Сызық жиынтығы - Ample line bundle

Математикада айрықша белгісі алгебралық геометрия бұл кейбір желілік байламдар үстінде проективті әртүрлілік «оң» деп санауға болады, ал басқалары «теріс» (немесе екеуінің қоспасы). Позитивтіліктің ең маңызды ұғымы - an желінің байламы, дегенмен бірнеше сабақты байланыстырылған кластар бар. Шамамен айтқанда, сызық байламының позитивтік қасиеттері көптеген жаһандыққа байланысты бөлімдер. Берілген сорт бойынша сызықтардың байламдарын түсіну X картаға түсірудің әртүрлі тәсілдерін түсінуге жетеді X ішіне проективті кеңістік. Жолдық бумалар мен арасындағы сәйкестікті ескере отырып бөлгіштер (салынған кодименция -1 кіші сорттары), барабар ұғымы бар жеткілікті бөлгіш.

Толығырақ сызықтық шоқ деп аталады базалық нүктесіз егер онда a беруге жеткілікті бөлімдер болса морфизм проективті кеңістікке. Сызық байламы жартылай жеткілікті егер оның оң күші базалық нүктесіз болса; жартылай амплементация - бұл «теріс емес». Неғұрлым күшті болса, а сызық байламы қосулы X болып табылады өте мол егер онда a беруге жеткілікті бөлімдер болса жабық батыру (немесе «ендіру») X проективті кеңістікке. Сызық байламы жеткілікті егер қандай да бір оң күш өте көп болса.

Проективті әртүрлілікке арналған желілік байлам X әрқайсысында оң дәрежесі бар қисық жылы X. Әңгіме шындыққа сәйкес келмейді, бірақ керісінше, Накай-Мойшезон және Клейманның кеңейтілген өлшемдері бар.

Кіріспе

Сызық байламының және гиперпланның бөлгіштерінің тартылуы

Морфизм берілген туралы схемалар, а векторлық шоғыр E қосулы Y (немесе жалпы түрде а когерентті шоқ қосулы Y) бар кері тарту дейін X, (қараңыз # Операциялар модулінің шоғы ). Векторлық шоғырдың кері тартылуы - бірдей дәрежелі векторлық шоғыр. Атап айтқанда, сызықтық байламның кері тартылуы - бұл сызықтық байлам. (Қысқаша, бір сәтте х жылы X болып табылады E кезінде f(х).)

Осы мақалада сипатталған ұғымдар проективті кеңістікке морфизм жағдайында осы құрылыспен байланысты

бірге E = O(1) проекциялық кеңістіктегі сызықтық байлам оның ғаламдық бөлімдері біртекті көпмүшелер айнымалылардағы 1 дәрежелі (яғни сызықтық функциялар) . Сызық байламы O(1) а-ға байланысты сызық шоғыры ретінде де сипаттауға болады гиперплан жылы (өйткені бөлімнің нөлдік жиыны O(1) гиперплан). Егер f жабық батыру болып табылады, мысалы, бұл кері тарту - бұл жол жиынтығы X гиперпланет бөлімімен байланысты (. қиылысы X ішіндегі гиперпланмен ).

Базалық нүктесіз желі байламдары

Келіңіздер X а-дан астам схема болу өріс к (мысалы, алгебралық әртүрлілік) сызық шоғыры бар L. (Сызық дестесін an деп те атауға болады төңкерілетін шоқ.) Келіңіздер элементтері болуы к-векторлық кеңістік туралы жаһандық бөлімдер туралы L. Әр бөлімнің нөлдік жиыны - жабық ішкі жиын X; рұқсат етіңіз U кем дегенде біреуі болатын нүктелердің ашық жиынтығы болуы керек нөл емес Сонда бұл бөлімдер морфизмді анықтайды

Толығырақ: әр пункт үшін х туралы U, талшық L аяқталды х - бұл қалдық өрісінің үстіндегі 1-өлшемді векторлық кеңістік к(х). Бұл талшықтың негізін таңдау қажет тізбегіне n+1 сандары, барлығы нөл емес, демек проективті кеңістіктегі нүкте. Базистің таңдауын өзгерту барлық сандарды бірдей нөлдік тұрақтыға масштабтайды, сондықтан проекциялық кеңістіктегі нүкте таңдауға тәуелді емес.

