Төртбұрыш - Quadrilateral

Төртбұрыш
Six Quadrilaterals.svg
Төртбұрыштардың кейбір түрлері
Шеттер және төбелер4
Schläfli таңбасы{4} (квадрат үшін)
Ауданәр түрлі әдістер;
төменде қараңыз
Ішкі бұрыш (градус )90 ° (төртбұрыш және тіктөртбұрыш үшін)

Жылы Евклидтік жазықтық геометриясы, а төртбұрышты Бұл көпбұрыш төртеуімен шеттері (жақтар) және төрт төбелер (бұрыштар). Төртбұрыштың басқа атауларына жатады төртбұрыш (аналогы бойынша үшбұрыш ), тетрагон (аналогы бойынша бесбұрыш, 5 жақты көпбұрыш және алтыбұрыш, 6 жақты көпбұрыш), және 4-гон (аналогы бойынша к-дің ерікті мәндеріне арналған гондар к). Төбелері бар төртбұрыш , , және деп кейде белгіленеді .[1][2]

«Төртбұрыш» сөзі латын сөздерінен шыққан квадри, төрт, және латус, «жағы» деген мағынаны білдіреді.

Төрт бұрыштықтар да қарапайым (өздігінен қиылыспайды), немесе күрделі (өздігінен қиылысатын немесе қиылысқан). Қарапайым төртбұрыштар да дөңес немесе ойыс.

The ішкі бұрыштар қарапайым (және жазықтықтағы) төртбұрыш А Б С Д 360-қа дейін қосыңыз доға дәрежесі, Бұл[2]

Бұл ерекше жағдай n- ішкі бұрыш қосындысының формуласы: (n − 2) × 180°.

Барлық өздігінен өтпейтін төртбұрыштар жазықтықты плиткаға салыңыз, олардың шеттерінің ортаңғы нүктелерін бірнеше рет айналдыру арқылы.

Қарапайым төртбұрыштар

Өзара қиылыспайтын кез-келген төртбұрыш қарапайым төртбұрыш болып табылады.

Дөңес төртбұрыштар

Эйлер диаграммасы қарапайым төртбұрыштардың кейбір түрлерінің (Ұлыбритания) британдық ағылшын және (АҚШ) американдық ағылшын тілдерін білдіреді.
Симметрия бойынша дөңес төртбұрыштар, а түрінде бейнеленген Диаграмма.

Дөңес төртбұрышта барлық ішкі бұрыштар 180 ° -дан аз, ал екі диагональ да төртбұрыштың ішінде жатады.

  • Дұрыс емес төртбұрыш (Британдық ағылшын ) немесе трапеция (Солтүстік Америка ағылшын ): ешқандай жақтар параллель емес. (Британдық ағылшын тілінде мұны а деп атаған трапеция. Қосымша ақпаратты қараңыз Трапеция § Трапеция мен Трапеция )
  • Трапеция (Ұлыбритания) немесе трапеция (АҚШ): қарама-қарсы жақтардың кем дегенде бір жұбы параллель. Трапецияға (Ұлыбритания) және трапецияға (АҚШ) параллелограммалар жатады.
  • Трапецияның тең қабырғалары (Ұлыбритания) немесе тең бүйірлі трапеция (АҚШ): қарама-қарсы жақтардың бір жұбы параллель және табаны бұрыштар өлшемі бойынша тең. Баламалы анықтамалар дегеніміз - қарама-қарсы жақтардың бір жұбын екіге бөлетін симметрия осі бар төртбұрыш немесе ұзындығы тең диагональдары бар трапеция.
  • Параллелограмм: екі параллель қабырғалары бар төртбұрыш. Эквивалентті шарттар - қарама-қарсы жақтардың бірдей ұзындықта болуы; қарама-қарсы бұрыштар тең болатындығы; немесе диагональдардың бір-бірінен екіге бөлінуі. Параллелограммаларға ромби (төртбұрыш деп аталатын тіктөртбұрыштарды қосқанда) және ромбоидтар (соның ішінде тікбұрыштар деп аталады) жатады. Басқаша айтқанда, параллелограммға барлық ромбтар мен ромбоидтар кіреді, сонымен қатар барлық төртбұрыштар да кіреді.
  • Ромб, ромб[2]: барлық төрт жағы бірдей ұзындықта болады. Эквивалентті шарт - диагональдардың өзара перпендикуляр екіге бөлінуі. Бейресми түрде: «итерілген квадрат» (бірақ қатаң түрде квадратты да қосқанда).
  • Ромбоид: шектес қабырғалары бірдей емес ұзындыққа, ал кейбір бұрыштары болатын параллелограмм қиғаш (тепе-теңдік, бұрыштары жоқ). Бейресми: «итерілген ұзын». Барлық сілтемелер келісе бермейді, кейбіреулері ромбоидты ромб емес параллелограмм ретінде анықтайды.[3]
  • Тік төртбұрыш: төрт бұрыштың бәрі де тік бұрыштар. Эквивалентті шарт - диагональдардың бір-бірін екіге бөлуі және ұзындығы бойынша тең болуы. Төртбұрыштарға төртбұрыштар мен қиғаштар жатады. Бейресми түрде: «қорап немесе сопақша» (төртбұрышты қоса).
  • Алаң (қалыпты төртбұрыш): төрт жағы да бірдей ұзындықта (тең бүйірлі), ал төрт бұрышы да тік бұрыштар. Эквивалентті шарт - қарама-қарсы жақтардың параллель болуы (квадрат - параллелограмм), ал диагональдар перпендикулярлы түрде бір-біріне бөлініп, бірдей ұзындықта болады. Төртбұрыш - бұл төртбұрыш, егер ол тек ромб және тіктөртбұрыш болса (яғни төрт тең бүйір және төрт тең бұрыш) болса.
  • Созылыңқы: кейде тең емес шектес қабырғалары бар тіктөртбұрышты белгілеу үшін қолданылатын термин (яғни квадрат емес төртбұрыш).[4]
  • Батпырауық: көршілес екі жұптың ұзындығы бірдей. Бұл бір диагональ батпырауықты екіге бөлетіндігін білдіреді үйлесімді үшбұрыштар, және де екі бірдей жұп қабырғалар арасындағы бұрыштар шамасы бойынша тең болады. Бұл сонымен қатар диагональдардың перпендикуляр екенін білдіреді. Батпырақтарға ромби жатады.

