Үшбұрыш - Isosceles triangle

Үшбұрыш
Тік симметрия осі бар үшбұрыш
Түрі	үшбұрыш
Шеттер және төбелер	3
Schläfli таңбасы	( ) ∨ { }
Симметрия тобы	Дих2, [], (*), тапсырыс 2
Қос көпбұрыш	Өзіндік
Қасиеттері	дөңес, циклдік

Жылы геометрия, an тең бүйірлі үшбұрыш Бұл үшбұрыш ұзындығы екі жағы тең. Кейде ол бар деп белгіленеді дәл ұзындығы тең екі жақ, кейде бар сияқты шектен асқанда тең ұзындықтағы екі жақ, соңғы нұсқасы, соның ішінде тең бүйірлі үшбұрыш сияқты ерекше жағдай.Қабырғалы үшбұрыштардың мысалдарына тікбұрышты үшбұрыш, алтын үшбұрыш, және беттері бипирамидалар және белгілі Каталондық қатты заттар.

Қабырғалы үшбұрыштарды математикалық тұрғыдан зерттеу басталады ежелгі Египет математикасы және Вавилондық математика. Қабырғалық үшбұрыштар ерте кезден бастап безендіру ретінде қолданылған және сәулет пен дизайнда жиі кездеседі, мысалы шектер және желбезектер ғимараттар.

Екі тең бүйірлерді катеттер, ал үшінші қабырғаларды үшбұрыштың табаны деп атайды. Үшбұрыштың биіктігі, ауданы және периметрі сияқты басқа өлшемдерін аяқтың және табанның ұзындығынан қарапайым формулалармен есептеуге болады, әр тең бүйірлі үшбұрыштың бойында симметрия осі болады. перпендикуляр биссектрисасы оның негізі. Аяқтарға қарама-қарсы екі бұрыш тең ​​және әрқашан өткір, сондықтан үшбұрышты сүйір, тік немесе доғал деп жіктеу тек оның екі аяғының арасындағы бұрышқа байланысты.

Терминология, классификация және мысалдар

Евклид тең бүйірлі үшбұрышты екі қабырғасы тең үшбұрыш деп анықтады,^[1] бірақ қазіргі заманғы емдеу тәсілдері тең бүйірлі үшбұрыштарды кем дегенде екі тең қабырғалары бар етіп анықтағанды ​​жөн көреді. Осы екі анықтаманың айырмашылығы қазіргі заманғы нұсқа теңбүйірлі үшбұрыштарды (үш бірдей қабырғалары бар) тең бүйірлі үшбұрыштардың ерекше жағдайына айналдыруында.^[2] Қабырғалары тең емес үш қабырғасы (үш қабырғасы тең емес) деп аталады скален.^[3]«Қабырғалары» жасалған Грек тамыры «isos» (тең) және «skelos» (аяғы). Сол сөз, мысалы, үшін қолданылады тең бүйірлі трапеция, екі тең қабырғалары бар трапециялар,^[4] және үшін тең бүйірлік жиынтықтар, әрбір үшеуі тең бүйірлі үшбұрышты құрайтын нүктелер жиынтығы.^[5]

Қабырғалары тура екі тең болатын үшбұрышта тең қабырғалар деп аталады аяқтар ал үшінші жағы деп аталады негіз. Аяқтарға қосылатын бұрыш-деп аталады төбе бұрышы және табаны олардың қабырғаларының бірі болатын бұрыштар деп аталады базалық бұрыштар.^[6] Негізге қарама-қарсы шыңы деп аталады шыңы.^[7] Тең бүйірлі үшбұрыш жағдайында барлық қабырғалары тең болғандықтан кез-келген қабырғасын табан деп атауға болады.^[8]