Сонымен қатар, бұл морфизмнің шектеу қасиеті бар L дейін U кері тартуға изоморфты болып табылады .[1]

The негізгі локус сызық байламы L схема бойынша X - барлық жаһандық бөлімдерінің нөлдік жиындарының қиылысы L. Сызық байламы L аталады базалық нүктесіз егер оның локусы бос болса. Яғни, әр ұпай үшін х туралы X жаһандық бөлімі бар L бұл нөлдік емес х. Егер X болып табылады дұрыс өріс үстінде к, содан кейін векторлық кеңістік ғаламдық бөлімдердің ақырғы өлшемдері бар; өлшем деп аталады .[2] Сонымен базипунктсіз сызық байламы L морфизмді анықтайды аяқталды к, қайда , үшін негіз таңдау арқылы берілген . Таңдау жасамай, мұны морфизм деп сипаттауға болады

бастап X гиперпландар кеңістігіне , канондық негізсіз нүкте сызығының байламымен байланысты L. Бұл морфизмнің қасиеті бар L кері тарту болып табылады .

Керісінше, кез-келген морфизм үшін f схемадан X проективті кеңістікке аяқталды к, кері тарту сызығының байламы базалық нүктесіз. Әрине, O(1) базалық нүктесіз , өйткені әр пункт үшін ж жылы құрамында гиперплан жоқ ж. Сондықтан, әр пункт үшін х жылы X, бөлім бар с туралы O(1) аяқталды бұл нөлге тең емес f(х) және кері тарту с ғаламдық бөлімі болып табылады бұл нөлге тең емес х. Қысқаша айтқанда, базипунктсіз сызық байламдары - бұл кері тарту ретінде көрсетілуі мүмкін O(1) проективті кеңістікке кейбір морфизммен.

Неф, жаһандық деңгейде жасалған, жартылай жеткілікті

The дәрежесі сызық байламы L дұрыс қисықта C аяқталды к бөлгіштің дәрежесі ретінде анықталады (с) кез келген нөлдік емес рационалды бөлімнің с туралы L. Бұл бөлгіштің коэффициенттері қай жерде оң болса с жоғалады және теріс с полюсі бар. Сондықтан кез-келген сызық байламы L қисықта C осындай теріс емес дәрежеге ие (өйткені бөлімдері L аяқталды C, рационалды бөлімдерден айырмашылығы, полюстері жоқ).[3] Атап айтқанда, қисық сызықсыз әр сызық байламы теріс емес дәрежеге ие. Нәтижесінде базалық нүктесіз сызық байламы пайда болды L кез-келген тиісті схема бойынша X өріс үстінде неф, бұл дегеніміз L әрбір қисық бойынша теріс емес дәрежеге ие X.[4]

Жалпы, шоқ F туралы -схема бойынша модульдер X деп айтылады жаһандық деңгейде жасалған егер жиынтық болса Мен ғаламдық бөлімдер сәйкес келетін морфизм

қабықшалар сурьективті болып табылады.[5] Сызық байламы, егер ол тек нүктесіз болса ғана, жаһандық деңгейде жасалады.

Мысалы, әрқайсысы квазиогерентті шоқ бойынша аффиндік схема жаһандық деңгейде жасалады.[6] Ұқсас түрде күрделі геометрия, Картан теоремасы А а-дағы кез-келген келісілген шоқ дейді Штейн коллекторы жаһандық деңгейде жасалады.

Сызық байламы L өріс үстіндегі тиісті схема бойынша жартылай жеткілікті егер оң бүтін сан болса р сияқты тензор қуаты базалық нүктесіз. Жартылай кең сызық бумасы nef болып табылады (сәйкес нүктесіз сызық байламдары үшін сәйкесінше).[7]

Өте мол сызық байламы

Сызық байламы L тиісті схема бойынша X өріс үстінде к деп айтылады өте мол егер ол базиспунктсіз және соған байланысты морфизм болса

жабық батыру болып табылады. Мұнда . Эквивалентті, L егер өте көп болса X проективті кеңістікке енуі мүмкін к осылайша L - бұл жолдар байламының шектелуі O(1) дейін X.[8] Соңғы анықтама кез-келген схемаға сәйкес сызбанұсқа үшін өте кеңдікті анықтау үшін қолданылады ауыстырғыш сақина.[9]

Атауын «өте мол» енгізген Александр Гротендик 1961 жылы.[10] Контексінде бұрын әртүрлі атаулар қолданылған бөлгіштердің сызықтық жүйелері.

