Проективті сызықтық топ - Projective linear group

PSL проективті арнайы сызықтық тобы мен PGL проективті жалпы сызықтық тобы арасындағы байланыс; әрбір жол мен баған а қысқа нақты дәйектілік.

Өтірік топтар
Классикалық топтар Жалпы сызықтық GL (n) Арнайы сызықтық SL (n) Ортогональ O (n) Арнайы ортогоналды СО (n) Унитарлы U (n) Арнайы унитарлы SU (n) Симплектикалық Sp (n)
Қарапайым өтірік топтары Қарапайым Lie топтарының тізімі Классикалық An Bn Cn Д.n Ерекше G2 F4 E6 E7 E8
Басқа өтірік топтар Шеңбер Лоренц Пуанкаре Конформалды топ Диффеоморфизм Ілмек Евклид
Алгебралар Өтірік тобы - Лиг алгебрасы Экспоненциалды карта Бірлескен өкілдік Өлтіру нысаны Көрсеткіш Өтірік нүктелік симметрия Қарапайым Ли алгебрасы
Semisimple Lie алгебрасы Динкин диаграммалары Картандық субальгебра Тамыр жүйесі Weyl тобы Нақты форма Кешендеу Бөлу алгебрасы Шағын алгебра
Өкілдік теориясы Өтірік топтың өкілдігі Алгебраны ұсыну Жартылай алгебралардың бейнелеу теориясы Жоғары салмақ теоремасы Борел-Вейл-Ботт теоремасы
Жалған топтар физика Бөлшектер физикасы және бейнелеу теориясы Лоренц тобының өкілдіктері Пуанкаре тобының өкілдіктері Галилеялық топтық өкілдіктер
Ғалымдар Софус өтірік Анри Пуанкаре Вильгельмді өлтіру Эли Картан Герман Вейл Клод Чевалли Хариш-Чандра Арманд Борел
Глоссарий Өтірік топтарының кестесі

Жылы математика, әсіресе топтық теоретикалық ауданы алгебра, сызықтық топ (деп те аталады проективті жалпы сызықтық топ немесе PGL) индукцияланған болып табылады әрекет туралы жалпы сызықтық топ а векторлық кеңістік V байланысты проективті кеңістік P (V). Айқын, проективті сызықтық топ болып табылады квоталық топ

PGL (V) = GL (V) / Z (V)

қайда GL (V) болып табылады жалпы сызықтық топ туралы V және Z (V) барлық нөлдердің кіші тобы болып табылады скалярлық түрлендірулер туралы V; бұлар бағаланған, өйткені олар әрекет етеді маңызды емес проективті кеңістікте және олар ядро Әрекеттің және «Z» белгісі скалярлық түрлендірулердің форманы құрайтындығын көрсетеді орталығы жалпы сызықтық топ.

The проективті арнайы сызықтық топ, PSL, ұқсас индукцияланған әрекет ретінде анықталады арнайы сызықтық топ байланысты проективті кеңістікте. Айқын:

PSL (V) = SL (V) / SZ (V)

қайда SL (V) арнайы сызықтық топ болып табылады V және SZ (V) - скалярлық түрлендірулердің кіші тобы анықтауыш. Мұнда SZ - SL орталығы, және, әрине, nмың бірліктің тамыры жылы F (қайда n болып табылады өлшем туралы V және F негіз болып табылады өріс ).

PGL және PSL - зерттеудің кейбір іргелі топтары, олардың бір бөлігі деп аталады классикалық топтар, және PGL элементі деп аталады сызықтық түрлендіру, проективті түрлендіру немесе гомография. Егер V болып табылады n-өрістің үстіндегі өлшемді векторлық кеңістік F, атап айтқанда V = Fⁿ, балама белгілер PGL (n, F) және PSL (n, F) сонымен қатар қолданылады.

Ескертіп қой PGL (n, F) және PSL (n, F) болып табылады изоморфты егер әр элементтің болса ғана F бар nішіндегі тамыр F. Мысал ретінде назар аударыңыз PGL (2, C) = PSL (2, C), бірақ бұл PGL (2, R)> PSL (2, R);^[1] бұл нақты проективті сызыққа бағытталған, ал проективті арнайы сызықтық топ тек бағдар сақтайтын түрлендірулерге сәйкес келеді.

PGL және PSL а арқылы анықталуы мүмкін сақина, маңызды мысал ретінде модульдік топ, PSL (2, З).

Аты-жөні

Атауы шыққан проективті геометрия, онда проективті топ әрекет етеді біртекті координаттар (х₀:х₁: ... :х_n) геометрияның негізгі тобы болып табылады.^{[1 ескерту]} Табиғи түрде басқаша айтылады әрекет GL (V) қосулы V PGL әрекетіне түседі (V) проективті кеңістікте P(V).

Проективті сызықтық топтар PGL жағдайын жалпылайды (2, C) of Мобиус түрлендірулері (кейде деп аталады Мобиус тобы ) әрекет етеді проекциялық сызық.

Аксиомалық тұрғыдан «сызықтық (векторлық кеңістікті) құрылымды сақтайтын инверсиялық функциялар» ретінде анықталған жалпы сызықтық топтан айырмашылығы, проективті сызықтық топ анықталғанын ескеріңіз сындарлы, аксиомалық емес, «проективті сызықтық құрылымды сақтайтын кері функциялар» ретінде емес, байланысты векторлық кеңістіктің жалпы сызықтық тобының бөлігі ретінде. Бұл жазбада көрінеді: PGL (n, F) - бұл GL-ге байланысты топ (n, F) және проективті сызықтық тобы болып табылады (n−1) -өлшемді проекциялық кеңістік, емес n-өлшемді проекциялық кеңістік.

