Centroid - Centroid

Бұл мақалада жалпы тізімі бар сілтемелер, бірақ бұл негізінен тексерілмеген болып қалады, өйткені ол сәйкесінше жетіспейді кірістірілген дәйексөздер. Көмектесіңізші жақсарту осы мақала таныстыру дәлірек дәйексөздер. (Сәуір 2013) (Бұл шаблон хабарламасын қалай және қашан жою керектігін біліп алыңыз)

Үшбұрыштың центроиды

Жылы математика және физика, центроид немесе геометриялық орталық а жазық фигура болып табылады орташа арифметикалық суреттегі барлық нүктелердің орны. Бейресми түрде, бұл пішін кесіндісін түйреуіштің ұшында тамаша теңестіруге болатын нүкте.^[1]

Анықтама кез келген объектіге таралады n-өлшемді ғарыш: оның центроиды - барлық координаталық бағыттардағы барлық нүктелердің орташа орналасуы.^[2]

Ішінде геометрия сөз бариентр деген сөздің синонимі болып табылады центроид, жылы астрофизика және астрономия, бариорталық бұл масса орталығы екі немесе одан да көп денелердің орбита бір-бірін. Жылы физика, масса центрі - барлық нүктелердің орташа арифметикалық мәні өлшенген жергілікті тығыздық бойынша немесе меншікті салмақ. Егер физикалық зат біркелкі тығыздыққа ие болса, оның масса центрі оның пішінінің центроидімен бірдей.

Жылы география, Жер беті аймағының теңіз деңгейіне дейінгі радиалды проекциясының центроиды аймақ болып табылады географиялық орталық.

Тарих

«Центроид» термині соңғы монеталарға қатысты (1814).^{[дәйексөз қажет ]} Ол ескі терминдердің орнына қолданылады «ауырлық орталығы,« және »масса орталығы «, осы нүктенің таза геометриялық аспектілері туралы айту керек болғанда. Термин ағылшын тіліне тән. Француздар қолданады»center de gravité«көптеген жағдайларда және басқалары ұқсас мағынадағы терминдерді қолданады.

Ауырлық орталығы, аты айтып тұрғандай, механикада пайда болған ұғым, мүмкін құрылыс жұмыстарымен байланысты. Ол қашан, қай жерде және кім ойлап тапқаны белгісіз, өйткені бұл ұғым көптеген адамдарда аздаған айырмашылықтармен туындаған болуы мүмкін.

Бұл мүмкін Евклид балалық шағында Александрияда әлі де белсенді болған Архимед (Б.з.д. 287–212 жж.), Архимед келген кезде сөзсіз Александрия, Евклид енді жоқ. Осылайша, Архимед үшбұрыштың медианалары нүктеде - үшбұрыштың ауырлық центрінде тікелей Евклидтен түйісетіндігі туралы теореманы біле алмады, өйткені бұл ұсыныста жоқ Евклидтің элементтері. Бұл ұсыныстың бірінші нақты тұжырымы байланысты Александрия героны (б.з. І ғасыры) және оның Механикасында кездеседі. Сонымен қатар, бұл ұсыныс ХІХ ғасырға дейін жазықтық геометрия оқулықтарында кең тараған жоқ деп айтуға болады.

Архимед бұл ұсынысты нақты айтпаса да, ол жанама сілтемелер жасайды, ол онымен таныс болғандығын білдіреді. Алайда, Жан Этьен Монукла (1725–1799), алғашқы математика тарихының авторы (1758), қатты денелердің ауырлық центрі Архимедтің қол тигізбеген тақырыбы деп үзілді-кесілді мәлімдейді (I т., 463-бет).

1802 жылы Чарльз Боссут (1730–1813) екі томдық Essai sur l'histoire générale des mathématiques шығарды. Бұл кітапты оның замандастары жоғары бағалаған, өйткені ол шыққаннан кейін екі жыл ішінде итальян (1802–03), ағылшын (1803) және неміс (1804) тілдерінде қол жетімді болды. Боссут Архимедке жазықтық фигураларының центродын тапты деп сенеді, бірақ қатты денелер туралы ештеңе айтпайды.^[3]

Қасиеттері

А-ның геометриялық центроиды дөңес объект әрқашан объектіде жатыр. Дөңес емес нысанда фигураның өзінде емес центроид болуы мүмкін. А центроид сақина немесе а тостаған мысалы, объектінің орталық қуысында жатыр.

