Таутологиялық байлам - Tautological bundle

Жылы математика, тавтологиялық байлам Бұл векторлық шоғыр а. үстінде Грассманниан табиғи тавтологиялық әдіспен: векторлық кеңістіктің үстіндегі талшық V (грассманниялық нүкте) болып табылады V өзі. Жағдайда проективті кеңістік тавтологиялық пучок ретінде белгілі тавтологиялық сызық байламы.

Тавтологиялық шоқ сонымен бірге деп аталады әмбебап байлам кез-келген векторлық байлам болғандықтан (ықшам кеңістікте)^[1]) - бұл тавтологиялық байламның кері тартылуы; бұл Grassmannian - бұл кеңістікті жіктеу векторлық шоғырлар үшін. Осыған байланысты таутологиялық байлам зерттеуде маңызды сипаттағы сыныптар.

Таутологиялық шоқтар алгебралық топологияда да, алгебралық геометрияда да құрастырылған. Алгебралық геометрияда тавтологиялық сызық шоғыры (мысалы төңкерілетін шоқ ) болып табылады

{ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}

,

The қосарланған туралы гиперпланның байламы немесе Серраның бұралмалы шоқтары ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (1)}$ . Гиперпланның байламы - бұл гиперпланға сәйкес келетін сызық шоғыры (бөлгіш ) P^n-1 жылы Pⁿ. Тавтологиялық сызық пен гиперпланның байламы дәл екі генератор болып табылады Пикард тобы проективті кеңістіктің.^[2]

Жылы Майкл Атия «K-теориясы», а күрделі проекциялық кеңістік деп аталады стандартты топтама. Стандартты байламның шар бумасы әдетте деп аталады Hopf байламы. (сал.) Боткалар генераторы.)

Жалпы, а-та таутологиялық шоқтар бар проективті байлам векторлық шоғыр, сондай-ақ а Grassmann байламы.

Ескі мерзім канондық байлам деген сылтаумен пайдасынан бас тартты канондық математикалық терминологияда шамадан тыс жүктелген және (одан да жаманы) шатасуы канондық класс жылы алгебралық геометрия болдырмас еді.

Интуитивті анықтама

Grassmannians анықтамалық мәні үшін параметр кеңістігі болып табылады сызықтық ішкі кеңістіктер, берілген өлшемде, берілгенде векторлық кеңістік W. Егер G бұл грассманниялық және V_ж болып табылады W сәйкес ж жылы G, бұл қазірдің өзінде векторлық шоғырға қажет мәліметтер дерлік: әр нүкте үшін векторлық кеңістік ж, үздіксіз өзгеріп отырады. Бұл көрсеткіштен тавтологиялық шоғырдың анықтамасын тоқтата алатын нәрсе - бұл қиындық V_ж қиылысатын болады. Мұны түзету - бұл әдеттегі бағдарлама бірлескен одақ дестесі проекциясы а-дан болатындай етіп жалпы кеңістік -ның бірдей көшірмелерінен тұрады V_ж, енді қиылыспайды. Осы арқылы бізде байлам бар.

Проективті ғарыштық корпус қамтылған. Әдеттегідей және пайдалану бойынша P(Vішіндегі тавтологиялық байламды пайдалы түрде алып жүре алады қос кеңістік сезім. Яғни V^* қос кеңістік, нүктелері P(V) векторлық ішкі кеңістіктерін алып жүру V^* (олардың сәулелері) ретінде қарастырылған олардың ядролары сызықтық функционалдар қосулы V^*. Егер V өлшемі бар n + 1, тавтологиялық сызық байламы бір таутологиялық байлам, ал екіншісі, жай сипатталған, дәрежелі n.

Ресми анықтама

Келіңіздер G_n(R^n+к) болуы Грассманниан туралы n-өлшемді векторлық ішкі кеңістіктер R^n+к; жиын ретінде бұл барлығының жиынтығы nөлшемді векторлық ішкі кеңістіктер R^n+к. Мысалы, егер n = 1, бұл нақты проективті к-ғарыш.