Өте мол сызық байламы үшін L тиісті схема бойынша X морфизммен байланысты өріс үстінде f, дәрежесі L қисықта C жылы X болып табылады дәрежесі туралы f(C) қисық ретінде . Сонымен L әрбір қисық бойынша оң дәрежеге ие X (өйткені проективті кеңістіктің әрбір кіші түрінің оң дәрежесі бар).[11]

Анықтамалар

Сызық байламы L тиісті схема бойынша X ауыстырылатын сақина үстінде R деп айтылады жеткілікті егер оң бүтін сан болса р тензор күші сияқты өте мол.[12] Атап айтқанда, тиісті схема аяқталды R егер ол проективті болса ғана, жеткілікті сызық байламы бар R. Сәйкес сызба бойынша сызықтардың байламы X өрістің әрбір қисығында оң дәрежесі бар X, өте кең жолды байламдар үшін сәйкес мәлімдеме бойынша.

A Картье бөлгіші Д. тиісті схема бойынша X өріс үстінде к егер сәйкес жол бумасы болса жеткілікті деп аталады O(Д.) жеткілікті. (Мысалы, егер X тегіс к, сонда Картье бөлгішін ақырлы санмен анықтауға болады сызықтық комбинация жабық кодименциясы-1 кіші сорттары X бүтін коэффициенттермен.)

Ерікті схема бойынша X, Grothendieck сызық байламын анықтады L егер жеткілікті болса X болып табылады квази-ықшам және әр пункт үшін х жылы X оң бүтін сан бар р және бөлім осындай с нөлге тең емес х және ашық подписка аффинді.[13] Мысалы, тривиальды жолдар қатары егер жеткілікті болса және жеткілікті болса X болып табылады квази-аффинді.[14] Осы мақаланың қалған бөлігі өріске сәйкес сызбалардың кеңеюіне назар аударады.

«Өте мол» және «жеткілікті» ұғымдарының әлсіреуі әртүрлі сипаттамалардың алуан түрлілігімен икемді тұжырымдама береді. Бірінші мәселе, көптеген желілік шоғырлардың жоғары қуаттарын кез-келген біртұтас қылшықпен теңестіру, бұл көптеген жаһандық бөлімдері бар пучка береді. Дәлірек айтқанда, сызық байламы L тиісті схема бойынша X өріс үстінде (немесе жалпы а Ноетриялық сақина ) егер әр келісілген шоқ үшін болса ғана жеткілікті F қосулы X, бүтін сан бар с пучка сияқты барлығы үшін жаһандық деңгейде жасалады . Мұнда с байланысты болуы мүмкін F.[15][16]

Деп аталатын кеңейтілгендіктің тағы бір сипаттамасы КартанСерреГротендиек теоремасы, когерентті шоқ когомологиясы. Атап айтқанда, сызық байламы L тиісті схема бойынша X өріс үстінде (немесе көбінесе ноетриялық сақина үстінде) әр келісілген шоқ үшін ғана жеткілікті F қосулы X, бүтін сан бар с осындай

барлығына және бәрі .[17][16] Атап айтқанда, желінің байламының жоғары күші когомологияны оң дәрежеде өлтіреді. Бұл «деп аталады Серре жоғалып бара жатқан теорема, дәлелденген Жан-Пьер Серре өзінің 1955 жылғы мақаласында Faisceaux algébriques cohérents.