Ұйымдастыру

Байланысты топ болып табылады коллинация тобы, ол аксиоматикалық түрде анықталады. Колинация - бұл жіберілетін (немесе көбіне бір-бірден) карта коллинеарлық нүктелер коллинеарлық нүктелерге дейін. Біреуі мүмкін проективті кеңістікті аксиоматикалық тұрғыдан анықтаңыз тұрғысынан аурудың құрылымы (нүктелер жиынтығы P, сызықтар L, және ан ауру қатынасы Мен белгілі бір аксиомаларды қанағаттандыратын нүктелер қай сызықтарда жатқанын көрсету - проективті кеңістіктің автоморфизмі, содан кейін автоморфизм болған кезде анықталады f нүктелер жиынтығы және автоморфизм ж түсу қатынасын сақтай отырып, сызықтар жиынтығының,^{[2 ескерту]} бұл кеңістіктің өзіне деген коллиниациясы. Проективті сызықтық түрлендірулер - бұл коллинециялар (векторлық кеңістіктегі жазықтықтар байланысты проекциялық кеңістіктегі сызықтарға сәйкес келеді, ал сызықтық түрлендірулер жазықтықтарды жазықтықтарға өзгертеді, сондықтан проективті сызықтық сызықтарды сызықтарға түрлендіреді), бірақ тұтастай алғанда барлық коллинециялар проективті сызықтық түрлендірулер емес - PGL жалпы түрде коллинация тобының тиісті кіші тобы болып табылады.

Нақтырақ айтқанда, үшін n = 2 (проекциялық сызық), барлық нүктелер коллинеар, сондықтан коллинеция тобы дәл осы болады симметриялық топ проективті сызық нүктелерінің, және басқаларынан F₂ және F₃ (мұндағы PGL - толық симметриялық топ), PGL - осы нүктелердегі толық симметриялық топтың тиісті кіші тобы.

Үшін n ≥ 3, коллинация тобы - болып табылады жобалық жартылай топ, PΓL - бұл бұралған PGL далалық автоморфизмдер; ресми түрде, PΓL ≅ PGL ⋊ Gal (Қ/к), қайда к болып табылады қарапайым өріс үшін K; Бұл проективті геометрияның негізгі теоремасы. Осылайша Қ қарапайым өріс (F_б немесе Q), бізде PGL = PΓL бар, бірақ үшін Қ қарапайым емес галуа автоморфизмі бар өріс (мысалы ${ displaystyle mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$ үшін n ≥ 2 немесе C), проективті сызықтық топ - бұл «проективті сақтайтын түрлендірулер» деп санауға болатын коллинация тобының тиісті кіші тобы. жартылай-сызықтық құрылым «. Тиісінше, PΓL / PGL = Gal үлестік тобыҚ/к) «сызықтық құрылым таңдауына» сәйкес келеді, сәйкестілік (базалық нүкте) қолданыстағы сызықтық құрылым болып табылады.

Табиғи проекция ұғымы жоқ жерде аксиоматикалық анықталған проекциялық кеңістіктер үшін коллинециялық топтарды анықтауға болады. сызықтық түрлендіру. Алайда, қоспағанда десаргезиялық емес ұшақтар, барлық проективті кеңістіктер - бұл а сызықтық кеңістікті проекциялау бөлу сақинасы дегенмен, жоғарыда айтылғандай, сызықтық құрылымды бірнеше таңдау бар, атап айтқанда a торсор Гал үстінде (Қ/к) (үшін n ≥ 3).

Элементтер

Проективті сызықтық топтың элементтерін осьтердің бірінің бойымен «жазықтықты еңкейту» деп түсінуге болады, содан кейін бастапқы жазықтыққа проекциялау, сонымен қатар өлшемі бар n.

Туралы айналу з осьтері проективті жазықтықты айналдырады, ал параллель түзулер бойынша айналуды проекциялау х немесе ж осьтер жазықтықтың проективті айналуын береді.

Проективті түрлендірулерді түсінудің геометриялық тәсілі - арқылы проективті айналулар (PSO элементтері (n+1)), сәйкес келеді стереографиялық проекция және өлшемі бар бірліктің айналу жиілігі ${ displaystyle textstyle {1 + 2 + cdots + n = { binom {n + 1} {2}}}.}$ Көрнекі түрде бұл бастапқыда тұруға (немесе камераны бастапқы жерге қоюға) және көзқарастың бұрылуына, содан кейін жазық жазықтыққа шығуға сәйкес келеді. Гиперпланға перпендикуляр осьтерде айналу гиперпланды сақтайды және гиперпланның айналуын береді (SO элементі (n) өлшемі бар ${ displaystyle textstyle {1 + 2 + cdots + (n-1) = { binom {n} {2}}}.}$), ал осьтерде гиперпланға параллель айналу тиісті проективті карталар болып табылады, ал қалғанын есептейді n өлшемдер.

