Proj құрылысы - Proj construction

Жылы алгебралық геометрия, Proj құрылғысына ұқсас құрылыс болып табылады сақина спектрі құрылысы аффиндік схемалар, типтік қасиеттері бар объектілерді шығарады проективті кеңістіктер және проективті сорттар. Құрылыс, бірақ олай емес функционалды, ішіндегі негізгі құрал болып табылады схема теориясы.

Бұл мақалада барлығы сақиналар коммутативті және жеке тұлға ретінде қабылданады.

Бағаланған сақинаның жобасы

Proj жиынтық ретінде

Келіңіздер болуы а дәрежелі сақина, қайда

болып табылады тікелей сома градацияға байланысты ыдырау. The маңызды емес идеал туралы оң дәреже элементтерінің идеалы болып табылады

.

Идеал дегеніміз біртекті егер ол біртекті элементтермен жасалса. Содан кейін, жиынтық ретінде,

.

Қысқа мерзімділік үшін біз кейде жазамыз үшін .

Proj топологиялық кеңістік ретінде

Біз а анықтай аламыз топология, деп аталады Зариски топологиясы, бойынша жабық жиындарды формаға теңестіру арқылы

қайда Бұл біртекті идеал туралы . Аффиндік схемалардағы сияқты, бұл тез расталады а-ның тұйық жиынтықтарын құрайды топология қосулы .

Шынында да, егер идеалдар отбасы, демек бізде бар егер индекстеу жиынтығы болса Мен ақырлы, сонда .

Эквивалентті түрде біз бастапқы жиынтықты бастапқы нүкте ретінде қабылдап, анықтай аламыз

Жалпы стенография - белгілеу Д.(Sf) арқылы Д.(f), қайда Sf болып табылады идеалды жасаған f. Кез-келген идеал үшін а, жиынтықтар Д.(а) және V(а) бірін-бірі толықтырады, демек, бұрынғы дәлелдеменің дәлелі жиынтықтар екенін көрсетеді Д.(а) бойынша топологияны қалыптастыру . Бұл тәсілдің артықшылығы - жиынтықтар Д.(f), қайда f сақинаның барлық біртекті элементтеріне қатысты S, а негіз талдау үшін таптырмас құрал болып табылатын осы топология үшін , сақинаның спектрі үшін ұқсас факт те таптырмайтын нәрсе сияқты.

Прож схема ретінде

Біз сондай-ақ а шоқ қосулы , оны аффиндік жағдайдағыдай «құрылымдық шоқ» деп атайды, оны а схема. Spec салу жағдайындағыдай, оны жалғастырудың көптеген жолдары бар: ең тура, ол классикалық алгебралық геометриядағы проективті әртүрлілік бойынша тұрақты функцияларды құруды ұсынады. Кез-келген ашық жиынтық үшін туралы (бұл анықтамасы бойынша біртекті бас идеалдар жиынтығы құрамында жоқ ) біз сақинаны анықтаймыз барлық функциялардың жиынтығы болу керек

(қайда бөлшектер сақинасының қосындысын білдіреді бір дәрежелі біртекті элементтердің фракцияларынан тұрады), бұл әрбір идеалға сәйкес келеді туралы :

  1. элементі болып табылады ;
  2. Ашық ішкі жиын бар құрамында және біртекті элементтер туралы әрбір негізгі идеал үшін бірдей дәрежеде туралы :
    • жоқ ;

Анықтамадан бірден шығады сақиналар шоғырын құрайды қосулы және бұл жұптың (, ) іс жүзінде схема болып табылады (бұл ашық ішкі жиынтықтардың әрқайсысын көрсету арқылы жүзеге асырылады аффиндік схема болып табылады).

Бағаланған модульге байланысты шоқ

Маңызды қасиеті жоғарыда аталған құрылыс үшін локализацияны қалыптастыру мүмкіндігі болды әрбір идеал үшін туралы . Бұл мүлікке кез-келген иелік етеді бағаланған модуль аяқталды , демек, тиісті кішігірім өзгертулермен алдыңғы бөлім кез-келгеніне арналған белгіленген шоқ , of -модульдер қосулы . Бұл пучка квазикогерентті құрылыс бойынша. Егер көптеген дәреже элементтерімен жасалады (мысалы, полиномдық сақина немесе оның біртекті бөлігі), барлық квазикогерентті шегендер осы конструкция бойынша деңгейленген модульдерден туындайды.[1] Сәйкес бағаланған модуль бірегей емес.