Мысалдар / мысалдар емес

  • Тривиалды сызық байламы проективті әртүрлілік бойынша X оң өлшем негізсіз, бірақ жеткілікті емес. Жалпы кез-келген морфизм үшін f проективті әртүрліліктен X кейбір проективті кеңістікке өрістің үстінде, кері тарту сызығының байламы әрқашан базиспунктсіз, ал L морфизм болса ғана жеткілікті f болып табылады ақырлы (бұл барлық талшықтар f 0 өлшемі бар немесе бос).[18]
  • Бүтін сан үшін г., сызық байламының бөлімдерінің кеңістігі O(г.) аяқталды болып табылады күрделі біртекті көпмүшеліктердің векторлық кеңістігі г. айнымалыларда х,ж. Атап айтқанда, бұл орын нөлге тең г. <0. үшін , берілген проективті кеңістікке морфизм O(г.) болып табылады
арқылы
Бұл жабық батыру , кескіні бар а рационалды қалыпты қисық дәрежесі г. жылы . Сондықтан, O(г.) тек егер болса, онда базалық нүктесіз болады , және егер өте көп болса . Бұдан шығатыны O(г.) жеткілікті және егер болса ғана .
  • Мысал үшін «жеткілікті» және «өте мол» әртүрлі болсын X тегіс проекциялық қисық болу түр 1 (ан эллиптикалық қисық ) аяқталды Cжәне рұқсат етіңіз б күрделі нүктесі болуы керек X. Келіңіздер O(б) 1 дәрежедегі байланысты сызық байламы болуы керек X. Онда. -Ның ғаламдық бөлімдерінің күрделі векторлық кеңістігі O(б) 1-ге тең, ол жоғалып кететін бөлімнен тұрады б.[19] Сонымен базалық локус O(б) тең б. Басқа жақтан, O(2б) негізгі нүктесіз, және O(dp) өте жақсы (ендіруді беру X дәрежесінің эллиптикалық қисығы ретінде г. жылы ). Сондықтан, O(б) жеткілікті, бірақ жеткіліксіз. Сондай-ақ, O(2б) жеткілікті және базипунктсіз, бірақ жеткіліксіз; проективті кеңістікке байланысты морфизм а кеңейтілген екі жамылғы .
  • Жоғары буындардың қисықтарында көптеген сызықтар бар L ол үшін әр жаһандық бөлім нөлге тең. (Бірақ жоғары еселіктер L анықтамаға сәйкес көптеген бөлімдерге ие болыңыз.) Мысалы, рұқсат етіңіз X тегіс жазықтық квартикалық қисық бол (4 дюймдік дәреже) ) аяқталды Cжәне рұқсат етіңіз б және q анық күрделі нүктелері болуы керек X. Содан кейін сызық байламы жеткілікті, бірақ бар .[20]

Сызық байламдарының кеңею критерийлері

Қиылысу теориясы

Берілген жолдардың проективті әртүрлілікке байланысты екендігін анықтау X жеткілікті, келесі сандық критерийлер (қиылысу сандары бойынша) көбінесе ең пайдалы болып табылады. Бұл Картье бөлгіші болған кезде сұрауға тең Д. қосулы X жеткілікті, бұл байланысты сызық жиынтығы O(Д.) жеткілікті. Қиылысу нөмірі сызық дестесінің дәрежесі ретінде анықтауға болады O(Д.) шектелген C. Басқа бағытта, сызық байламы үшін L проективті әртүрлілік бойынша бірінші Черн класы байланыстырылған Картье бөлгішін (сызықтық эквиваленттілікке дейін), кез келген нөлдік емес рационалды бөлімнің бөлгішін білдіреді L.

Үстінде тегіс проективті қисық X астам алгебралық жабық өріс к, сызық байламы L егер ол өте көп болса және егер ол болса барлығына к-ұтымды нүктелер х,ж жылы X.[21] Келіңіздер ж болуы X. Бойынша Риман-Рох теоремасы, дәреженің әр бауы кем дегенде 2ж + 1 осы шартты қанағаттандырады, демек, өте жеткілікті. Нәтижесінде қисықтағы сызық байламы оң дәрежеге ие болған жағдайда ғана жеткілікті.[22]

Мысалы, канондық байлам қисық X 2 дәрежесі барж - 2, демек, егер бұл жеткілікті болса . Канондық байламы мол қисықтар маңызды класты құрайды; мысалы, күрделі сандардың үстінде бұл теріс метрикасы бар қисықтар қисықтық. Канондық шоқ өте жеткілікті, егер ол болса ғана және қисық емес гипереллиптикалық.[23]

The Накай - Мойшезон критерийі (Йошиказу Накайға арналған (1963) және Борис Мойшезон (1964)) сызық шоғыры екенін айтады L тиісті схема бойынша X өріс үстінде, егер болса ғана жеткілікті әрбір үшін (қысқартылмайтын ) жабық кіші түр Y туралы X (Y нүкте болуға жол берілмейді).[24] Бөлгіштерге келсек, Картье бөлгіші Д. егер жеткілікті болса және жеткілікті болса әрбір (нөлдік емес) кіші түрге арналған Y туралы X. Үшін X қисық, бұл бөлгіштің оң дәрежесі болған жағдайда ғана жеткілікті екенін айтады. Үшін X беті, критерий бөлгіш дейді Д. егер ол болса ғана жеткілікті өзіндік қиылысу нөмірі оң және кез келген қисық C қосулы X бар .