Қасиеттері

• PGL коллинеарлық нүктелерді коллинеарлық нүктелерге жібереді (проективті сызықтарды сақтайды), бірақ ол толық емес коллинация тобы, оның орнына PΓL (үшін n > 2) немесе толық симметриялық топ үшін n = 2 (проективті сызық).
• Әр (қосарлы ) проективті кеңістіктің алгебралық автоморфизмі проективті сызықтық болып табылады. The бирациялық автоморфизмдер үлкенірек топ құрыңыз Кремона тобы.
• PGL проективті кеңістікте сенімді әрекет етеді: бірдейленбейтін элементтер тривиальды емес әрекет етеді.

  Проективті кеңістікке GL әсерінің ядросы дәл PGL-де көрсетілген скалярлық карталар болып табылады.

• PGL әрекеттері 2-өтпелі проективті кеңістікте.

  Себебі проективті кеңістіктегі 2 нақты нүкте бір сызықтық кеңістікте жатпайтын 2 векторға сәйкес келеді, демек сызықтық тәуелсіз, және GL өтпелі түрде әрекет етеді к-сызықтық тәуелсіз векторлардың элементтер жиынтығы.

• PGL (2, Қ) проективті сызықта күрт 3-өтпелі әсер етеді.

  3 шартты нүкте шартты түрде [0, 1], [1, 1], [1, 0] -ге түсірілген; балама белгілерде, 0, 1, ∞. Бөлшек сызықтық түрлендіру белгілеуінде функция ${ displaystyle { frac {x-a} {x-c}} cdot { frac {b-c} {b-a}}}$ карталар а ↦ 0, б ↦ 1, c Map ∞, және мұны жасайтын бірегей карта. Бұл өзара қатынас (х, б; а, c) - қараңыз кросс-қатынас: трансформациялық тәсіл толық ақпарат алу үшін.

• Үшін n ≥ 3, PGL (n, Қ) 3-өтпелі әсер етпейді, өйткені ол 3 коллинеарлық нүктені ерікті жиын емес, басқа 3 коллинеарлық нүктеге жіберуі керек. Үшін n = 2 кеңістік проективті сызық болып табылады, сондықтан барлық нүктелер коллинеар болады және бұл ешқандай шектеу емес.
• PGL (2, Қ) проективті сызықта 4 өтпелі әсер етпейді (PGL (2, 3) қоспағанда, сияқты) P¹(3) 3 + 1 = 4 ұпайға ие, сондықтан 3 транзитивті 4 транзитивті білдіреді); сақталатын инвариант - бұл айқас қатынас, және бұл басқа нүктелердің қайда жіберілетіндігін анықтайды: 3 нүктенің қай жерге түсірілетінін көрсету картаны анықтайды. Осылайша, атап айтқанда, бұл проективті сызықтың толық коллинециялық тобы емес (қоспағанда F₂ және F₃).
• PSL (2, q) және PGL (2, q) (үшін q > 2, және q PSL үшін тақ) - төрт отбасының екеуі Зассенгауз топтары.
• PGL (n, Қ) болып табылады алгебралық топ өлшем n²−1 және проективті кеңістіктің ашық топшасы Pⁿ²⁻¹. Анықталғандай, PSL функциясы (n,Қ) алгебралық топты, тіпті fppf қабығын анықтамайды және оның ішіндегі жіптелуін анықтайды fppf топологиясы шын мәнінде PGL (n,Қ).
• PSL және PGL болып табылады орталықсыз - бұл диагональды матрицалар тек орталық емес, сонымен қатар гиперцентр (оның орталығы бойынша топтың квоты міндетті түрде орталықсыз емес).^{[3 ескерту]}

Бөлшек сызықтық түрлендірулер

Ал болсақ Мобиус түрлендірулері, PGL тобы (2, Қ) деп түсіндіруге болады бөлшек сызықтық түрлендірулер коэффициенттерімен Қ. Проективті сызықтағы нүктелер Қ жұптарына сәйкес келеді Қ², пропорционалды болған кезде екі жұп эквивалентті болады. Екінші координат нөлге тең болмаған кезде, нүктені [з, 1]. Содан кейін қашан жарнама– б.з.д. ≠ 0, PGL әрекеті (2, Қ) сызықтық түрлендіру арқылы жүреді:

${ displaystyle [z, 1] { begin {pmatrix} a & c b & d end {pmatrix}} = [az + b, cz + d] = сол жақта [{ frac {az + b} {cz + d}}, 1 right].}$

Осылайша дәйекті түрлендірулерді осындай матрицалармен дұрыс көбейту түрінде жазуға болады, және матрицаны көбейту топтық өнім үшін PGL-де қолдануға болады (2, Қ).

Соңғы өрістер

PSL арнайы сызықтық топтары (n, F_q) үшін ақырлы өріс F_q жиі PSL түрінде жазылады (n, q) немесе L_n(q). Олар ақырғы қарапайым топтар қашан болса да n екі ерекшеліктен басқа кем дегенде 2 құрайды:^[2] L₂(2), ол изоморфты болып табылады S₃, симметриялық топ және 3 әріптерінде шешілетін; және L₂(3), ол изоморфты болып табылады A₄, ауыспалы топ 4 әріптен тұрады, сонымен бірге шешуге болады. Бұл ерекше изоморфизмді келесіден деп түсінуге болады проективті сызықтағы әрекет.

SL арнайы сызықтық топтары (n, q) осылайша квазименді: қарапайым топтың орталық кеңейтілімдері (егер болмаса n = 2 және q = 2 немесе 3).