Арнайы тең бүйірлі үшбұрыштар

Тік бұрышты үшбұрыш

Үш үйлесімді квадрат Калаби үшбұрышы

A алтын үшбұрыш кіші алтын үшбұрыш және алтын гномонға бөлінеді

The triakis үшбұрышты плитка

Қабырғалары үшбұрышты қабырғалары бар каталондық қатты денелер

Триакис тетраэдрі

Триакис октаэдрі

Тетракис гексахедрасы

Pentakis dodecahedron

Triakis icosahedron

Қабырғалы үшбұрыш ма өткір, оң немесе доғал тек оның ұшындағы бұрышқа байланысты болады. Жылы Евклидтік геометрия, базалық бұрыштар доғал (90 ° -дан жоғары) немесе тік (90 ° -қа тең) бола алмайды, өйткені олардың өлшемдері кез-келген эвклид үшбұрышындағы барлық бұрыштардың жалпы санынан кем дегенде 180 ° құрайды.^[8] Үшбұрыш доғал немесе тік болғандықтан, егер оның бұрыштарының бірі доғал немесе тік болса, сәйкесінше, тең бүйірлі үшбұрыш доғал, тік немесе сүйір болады, егер оның шыңы бұрышы тиісінше доғал, тік немесе сүйір болса.^[7] Жылы Эдвин Эбботт кітабы Flatland, формалардың бұл классификациясы сатира ретінде қолданылды әлеуметтік иерархия: теңбұрышты үшбұрыштар жұмысшы табы, иерархияда тік немесе доғал тең қабырғалы үшбұрыштарға қарағанда үшбұрышты үшбұрыштар жоғары.^[9]

Сонымен қатар тікбұрышты үшбұрыш, тең қабырғалы үшбұрыштардың тағы бірнеше ерекше формалары зерттелген, оларға мыналар жатады Калаби үшбұрышы (үш үйлесімді квадрат жазылған үшбұрыш),^[10] The алтын үшбұрыш және алтын гномон (қабырғалары мен табаны. орналасқан екі теңбұрышты үшбұрыш алтын коэффициент ),^[11] ішінде пайда болатын 80-80-20 үшбұрышы Лэнглидің адвенттік бұрыштары басқатырғыш,^[12] және 30-30-120 үшбұрышы triakis үшбұрышты плитка.Бес Каталондық қатты заттар, триакед, triakis октаэдр, тетракис гексахедрасы, pentakis dodecahedron, және triakis icosahedron, әрқайсысының тең қабырғалары - үшбұрыштың беткейлері бар, шексіз көп пирамидалар^[8] және бипирамидалар.^[13]

Формулалар

Биіктігі

Кез келген тең бүйірлі үшбұрыш үшін келесі алты сызық сегменттері сәйкес келеді:

• The биіктік, шыңнан негізге перпендикуляр түзудің кесіндісі,^[14]
• The бұрыш биссектрисасы шыңнан негізге,^[14]
• The медиана шыңнан базаның орта нүктесіне дейін,^[14]
• The перпендикуляр биссектрисасы үшбұрыш ішіндегі табанның,^[14]
• бірегей үшбұрышының ішіндегі сегмент симметрия осі үшбұрышының және^[14]
• үшбұрышының ішіндегі кесінді Эйлер сызығы үшбұрыш болатын жағдайларды қоспағанда, үшбұрыштың тең жақты.^[15]

Олардың жалпы ұзындығы - биіктігі ${ displaystyle h}$ Егер үшбұрыштың ұзындықтары тең болса ${ displaystyle a}$ және ұзындық негізі ${ displaystyle b}$, жалпы үшбұрыш формулалары осы сегменттердің ұзындығы үшін барлығы жеңілдетіледі^[16]

${ displaystyle h = { frac {1} {2}} { sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}$

Бұл формуланы Пифагор теоремасы биіктіктің табанды екіге бөліп, тең бүйірлі үшбұрышты екі үйлесетін тікбұрышты үшбұрышқа бөлуін қолдана отырып.^[17]

Кез-келген үшбұрыштың Эйлер сызығы үшбұрыштан өтеді ортоцентр (оның үш биіктігінің қиылысы), оның центроид (оның үш медианасының қиылысы), және оның циркулятор (оның үш қабырғасының перпендикуляр биссектрисаларының қиылысы, ол сонымен қатар үш төбеден өтетін шеңбер шеңбері). Қабырғалары дәл екі тең бүйірлі үшбұрышта бұл үш нүкте айқын, және (симметрия бойынша) барлығы үшбұрыштың симметрия осінде жатыр, одан Эйлер сызығы симметрия осімен сәйкес келеді. The ынталандыру үшбұрыш Эйлер сызығында орналасқан, бұл басқа үшбұрыштар үшін дұрыс емес.^[15] Егер берілген үшбұрышта бұрыштың биссектрисасы, медианасы немесе биіктігінің кез келген екеуі сәйкес келсе, онда бұл үшбұрыш тең ​​бүйірлі болуы керек.^[18]