Клейман критерийі

Мемлекеттік Клейман критерийі (1966), рұқсат етіңіз X өрістің проективті схемасы болыңыз. Келіңіздер болуы нақты 1 циклдің векторлық кеңістігі (ішіндегі қисықтардың нақты сызықтық комбинациясы X) модульдің сандық эквиваленттілігі, яғни екі 1 цикл A және B тең егер әр жол шоғыры бірдей дәрежеде болса ғана A және т.б. B. Бойынша Нерон-Севери теоремасы, нақты векторлық кеңістік ақырлы өлшемі бар. Клейманның критерийінде сызық байламы көрсетілген L қосулы X егер жеткілікті болса және жеткілікті болса L нөлдік емес элементтердің әрқайсысында оң дәрежеге ие C туралы жабу туралы қисықтар конусы NE (X) . (Мұны айтуға қарағанда сәл күшті L Әрбір қисықта оң дәреже бар.) Эквивалентті түрде, егер сызық шоғыры егер оның класы қос векторлық кеңістік интерьерінде орналасқан конус.[25]

Клейманның критерийі жалпы (проективті емес) схемалар үшін сәтсіздікке ұшырайды X өріс үстінде, бірақ егер ол болса X тегіс немесе жалпы Q-факторлық.[26]

Проективті әртүрліліктегі сызықтық шоқ деп аталады қатаң неф егер ол әр қисықта оң дәрежеге ие болса. Нагата (1959) және Дэвид Мумфорд тегіс проекциялық беттерге сызық шоғыры қатаң, бірақ жеткілікті емес. Бұл жағдай екенін көрсетеді Накай-Мойшезон критерийінде алып тастауға болмайды және NE жабылуын қолдану қажет (X) емес, NE (X) Клейман критерийінде. [27] Беткі жағындағы кез-келген сызық байламы бар және Нагата мен Мумфордтың мысалдары бар .

Сешадри сызық байламы екенін көрсетті L алгебралық жабық өрістің тиісті схемасында жеткілікті, егер оң нақты сан болса, онда deg (L|C) ≥ εм(C) барлық (төмендетілмейтін) қисықтар үшін C жылы X, қайда м(C) - нүктелеріндегі еселіктердің максимумы C.[28]

Толықтылықтың бірнеше сипаттамалары, әдетте, сызық шоғырларына сәйкес келеді алгебралық кеңістік өріс үстінде к. Атап айтқанда, Накай-Мойшезон критерийі сол жалпылықта жарамды.[29] Картан-Серре-Гротендиек критерийі, әдетте, Ноетрия сақинасының үстіндегі алгебралық кеңістікке қатысты болады. R.[30] (Егер тиісті алгебралық кеңістік болса R желінің байламы жеткілікті, содан кейін бұл проективті схема R.) Алгебралық кеңістіктер үшін Клейман критерийі орындалмайды X өріс үстінде, тіпті егер X тегіс.[31]

Ауқаттылықтың ашықтығы

Проективті схема бойынша X өріс үстінде, Клейманның критерийі кеңейту ан класының ашық шарты болып табылады R-бөлімшесі (ан R-Картье бөлгіштерінің сызықтық тіркесімі) in , оның нақты сандар топологиясына негізделген топологиясымен. (Ан R-директор кең көлемде анықталды, егер оны Картье жеткілікті бөлгіштерінің оң сызықтық комбинациясы түрінде жазуға болады.[32]) Ерекше жағдай: бұл жеткілікті бөлгіш үшін H және кез келген бөлгіш E, оң нақты сан бар б осындай барлық нақты сандарға жеткілікті а абсолюттік мәнінен аз б. Бүтін коэффициенттері бар бөлгіштерге қатысты (немесе жол шоғыры) бұл дегеніміз nH + E барлық үлкен натурал сандар үшін жеткілікті n.