Тарих

PSL топтары (2, б) салған Эварист Галуа 1830 жылдары және ақырғы екінші отбасы болды қарапайым топтар, кейін ауыспалы топтар.^[3] Галуа оларды бөлшек сызықтық түрлендірулер ретінде құрды және егер олар қарапайым болса, олардың қарапайым екенін байқады б 2 немесе 3 болды; бұл оның Шевальеге жазған соңғы хатында жазылған.^[4] Сол хатта және қоса берілген қолжазбаларда Галуа сонымен қатар қарапайым өрістің үстіндегі жалпы сызықтық топ, GL (ν, б), жалпы дәреже теңдеуінің Галуа тобын зерттеу кезінде б^ν.

PSL топтары (n, q) (жалпы n, жалпы ақырлы өріс) содан кейін 1870 жылғы классикалық мәтінге салынған Камилл Джордан, Ауыстырулар және des aléréques algébriques.

Тапсырыс

PGL тәртібі (n, q) болып табылады

(qⁿ − 1)(qⁿ − q)(qⁿ − q²) ⋅⋅⋅ (qⁿ − qⁿ⁻¹)/(q − 1) = q^n2–1 - O (q^n2–3),

сәйкес келеді тәртібі GL (n, q), бөлінген q − 1 проекциялау үшін; қараңыз q-analog осындай формулаларды талқылау үшін. Дәрежесі екенін ескеріңіз n² − 1, бұл алгебралық топ ретінде өлшеммен келіседі. «O» мәні арналған үлкен O белгісі, «төменгі ретті қамтитын терминдер» мағынасын береді. Бұл сонымен қатар SL (n, q); бөлу q − 1 детерминантқа байланысты.

Тәртібі PSL (n, q) бөлінген жоғарыда келтірілген |SZ (n, q)|, детерминанты 1 - немесе эквивалентті | -ге бөлетін скаляр матрицалар саныF^×/(F^×)ⁿ|, жоқ кластар саны, жоқ nсанына бөлетін түбір, немесе эквивалентті nмың бірліктің тамыры жылы F_q.^{[4 ескерту]}

Ерекше изоморфизмдер

Изоморфизмдерден басқа

L₂(2) ≅ S₃, L₂(3) ≅ A₄, және PGL (2, 3) ≅ S₄,

басқалары бар ерекше изоморфизмдер проективті арнайы сызықтық топтар мен ауыспалы топтар арасында (бұл топтардың барлығы қарапайым, өйткені 5 немесе одан да көп әріптерден тұратын ауыспалы топтар қарапайым):

${ displaystyle L_ {2} (4) cong A_ {5}}$

${ displaystyle L_ {2} (5) cong A_ {5}}$ (қараңыз Мұнда дәлел үшін)

${ displaystyle L_ {2} (9) cong A_ {6}}$

${ displaystyle L_ {4} (2) cong A_ {8}.}$^[5]

Изоморфизм L₂(9) ≅ A₆ көруге мүмкіндік береді экзотикалық сыртқы автоморфизм туралы A₆ жөнінде далалық автоморфизм және матрицалық амалдар. Изоморфизм L₄(2) ≅ A₈ қызығушылық тудырады Матье тобының құрылымы М₂₄.

Байланыстырылған SL (n, q) → PSL (n, q) болып табылады ауыспалы топтардың топтарын қамту (әмбебап мінсіз орталық кеңейтулер ) үшін A₄, A₅, әмбебап мінсіз орталық кеңейтудің бірегейлігі бойынша; үшін L₂(9) ≅ A₆, байланысты кеңейту - бұл тамаша орталық кеңейту, бірақ әмбебап емес: 3 есе бар қамту тобы.

Топтар аяқталды F₅ бірқатар ерекше изоморфизмдер бар:

PSL (2, 5) ≅ A₅ ≅ Мен, бес элемент бойынша ауыспалы топ немесе баламалы түрде икосаэдрлік топ;

PGL (2, 5) ≅ S₅, симметриялық топ бес элемент бойынша;

SL (2, 5) ≅ 2 ⋅ A₅ ≅ 2Мен The ауыспалы топтың қос қабаты A₅ немесе баламалы түрде бинарлы икосаэдрлік топ.

Олардың көмегімен ан конструкциясын беру үшін де қолдануға болады экзотикалық карта S₅ → S₆, төменде сипатталғандай. GL (2, 5) екі қабатты емес екенін ескеріңіз S₅, бірақ керісінше 4 еселенген мұқаба.

Келесі изоморфизм:

L₂(7) ≅ L₃(2) - бұл 168-ші қатардағы қарапайым топ, екінші жағынан ең кіші абельдік емес қарапайым топ және кезектесетін топ емес; қараңыз PSL (2,7).

Проективті арнайы сызықтық топтарды қамтитын жоғарыда аталған ерекше изоморфизмдер - бұл шектеулі қарапайым топтардың отбасылары арасындағы ерекше изоморфизмдердің барлығы; жалғыз ерекше изоморфизм - бұл PSU (4, 2) ≃ PSp (4, 3), арасында проективті арнайы унитарлық топ және а проективті симплектикалық топ.^[3]

Проективті сызық бойынша әрекет

Жоғарыда келтірілген карталардың кейбіреулері тікелей байланысты проективті сызыққа PSL және PGL әсерінен көрінеді: PGL (n, q) проективті кеңістікте әрекет етеді Pⁿ⁻¹(q) бар,qⁿ−1)/(q−1) нүктелері, ал бұл проективті сызықтық топтан (бойынша) симметриялы топқа картаны бередіqⁿ−1)/(q−1) ұпай. Үшін n = 2, бұл проективті сызық P¹(q) бар (q²−1)/(q−1) = q+1 ұпай, сондықтан PGL картасы бар (2, q) → S_q+1.