Серенің бұралмалы шоқтары

Байланысты ақпаратты және классикалық Serre бұралу қабығын қараңыз тавтологиялық байлам

Бағаланған модульге байланысты жіптің ерекше жағдайы - біз қабылдаған кезде болу өзін басқа бағалаумен: атап айтқанда, біз дәрежеге жол береміз элементтері дәреже болу элементтері , сондықтан

және белгілеу . Содан кейін аламыз квазикогерентті шоқ ретінде , деп белгіленді немесе жай , деп аталады пучканы бұрау туралы Серре. Мұны тексеруге болады шын мәнінде төңкерілетін шоқ.

Утилитасының бір себебі алгебралық ақпаратын қалпына келтіреді болған кезде жоғалған болатын , біз нөлдік фракцияларға өттік. Жағдайда Spec A сақина үшін A, құрылымның ғаламдық бөлімдері пішін пішінін құрайды A өзі, ал жаһандық бөлімдері мұнда тек нөлдік деңгей элементтерін құрайды . Егер біз анықтайтын болсақ

содан кейін әрқайсысы дәрежесі бар- туралы ақпарат , деп белгіленді және оларда жоғалған барлық бағалау ақпараттары жинақталған. Сол сияқты, кез-келген бағалы шоқ үшін -модульдер біз анықтаймыз

және осы «бұралған» шоқтан бағалау туралы ақпаратты қамтуы керек . Атап айтқанда, егер грейдермен байланысты шоқ болып табылады -модуль біз сонымен бірге ол туралы жоғалған бағалау ақпараты болады деп күтеміз . Бұл қате болса да, бұл туралы айтады шын мәнінде осы шоқтардан қалпына келтіруге болады; сияқты

дегенмен, бұл жағдайда болады төменде орналасқан көпмүшелік сақина. Бұл жағдайға қарсы тұру керек ерекшелік функциясы -ге жалғасады ғаламдық секциялар санатында жергілікті сақиналы кеңістіктер.

Проективті n-ғарыш

Егер сақина, біз проективті деп анықтаймыз n- бос орын болу схема

Көпмүшелік сақина бойынша баға әрқайсысына рұқсат беру арқылы анықталады дәрежесінің және әрбір элементінің болуы , нөлдік дәреже. Мұны анықтамасымен салыстыру , жоғарыда біз бөлімдерінің екенін көреміз шынымен түзілген сызықты біртекті көпмүшеліктер өздері. Бұл тағы бір түсініктеме ұсынады , дәлірек айтқанда «координаттар» шоғыры ретінде , бастап проективті координаталар -ғарыш.

Proj мысалдары

Аффиналық сызық бойынша прож

Егер біз негізгі сақина болсақ , содан кейін

аффиндік сызыққа канондық проективті морфизмге ие оның талшықтары эллиптикалық қисықтар нүктелерден басқа мұндағы қисықтар түйіндік қисықтарға айналады. Сонымен, фибрация бар

бұл да схемалардың тегіс морфизмі (көмегімен тексеруге болады Якобиялық критерий ).

Проективті гипер беткейлер және сорттар

Проективті беткі қабат мысалы Ферма квинтикасы үш есе бұл да Калаби – Яу көпжақты. Проективті гипер беткейлерден басқа, кез-келген проективті әртүрлілік біртекті полиномдар жүйесімен кесілген

жылы -өлшемді алгебраға арналған проекциялық құрылысты қолданып, проективті схемаға айналдыруға болады

проективті сорттарды проективті схемаларға ендіру.

Салмақталған проекциялық кеңістік

Салмақталған проекциялық кеңістіктер айнымалылары стандартты емес дәрежеге ие көпмүшелік сақинаның көмегімен құруға болады. Мысалы, өлшенген проекциялық кеңістік қабылдауға сәйкес келеді сақина қайда салмақ бар уақыт 2 салмағы бар.

Үлкен көлемдегі сақиналар

Проекцияның құрылысы үлкен және көп өлшемді сақиналарға дейін созылады. Геометриялық, бұл проективті схемалардың өнімдерін алуға сәйкес келеді. Мысалы, деңгейлі сақиналар берілген

әр генератордың дәрежесімен . Осы алгебралардың тензор көбейтіндісі аяқталды үлкен алгебраны береді

қайда салмақ бар және салмақ бар . Сонда проекцияның конструкциясы береді

бұл проективті схемалардың өнімі болып табылады. Жалпы алгебраны алу арқылы осындай схемалардың проекциялық кеңістікке енуі бар

қайда дәреже элемент дәреже ретінде қарастырылады элемент. Бұл дегеніміз -жіктелген бөлік модуль болып табылады

Сонымен қатар, схема қазір үлкен талшықтармен келеді олар қабықтардың тензор көбейтіндісі болып табылады қайда

және

бұл алгебралардың инъекцияларынан коммутативті алгебралардың тензор көбейтіндісінің диаграммасынан шығатын канондық проекциялар.