Quadrilaterals.svg

Ойыс төртбұрыштар

Ойыс төртбұрышта бір ішкі бұрыш 180 ° -тен үлкен, ал екі диагональдың бірі төртбұрыштың сыртында жатыр.

  • A дартс (немесе көрсеткі) - бұл а ойыс төртбұрыш батпырауық тәрізді екі жақты симметриямен, бірақ бір ішкі бұрышы рефлекторлы болады. Қараңыз Батпырауық.

Күрделі төртбұрыштар

Антипараллелограмм

A өзара қиылысатын төртбұрышты әр түрлі а деп атайды төртбұрышты, қиылысқан төртбұрыш, көбелек төртбұрышты немесе галстук-көбелек төртбұрышты. Айқасқан төртбұрышта өткелдің екі жағындағы төрт «ішкі» бұрыш (екі) өткір және екі рефлекс, барлық сол жақта немесе оң жақта фигура сызылған кезде) 720 ° дейін қосыңыз.[9]

Арнайы сызық сегменттері

Екі диагональдар дөңес төртбұрыштың сызық сегменттері қарама-қарсы шыңдарды байланыстыратын.

Екі бимедиялар дөңес төртбұрыш - қарама-қарсы жақтардың ортаңғы нүктелерін қосатын түзу кесінділері.[11] Олар төртбұрыштың «шыңы центроидпен» қиылысады (қараңыз) § Дөңес төртбұрыштағы керемет нүктелер мен түзулер төменде).

Төрт бейімділік дөңес төртбұрыштың бүйіріне перпендикулярлар - қарама-қарсы жақтың ортаңғы нүктесі арқылы.[12]

Дөңес төртбұрыштың ауданы

Үшін әр түрлі жалпы формулалар бар аудан Қ дөңес төртбұрыштың А Б С Д жақтарымен а = AB, б = Б.з.д., c = CD және г. = DA.

Тригонометриялық формулалар

Ауданды тригонометриялық түрде келесі түрде өрнектеуге болады[13]

мұнда диагональдардың ұзындықтары б және q және олардың арасындағы бұрыш θ.[14] Ортиагональды төртбұрыш жағдайында (мысалы, ромб, квадрат және батпырауық) бұл формула төмендейді. бері θ 90 ° құрайды.

Ауданды бимедиялар түрінде де білдіруге болады[15]

мұнда бимедия ұзындығы м және n және олардың арасындағы бұрыш φ.

Бретшнайдер формуласы[16][13] ауданды қабырғалар мен екі қарама-қарсы бұрыштар арқылы өрнектейді:

мұнда кезектесетін жақтар орналасқан а, б, c, г., қайда с - бұл полимерметр, және A және C екі (шын мәнінде кез келген екі) қарама-қарсы бұрыш. Бұл төмендейді Брахмагуптаның формуласы циклдік төртбұрыштың ауданы үшін - қашан A + C = 180°.

Бұрышпен, қабырғалар мен бұрыштар бойынша тағы бір аймақ формуласы C екі жақ арасында болу б және c, және A екі жақ арасында болу а және г., болып табылады

Циклдік төртбұрыш жағдайында соңғы формула болады

Қарама-қарсы жақтар мен бұрыштардың екі жұбы тең болатын параллелограммада бұл формула төмендейді

Сонымен қатар, біз ауданды қабырғалары мен қиылысу бұрышы бойынша жаза аламыз θ диагональдардың ұзындығы θ 90 ° емес:[17]

Параллелограмм жағдайында соңғы формула болады

Қабырғаларын қоса тағы бір аймақ формуласы а, б, c, г. болып табылады[15]

қайда х бұл диагональдардың ортаңғы нүктелері арасындағы қашықтық, және φ - арасындағы бұрыш бимедиялар.