Бұл карталарды түсіну үшін мына фактілерді еске түсіру пайдалы:

• PGL тәртібі (2, q) болып табылады

${ displaystyle (q ^ {2} -1) (q ^ {2} -q) / (q-1) = q ^ {3} -q = (q-1) q (q + 1);}$

PSL тәртібі (2, q) не бұған тең (егер сипаттама 2-ге тең болса), немесе оның жартысына тең (егер сипаттама 2-ге тең болмаса).

• Проективті сызықтық топтың проективті сызықтағы әрекеті күрт 3 өтпелі (адал және 3-өтпелі ), сондықтан карта бір-бірден тұрады және кескіні 3-транзитивті кіші топқа ие.

Сонымен кескін - оны анықтауға мүмкіндік беретін белгілі ретті 3-транзиттік кіші топ. Бұл келесі карталарды береді:

• PSL (2, 2) = PGL (2, 2) → S₃, изоморфизм болып табылатын 6 ретті.
  • Кері карта (проективті ұсыну S₃ ) арқылы жүзеге асырылуы мүмкін ангармониялық топ және, әдетте, ендіруге мүмкіндік береді S₃ → PGL (2, q) барлық өрістерге арналған.
• PSL (2, 3) S₄, 12 және 24 бұйрықтар, олардың соңғысы изоморфизм болып табылады, ал PSL (2, 3) ауыспалы топ болып табылады.
  • Ангармониялық топ картаға қарама-қарсы бағытта ішінара картаны береді S₃ → PGL (2, 3) −1 нүктесінің тұрақтандырғышы ретінде.
• PSL (2, 4) = PGL (2, 4) → S₅, кезектесетін топты беретін 60 ретті A₅.
• PSL (2, 5) S₆, бұйрықтар 60 және 120, ендіруге мүмкіндік береді S₅ (сәйкесінше, A₅) сияқты өтпелі кіші тобы S₆ (сәйкесінше, A₆). Бұл мысал экзотикалық карта S₅ → S₆, және құру үшін пайдалануға болады ерекше сыртқы автоморфизм S₆.^[6] PGL изоморфизмі (2, 5) екенін ескеріңіз S₅ осы презентациядан ашық емес: PGL (2, 5) әрекет ететін 5 элементтен тұратын табиғи жиынтығы жоқ.

Әрекет б ұпай

PSL кезінде (n, q) табиғи түрде әрекет етеді (qⁿ−1)/(q−1) = 1+q+...+qⁿ⁻¹ ұпайлар, аз нүктелердегі тривиальды емес әрекеттер сирек кездеседі. Шынында да, PSL үшін (2, б) қарапайым емес әрекет етеді б егер және егер болса ғана б = 2, 3, 5, 7 немесе 11; 2 және 3 үшін топ қарапайым емес, ал 5, 7 және 11-де топ қарапайым, әрі қарай ол қарапайым емес әрекет етеді азырақ қарағанда б ұпай.^{[5 ескерту]} Мұны бірінші болып байқады Эварист Галуа Шевальерге соңғы хатында, 1832 ж.^[7]

Мұны келесідей талдауға болады; 2 және 3 үшін әрекет сенімді емес екеніне назар аударыңыз (бұл тривиальды емес бөлік, және PSL тобы қарапайым емес), ал 5, 7 және 11 үшін әрекет адал (топ қарапайым және әрекет болғандықтан маңызды емес) және ендіруді ұсынады S_б. Соңғы жағдайдан басқасында, PSL (2, 11), бұл ерекше изоморфизмге сәйкес келеді, мұнда ең оң жақ тобы айқын әрекетке ие б ұпайлар:

• ${ displaystyle L_ {2} (2) cong S_ {3} twoheadrightarrow S_ {2}}$ белгілер картасы арқылы;
• ${ displaystyle L_ {2} (3) cong A_ {4} tworightrightarrow A_ {3} cong C_ {3}}$ Клейн 4-тобы ұсыныс арқылы;
• ${ displaystyle L_ {2} (5) cong A_ {5}.}$ Мұндай изоморфизмді құру үшін топты қарастыру керек L₂(5) галуа қақпағының галуа тобы ретінде а₅: X(5) → X(1) = P¹, қайда X(N) Бұл модульдік қисық деңгей N. Бұл мұқаба 12 нүктеде кеңейтілген. Модульдік қисық X (5) 0-ге ие және күрделі сандар өрісі бойынша шарға изоморфты, содан кейін L₂(5) осы 12 тармақта «» болады икосаэдрдің симметрия тобы. Одан кейін икосаэдрон симметрия тобының әрекетін қарастыру керек бес тетраэдра.
• L₂(7) ≅ L₃(2) -ның 1 + 2 + 4 = 7 нүктесіне әсер ететін мәні Фано ұшағы (проективті жазықтық F₂); мұны 2-ші бұйрық бойынша әрекет ретінде қарастыруға болады қос жазықтық, бұл толықтырушы Фано ұшағы.
• L₂(11) жіңішке және төменде нақтыланған; ол 3 бипланға сәйкес келеді.^[8]