Егер центроид анықталған болса, онда ол а барлық изометриялардың тіркелген нүктесі оның ішінде симметрия тобы. Атап айтқанда, объектінің геометриялық центроиды оның барлық қиылысында жатыр гиперпландар туралы симметрия. Көптеген фигуралардың центроидтары (тұрақты көпбұрыш, тұрақты полиэдр, цилиндр, тіктөртбұрыш, ромб, шеңбер, сфера, эллипс, эллипсоид, суперлипсис, суперэллипсоид және т.б.) тек осы принцип бойынша анықталуы мүмкін.

Атап айтқанда, а параллелограмм екеуінің кездесу нүктесі диагональдар. Бұл басқаларға сәйкес келмейді төртбұрышты.

Сол себепті, объектінің центроиды трансляциялық симметрия анықталмаған (немесе қоршаудың сыртында орналасқан), өйткені аудармада тұрақты нүкте жоқ.

Мысалдар

Үшбұрыштың центроиды - бұл үшеудің қиылысы медианалар үшбұрыш (шыңдарды қарама-қарсы жақтың ортаңғы нүктесімен қосатын әр медиана).^[4]

Үшбұрыш центроидының басқа қасиеттерін мына жерден қараңыз төменде.

Орналасу

Төменгі сызық әдісі

Біркелкі тығыз центроид жазық ламина, мысалы, төмендегі (а) суреттегідей, a көмегімен эксперименталды түрде анықталуы мүмкін плублайн және пішіні бірдей, біркелкі тығыздықтағы жұқа дененің массаның центрленген центрін табу үшін түйреуіш. Денені түйреуішпен ұстап, оны бір нүктеге енгізіп, болжанған центроидтан шығарып, ол түйреуіштің айналасында еркін айнала алатындай етіп ұстайды; содан кейін түйреуіштен сызық түсіріледі (б-сурет). Плюминаль позициясы беткі қабатта байқалады, ал процедура объектінің центройынан тыс кез-келген әр түрлі нүктеге (немесе бірнеше нүктеге) енгізілген түйреуішпен қайталанады. Бұл сызықтардың ерекше қиылысу нүктесі центроид болады (с сурет). Дене біркелкі тығыздықта болған жағдайда, осы жолмен жасалған барлық сызықтар центроидты қамтиды және барлық сызықтар дәл сол жерде қиылысады.

(а)	(b)	(c)

Бұл әдісті (теория жүзінде) центроид пішіннің сыртында жатуы мүмкін ойыс пішіндерге, ал центроид денеде жатуы мүмкін қатты денелерге (қайтадан біркелкі тығыздыққа) кеңейтуге болады. Сызықтардың (виртуалды) позицияларын кескін бойымен сызудан басқа тәсілдермен жазу керек.

Теңдестіру әдісі

Дөңес екі өлшемді пішіндер үшін центроидты пішінді кіші формада, мысалы, тар цилиндрдің жоғарғы жағында теңдестіру арқылы табуға болады. Центроид екі фигураның жанасу шегінде болады (және дәл пішін түйреуіште тепе-тең болатын жерде). Негізінде центроидты ерікті дәлдікке дейін табу үшін біртіндеп тар цилиндрлерді қолдануға болады. Іс жүзінде ауа ағындары бұл мүмкін емес етеді. Алайда, бірнеше теңгерімнен қабаттасу диапазонын белгілеу арқылы айтарлықтай дәлдік деңгейіне қол жеткізуге болады.

Соңғы нүктелер жиынтығы

Ақырлы жиынтықтың центроиды ${ displaystyle k}$ ұпай ${ displaystyle mathbf {x} _ {1}, mathbf {x} _ {2}, ldots, mathbf {x} _ {k}}$ жылы ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ болып табылады

${ displaystyle mathbf {C} = { frac { mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2} + cdots + mathbf {x} _ {k}} {k}} }$.^[2]

Бұл нүкте өзі мен жиынтықтағы әрбір нүкте арасындағы квадраттық эвклидтік арақашықтықтардың қосындысын азайтады.