Тавтологиялық шоғырды анықтаймыз γ_{n, к} аяқталды G_n(R^n+к) келесідей. Буманың жалпы кеңістігі барлық жұптардың жиынтығы (V, v) нүктеден тұрады V грассманния және вектор v жылы V; оған декарттық өнімнің субмеңістік топологиясы берілген G_n(R^n+к) × R^n+к. Π проекциялық картасы π (V, v) = V. Егер F алдын-ала кескіні болып табылады V π астында векторлық кеңістіктің құрылымы беріледі а(V, v) + б(V, w) = (V, ав + bw). Соңында, жергілікті ұсақ-түйек нәрсені көру үшін, нүкте қойылды X грассманнияда, рұқсат етіңіз U бәрінің жиынтығы болыңыз V ортогональ проекциясы болатындай б үстінде X карталар V изоморфты түрде X,^[3] содан кейін анықтаңыз

{ displaystyle phi: pi ^ {- 1} (U) бастап G_ {n} ( mathbb {R} ^ {n + k}) рет X}

арқылы ${ displaystyle phi}$ (V, v) = (V, б(v)), бұл гомеоморфизм болып табылады. Демек, нәтиже - дәреженің векторлық шоғыры n.

Егер өрісті ауыстыратын болсақ, жоғарыда келтірілген анықтама мағынасын жалғастырады R бойынша күрделі өріс C.

Анықтама бойынша шексіз Grassmannian G_n болып табылады тікелей шек туралы G_n(R^n+к) сияқты к → ∞. Бумалардың тікелей шегін алу γ_{n, к} тавтологиялық шоқ береді gives_n туралы G_n. Бұл мағынасында әмбебап байлам: әрбір ықшам кеңістік үшін X, табиғи биекция бар

{ displaystyle [X, G_ {n}] to operatorname {Vect} _ {n} ^ { mathbb {R}} (X), , f mapsto f ^ {*} ( gamma _ {n })}

Мұнда сол жақта жақшасы гомотопия класын, ал оң жағында нақты векторлық шоғырлардың изоморфизм кластарының жиынтығы көрсетілген. n. (Кері карта келесі түрде берілген: бастап X ықшам, кез-келген векторлық шоғыр E тривиалды байламның қосалқы жиынтығы: ${ displaystyle E hookrightarrow X times mathbb {R} ^ {n + k}}$ кейбіреулер үшін к солай E картаны анықтайды ${ displaystyle f_ {E} қос нүкте X -дан G_ {n}, , x mapsto E_ {x}} дейін$ , гомотопияға дейін бірегей.)

ЕскертуӨз кезегінде тавтологиялық байламды әмбебап байлам ретінде анықтауға болады; табиғи биекция бар делік

{ displaystyle [X, G_ {n}] = operatorname {Vect} _ {n} ^ { mathbb {R}} (X)}

кез келген үшін паракомпактикалық кеңістік X. Бастап G_n ықшам кеңістіктің тікелей шегі, ол паракомпакт болып табылады, сондықтан бірегей векторлық шоғыр бар G_n сәйкестендіру картасына сәйкес келеді G_n. Бұл дәл тавтологиялық байлам және шектеулі түрде бәріне тавтологиялық байламдар беріледі G_n(R^n+к).

Гиперпланның байламы

The гиперпланның байламы H нақты проективті к-кеңістік келесідей анықталады. Жалпы кеңістігі H бұл барлық жұптардың жиынтығы (L, f) сызықтан тұрады L шығу тегі арқылы R^{k + 1} және f желілік функционалды L. Π проекциялық картасы π (L, f) = L (сондықтан талшық та бітеді L болып екі векторлық кеңістігі табылады L.) Қалғаны таутологиялық сызық байламына ұқсас.

Басқа сөздермен айтқанда, H болып табылады қос десте тавтологиялық сызық байламы.