Әрі қарай, L₂(7) және L₂(11) екеуі бар тең емес әрекеттер б ұпайлар; геометриялық тұрғыдан бұл екі жазықтыққа әсер етеді б нүктелер және б блоктар - нүктелердегі әрекет және блоктардағы әрекет екі әрекет те болады б нүктелер, бірақ конъюгацияланбаған (олардың нүктелік тұрақтандырғыштары әр түрлі); олардың орнына топтың сыртқы автоморфизмі байланысты.^[9]

Жақында, осы соңғы үш ерекше әрекет мысал ретінде түсіндірілді ADE классификациясы:^[10] бұл әрекеттер топтардың өнімдеріне сәйкес келеді (топтар түрінде емес) A₄ × З/5З, S₄ × З/7З, және A₅ × З/11З, мұнда топтар A₄, S₄ және A₅ изометрия топтары болып табылады Платондық қатты денелер, және сәйкес келеді E₆, E₇, және E₈ астында МакКей хат-хабарлары. Бұл үш ерекше жағдай полиэдралардың геометриялары (эквивалентті, Риман беттерінің көлбеуі) ретінде сәйкесінше жүзеге асырылады: бес тетраэдрадан тұратын қосылыс икосаэдр ішінде (сфера, 0 тұқымдасы), 2 биплан тәрізді (қосымша) Фано ұшағы ) Клейн квартикасының ішінде (3-ші түр), ал 3 реттік қос бланкте (Пейли қос жазықтығы ) ішіндегі баксибол беті (70-түр).^[11][12]

Әрекеті L₂(11) алгебралық тұрғыдан ерекше қосудың арқасында көрінеді ${ displaystyle L_ {2} (5) hookrightarrow L_ {2} (11)}$ - кіші топтарының екі конъюгация сыныбы бар L₂(11) изоморфты болып табылады L₂(5), әрқайсысы 11 элементтен тұрады: әрекеті L₂(11) осылар бойынша конъюгация арқылы 11 тармақ бойынша әрекет болады, және одан әрі екі конъюгация кластары сыртқы автоморфизммен байланысты L₂(11). (Сол сияқты кіші топтарына қатысты L₂(7) изоморфты S₄, және бұл екі планет геометриясына ие.)

Геометриялық тұрғыдан бұл әрекетті a арқылы түсінуге болады екіжақты геометрия, ол келесідей анықталады. Биплан геометриясы - бұл а симметриялық дизайн (нүктелер жиынтығы және «сызықтардың» тең саны, дәлірек айтқанда блоктар) кез келген екі нүктенің жиынтығы екі жолда болатындай, кез келген екі түзу екі нүктеде қиылысатын болса; бұл шектеулі проективті жазықтыққа ұқсас, тек бір сызықты анықтайтын екі нүктеден (және бір нүктені анықтайтын екі түзуден) гөрі, олар екі түзуді анықтайды (сәйкесінше, нүктелер). Бұл жағдайда ( Пейли қос жазықтығы, алынған Пейли диграфы ретті 11), нүктелер аффиндік сызық (ақырлы өріс) F₁₁, мұнда бірінші жол бес нөлге тең деп анықталған квадраттық қалдықтар (квадраттар болып табылатын нүктелер: 1, 3, 4, 5, 9), ал басқа жолдар аффиндік аудармасы болып табылады (барлық нүктелерге тұрақты қосыңыз). L₂(11) содан кейін кіші топқа изоморфты болады S₁₁ осы геометрияны сақтайтын (сызықтарға жолдарды жіберетін), ол әрекет ететін 11 нүктенің жиынтығын береді - шын мәнінде екі: сыртқы автоморфизмге сәйкес келетін нүктелер немесе сызықтар - L₂(5) - берілген сызықтың тұрақтандырғышы немесе берілген нүктенің қосарлануы.

Ғажайып, ғарыш кеңістігі L₂(11)/З/11З660/11 = 60 ретті (және оған икозэдрлік топ әрекет ететін) табиғи түрде a құрылымына ие бакейбол құрылысында қолданылады баксбол беті.

Матье топтары

Құру үшін PSL (3, 4) тобын пайдалануға болады Матье тобы М₂₄, бірі қарапайым қарапайым топтар; бұл тұрғыда PSL (3, 4) M деп аталады₂₁дегенмен, бұл Mathieu тобының өзі емес. Біреуі өрістегі төрт элементтен тұратын проекциялық жазықтықтан басталады, ол а Штайнер жүйесі S (2, 5, 21) типті - бұл 21 ұпайдан тұрады, әр жолда («блок», Штайнер терминологиясында) 5 ұпай бар, ал кез-келген 2 нүкте сызықты анықтайды - және қай PSL (3, 4) әрекет етеді. Біреуі бұл Штайнер жүйесін W деп атайды₂₁ («W» үшін Вит ), содан кейін оны W Steiner жүйесіне кеңейтеді₂₄, симметрия тобын жол бойымен кеңейтіп: проективті жалпы сызықтық топқа PGL (3, 4) дейін, содан кейін жобалық жартылай топ PΓL (3, 4), соңында Mathieu тобына M₂₄.

М₂₄ сонымен қатар PSL көшірмелері бар (2, 11), ол M-де максималды₂₂, және PSL (2, 23), бұл М-де максималды₂₄, және M құру үшін пайдалануға болады₂₄.^[13]

Hurwitz беттері

Кейбір PSL топтары Hurwitz беттерінің автоморфизм топтары ретінде пайда болады, яғни (2,3,7) үшбұрыш тобы, бұл симметриялары тапсырыс-3-ке екі қырлы плитка төсеу.