Қабырғаларын қосатын соңғы тригонометриялық аудан формуласы а, б, c, г. және бұрыш α (арасында а және б):[дәйексөз қажет ]

оны ойыс төртбұрыштың ауданы үшін де қолдануға болады (ойыс бөлігі бұрышқа қарама-қарсы орналасқан) α), тек бірінші белгіні + -ге ауыстыру арқылы.

Тригонометриялық емес формулалар

Төмендегі екі формула аумақты жақтарымен өрнектейді а, б, c, г., полимерметр сжәне диагональдары б, q:

[18]
[19]

Біріншісі сол кезден бастап циклді төртбұрышты жағдайда Брахмагуптаның формуласына дейін азаяды pq = ак + bd.

Ауданды бимедияндармен де білдіруге болады м, n және диагональдар б, q:

[20]
[21]:Thm. 7

Шындығында, төрт мәннің кез-келген үшеуі м, n, б, және q ауданды анықтау үшін жеткілікті, өйткені кез-келген төртбұрышта төрт мән байланысты болады [22]:б. 126 Тиісті өрнектер:[23]

егер екі бимедия мен бір диагональдың ұзындығы берілсе, және[23]

егер екі диагональ мен бір бимедиянның ұзындығы берілсе.

Векторлық формулалар

Төртбұрыштың ауданы А Б С Д көмегімен есептеуге болады векторлар. Векторларға рұқсат етіңіз Айнымалы және BD диагональдарын құрайды A дейін C және бастап B дейін Д.. Төртбұрыштың ауданы сол кезде болады

бұл шаманың жартысына тең кросс өнім векторлардың Айнымалы және BD. Екі өлшемді евклид кеңістігінде векторды өрнектейді Айнымалы сияқты декарт кеңістігіндегі еркін вектор тең (х1,ж1) және BD сияқты (х2,ж2), оны келесідей етіп жазуға болады:

Диагональдар

Кейбір төртбұрыштардағы диагональдардың қасиеттері

Келесі кестеде кейбір қарапайым төртбұрыштардағы диагональдар бір-бірін екіге бөлсе, егер олардың диагональдары болса перпендикуляр, және егер олардың диагональдарының ұзындығы тең болса.[24] Тізім ең жалпы жағдайларға қолданылады және аталған ішкі жиындарды алып тастайды.

Төртбұрыш Диагональдарды екіге бөлу Перпендикуляр диагональдар Тең диагональдар
Трапеция Жоқ 1 ескертуді қараңыз Жоқ
Қапталдағы трапеция Жоқ 1 ескертуді қараңыз Иә
Параллелограмм Иә Жоқ Жоқ
Батпырауық 2 ескертуді қараңыз Иә 2 ескертуді қараңыз
Тік төртбұрыш Иә Жоқ Иә
Ромб Иә Иә Жоқ
Алаң Иә Иә Иә

1-ескерту: Ең жалпы трапеция мен тең бүйірлі трапецияның перпендикуляр диагоналі болмайды, бірақ перпендикуляр диагоналі бар және басқа төртбұрыш емес шексіз (ұқсас емес) трапеция мен тең бүйірлі трапеция бар.

2-ескерту: батпырауықта бір диагональ екіншісіне бөлінеді. Ең жалпы батпырауықта тең емес диагональдар бар, бірақ диагональдар ұзындығы бойынша тең болатын (ұқсас емес) батпырауықтардың саны шексіз (және батпырауықтар басқа төртбұрыш емес).

Диагональдардың ұзындықтары

Дөңес төртбұрыштағы диагональдардың ұзындықтары А Б С Д көмегімен есептеуге болады косинустар заңы төртбұрыштың бір диагоналы мен екі қабырғасы құрған әрбір үшбұрышта. Осылайша

және

Диагональ ұзындықтарының басқа симметриялы формулалары болып табылады[25]

және

Параллелограмм заңының және Птоломей теоремасының жалпылануы

Кез келген дөңес төртбұрышта А Б С Д, төрт жақтың квадраттарының қосындысы екі диагональ квадраттарының қосындысына тең, ал диагональдардың орта нүктелерін қосатын түзу кесіндісінің төрт еселенген квадратына тең. Осылайша

қайда х - диагональдардың ортаңғы нүктелері арасындағы қашықтық.[22]:126-бет Бұл кейде ретінде белгілі Эйлердің төртбұрышты теоремасы және жалпылау болып табылады параллелограмм заңы.

Неміс математигі Карл Антон Бретшнайдер 1842 жылы алынған келесі жалпылау Птоломей теоремасы, дөңес төртбұрыштағы диагональдардың көбейтіндісіне қатысты[26]

Бұл қатынасты а деп санауға болады косинустар заңы төртбұрыш үшін. Ішінде циклдік төртбұрыш, қайда A + C = 180 °, ол төмендейді pq = ac + bd. Cos бастап (A + C) ≥ −1, ол сонымен қатар Птоломей теңсіздігінің дәлелі болып табылады.

