Бретшнайдерлер формуласы - Bretschneiders formula - Wikipedia

Төртбұрыш.

Жылы геометрия, Бретшнайдер формуласы үшін келесі өрнек аудан генералдың төртбұрыш:

Мұнда, а, б, в, г. төртбұрыштың бүйірлері, с болып табылады полимерметр, және α және γ екі қарама-қарсы бұрыш.

Бретшнайдер формуласы кез келген төртбұрышта жұмыс істейді, ол солай бола ма циклдік әлде жоқ па.

Неміс математигі Карл Антон Бретшнайдер формуласын 1842 жылы ашты. Формуланы сол жылы неміс математигі де шығарды Карл Георгий Кристиан фон Штадт.

Дәлел

Төртбұрыштың ауданын арқылы белгілеңіз Қ. Сонда бізде бар

Сондықтан

The косинустар заңы мұны білдіреді

өйткені екі жағы да диагональ ұзындығының квадратына тең BD. Мұны келесі түрде жазуға болады

Мұны жоғарыдағы формулаға қосу 4Қ2 өнімділік

Ескертіп қой: (барлығы үшін тригонометриялық сәйкестілік )

Сол сияқты қадамдарды орындау Брахмагуптаның формуласы, мұны келесі түрде жазуға болады

Жартыметрмен таныстыру

жоғарыда айтылғандар болады

және Бретшнайдер формуласы екі жақтың да квадрат түбірін алғаннан кейін шығады:

Ұқсас формулалар

Бретшнайдер формуласы жалпыланған Брахмагуптаның формуласы а ауданы үшін циклдік төртбұрыш, ол өз кезегінде жалпылайды Герон формуласы а ауданы үшін үшбұрыш.

Төртбұрыштың циклді еместігі үшін Бретшнайдер формуласындағы тригонометриялық түзетуді бүйірлері мен диагональдары бойынша тригонометриялық емес түрде қайта жазуға болады e және f беру[1][2]

Ескертулер

  1. ^ Дж.Л.Кулидж, «Төртбұрыш ауданының тарихи қызықты формуласы», Американдық математикалық айлық, 46 (1939) 345–347. (JSTOR )
  2. ^ Хобсон: Ұшақ тригонометриясы туралы трактат. Кембридж университетінің баспасы, 1918, 204-205 бб

Сілтемелер және одан әрі оқу

  • Ayoub B. Ayoub: Птолемей және Брахмагупта теоремаларының жалпылануы. Математика және компьютерлік білім, 41 том, №1, 2007 ж., ISSN  0730-8639
  • Хобсон: Ұшақ тригонометриясы туралы трактат. Кембридж университетінің баспасы, 1918, 204–205 беттер (Интернет-көшірме )
  • C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, 2-топ, 1842, S. 225-261 (Интернеттегі көшірме, неміс )
  • F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck and Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, 2-топ, 1842, S. 323-326 (Интернеттегі көшірме, неміс )

Сыртқы сілтемелер