Геометриялық ыдырау бойынша

Жазық фигураның центроид ${ displaystyle X}$ оны қарапайым фигуралардың ақырлы санына бөлу арқылы есептеуге болады ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, нүктелер, X_ {n}}$, центроидты есептеу ${ displaystyle C_ {i}}$ және аудан ${ displaystyle A_ {i}}$ әр бөліктің, содан кейін есептеудің

${ displaystyle C_ {x} = { frac { sum C_ {i_ {x}} A_ {i}} { sum A_ {i}}}, C_ {y} = { frac { sum C_ {i_ {y}} A_ {i}} { sum A_ {i}}}}$

Суреттегі тесіктер ${ displaystyle X}$, бөлшектер арасындағы қабаттасулар немесе фигурадан тыс созылатын бөліктердің барлығы теріс аймақтарды қолданумен өңделуі мүмкін ${ displaystyle A_ {i}}$. Атап айтқанда, шаралар ${ displaystyle A_ {i}}$ оң және теріс белгілерімен бірге таңбаларының қосындысы болатындай етіп қабылдау керек ${ displaystyle A_ {i}}$ берілген нүктені қосатын барлық бөліктер үшін ${ displaystyle p}$ егер 1 болса ${ displaystyle p}$ тиесілі ${ displaystyle X}$, әйтпесе 0.

Мысалы, төмендегі (а) фигура квадрат пен үшбұрышқа оңай бөлінеді, екеуі де оң ауданы бар; және дөңгелек тесік, теріс ауданы (б).

(а) 2D нысаны

(b) қарапайым элементтердің көмегімен сипатталған объект

в) объект элементтерінің центроидтары

Әр бөліктің центроидін кез-келгенінен табуға болады қарапайым формалардың центроидтарының тізімі (с). Сонда фигураның центроиды - бұл үш нүктенің орташа өлшенген мәні. Центройдтың көлденең орналасуы, фигураның сол жақ шетінен бастап орналасқан

${ displaystyle x = { frac {5 times 10 ^ {2} +13.33 times { frac {1} {2}} 10 ^ {2} -3 times pi 2.5 ^ {2}} {10 ^ {2} + { frac {1} {2}} 10 ^ {2} - pi 2.5 ^ {2}}} шамамен 8.5 { mbox {бірлік}}.}$

Центроидтың тік орналасуы дәл осылай табылған.

Бірдей формула кез-келген үш өлшемді нысандар үшін қолданылады, тек әрқайсысы ${ displaystyle A_ {i}}$ көлемі болуы керек ${ displaystyle X_ {i}}$, оның ауданынан гөрі. Ол кез келген ішкі жиынға арналған ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, кез-келген өлшем үшін ${ displaystyle d}$, ауыстырылған аудандармен ${ displaystyle d}$-өлшемді шаралар бөлшектердің

Интегралды формула бойынша

Ішкі жиынның центроиды X туралы ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ арқылы есептеуге болады ажырамас

${ displaystyle C = { frac { int xg (x) ; dx} { int g (x) ; dx}}}$

мұнда интегралдар бүкіл кеңістікке қабылданады ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, және ж болып табылады сипаттамалық функция ішіндегі 1 болатын ішкі жиыны X және оның сыртында 0.^[5] Бөлгіштің жай ғана екенін ескеріңіз өлшеу жиынтықтың X. Егер жиын болса, бұл формуланы қолдану мүмкін емес X нөлдік өлшемге ие, немесе егер интегралдық алшақтық болса.

Центройдтың тағы бір формуласы - бұл

${ displaystyle C_ {k} = { frac { int zS_ {k} (z) ; dz} { int S_ {k} (z) ; dz}}}$

қайда C_к болып табылады к-ның координаты C, және S_к(з) -ның қиылысу өлшемі болып табылады X теңдеуімен анықталған гиперпланмен х_к = з. Тағы да, бөлгіш - жай өлшем X.

Жазық фигура үшін, атап айтқанда, бариентрдің координаттары сәйкес келеді

${ displaystyle C _ { mathrm {x}} = { frac { int xS _ { mathrm {y}} (x) ; dx} {A}}}$

${ displaystyle C _ { mathrm {y}} = { frac { int yS _ { mathrm {x}} (y) ; dy} {A}}}$

қайда A фигураның ауданы X; S_ж(х) - қиылысының ұзындығы X тік сызықпен абцисса х; және S_х(ж) - бұл ауыстырылған осьтер үшін ұқсас шама.