Global Proj

Proj құрылысын жалпылау сақинаны ауыстырады S а алгебралар шоғыры және ақыр соңында Proj сақиналарының фибрациясы ретінде қарастырылуы мүмкін схеманы шығарады. Бұл конструкция көбінесе проективті кеңістікті құру үшін қолданылады байламдар астам базалық схема.

Болжамдар

Ресми түрде, рұқсат етіңіз X кез келген болуы схема және S бағалы шоқ бол -алгебралар (олардың анықтамасы анықтамасына ұқсас -модульдер үстінде жергілікті қорғалған кеңістік ): яғни тікелей қосындысы бар ыдырау

қайда болып табылады -әр модуль, әр ашық жиынға арналған U туралы X, S(U) болып табылады -алгебра және нәтижесінде түзілген соманың ыдырауы

бұл алгебраны сақина ретінде бағалау. Мұнда біз солай деп болжаймыз . Біз қосымша болжам жасаймыз S Бұл квазиогерентті шоқ; бұл құрылыстың жалғасуы үшін қажет әр түрлі ашық жиынтықтардағы секциялар бойынша «дәйектілік» болжам.

Құрылыс

Бұл қондырғыда біз схема құра аламыз және «проекциялау» картасы б үстінде X әрқайсысы үшін ашық аффин U туралы X,

Бұл анықтама біз салуды ұсынады алдымен схемаларды анықтау арқылы әрбір ашық аффине үшін U, орнату арқылы

және карталар , содан кейін бұл деректерді екі ашық аффинаның әр қиылысында «үстінен» жабыстыруға болатындығын көрсетеді U және V схемасын қалыптастыру Y біз оны анықтаймыз . Әрқайсысын айқындайтынын көрсету қиын емес қосуға сәйкес келетін карта болуы керек ішіне S(U) нөлдік деңгей элементтері ретінде қажетті консистенцияны береді , ал дәйектілігі өздері квази-когеренттік болжамнан шығады S.

Бұралған шоқ

Егер S қосымша қасиеті бар Бұл когерентті шоқ және жергілікті өндіреді S аяқталды (яғни біз сабақ шөптің S бір сәтте х туралы X, бұл дәрежелі нөлдік элементтер сақинаны құрайтын деңгейлі алгебра содан кейін дәреже элементтері соңғы модульді құрайды және сонымен қатар сабақты алгебра түрінде қалыптастырамыз), содан кейін біз одан әрі құрылыс жасай аламыз. Әр аффинаның үстінде U, Proj S(U) аюлар төңкерілетін шоқ O (1), және біз дәл осы жорамалдың дәл сол сияқты жабыстырылуын қамтамасыз етеді жоғарыда; алынған пучок сонымен бірге белгіленеді O(1) және сол мақсат үшін қызмет етеді сақинаның айналасындағы шиыршық тәрізді.

Квази-когерентті шоқтың жобасы

Келіңіздер схема бойынша квазиогерентті шоқ болыңыз . Симметриялы алгебралар шоғыры табиғи түрде квази-когерентті қабатты болып табылады -модульдер, дәреже элементтері арқылы құрылады. Алынған схеманы деп белгілейді . Егер ақырғы типті, содан кейін оның канондық морфизмі Бұл проективті морфизм.[2]

Кез келген үшін , жоғарыда аталған морфизмнің талшығы аяқталды бұл проективті кеңістік векторлық кеңістіктің қосарлануымен байланысты аяқталды .

Егер квази-когерентті баған -модульдер және солай ақырлы типті болады жабық қосымшасы болып табылады содан кейін проективті болады . Шын мәнінде, проективаның барлық жабық қосымшалары осы формада.[3]

Проективті ғарыш байламдары

Ерекше жағдай ретінде, қашан жергілікті дәреже жоқ , біз аламыз проективті байлам аяқталды салыстырмалы өлшем . Шынында да, егер ашық қақпақ туралы X ашық аффиндер бойынша осылардың әрқайсысымен шектелгенде, тегін A, содан кейін

және демек бұл проективті кеңістік байламы. Бұл проективті шумақтардың қосалқы сызбасы ретінде көптеген сорттардың тұқымдарын жасауға болады, мысалы, эллиптикалық қисықтардың Вейерштрасстар отбасы. Толығырақ негізгі мақаланы қараңыз.

Global Proj мысалы

Ғаламдық проекцияны салу үшін пайдалануға болады Lefschetz қарындаштары. Мысалы, рұқсат етіңіз және біртектес көпмүшелерді қабылда к дәрежесі Біз идеалды шөпті қарастыра аламыз туралы және осы алгебралар шоғырының ғаламдық проекциясын құру . Мұны проективті морфизм деп анық сипаттауға болады .

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Рави Вакил (2015). Алгебралық геометрияның негіздері (PDF)., Қорытынды 15.4.3.
  2. ^ EGA, II.5.5.
  3. ^ EGA, II.5.5.1.