PSL топтары келесі түрде пайда болады Hurwitz топтары (автоморфизм топтары Hurwitz беттері - максималды симметрия тобының алгебралық қисықтары). Төменгі типтегі Hurwitz беті Клейн квартикасы (3-түр), PSL-ге изоморфты автоморфизм тобы бар (2, 7) (эквивалентті GL (3, 2)), ал екінші төменгі тұқымның Hurwitz беті, Macbeath беті (7-түр), PSL-ге изоморфты автоморфизм тобы бар (2, 8).

Шын мәнінде, көптеген, бірақ қарапайым топтардың барлығы Hurwitz топтары ретінде пайда болады (соның ішінде құбыжықтар тобы барлық ауыспалы топтар немесе бірен-саран топтар болмаса да), бірақ PSL ең кіші топтарды қосумен ерекшеленеді.

Модульдік топ

PSL топтары (2, З/nЗ) оқуда пайда болады модульдік топ, PSL (2, З), барлық элементтерді азайту арқылы квоент ретінде n; ядро деп аталады негізгі сәйкестік кіші топтары.

Жобаның назар аударарлық кіші тобы жалпы сызықтық топ PGL (2, З) (және PSL арнайы сызықтық тобының (2, З[мен])) - бұл {0, 1, ∞} set жиынының симметриялары P¹(C)^{[6 ескерту]} бұлар алты айқас коэффициент. Ішкі топты келесі түрде көрсетуге болады бөлшек сызықтық түрлендірулер, немесе матрицалармен (бірегей емес) ұсынылған:

${ displaystyle x}$	${ displaystyle 1 / (1-x)}$	${ displaystyle (x-1) / x}$
${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}}$
${ displaystyle 1 / x}$	${ displaystyle 1-x}$	${ displaystyle x / (x-1)}$
${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} -1 & 1 0 & 1 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 1 & -1 end {pmatrix}}}$
${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & i i & 0 end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} -i & i 0 & i end {pmatrix}}}$	${ displaystyle { begin {pmatrix} i & 0 i & -i end {pmatrix}}}$

Жоғарғы қатарда сәйкестілік және екі 3 цикл болып табылатынын және бағдарларды сақтайтындығын ескеріп, PSL (2, З), ал төменгі қатар үш 2 цикл болса және PGL (2, З) және PSL (2, З[мен]), бірақ PSL-де емес (2, З), демек, детерминанты −1 және бүтін коэффициенттері бар матрицалар, немесе детерминанты 1 мен матрицалары ретінде Гаусс бүтін саны коэффициенттер.

Бұл {0, 1, ∞} ⊂ симметрияларына сәйкес келеді P¹(n) төмендету режимінде n. Атап айтқанда, үшін n = 2, бұл кіші топ изоморфты түрде PGL (2, З/2З) = PSL (2, З/2З) ≅ S₃,^{[7 ескерту]} және осылайша бөлінуді қамтамасыз етеді ${ displaystyle operatorname {PGL} (2, mathbf {Z} / 2) hookrightarrow operatorname {PGL} (2, mathbf {Z})}$ квоталық карта үшін ${ displaystyle operatorname {PGL} (2, mathbf {Z}) twoheadrightarrow operatorname {PGL} (2, mathbf {Z} / 2).}$

{0, 1, ∞} тұрақтандырғышының кіші топтары {−1, 1/2, 2} және {φ нүктелерін одан әрі тұрақтандырады₋, φ₊,}.

Бұл кіші топтың келесі қасиеті - бұл квоталық карта S₃ → S₂ топтық әрекет арқылы жүзеге асырылады. Яғни, кіші топ C₃ < S₃ 3 циклдан тұратын және () (0 1 ∞) (0 ∞ 1) сәйкестендіру тұрақтандырады алтын коэффициент және кері алтын қатынасы ${ displaystyle varphi _ { pm} = { frac {1 pm { sqrt {5}}} {2}},}$ ал 2 цикл оларды ауыстырады, осылайша картаны жүзеге асырады.

Жеке 2 циклдің тіркелген нүктелері сәйкесінше −1, 1/2, 2 құрайды және бұл жиынтықтың әрекетіне сәйкес сақталады және ауыстырылады. S₃ изоморфизмді конъюгациялау және іске асыру арқылы 2 циклда (оның Sylow 2-топшалары) ${ displaystyle S_ {3} { overset { sim} { to}} operatorname {Inn} (S_ {3}) cong S_ {3}.}$

Топология

Нақты және күрделі сандар бойынша PGL және PSL топологиясын келесіден анықтауға болады талшық байламдары оларды анықтайтын:

${ displaystyle { begin {matrix} mathrm {Z} & cong & K * & to & mathrm {GL} & to & mathrm {PGL} mathrm {SZ} & cong & mu _ {n} & to & mathrm {SL} & to & mathrm {PSL} end {matrix}}}$

арқылы фибрацияның нақты дәл реттілігі.

Реал үшін де, кешен үшін де SL - а кеңістікті қамту парақтарының санына тең PSL nтамырлар Қ; осылайша, олардың барлығы жоғары гомотопиялық топтар келісемін. Шынында, SL - PSL-нің 2-қабатты қақпағы n тіпті, және ол үшін 1 есе қақпақ n тақ, яғни изоморфизм:

{± 1} → SL (2n, R) → PSL (2n, R)

${ displaystyle operatorname {SL} (2n + 1, mathbf {R}) { overset { sim} { to}} operatorname {PSL} (2n + 1, mathbf {R})}$

Кешендер үшін SL - an n- PSL қақпағы.