Басқа метрикалық қатынастар

Егер X және Y бастап нормальдардың аяқтары болып табылады B және Д. диагональға дейін Айнымалы = б дөңес төртбұрышта А Б С Д жақтарымен а = AB, б = Б.з.д., c = CD, г. = DA, содан кейін[27]:14 б

Дөңес төртбұрышта А Б С Д жақтарымен а = AB, б = Б.з.д., c = CD, г. = DA, және диагональдар қиылысатын жерде E,

қайда e = AE, f = БОЛУЫ, ж = CE, және сағ = DE.[28]

Дөңес төртбұрыштың пішіні мен мөлшері оның бүйірлерінің ұзындығымен және көрсетілген екі төбенің арасындағы бір диагональмен толығымен анықталады. Екі диагональ p, q және төрт жақ ұзындығы а б С Д төртбұрыш өзара байланысты[13] бойынша Кейли-Менгер анықтауыш, келесідей:

Бұрыш биссектрисалары

Ішкі бұрыштық биссектрисалар дөңес төртбұрыштың не құрайды циклдік төртбұрыш[22]:127-бет (яғни көршілес бұрыш биссектрисаларының төрт қиылысу нүктелері конциклді ) немесе олар қатарлас. Соңғы жағдайда төртбұрыш а тангенциалды төртбұрыш.

Төрт жақты А Б С Д, егер бұрыштық биссектрисалар туралы A және C диагональ бойынша кездеседі BD, содан кейін B және Д. диагональ бойынша кездеседі Айнымалы.[29]

Бимедия

Вариньон параллелограммы EFGH

The бимедиялар төртбұрыштың - деп қосатын түзу кесінділері ортаңғы нүктелер қарама-қарсы жақтардың Бимедиялардың қиылысы болып табылады центроид төртбұрыштың төбелерінің.[13]

Кез-келген төртбұрыштың бүйірлерінің ортаңғы нүктелері (дөңес, ойыс немесе қиылысқан) а параллелограмм деп аталады Вариньон параллелограммы. Оның келесі қасиеттері бар:

  • Вариньон параллелограммасының қарама-қарсы жақтарының әр жұбы бастапқы төртбұрыштағы диагональға параллель.
  • Вариньон параллелограммының қабырғасы параллель болатын бастапқы төртбұрыштағы диагональдан жарты есе ұзын.
  • Вариньон параллелограммының ауданы бастапқы төртбұрыштың жартысына тең. Бұл дөңес, ойыс және қиылысқан төртбұрыштарда, егер оның ауданы оның екі үшбұрыштың аудандарының айырмашылығы ретінде анықталса, дұрыс болады.[30]
  • The периметрі Вариньон параллелограммы бастапқы төртбұрыштың диагональдарының қосындысына тең.
  • Вариньон параллелограммының диагональдары бастапқы төртбұрыштың бимедиялары болып табылады.

Төртбұрыштағы екі бимедия және сол төртбұрыштағы диагональдардың ортаңғы нүктелерін қосатын түзу кесіндісі қатарлас және олардың қиылысу нүктелері бойынша екіге бөлінеді.[22]:125 бет

Қабырғалары бар дөңес төртбұрышта а, б, c және г., жақтардың ортаңғы нүктелерін байланыстыратын бимедияның ұзындығы а және c болып табылады

қайда б және q диагональдарының ұзындығы.[31] Қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын бимедияның ұзындығы б және г. болып табылады

Демек[22]:126-бет

Бұл да қорытынды дейін параллелограмм заңы Вариньон параллелограммасында қолданылады.

Бимедиялардың ұзындығын екі қарама-қарсы жақта және арақашықтықта да өрнектеуге болады х диагональдардың ортаңғы нүктелері арасында. Бұл Эйлердің төртбұрышты теоремасын жоғарыдағы формулаларда қолданғанда мүмкін болады. Қайдан[21]

және

Осы формулалардағы екі қарама-қарсы жақ бимедиян қосатын екі емес екеніне назар аударыңыз.

Дөңес төртбұрышта мыналар болады қосарланған бимедиялар мен диагональдар арасындағы байланыс:[27]

  • Екі бимедияның ұзындығы бірдей егер және егер болса екі диагональ болып табылады перпендикуляр.
  • Екі бимедиан перпендикуляр, егер екі диагональдың ұзындығы тең болса ғана.

Тригонометриялық сәйкестілік

Қарапайым төртбұрыштың төрт бұрышы А Б С Д келесі сәйкестікті қанағаттандыру:[32]

және

Сондай-ақ,[33]

Соңғы екі формулада ешқандай а бұрышына жол берілмейді тікбұрыш, күйген 90 ° анықталмағандықтан.

Теңсіздіктер

Аудан

Егер дөңес төртбұрыштың дәйекті жақтары болса а, б, c, г. және диагональдар б, q, содан кейін оның ауданы Қ қанағаттандырады[34]

теңдікпен тек а тіктөртбұрыш.
тек теңдікпен шаршы.
теңдікпен, егер диагональдар перпендикуляр және тең болса ғана.
тек төртбұрыш үшін теңдікпен.[15]

Қайдан Бретшнайдер формуласы төртбұрыштың ауданы қанағаттандыратыны тікелей шығады

теңдікпен егер және егер болса төртбұрыш циклдік немесе бір жағы қалған үшеуінің қосындысына тең болатындай деградацияға ұшырайды (ол а-ға түсіп кетті) сызық сегменті, демек, аудан нөлге тең).

Кез-келген төртбұрыштың ауданы да теңсіздікті қанағаттандырады[35]

Периметрді ретінде белгілеу L, Бізде бар[35]:141-бет

тек квадрат жағдайында теңдікпен.

Дөңес төртбұрыштың ауданы да қанағаттандырады

қиғаш ұзындықтар үшін б және q, егер және диагональдары перпендикуляр болса ғана теңдігімен.

Келіңіздер а, б, c, г. дөңес төртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары А Б С Д ауданмен Қ және диагональдар AC = p, BD = q. Содан кейін[36]

тек квадрат үшін теңдікпен.

Келіңіздер а, б, c, г. дөңес төртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары А Б С Д ауданмен Қ, онда келесі теңсіздік орын алады:[37]

тек квадрат үшін теңдікпен.

Диагональдар мен бимедиялар

Эйлердің төртбұрышты теоремасының қорытындысы - теңсіздік

мұндағы теңдік егер төртбұрыш а болған жағдайда ғана орындалады параллелограмм.

Эйлер жалпыланған Птоломей теоремасы, бұл а теңдігі циклдік төртбұрыш, дөңес төртбұрыштың теңсіздігіне. Онда көрсетілген

теңдік бар жерде егер және егер болса төртбұрыш циклді.[22]:б.128–129 Бұл жиі аталады Птоломейдің теңсіздігі.

Кез-келген дөңес төртбұрышта бимедиялар м, п және диагональдар p, q теңсіздікпен байланысты

диагональдары тең болған жағдайда ғана теңдікпен.[38]:Проп.1 Бұл төртбұрышты сәйкестіктен тікелей шығады

Тараптар

Тараптар а, б, c, және г. кез келген төртбұрышты қанағаттандырады[39]:б.228, # 275

және[39]:234, №466

Максималды және минималды қасиеттер

Берілген төртбұрыштардың арасында периметрі, ең үлкен ауданы - бұл шаршы. Бұл деп аталады изопериметриялық теорема төртбұрыштарға арналған. Бұл аймақ теңсіздігінің тікелей салдары[35]:141-бет

қайда Қ - бұл периметрі бар дөңес төртбұрыштың ауданы L. Теңдік сақталады егер және егер болса төртбұрыш - төртбұрыш. Қос теоремада берілген ауданы бар барлық төртбұрыштардың ішінен квадраттың периметрі ең қысқа болатындығы айтылады.

Берілген бүйірлік ұзындықтары бар төртбұрыш максимум ауданы циклдік төртбұрыш.[40]

Диагональдары берілген барлық дөңес төртбұрыштардың ішінен ортадиагоналды төртбұрыш ең үлкен ауданы бар.[35]:119 бет Бұл дөңес төртбұрыштың ауданы қанағаттандыратынының тікелей салдары

қайда θ - диагональдар арасындағы бұрыш б және q. Теңдік, егер болса ғана болады θ = 90°.

Егер P - дөңес төртбұрыштың ішкі нүктесі А Б С Д, содан кейін

Осы теңсіздіктен төртбұрыштың ішіндегі нүктенің екендігі шығады азайтады дейінгі қашықтықтардың қосындысы төбелер - диагональдардың қиылысы. Демек, бұл нүкте Ферма нүктесі дөңес төртбұрыштың[41]:120 б

Дөңес төртбұрыштағы керемет нүктелер мен түзулер

Төртбұрыштың центрін бірнеше түрлі әдіспен анықтауға болады. «Төбелік центроид» төртбұрышты бос, бірақ шыңдарында массалары тең деп қарастырудан туындайды. «Бүйірлік центроид» ұзындық бірлігіне тұрақты масса болатын жақтарды қарастырудан туындайды. Жай деп аталатын кәдімгі орталық центроид (аудан орталығы) төртбұрыштың бетін тұрақты тығыздыққа ие деп қарастырудан туындайды. Бұл үш тармақ жалпы бірдей емес.[42]

«Вертикаль центроид» - бұл екеуінің қиылысы бимедиялар.[43] Кез-келген көпбұрыш сияқты х және ж центроид шыңының координаттары болып табылады арифметикалық құралдар туралы х және ж төбелердің координаттары.

Төртбұрышты «центроид» А Б С Д келесі жолмен салынуы мүмкін. Келіңіздер Gа, Gб, Gc, Gг. үшбұрыштардың центроидтары болыңыз BCD, ACD, АБД, ABC сәйкесінше. Сонда «аймақтық центроид» - бұл сызықтардың қиылысы GаGc және GбGг..[44]

Жалпы дөңес төртбұрышта А Б С Д, -ның табиғи ұқсастықтары жоқ циркулятор және ортоцентр а үшбұрыш. Бірақ осындай екі нүктені келесі жолмен құруға болады. Келіңіздер Oа, Oб, Oc, Oг. үшбұрыштың шеңберлері болыңыз BCD, ACD, АБД, ABC сәйкесінше; және арқылы белгілеңіз Hа, Hб, Hc, Hг. сол үшбұрыштардағы ортоцентрлер. Содан кейін сызықтардың қиылысы OаOc және OбOг. деп аталады квазицирцумцентр, және сызықтардың қиылысы HаHc және HбHг. деп аталады квазиороторталық дөңес төртбұрыштың[44] Бұл нүктелерді an анықтау үшін қолдануға болады Эйлер сызығы төртбұрышты Дөңес төртбұрышта квазиорентоцентр H, «аймақтық центроид» Gжәне квазицирцентр орталығы O болып табылады коллинеарлы осы тәртіпте және HG = 2КЕТ.[44]

Сондай-ақ а анықталуы мүмкін квазининдік-орталық E сызықтардың қиылысы ретінде EаEc және EбEг., қайда Eа, Eб, Ec, Eг. болып табылады тоғыз нүктелік орталықтар үшбұрыштар BCD, ACD, АБД, ABC сәйкесінше. Содан кейін E болып табылады ортаңғы нүкте туралы OH.[44]

Дөңес параллелограммсыз төртбұрыштың тағы бір керемет сызығы - бұл Ньютон сызығы, бұл диагональдардың ортаңғы нүктелерін қосады, осы нүктелерді байланыстыратын сегмент центрой шыңымен екіге бөлінеді. Тағы бір қызықты сызық (кейбір мағынада қосарланған Ньютондікі бір) - бұл диагональдардың центроид шыңымен қиылысу нүктесін қосатын сызық. Бұл сызық центроидты (аудан) қамтитындығымен ерекше. Центроид шыңы диагональдар мен (аудан) центроид қиылысын қосатын кесіндісін 3: 1 қатынасында бөледі.[45]

Кез-келген төртбұрыш үшін А Б С Д ұпаймен P және Q қиылыстары AD және Б.з.д. және AB және CDсәйкесінше шеңберлер (PAB), (PCD), (QAD), және (QBC) жалпы нүктеден өту М, Микель нүктесі деп аталады.[46]

Дөңес төртбұрыш үшін А Б С Д онда E - және диагональдарының қиылысу нүктесі F жақтардың кеңеюінің қиылысу нүктесі болып табылады Б.з.д. және AD, айналдыра ω болсын E және F ол кездеседі CB ішкі М және DA ішкі N. Келіңіздер Калифорния қайтадан meet кездестіріңіз L және рұқсат етіңіз ДБ қайтадан meet кездестіріңіз Қ. Онда ұстайды: түзулер NK және ML нүктесінде қиылысады P жағында орналасқан AB; түзу сызықтар NL және KM нүктесінде қиылысады Q жағында орналасқан CD. Ұпайлар P және Q жағында circle шеңберімен құрылған «Паскаль нүктелері» деп аталады AB және CD. [47] [48] [49]

Дөңес төртбұрыштардың басқа қасиеттері

  • Төртбұрыштың барлық жағынан сыртқы квадраттар жүргізілсін. Байланыстыратын сегменттер орталықтар қарама-қарсы квадраттардың ұзындығы бойынша (а) тең, және (b) перпендикуляр. Осылайша, бұл орталықтар an ортадиагоналды төртбұрыш. Бұл деп аталады Ван Аубель теоремасы.
  • Берілген жиектері бар кез-келген қарапайым төртбұрыш үшін а бар циклдік төртбұрыш ұзындығы бірдей.[40]
  • Дөңес төртбұрыштың диагональдары мен қабырғалары құрған төрт кіші үшбұрыш екі қарама-қарсы үшбұрыштың аудандарының көбейтіндісі мен қалған екі үшбұрыштың аудандарының көбейтіндісіне тең болатын қасиетке ие.[50]

Таксономия

А-ны қолданатын төртбұрыштардың таксономиясы Диаграмма.

Иерархиялық таксономия төртбұрыштар оң жақтағы суретте бейнеленген. Төменгі сыныптар - бұл олармен байланысқан жоғары сыныптардың ерекше жағдайлары. Назар аударыңыз, бұл жерде «трапеция» Солтүстік Американың анықтамасына сілтеме жасайды (британдық баламасы - трапеция). Инклюзивті анықтамалар бүкіл уақытта қолданылады.