Алгебралық геометрияда гиперпланның байламы - түзу шоғыры (мысалы төңкерілетін шоқ ) сәйкес келеді гиперпланның бөлгіші

{ displaystyle H = mathbb {P} ^ {n-1} subset mathbb {P} ^ {n}}

ретінде берілген, айталық, х₀ = 0, қашан х_менбұл біртекті координаттар. Мұны келесідей көруге болады. Егер Д. Бұл (Вейл) бөлгіш қосулы X = Pⁿ, біреуі сәйкес сызық шоғырын анықтайды O(Д.) қосулы X арқылы

{ displaystyle Gamma (U, O (D)) = {f in K | (f) + D geq 0 { text {on}} U }}

қайда Қ - деген ұтымды функциялар өрісі X. Қабылдау Д. болу H, Бізде бар:

{ displaystyle O (H) simeq O (1), f mapsto fx_ {0}}

қайда х₀ әдеттегідей, бұралмалы шоқтың ғаламдық бөлімі ретінде қарастырылады O(1). (Шындығында, жоғарыдағы изоморфизм Вайл бөлгіштері мен Картье бөлгіштері арасындағы әдеттегі корреспонденцияның бөлігі болып табылады.) Ақыр соңында, бұралмалы пучканың дуальдылығы тавтологиялық сызық шоғырына сәйкес келеді (төменде қараңыз).

Алгебралық геометриядағы таутологиялық сызық шоғыры

Алгебралық геометрияда бұл түсінік кез келген өрісте болады к. Нақты анықтамасы келесідей. Келіңіздер ${ displaystyle A = k [y_ {0}, нүкте, y_ {n}]}$ және ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n} = operatorname {Proj} A}$ . Бізде:

{ displaystyle mathbf {Spec} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}]) = mathbb {A} _ { mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1} = mathbb {A} ^ {n + 1} times _ {k} { mathbb {P} ^ {n}}}

қайда Spec болып табылады қатысты Spec. Енді қойыңыз:

{ displaystyle L = mathbf {Spec} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}] / I)}

қайда Мен - бұл жаһандық бөлімдерде жасалынған тамаша шоқ ${ displaystyle x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}}$ . Содан кейін L жабық қосымшасы болып табылады ${ displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1}}$ сол базалық схема бойынша ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ ; Сонымен қатар, жабық нүктелері L дәл солар (х, ж) of ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1} times _ {k} { mathbb {P} ^ {n}}}$ сондай-ақ х нөлге тең немесе кескіні х жылы ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ болып табылады ж. Осылайша, L егер бұрын анықталса, тавтологиялық сызық шоғыры к нақты немесе күрделі сандардың өрісі.

Қысқаша айтқанда, L болып табылады жару аффиналық кеңістіктің шығу тегі ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1}}$ , қайда локус х = 0 дюйм L болып табылады ерекше бөлгіш. (с. Хартшорн, Ч. I, § 4 соңы.)

Жалпы алғанда, ${ displaystyle mathbf {Spec} ( operatorname {Sym} { check {E}})}$ болып табылады алгебралық векторлық шоғыр жергілікті еркін шоққа сәйкес келеді E ақырғы дәрежелі.^[4] Бізде дәл кезек бар:

{ displaystyle 0 to I to { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}] { overset {x_ {i} mapsto y_ {i}} { to}} operatorname {Sym} { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (1) to 0,}

тавтологиялық сызық байламы L, жоғарыда анықталғандай, екіге сәйкес келеді ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$ туралы Серраның бұралмалы шоқтары. Іс жүзінде екі ұғым да (тавтологиялық сызық шоғыры және бұралмалы шоқтың дуалы) бір-бірінің орнына қолданылады.

Өрістің үстінде оның екі жолды байламы - бұл байланысты сызық жиынтығы гиперпланның бөлгіші H, оның жаһандық бөлімдері сызықтық формалар. Оның Черн сыныбы болып табылады -H. Бұл мысалға қарсыжелінің байламы. Аяқталды C, бұл оның теріс сызық дестесі деп айтуға тең, яғни оның Черн класын алып тастағанда, стандартты Kähler формасының de Rham класы болады.

Фактілер

Тавтологиялық сызық шоғыры γ_{1, к} болып табылады жергілікті маңызды емес бірақ жоқ болмашы, үшін к ≥ 1. Бұл басқа өрістерге қатысты болып қалады.^{[дәйексөз қажет ]}

Шын мәнінде, мұны тікелей көрсету керек, үшін к = 1, нағыз тавтологиялық сызық шоғыры белгілі шоқтан басқа емес жалпы кеңістік болып табылады Мобиус жолағы. Жоғарыдағы фактінің толық дәлелі үшін мына сілтемені қараңыз.^[5]

The Пикард тобы желілік байламдар қосулы ${ displaystyle mathbb {P} (V)}$ болып табылады шексіз циклдік, және тавтологиялық сызық байламы генератор болып табылады.
Тавтологиялық байлам а болатын проективті кеңістік жағдайында сызық байламы, байланысты төңкерілетін шоқ бөлімдер болып табылады ${ displaystyle { mathcal {O}} (- 1)}$ , тензорға кері (яғни гиперпландық шоқтың қос векторлық шоғыры) немесе Серре бұралмалы шоқ ${ displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ ; басқаша айтқанда гиперпланның байламы - оң дәрежесі бар Пикард тобының генераторы (а. ретінде) бөлгіш ) және тавтологиялық байлам оған қарама-қарсы: теріс дәрежелі генератор.

Сондай-ақ қараңыз

Hopf байламы
Стифел-Уитни сыныбы
Эйлер тізбегі
Черн сыныбы (Таутологиялық байламдардың Черн кластары - бұл шексіз Грассманнияның когомологиялық сақинасының алгебралық тәуелсіз генераторлары.)
Борел теоремасы
Бос кеңістік (Тавтологиялық шоқтардың кеңістіктері γ_n сияқты n → ∞ деп аталады Том спектрі.)
Grassmann байламы

Әдебиеттер тізімі

^ Шағын емес, бірақ паракомпактты негізде бұл шексіз Grassmannian қолданған жағдайда шынайы болып қалады.
^ Әдебиеттер мен оқулықтарда олардың екеуі де канондық генераторлар деп жиі аталады.
^ U бастап ашық G_n(R^n+к) топологиясы берілген
${ displaystyle G_ {n} ( mathbb {R} ^ {n + k}) to operatorname {End} ( mathbb {R} ^ {n + k}), , V mapsto p_ {V} ,}$
қайда ${ displaystyle p_ {V}}$ - ортогональ проекциясы V, суретке гомеоморфизм болып табылады.
^ Редакциялық ескерту: бұл анықтаманың Хартшорндан айырмашылығы, ол екі жақты қабылдамайды, бірақ стандартты тәжірибеге және Уикипедияның басқа бөліктеріне сәйкес келеді.
^ Милнор − Сташеф, §2. Теорема 2.1.

Дереккөздер

Атия, Майкл Фрэнсис (1989), K теориясы, Advanced Book Classics (екінші басылым), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-09394-0, МЫРЗА 1043170
Грифитс, Филлип; Харрис, Джозеф (1994), Алгебралық геометрияның принциптері, Wiley Classics кітапханасы, Нью-Йорк: Джон Вили және ұлдары, дои:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, МЫРЗА 1288523.
Хартшорн, Робин (1977), Алгебралық геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Шпрингер-Верлаг, ISBN 978-0-387-90244-9, МЫРЗА 0463157, OCLC 13348052.
[M + S] Джон Милнор және Джим Сташеф, Сипаттар, Принстон, 1974 ж.
Рубей, Елена (2014), Алгебралық геометрия, қысқаша сөздік, Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3

[1] Шағын емес, бірақ паракомпактты негізде бұл шексіз Grassmannian қолданған жағдайда шынайы болып қалады.

[2] Әдебиеттер мен оқулықтарда олардың екеуі де канондық генераторлар деп жиі аталады.

[3] U бастап ашық G_n(R^n+к) топологиясы берілген
${ displaystyle G_ {n} ( mathbb {R} ^ {n + k}) to operatorname {End} ( mathbb {R} ^ {n + k}), , V mapsto p_ {V} ,}$
қайда ${ displaystyle p_ {V}}$ - ортогональ проекциясы V, суретке гомеоморфизм болып табылады.

[4] Редакциялық ескерту: бұл анықтаманың Хартшорндан айырмашылығы, ол екі жақты қабылдамайды, бірақ стандартты тәжірибеге және Уикипедияның басқа бөліктеріне сәйкес келеді.

[5] Милнор − Сташеф, §2. Теорема 2.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]