PGL үшін, талшық болып табылады R* ≅ {± 1}, сондықтан гомотопияға дейін GL → PGL - бұл екі есе жабылатын кеңістік, және барлық жоғары гомотопия топтары келіседі.

Кешендердің үстінен PGL үшін талшық болып табылады C* ≅ S¹, сондықтан гомотопияға дейін, GL → PGL - дөңгелек шоқ. Шеңбердің жоғары гомотопиялық топтары жоғалады, сондықтан GL гомотопия топтары (n, C) және PGL (n, C) келіседі n ≥ 3. Шындығында, π₂ Lie топтары үшін әрдайым жоғалады, сондықтан гомотопиялық топтар келіседі n For 2. үшін n = 1, бізде π бар₁(GL (n, C)) = π₁(S¹) = З және PGL (n, C) жай жалғанған.

Қамту топтары

Нақты және күрделі сандар бойынша проективті арнайы сызықтық топтар болып табылады минималды (орталықсыз Lie арнайы алгебрасы үшін өтірік топтың іске асырылуы ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (n) қос нүкте}$ Lie алгебрасы болатын барлық жалған Lie тобы ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (n)}$ PSL мұқабасы болып табылады (n, F). Керісінше, оның әмбебап жабу тобы болып табылады максималды (жай қосылған ) элемент, ал делдалдық іске асырулар a құрайды топтарды жабатын тор.

Мысалға, SL (2, R) орталығы {± 1} және іргелі тобы бар З, және, осылайша, әмбебап мұқабаға ие SL (2, R) және центрсіз PSL-ді қамтиды (2, R).

Өкілдік теориясы

A проективті ұсыну туралы G а-ға кері тартуға болады сызықтық ұсыну а орталық кеңейту C туралы Г.

A топтық гомоморфизм G → PGL (V) топтан G проективті сызықтық топқа а деп аталады проективті ұсыну топтың G, ұқсастығы бойынша а сызықтық ұсыну (гомоморфизм G → GL (V)). Бұлар зерттелді Иссай Шур, кім көрсетті проективті өкілдіктері G тұрғысынан жіктелуі мүмкін сызықтық өкілдіктері орталық кеңейтулер туралы G. Бұл әкелді Шур мультипликаторы, бұл мәселені шешу үшін қолданылады.

Төмен өлшемдер

Проективті сызықтық топ негізінен зерттеледі n ≥ 2, бірақ оны төмен өлшемдер үшін анықтауға болады.

Үшін n = 0 (немесе шын мәнінде n <0) кеңістігі Қ⁰ бос, өйткені 0 өлшемді кеңістіктің 1 өлшемді ішкі кеңістігі жоқ. Осылайша, PGL (0, Қ) - бұл тривиальды топ, бастап бірегей бос картадан тұрады бос жиын өзіне. Әрі қарай, 0 өлшемді кеңістікке скалярлардың әрекеті тривиальды, сондықтан карта K * → GL (0, Қ) үлкен өлшемдердегідей емес, қосудың орнына, тривиальды болып табылады.

Үшін n = 1, проективті кеңістігі Қ¹ жалғыз нүкте болып табылады, өйткені бір өлшемді ішкі кеңістік бар. Осылайша, PGL (1, Қ) - бұл тривиальды топ, a-дан ерекше картадан тұрады синглтон жиынтығы өзіне. Әрі қарай, 1 өлшемді кеңістіктің жалпы сызықтық тобы дәл скалярлар, сондықтан карта ${ displaystyle K ^ {*} { overset { sim} { to}} operatorname {GL} (1, K)}$ PGL-ге сәйкес келетін изоморфизм (1, Қ): = GL (1, Қ)/K * ≅ {1} маңызды емес.

Үшін n = 2, PGL (2, Қ) тривиальды емес, бірақ 2-өтпелі болғандағы жоғары өлшемдерге қарағанда, 3-өтпелі болғандықтан ерекше.

Мысалдар

• PSL (2,7)
• Модульдік топ, PSL (2, З)
• PSL (2, R)
• Мобиус тобы, PGL (2, C) = PSL (2, C)

Ішкі топтар

• Проективті ортогоналды топ, PO - максималды ықшам топша PGL
• Проективті унитарлық топ, PU
• Проективті арнайы ортогоналды топ, PSO - PSL максималды ықшам топшасы
• Проективті арнайы унитарлық топ, ПМУ

Үлкен топтар

Проективті сызықтық топ үлкен топтарда болады, атап айтқанда:

• Жартылай сызықты проективті топ, PΓL, бұл мүмкіндік береді далалық автоморфизмдер.
• Кремона тобы, Cr(Pⁿ(к)) of бирациялық автоморфизмдер; кез келген қосарлы автоморфизм сызықтық, сондықтан PGL бірегулярлы автоморфизмдер тобымен сәйкес келеді.

Сондай-ақ қараңыз

• Проективті трансформация
• Бірлік

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

Бұл мақала үшін қосымша дәйексөздер қажет тексеру. Өтінемін көмектесіңіз осы мақаланы жақсарту арқылы дәйексөздерді сенімді ақпарат көздеріне қосу. Ресурссыз материалға шағым жасалуы және алынып тасталуы мүмкін. Дереккөздерді табу: «Проективті сызықтық топ»  – жаңалықтар  · газеттер  · кітаптар  · ғалым  · JSTOR (Ақпан 2008) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)