Шектелген аймақ

Центроид ${ displaystyle ({ bar {x}}, ; { bar {y}})}$ графиктерімен шектелген аймақтың үздіксіз функциялар ${ displaystyle f}$ және ${ displaystyle g}$ осындай ${ displaystyle f (x) geq g (x)}$ аралықта ${ displaystyle [a, b]}$, ${ displaystyle a leq x leq b}$, арқылы беріледі

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {1} {A}} int _ {a} ^ {b} x [f (x) -g (x)] ; dx}$^[5]

${ displaystyle { bar {y}} = { frac {1} {A}} int _ {a} ^ {b} left [{ frac {f (x) + g (x)} {2) }} оң] [f (x) -g (x)] ; dx,}$^[6]

қайда ${ displaystyle A}$ - бұл аймақ ауданы (берілген ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} [f (x) -g (x)] ; dx}$).^[7][8]

L тәрізді нысан

Бұл L-тәрізді заттың центройдты анықтау әдісі.

1. 2-суретте көрсетілгендей пішінді екі тіктөртбұрышқа бөліңіз, диагональдарды салу арқылы осы екі тіктөртбұрыштың центроидтарын табыңыз. Центроидтарға қосылатын сызық салыңыз. Фигураның центроиды осы АВ түзуінде жатуы керек.
2. 3-суретте көрсетілгендей пішінді тағы екі тіктөртбұрышқа бөліңіз, диагональдарды салу арқылы осы екі тіктөртбұрыштың центроидтарын табыңыз. Центроидтарға қосылатын сызық салыңыз. L пішінінің центроиды осы CD жолында орналасуы керек.
3. Фигураның центроидтары АВ бойымен, сондай-ақ CD бойымен орналасуы керек болғандықтан, ол осы екі түзудің қиылысуында, О нүктесінде болуы керек, О нүктесі L-тәрізді заттың ішінде немесе сыртында орналасуы мүмкін.

Үшбұрыштың

А центроид үшбұрыш оның қиылысу нүктесі болып табылады медианалар (әрқайсысы қосылатын сызықтар) шың қарсы жақтың ортаңғы нүктесімен).^[4] Центроид медианалардың әрқайсысын арақатынас 2: 1, яғни side әр жағынан қарама-қарсы шыңға дейінгі қашықтықта орналасқан (оң жақтағы суреттерді қараңыз).^[9][10] Оның Декарттық координаттар болып табылады білдіреді үш төбенің координаталары. Яғни, егер үш төбе болса ${ displaystyle L = (x_ {L}, y_ {L}),}$ ${ displaystyle M = (x_ {M}, y_ {M}),}$ және ${ displaystyle N = (x_ {N}, y_ {N}),}$ содан кейін центроид (белгіленеді C мұнда, бірақ көбінесе белгіленеді G жылы үшбұрыш геометриясы ) болып табылады

${ displaystyle C = { frac {1} {3}} (L + M + N) = left ({ frac {1} {3}} (x_ {L} + x_ {M} + x_ {N }), ; ; { frac {1} {3}} (y_ {L} + y_ {M} + y_ {N}) right)}.$

Центроид сондықтан ${ displaystyle { tfrac {1} {3}}: { tfrac {1} {3}}: { tfrac {1} {3}}}$ жылы бариентрлік координаттар.

Жылы үш сызықты координаттар центроид бүйір ұзындықтары бойынша осы эквивалентті жолдардың кез-келгенінде көрсетілуі мүмкін а, б, в және төбелік бұрыштар L, M, N:^[11]

${ displaystyle { begin {aligned} C & = { frac {1} {a}}: { frac {1} {b}}: { frac {1} {c}} = bc: ca: ab = csc L: csc M: csc N [6pt] & = cos L + cos M cdot cos N: cos M + cos N cdot cos L: cos N + cos L cdot cos M [6pt] & = sec L + sec M cdot sec N: sec M + sec N cdot sec L: sec N + sec L cdot sec M. end {тураланған }}}$

Центройд сонымен қатар массаның физикалық орталығы болып табылады, егер үшбұрыш біркелкі материал парағынан жасалған болса; немесе егер барлық масса үш төбеге шоғырланған болса және олардың арасында біркелкі бөлінсе. Екінші жағынан, егер масса үшбұрыштың периметрі бойынша біркелкі бөлінген болса сызықтық тығыздық, онда масса центрі орналасқан Шпионерлер орталығы ( ынталандыру туралы ортаңғы үшбұрыш ), ол (жалпы алғанда) толық үшбұрыштың геометриялық центроидымен сәйкес келмейді.