Сонымен қатар, алгебралық семестрде әртүрлілік немесе сызықтық шоғыр әр түрлі болған кезде, амплементация - бұл мүлдем басқа мағынадағы ашық шарт. Атап айтқанда, рұқсат етіңіз схемалардың тиісті морфизмі болыңыз L сызық байламы болыңыз X. Содан кейін ұпайлар жиынтығы ж жылы Y осындай L туралы жеткілікті талшық ашық ( Зариски топологиясы ). Неғұрлым күшті, егер L бір талшыққа жеткілікті , содан кейін аффиндік ашық аудан бар U туралы ж осындай L жеткілікті аяқталды U.[33]

Клейманның басқа кеңейтілген сипаттамалары

Клейман сонымен қатар кеңейтілгендіктің келесі сипаттамаларын дәлелдеді, оларды кеңейту және сандық критерийлер арасындағы аралық сатылар ретінде қарастыруға болады. Атап айтқанда, сызық байламы үшін L тиісті схема бойынша X өріс үстінде мыналар баламалы:[34]

  • L жеткілікті.
  • Әрбір (төмендетілмейтін) кіші түрге арналған оң өлшемді, оң бүтін сан бар р және бөлім ол бірдей нөлге тең емес, бірақ бір сәтте жоғалады Y.
  • Әрбір (төмендетілмейтін) кіші түрге арналған оң өлшемді, Эйлердің голоморфты сипаттамалары өкілеттіктері L қосулы Y шексіздікке өту:
сияқты .

Жалпылау

Векторлық байламдар жеткілікті

Робин Хартшорн анықталған а векторлық шоғыр F проективті схема бойынша X болуы керек өріс үстінде жеткілікті егер сызық байламы болса кеңістікте гиперпландар F жеткілікті.[35]

Сызықтық шоғырлардың бірнеше қасиеттері жеткілікті векторлық шоқтарға таралады. Мысалы, векторлық байлам F -ның жоғары симметриялық күштері болған жағдайда ғана жеткілікті F когомологияны өлтіру барлығына келісілген шоқтардан тұрады .[36] Сонымен қатар Черн сыныбы векторлық байламның әрқайсысында оң дәрежесі бар р-өлшемді кіші түрлілік X, үшін .[37]

Үлкен сызықты байламдар

Белгіліліктің пайдалы әлсіреуі, атап айтқанда бирациялық геометрия, а ұғымы үлкен сызық байламы. Сызық байламы L проективті әртүрлілік бойынша X өлшем n егер нақты нақты сан болса, өріс үлкен болады дейді а және оң бүтін сан осындай барлығына . Бұл қуаттардың бөлімдері кеңістігінің мүмкін болатын өсу қарқыны L, әр жол бумасы үшін деген мағынада L қосулы X оң сан бар б бірге барлығына j > 0.[38]

Үлкен сызықтардың бірнеше басқа сипаттамалары бар. Біріншіден, егер оң бүтін болған жағдайда ғана, сызық шоғыры үлкен болады р сияқты ұтымды карта бастап X дейін бөлімдерімен берілген болып табылады бірұлттық оның кескініне.[39] Сонымен қатар, сызық байламы L үлкен сызық байламының тензор көбейтіндісі болатын оң тензор қуаты болған жағдайда ғана үлкен болады A және тиімді топтама B (бұл дегеніміз ).[40] Сонымен қатар, егер оның сыныбы болған жағдайда, сызық байламы үлкен болады тиімді бөлгіштердің конустың ішкі бөлігінде орналасқан.[41]

Үлкендікті икемділіктің екі жақты инвариантты аналогы ретінде қарастыруға болады. Мысалы, егер бірдей өлшемді тегіс проективті сорттар арасындағы басым ұтымды карта, содан кейін үлкен сызықты байламның кері тартылуы Y үлкен X. (Бір қарағанда кері тарту тек ашық ішкі жиында сызық жиынтығы X қайда f морфизм болып табылады, бірақ бұл барлық жолдар жиынтығына таралады X.) Сызықтық байламдар үшін тек қана жеткілікті сызық байламының шекті морфизммен кері тартылуы жеткілікті деп айтуға болады.[18]

Мысалы: Let X болуы жару проективті жазықтық күрделі сандардың үстіндегі нүктеде. Келіңіздер H үшін кері тарту X сызық қосулы және рұқсат етіңіз E жарылыстың ерекше қисығы болыңыз . Содан кейін бөлгіш H + E үлкен, бірақ жеткілікті емес (немесе тіпті неф) емес X, өйткені

Бұл жағымсыздық сонымен қатар базалық локусты білдіреді H + E (немесе кез келген оң еселік) қисықты қамтиды E. Іс жүзінде бұл локус тең E.