Төрт бұрышты қисаю

(Қызыл) бүйір шеттері тетрагонды дисфеноид тұрақты зиг-заг қисық төртбұрышын білдіреді

Жазық емес төртбұрыш а деп аталады бұрышты төртбұрыш. Сияқты молекулалардың қасиеттері бойынша жұмыс істеу үшін оның диедралды бұрыштарын жиек ұзындығынан және екі көршілес жиектер арасындағы бұрышты есептейтін формулалар алынды. циклобутан құрамында төрт атомнан тұратын «сақина» сақинасы бар.[51] Тарихи тұрғыдан термин төртбұрыш қисайған төртбұрыш мағынасында да қолданылған.[52] Қиғаш төртбұрыш диагональдарымен бірге (тұрақты емес болуы мүмкін) құрайды тетраэдр және, керісінше, әрбір қисық төртбұрыш қарама-қарсы жұп болатын тетраэдрдан келеді шеттері жойылды.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ «Геометрия және тригонометрия нышандарының тізімі». Математикалық қойма. 2020-04-17. Алынған 2020-09-02.
  2. ^ а б c «Төртбұрыштар - төртбұрыш, тіктөртбұрыш, ромб, трапеция, параллелограмм». www.mathsisfun.com. Алынған 2020-09-02.
  3. ^ «Мұрағатталған көшірме» (PDF). Архивтелген түпнұсқа (PDF) 14 мамыр 2014 ж. Алынған 20 маусым, 2013.CS1 maint: тақырып ретінде мұрағатталған көшірме (сілтеме)
  4. ^ http://www.cleavebooks.co.uk/scol/calrect.htm
  5. ^ Кеди, Г .; Таразы, П .; Németh, S. Z. (2004). «Ватт байланыстары және төртбұрыштар». Математикалық газет. 88 (513): 475–492. дои:10.1017 / S0025557200176107.
  6. ^ Джоббингс, А.К (1997). «Төртбұрышты төртбұрыштар». Математикалық газет. 81 (491): 220–224. дои:10.2307/3619199. JSTOR  3619199.
  7. ^ Beauregard, R. A. (2009). «Екі тең бүйірлі төртбұрыштар». Колледждің математика журналы. 40 (1): 17–21. дои:10.1080/07468342.2009.11922331. S2CID  122206817.
  8. ^ Hartshorne, R. (2005). Геометрия: Евклид және одан әрі. Спрингер. 429-430 бб. ISBN  978-1-4419-3145-0.
  9. ^ Жұлдыздар: екінші көзқарас
  10. ^ Батлер, Дэвид (2016-04-06). «Айқасқан трапеция». Сезім жасау. Алынған 2017-09-13.
  11. ^ Вейштейн. «Бимедия». MathWorld - Wolfram веб-ресурсы.
  12. ^ Вейштейн. «Maltitude». MathWorld - Wolfram веб-ресурсы.
  13. ^ а б c г. Вайсштейн, Эрик В. «Төртбұрыш». mathworld.wolfram.com. Алынған 2020-09-02.
  14. ^ Харрис, Дж. «Төртбұрыш ауданы», Математикалық газет 86, 2002 ж. Шілде, 310–311.
  15. ^ а б c Джозефссон, Мартин (2013), «Тіктөртбұрышты сипаттайтын бес дәлел» (PDF), Форум Geometricorum, 13: 17–21.
  16. ^ Дж. Джонсон, Жетілдірілген эвклидтік геометрия, 2007, Dover Publ., б. 82.
  17. ^ Митчелл, Дуглас В., «Төртбұрыштың ауданы» Математикалық газет 93, шілде 2009 ж., 306–309.
  18. ^ Дж.Л.Кулидж, «Төртбұрыш ауданының тарихи қызықты формуласы», Американдық математикалық айлық, 46 (1939) 345–347.
  19. ^ Вейштейн. «Бретшнайдер формуласы». MathWorld - Wolfram веб-ресурсы.
  20. ^ Арчибальд, Р.С, «Төртбұрыштың ауданы», Американдық математикалық айлық, 29 (1922) 29-36 бб.
  21. ^ а б Джозефссон, Мартин (2011), «Екіцентрлік төртбұрыштың ауданы» (PDF), Форум Geometricorum, 11: 155–164.
  22. ^ а б c г. e f Альтшиллер-сот, Натан, Колледж геометриясы, Dover Publ., 2007.
  23. ^ а б Josefsson, Martin (2016) ‘100.31 Төртбұрышты пішіндегі герон тәрізді формулалар’, Математикалық газет, 100 (549), 505–508 бб.
  24. ^ Кахле, Дженнифер, геометрия: негізгі идеялар, [1], қол жеткізілді 28 желтоқсан 2012 ж.
  25. ^ Рашид, М. А. және Аджибаде, А. О., «Төртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары бойынша циклді болуының екі шарты», Int. Дж. Математика. Білім беру. Ғылыми. Технол., т. 34 (2003) жоқ. 5, 739-799 бб.
  26. ^ Андреску, Титу және Андрика, Дориан, А-дан ... Z-ге дейінгі күрделі сандар, Birkhäuser, 2006, 207–209 бб.
  27. ^ а б Джозефссон, Мартин (2012), «Ортиагоналды төртбұрыштардың сипаттамалары» (PDF), Форум Geometricorum, 12: 13–25.
  28. ^ Хон, Ларри (2011), «Төртбұрыштың диагональдары мен бүйірлеріне қатысты жаңа формула» (PDF), Форум Geometricorum, 11: 211–212.
  29. ^ Леверша, Джерри, «Циклді төртбұрыштың диагональдарының қасиеті», Математикалық газет 93, наурыз 2009 ж., 116–118.
  30. ^ H. S. M. Coxeter және S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967, 52-53 бб.
  31. ^ Матеску Константин, жауап Диагональ теңсіздігі
  32. ^ В.В.Дюрелл және А.Робсон, Жетілдірілген тригонометрия, Довер, 2003, б. 267.
  33. ^ MathPro пернесін басыңыз, «Стэнли Рабиновицтің ұсынған түпнұсқа мәселелері 1963–2005», б. 23, [2]
  34. ^ О.Боттема, Геометриялық теңсіздіктер, Wolters – Noordhoff Publishing, Нидерланды, 1969, 129 б., 132.
  35. ^ а б c г. Алсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Аз болғанда: негізгі теңсіздіктерді визуалдау, Американың математикалық қауымдастығы, б. 68.
  36. ^ Дао Тхань Оаи, Леонард Джюджюк, 12033-есеп, американдық математикалық айлық, наурыз, 2018, б. 277
  37. ^ Леонард Михай Джигюк, Дао Тхань Оай және Кадир Алтынтас, Дөңес төртбұрыштың ұзындықтары мен ауданына байланысты теңсіздік, Халықаралық геометрия журналы, т. 7 (2018), №1, 81 - 86 б., [3]
  38. ^ Джозефссон, Мартин (2014). «Екібұрышты төртбұрыштардың қасиеттері». Форум Geometricorum. 14: 129–144.
  39. ^ а б Ұсынылған теңсіздіктерCrux Mathematicorum, [4].
  40. ^ а б Питер, Томас, «Төртбұрыштың ауданын максимизациялау», Колледждің математика журналы, Т. 34, No 4 (қыркүйек 2003 ж.), 315–316 бб.
  41. ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2010). Очаровывающие дәлелдері: талғампаз математикаға саяхат. Американың математикалық қауымдастығы. 114, 119, 120, 261 беттер. ISBN  978-0-88385-348-1.
  42. ^ Король, Джеймс, Төртбұрыштың екі центрлік массасы, [5], Қол жеткізілді 2012-04-15.
  43. ^ Хонсбергер, Росс, Он тоғызыншы және жиырмасыншы ғасырдағы эвклид геометриясындағы эпизодтар, Математика. Доц. Амер., 1995, 35–41 б.
  44. ^ а б c г. Мякишев, Алексей (2006), «Төртбұрышқа қатысты екі керемет сызық туралы» (PDF), Форум Geometricorum, 6: 289–295.
  45. ^ https://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2010/May10/TechPaperMiller.pdf
  46. ^ Чен, Эван (2016). Математикалық олимпиадалардағы эвклидтік геометрия. Вашингтон, Колумбия округі: Американың математикалық қауымдастығы. б. 198. ISBN  9780883858394.
  47. ^ Дэвид, Фрайверт (2019), «циклдік төртбұрышқа жазылған Паскаль-нүктелік төртбұрыштар», Математикалық газет, 103 (557): 233–239, дои:10.1017 / mag.2019.54.
  48. ^ Дэвид, Фрайверт (2019), «Ортиагональды төртбұрышқа жазылған және Паскаль-нүктелік шеңберлермен анықталған төртбұрыштар жиынтығы», Геометрия және графика журналы, 23: 5–27.
  49. ^ Дэвид, Фрайверт (2017), «Паскальдың перпендикуляр диагональдары бар төртбұрыштағы нүктелер шеңберінің қасиеттері» (PDF), Форум Geometricorum, 17: 509–526.
  50. ^ Джозефссон, Мартин, «Трапеция сипаттамалары», Форум Geometricorum 13 (2013) 23–35.
  51. ^ Барнетт, М. П .; Capitani, J. F. (2006). «Модульдік химиялық геометрия және символдық есептеу». Халықаралық кванттық химия журналы. 106 (1): 215–227. дои:10.1002 / кв.20807.
  52. ^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). «Екінші деңгейдегі беттердегі« Гауче »көпбұрыштарының жазылуына қатысты кватерниондық талдаудың кейбір нәтижелері туралы» (PDF). Ирландия корольдік академиясының материалдары. 4: 380–387.

Сыртқы сілтемелер