Үшбұрыштың ауданы кез-келген қабырғасының ұзындығынан бүйірінен центроидқа дейінгі перпендикуляр қашықтықтан 1,5 есе артық.^[12]

Үшбұрыштың центроиды оған жатады Эйлер сызығы оның арасында ортоцентр H және оның циркулятор O, екіншісінен бұрынғыға қарағанда екі есе жақын:

${ displaystyle { overline {CH}} = 2 { overline {CO}}.}$^[13][14]

Сонымен қатар, үшін ынталандыру Мен және тоғыз нүктелік орталық N, Бізде бар

${ displaystyle { begin {aligned} { overline {CH}} & = 4 { overline {CN}} [5pt] { overline {CO}} & = 2 { overline {CN}} [5pt] { overline {IC}} & <{ overline {HC}} [5pt] { overline {IH}} & <{ overline {HC}} [5pt] { overline {IC }} & <{ overline {IO}} end {aligned}}}$

Егер G - АВС үшбұрышының центроиды болса, онда:

${ displaystyle displaystyle ({ text {Area of}} triangle mathrm {ABG}) = ({ text {Area of}} triangle mathrm {ACG}) = ({ text {Area of}}) triangle mathrm {BCG}) = { frac {1} {3}} ({ text {Area of}} triangle mathrm {ABC})}$

The изогональды конъюгат үшбұрыштың центроидтықі оның симмедиялық нүкте.

Центроид арқылы үш медиананың кез-келгені үшбұрыштың ауданын екіге бөледі. Бұл centroid арқылы басқа жолдарға қатысты емес; тең ауданды бөлуден ең үлкен кету центроид арқылы өтетін сызық үшбұрыштың қабырғасына параллель болғанда, кіші үшбұрыш пен трапеция; бұл жағдайда трапецияның ауданы бастапқы үшбұрыштың 5/9 құрайды.^[15]

Келіңіздер P шыңдары бар үшбұрыш жазықтығының кез келген нүктесі бол A, B, және C және центроид G. Сонда -ның квадраттық арақашықтықтарының қосындысы P үш төбеден центроидтың квадраттық арақашықтықтарының қосындысынан асады G шыңдарынан квадраттық қашықтықты үш есе арттырады P және G:

${ displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} = GA ^ {2} + GB ^ {2} + GC ^ {2} + 3PG ^ {2}.}$^[16]

Үшбұрыштың қабырғаларының квадраттарының қосындысы центроидтың төбелерден квадраттық арақашықтықтарының қосындысына үш есе тең:

${ displaystyle AB ^ {2} + BC ^ {2} + CA ^ {2} = 3 (GA ^ {2} + GB ^ {2} + GC ^ {2}).}$^[16]

Үшбұрыш центроиды дегеніміз - үшбұрыштың шетінен нүктенің бағытталған арақашықтықтарының көбейтіндісін көбейтетін нүкте.^[17]

Келіңіздер ABC үшбұрыш болыңыз G оның центроиды болыңыз және рұқсат етіңіз Д., E, және F ортаңғы нүктелері болыңыз Б.з.д., Калифорния, және ABсәйкесінше. Кез-келген нүкте үшін P жазықтығында ABC содан кейін

${ displaystyle PA + PB + PC leq 2 (PD + PE + PF) + 3PG.}$^[18]

Көпбұрыштың

Өздігінен қиылыспайтын центроид тұйықталған көпбұрыш арқылы анықталады n шыңдар (х₀,ж₀), (х₁,ж₁), ..., (х_n−1,ж_n−1) нүкте (C_х, C_ж),^[19] қайда

${ displaystyle C _ { mathrm {x}} = { frac {1} {6A}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} + x_ {i + 1}) ( x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}),}$ және

${ displaystyle C _ { mathrm {y}} = { frac {1} {6A}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} (y_ {i} + y_ {i + 1}) ( x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}),}$

және қайда A көпбұрыштың қолтаңбасы бар аймақ,^[19] сипаттағандай аяқ киімнің формуласы:

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}).}$

Бұл формулаларда төбелер көпбұрыштың периметрі бойынша пайда болу реті бойынша нөмірленген деп қабылданады; бұдан басқа, шың ( х_n, ж_n ) -мен бірдей деп қабылданады х₀, ж₀ ), мағынасы ${ displaystyle i + 1}$ соңғы жағдайда айналдыра айналдыру керек ${ displaystyle i = 0}$. (Егер нүктелер сағат тілінің ретімен нөмірленсе, аймақ A, жоғарыда есептелген, теріс болады; дегенмен, центроидтық координаттар бұл жағдайда да дұрыс болады.)

Конус немесе пирамида

А центроид конус немесе пирамида байланыстыратын сызық сегментінде орналасқан шыңы базаның центроидына дейін. Қатты конус немесе пирамида үшін центроид негізден шыңға дейінгі арақашықтықтың 1/4 құрайды. Тек негізі жоқ қабықша (қуыс) болатын конус немесе пирамида үшін центроид базалық жазықтықтан шыңға дейінгі аралықтың 1/3 құрайды.

Тетраэдр және n-өлшемді симплекс

A тетраэдр объект болып табылады үш өлшемді кеңістік оның төрт бұрышы бар жүздер. Тетраэдр шыңына қарама-қарсы беттің центроидімен қосылатын түзу кесінді а деп аталады медиана, және екі қарама-қарсы жиектің ортаңғы нүктелерін біріктіретін түзу кесіндісі а деп аталады бимедия. Демек төрт медиана және үш бимедия бар. Бұл жеті сызық сегменттерінің барлығы сәйкес келеді центроид тетраэдр.^[20] Медияндар центроидқа 3: 1 қатынасында бөлінеді. Тетраэдрдің центроиды - оның арасындағы ортаңғы нүкте Монге нүктесі және сценцентр (айналдыра сфераның орталығы). Осы үш тармақ анықтайды Эйлер сызығы теңдестірілген тетраэдр Эйлер сызығы үшбұрыштың

Бұл нәтижелер кез келген нәтижеге сәйкес келеді n-өлшемді қарапайым келесі жолмен. Егер симплекстің шыңдарының жиыны болса ${ displaystyle {v_ {0}, ldots, v_ {n}}}$, содан кейін шыңдарды қарастырайық векторлар, центроид

${ displaystyle C = { frac {1} {n + 1}} sum _ {i = 0} ^ {n} v_ {i}.}$

Егер масса бүкіл симплекске біркелкі бөлінсе немесе шыңдарда шоғырланған болса, геометриялық центроид массаның центрімен сәйкес келеді. n + 1 тең массалар.

Жартышардың

Қатты жарты шардың центроиды (яғни қатты шардың жартысы) сфера центрін жарты шардың полюсімен байланыстыратын түзу кесіндісін 3: 5 қатынасында бөледі (яғни орталықтан полюске дейінгі жолдың 3/8 бөлігі). Қуыс жарты шардың центроиды (яғни қуыс сфераның жартысы) сфераның центрін жарты шар полюсімен байланыстыратын түзу кесіндісін екіге бөледі.

Сондай-ақ қараңыз

• Чебышев орталығы
• Фречет дегеніміз
• к-алгоритм дегенді білдіреді
• Центроидтардың тізімі
• Масса центрінің орналасуы
• Медоид
• Паппустың центроидтық теоремасы
• Спектрлік центроид
• Үшбұрыш орталығы

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

• Альтшиллер-сот, Натан (1925), Колледж геометриясы: Үшбұрыш пен шеңбердің қазіргі геометриясына кіріспе (2-ші басылым), Нью-Йорк: Barnes & Noble, LCCN  52013504
• Bourke, Paul (шілде 1997). «Көпбұрыштың ауданы мен центроидын есептеу».
• Джонсон, Роджер А. (2007), Жетілдірілген эвклидтік геометрия, Довер
• Кей, Дэвид С. (1969), Колледж геометриясы, Нью Йорк: Холт, Райнхарт және Уинстон, LCCN  69012075
• Ларсон, Ролан Е .; Хостетлер, Роберт П .; Эдвардс, Брюс Х. (1998), Бір айнымалының есебі (6-шы басылым), Houghton Mifflin компаниясы
• Протер, Мюррей Х.; Моррей, кіші, Чарльз Б. (1970), Аналитикалық геометриямен колледж есебі (2-ші басылым), оқу: Аддисон-Уэсли, LCCN  76087042

Сыртқы сілтемелер

• Үшбұрыш орталықтарының энциклопедиясы Кларк Кимберлинг. Центроид X (2) ретінде индекстелген.
• Центроидтың сипаттамалық қасиеті кезінде түйін
• Бариентрлік координаттар кезінде түйін
• Интерактивті анимациялар Үшбұрыштың центроиды және Цирроидты циркульмен және түзу сызықпен салу
• Тәжірибелік түрде үшбұрыштың медианалары мен центроидын табу кезінде Динамикалық геометрия нобайлары, Золушканың гравитациялық тренажерін қолданатын интерактивті динамикалық геометриялық нобай.