Салыстырмалы кеңейту

Схемалардың квазиактивті морфизмі берілген , аударылатын шоқ L қосулы X деп айтылады жеткілікті туыс дейін f немесе f-мысал егер келесі баламалы шарттар орындалса:[42][43]

  1. Әрбір аффиндік ішкі жиын үшін , шектеу L дейін болып табылады жеткілікті (әдеттегі мағынада).
  2. f болып табылады квази бөлінген және ашық батыру бар арқылы туындаған қосымша карта:
    .
  3. Шарт 2. «ашық» күйсіз.

2 шарт (шамамен) айтады X а дейін ашық түрде тығыздалуы мүмкін проективті схема бірге (тиісті схемаға ғана емес).

Сондай-ақ қараңыз

Жалпы алгебралық геометрия

Күрделі геометриядағы амплементация

Ескертулер

  1. ^ Хартшорн (1977), Теорема II.7.1.
  2. ^ Хартшорн (1977), Теорема III.5.2; Стектер жобасы, 02O6 тегі.
  3. ^ Хартшорн (1977), Лемма IV.1.2.
  4. ^ Лазарсфельд (2004), 1.4.5 мысал.
  5. ^ Стектер жобасы, 01AM Tag.
  6. ^ Хартшорн (1977), II.5.16.2 мысал.
  7. ^ Лазарсфельд (2004), Анықтама 2.1.26.
  8. ^ Хартшорн (1977), II.5 бөлім.
  9. ^ Стектер жобасы, 02NP тэгі.
  10. ^ Grothendieck, EGA II, Анықтама 4.2.2.
  11. ^ Hartshorne (1977), I.7.6 ұсынысы және IV.3.3.2 мысалы.
  12. ^ Стектер жобасы, 01VU тэгі.
  13. ^ Стектер жобасы, 01PS тэгі.
  14. ^ Стектер жобасы, 01QE тэгі.
  15. ^ Хартшорн (1977), Теорема II.7.6
  16. ^ а б Лазарсфельд (2004), Теорема 1.2.6.
  17. ^ Хартшорн (1977), III.5.3 ұсыныс
  18. ^ а б Лазарсфельд (2004), Теорема 1.2.13.
  19. ^ Хартшорн (1977), II.7.6.3 мысал.
  20. ^ Хартшорн (1977), IV.3.2 (b) жаттығу.
  21. ^ Хартшорн (1977), ұсыныс IV.3.1.
  22. ^ Хартшорн (1977), Қорытынды IV.3.3.
  23. ^ Хартшорн (1977), ұсыныс IV.5.2.
  24. ^ Лазарсфельд (2004), Теорема 1.2.23, Ескерту 1.2.29; Клейман (1966), Теорема III.1.
  25. ^ Лазарсфельд (2004), 1.4.23 және 1.4.29 теоремалары; Клейман (1966), Теорема IV.1.
  26. ^ Фуджино (2005), қорытынды 3.3; Лазарсфельд (2004), 1.4.24-ескерту.
  27. ^ Лазарсфельд (2004), 1.5.2 мысал.
  28. ^ Лазарсфельд (2004), Теорема 1.4.13; Хартшорн (1970), Теорема I.7.1.
  29. ^ Коллар (1990), Теорема 3.11.
  30. ^ Стектер жобасы, 0D38 тэгі.
  31. ^ Коллар (1996), VI тарау, қосымша, 2.19.3-жаттығу.
  32. ^ Лазарсфельд (2004), Анықтама 1.3.11.
  33. ^ Лазарсфельд (2004), Теорема 1.2.17 және оның дәлелі.
  34. ^ Лазарсфельд (2004), 1.2.32 мысал; Клейман (1966), Теорема III.1.
  35. ^ Лазарсфельд (2004), анықтама 6.1.1.
  36. ^ Лазарсфельд (2004), Теорема 6.1.10.
  37. ^ Лазарсфельд (2004), Теорема 8.2.2.
  38. ^ Лазарсфельд (2004), Қорытынды 2.1.38.
  39. ^ Лазарсфельд (2004), бөлім 2.2.A.
  40. ^ Лазарсфельд (2004), қорытынды 2.2.7.
  41. ^ Лазарсфельд (2004), Теорема 2.2.26.
  42. ^ https://stacks.math.columbia.edu/tag/01VG
  43. ^ EGA, Ұсыныс 4.6.3.

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер