Эйлерс төртбұрышты теоремасы - Eulers quadrilateral theorem - Wikipedia

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = e ^ {2} + f ^ {2} + 4g ^ {2}}

Эйлердің төртбұрышты теоремасы немесе Төртбұрыштар туралы Эйлер заңы, атындағы Леонхард Эйлер (1707–1783), а жақтарының арасындағы байланысты сипаттайды дөңес төртбұрыш және оның диагональдары. Бұл жалпылау параллелограмм заңы оны өз кезегінде жалпылау ретінде қарастыруға болады Пифагор теоремасы. Пифагор теоремасын төртбұрыштар бойынша қайта қарауды соңғысы кейде деп атайды. Эйлер - Пифагор теоремасы.

Теорема және ерекше жағдайлар

Қабырғалары бар дөңес төртбұрыш үшін ${ displaystyle a, b, c, d}$ , диагональдар ${ displaystyle e}$ және ${ displaystyle f}$ , және ${ displaystyle g}$ екі диагональдың ортаңғы нүктелерін қосатын түзу кесіндісі болғандықтан, келесі теңдеулер орындалады:

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = e ^ {2} + f ^ {2} + 4g ^ {2}}

Егер төртбұрыш а параллелограмм, содан кейін диагональдардың ортаңғы нүктелері сәйкес келетін сызық кесіндісімен сәйкес келеді ${ displaystyle g}$ Сонымен қатар, параллель қабырғалары бірдей ұзындыққа ие, сондықтан Эйлер теоремасы -ге дейін азаяды

{ displaystyle 2a ^ {2} + 2b ^ {2} = e ^ {2} + f ^ {2}}

параллелограмм заңы.

Егер төртбұрыш тіктөртбұрыш, содан кейін теңдеу одан әрі жеңілдейді, өйткені қазір екі диагональ тең ұзындыққа ие:

{ displaystyle 2a ^ {2} + 2b ^ {2} = 2e ^ {2}}

2-ге бөлгенде Эйлер-Пифагор теоремасы шығады:

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = e ^ {2}}

Басқаша айтқанда, төртбұрыш жағдайында төртбұрыштың қабырғалары мен оның диагональдарының қатынасын Пифагор теоремасы сипаттайды.^[1]

Баламалы тұжырымдау және кеңейту

Параллелограмммен Эйлер теоремасы

Эйлер бастапқыда жоғарыдағы теореманы қорытынды ретінде енгізді, ол қосымша нүктені енгізуді қажет ететін, бірақ құрылымдық түсінік береді.

Берілген дөңес төртбұрыш үшін ${ displaystyle ABCD}$ Эйлер қосымша тармақ енгізді ${ displaystyle E}$ осындай ${ displaystyle ABED}$ параллелограмм құрайды, содан кейін келесі теңдік орындалады:

{ displaystyle | AB | ^ {2} + | BC | ^ {2} + | CD | ^ {2} + | AD | ^ {2} = | AC | ^ {2} + | BD | ^ {2} + | CE | ^ {2}}

Қашықтық ${ displaystyle | CE |}$ қосымша нүкте арасында ${ displaystyle E}$ және нүкте ${ displaystyle C}$ параллелограммға кірмейтін төртбұрыштың төртбұрыштың параллелограммадан қаншалықты ауытқуын өлшейтінін ойлауға болады. ${ displaystyle | CE | ^ {2}}$ параллелограмм заңының бастапқы теңдеуіне қосу керек түзету мүшесі.^[2]

${ displaystyle M}$ ортаңғы нүктесі болу ${ displaystyle AC}$ өнімділік ${ displaystyle { tfrac {| AC |} {| AM |}} = 2}$ . Бастап ${ displaystyle N}$ ортаңғы нүктесі болып табылады ${ displaystyle BD}$ ол сонымен қатар ${ displaystyle AE}$ , сияқты ${ displaystyle AE}$ және ${ displaystyle BD}$ параллелограммның екеуі де диагональ болып табылады ${ displaystyle ABED}$ . Бұл өнім береді ${ displaystyle { tfrac {| AE |} {| AN |}} = 2}$ және демек ${ displaystyle { tfrac {| AC |} {| AM |}} = { tfrac {| AE |} {| AN |}}}$ . Демек, бұл ұстап қалу теоремасы (және оның керісінше) ${ displaystyle CE}$ және ${ displaystyle NM}$ параллель және ${ displaystyle | CE | ^ {2} = (2 | NM |) ^ {2} = 4 | NM | ^ {2}}$ , бұл Эйлер теоремасын береді.^[2]

Эйлер теоремасын көлденең және жазықтықсыздарды қамтитын үлкен төртбұрыштар жиынтығына дейін кеңейтуге болады. Ол деп аталады жалпыланған төртбұрыштар, олар төрт ерікті нүктеден тұрады ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ олар а түзетін етіп шеттермен байланысты цикл графигі.^[3]

Ескертулер

^ Локенат Дебнат: Леонхард Эйлердің мұрасы: үш ғасырлық құрмет. Әлемдік ғылыми, 2010, ISBN 9781848165267, б. 105–107
^ ^а ^б Деанна Хонспергер, Стивен Кеннеди: Әлемнің шеті: математикалық көкжиектердің он жылдығын атап өту. MAA, 2006, ISBN 9780883855553, б. 137–139
^ Джеффри А. Кандалл: Жалпыланған төртбұрыштарға арналған Эйлер теоремасы. The College Mathematics Journal, т. 33, № 5 (2002 ж. Қараша), 403–404 б. (JSTOR )

Әдебиеттер тізімі

Деанна Хонспергер, Стивен Кеннеди: Әлемнің шеті: математикалық көкжиектердің он жылдығын атап өту. MAA, 2006, ISBN 9780883855553, б. 137–139
Локенат Дебнат: Леонхард Эйлердің мұрасы: үш ғасырлық құрмет. Әлемдік ғылыми, 2010, ISBN 9781848165267, б. 105–107
C. Эдвард Сэндифер: Эйлер мұны қалай жасады. MAA, 2007, ISBN 9780883855638, б. 33–36
Джеффри А. Кандалл: Жалпыланған төртбұрыштарға арналған Эйлер теоремасы. Колледждің математика журналы, т. 33, № 5 (2002 ж. Қараша), 403–404 б. (JSTOR )
Диетмар Херман: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Springer, 2013, ISBN 9783642376122, б. 418

Сыртқы сілтемелер

Вайсштейн, Эрик В. «Төртбұрыш». MathWorld.

[1] Локенат Дебнат: Леонхард Эйлердің мұрасы: үш ғасырлық құрмет. Әлемдік ғылыми, 2010, ISBN 9781848165267, б. 105–107

[maa-2] а ^б Деанна Хонспергер, Стивен Кеннеди: Әлемнің шеті: математикалық көкжиектердің он жылдығын атап өту. MAA, 2006, ISBN 9780883855553, б. 137–139

[3] Джеффри А. Кандалл: Жалпыланған төртбұрыштарға арналған Эйлер теоремасы. The College Mathematics Journal, т. 33, № 5 (2002 ж. Қараша), 403–404 б. (JSTOR )

[1]

[2]

[3]