңай болмаса және тек 20 ғасырдың ортасынан басталса.
  4. ^ Біртекті координаталарды нөлдік скалярға көбейткенде нөл нөлге айналуы үшін біртектілік қажет..
  5. ^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998 ж, пг. 6-7
  6. ^ деп те аталады Веблен – Жас аксиома және қате ретінде Пасх аксиомасы (Beutelspacher & Rosenbaum 1998 ж, пг. 6-7). Пасч нақты проективті кеңістікпен айналысып, тәртіпті енгізуге тырысты, бұл Веблен-Янг аксиомасына қатысты емес.
  7. ^ Baer 2005, б. 71
  8. ^ Бахман, Ф. (1959), Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff, Grundlehren der matemischen Wissenschaftern, 96, Берлин: Спрингер, 76–77 бет.
  9. ^ Паппустың теоремасы Дезарж теоремасын меңзейтіндіктен, бұл десаргуезиялық емес жазықтықты жояды, сонымен қатар кеңістіктің өріс бойынша анықталатындығын білдіреді (және бөлу сақинасы емес).
  10. ^ Бұл шектеу нақты және күрделі өрістерді қолдануға мүмкіндік береді (нөлдік сипаттама), бірақ Фано ұшағы және типтік емес мінез-құлықты көрсететін басқа ұшақтар.
  11. ^ Мұқай 2003 ж, мысал 3.72

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер