Проективті жақтау - Projective frame - Wikipedia

Жылы математика, және нақтырақ айтқанда проективті геометрия, а проекциялық жақтау немесе проективті негіз Бұл кортеж а нүктелері проективті кеңістік анықтау үшін пайдаланылуы мүмкін біртекті координаттар осы кеңістікте. Дәлірек айтқанда, проективті өлшем кеңістігінде n, проективті жақтау - бұл n + 2- ешқандай гиперпланет қамтымайтын нүктелер n + 1 олардың. Проективті жақтауды кейде а деп атайды қарапайым,^[1] дегенмен қарапайым өлшем кеңістігінде n ең көп дегенде n + 1 төбелер.

Бұл мақалада тек өрістегі проективті кеңістіктер Қ қарастырылады, дегенмен көптеген нәтижелерді а проективті кеңістіктерге жалпылауға болады бөлу сақинасы.

Келіңіздер P(V) өлшемнің проективті кеңістігі болу n, қайда V Бұл Қ- векторлық өлшем кеңістігі n + 1. Келіңіздер ${ displaystyle p: V setminus {0 } to mathbf {P} (V)}$ нөлдік векторды бейнелейтін канондық проекция болу v сәйкес нүктесіне дейін P(V), құрамында векторлық сызық бар v.

Әр кадр P(V) деп жазуға болады ${ displaystyle left (p (e_ {0}), ldots, p (e_ {n + 1}) right),}$ кейбір векторлар үшін ${ displaystyle e_ {0}, dots, e_ {n + 1}}$ туралы V. Анықтама нөлдердің емес элементтерінің болуын білдіреді Қ осындай ${ displaystyle lambda _ {0} e_ {0} + cdots + lambda _ {n + 1} e_ {n + 1} = 0}$. Ауыстыру ${ displaystyle e_ {i}}$ арқылы ${ displaystyle lambda _ {i} e_ {i}}$ үшін ${ displaystyle i leq n}$ және ${ displaystyle e_ {n + 1}}$ арқылы ${ displaystyle - lambda _ {n + 1} e_ {n + 1}}$, кадрдың келесі сипаттамасын алады:

n + 2 нүктелері P(V) егер олар кескін болса ғана, кадр жасаңыз б негізінің V және оның элементтерінің қосындысы.

Сонымен, екі негіз бір фреймді осылайша анықтайды, егер екіншісінің элементтері біріншіден элементтердің туындысы болған жағдайда ғана, егер оның нөлдік емес элементі болса Қ.

Қалай гомографиялар туралы P(V) сызықты эндоморфизмімен индукцияланған VДемек, екі кадр берілгенде, біріншісін екіншісіне түсіретін дәл бір гомография бар. Атап айтқанда, раманың нүктелерін бекітетін жалғыз гомография - бұл жеке куәлік. Бұл нәтиже әлдеқайда қиын синтетикалық геометрия (мұнда проективті кеңістіктер аксиома арқылы анықталады). Оны кейде деп атайды проективті геометрияның алғашқы іргелі теоремасы.^[2]

Әр кадрды келесідей етіп жазуға болады ${ displaystyle (p (e_ {0}), ldots, p (e_ {n}), p (e_ {0} + cdots + e_ {n})),}$ қайда ${ displaystyle (e_ {0}, dots, e_ {n})}$ негізі болып табылады V. The проективті координаттар немесе біртекті координаттар нүктенің б(v) осы жақтауда вектордың координаталары орналасқан v негізінде ${ displaystyle (e_ {0}, dots, e_ {n}).}$ Егер біреу нүктені білдіретін векторларды өзгертсе б(v) және рамалық элементтер, координаттар бекітілген нөлдік скалярға көбейтіледі.

Әдетте, проективті кеңістік P_n(Қ) = P(Қⁿ⁺¹) қарастырылады. Ол бар канондық рамка суреттен тұрады б канондық негізінің Қⁿ⁺¹ (нөлге тең емес бір жазба бар элементтерден тұрады, ол 1-ге тең), және (1, 1, ..., 1). Осы негізде біртектес координаталар б(v) жай жазбалар (коэффициенттер) болып табылады v.

Басқа проективті кеңістік берілген P(V) бірдей өлшемді nжәне жақтау F оның ішінде дәл бір гомография бар сағ картаға түсіру F канондық шеңберіне P(Қⁿ⁺¹). Нүктенің проективті координаттары а жақтауда F біртекті координаталары болып табылады сағ(а) канондық шеңберінде P_n(Қ).

Проективті сызық жағдайында рамка үш нақты нүктеден тұрады. Егер P₁(Қ) -мен сәйкестендірілген Қ шексіздік нүктесімен ∞ қосылды, содан кейін оның канондық шеңбері болады (∞, 0, 1). Кез-келген кадр берілген (а₀, а₁, а₂), нүктенің проективті координаттары а ≠ а₀ болып табылады (р, 1), қайда р болып табылады өзара қатынас (а, а₂; а₁, а₀). Егер а = а₀, көлденең коэффициент - бұл шексіздік, ал проективті координаттар (1,0).

Әдебиеттер тізімі

• Baer, ​​Reinhold (2005) [Алғашқы жарияланған 1952], Сызықтық алгебра және проективті геометрия, Довер, ISBN  9780486445656
• Бергер, Марсель (2009), Геометрия I, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-11658-5, М.Коул мен С.Левидің 1977 жылғы француздық түпнұсқасынан аударылған, 1987 ж