Аудан

Аудан ${ displaystyle T}$ теңбүйірлі үшбұрыштың биіктігінің формуласынан, ал үшбұрыштың ауданы үшін жалпы формуласынан табан мен биіктіктің көбейтіндісінің жартысын алуға болады:^[16]

${ displaystyle T = { frac {b} {4}} { sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}$

Сол аудан формуласынан да алуға болады Герон формуласы оның үш жағынан үшбұрыштың ауданы үшін. Алайда, Герон формуласын қолдану тікелей болуы мүмкін сан жағынан тұрақсыз арасындағы үшбұрыш үшбұрыштар үшін өте өткір, үшбұрыштары үшін, өйткені олардың арасында жойылуға жақын полимерметр және сол үшбұрыштардағы бүйір ұзындығы.^[19]

Егер шыңы бұрышы болса ${ displaystyle ( theta)}$ және аяқтың ұзындығы ${ displaystyle (a)}$ тең бүйірлі үшбұрыштың белгілі, сонда ол үшбұрыштың ауданы:^[20]

${ displaystyle T = { frac {1} {2}} a ^ {2} sin theta.}$

Бұл үшбұрыштың ауданы үшін формуланың екі қабырғасының көбейтіндісінің жартысына кіретін бұрыштың синусынан екі есе артық болатын ерекше жағдайы.^[21]

Периметрі

Периметрі ${ displaystyle p}$ қабырғалары тең тең қабырғалы үшбұрыштың ${ displaystyle a}$ және негіз ${ displaystyle b}$ жай^[16]

${ displaystyle p = 2a + b.}$

Кез-келген үшбұрыштағыдай, аудан ${ displaystyle T}$ және периметрі ${ displaystyle p}$ байланысты изопериметриялық теңсіздік^[22]

${ displaystyle p ^ {2}> 12 { sqrt {3}} T.}$

Бұл қабырғалары табанына тең емес тең бүйірлі үшбұрыштар үшін қатаң теңсіздік, және тең бүйірлі үшбұрыштың теңдігіне айналады. Ауданы, периметрі және табаны бір-бірімен теңдеумен де байланысты болуы мүмкін.^[23]

${ displaystyle 2pb ^ {3} -p ^ {2} b ^ {2} + 16T ^ {2} = 0.}$

Егер табан мен периметр бекітілген болса, онда бұл формула нәтижесінде пайда болатын теңбұрышты үшбұрыштың ауданын анықтайды, бұл табаны мен периметрі бірдей барлық үшбұрыштардың арасында мүмкін болатын максимум.^[24]Екінші жағынан, егер аудан мен периметр бекітілген болса, онда бұл формуланы базалық ұзындықты қалпына келтіру үшін қолдануға болады, бірақ бірегей емес: жалпы ауданы берілген екі теңбұрышты үшбұрыш бар ${ displaystyle T}$ және периметрі ${ displaystyle p}$. Изопериметриялық теңсіздік теңдікке айналғанда, мұндай үшбұрыш тек тең жақты болады.^[25]

Бұрыштың биссектрисасының ұзындығы

Егер екі тең жақтың ұзындығы болса ${ displaystyle a}$ ал екінші жағының ұзындығы бар ${ displaystyle b}$, содан кейін ішкі бұрыш биссектрисасы ${ displaystyle t}$ тең бұрыштық екі төбенің біреуінен қанағаттандырады^[26]

${ displaystyle { frac {2ab} {a + b}}> t> { frac {ab { sqrt {2}}} {a + b}}}$

Сонымен қатар

${ displaystyle t <{ frac {4a} {3}};}$

және керісінше, егер соңғы шарт орындалса, онда параметрленген параллель үшбұрыш ${ displaystyle a}$ және ${ displaystyle t}$ бар.^[27]

The Штайнер - Леммус теоремасы ұзындығы тең екі бұрыштық биссектрисасы бар әрбір үшбұрыш тең ​​бүйірлі болатындығын айтады. Ол 1840 жылы тұжырымдалған Лемус. Оның басқа аттастары, Якоб Штайнер, шешімін алғашқылардың бірі болып ұсынды.^[28]Бастапқыда тек ішкі бұрыштық биссектрисалар үшін тұжырымдалғанымен, оның орнына екі сыртқы бұрыштық биссектрисалар тең болған жағдайда көптеген (бірақ барлығы бірдей) жағдайда жұмыс істемейді. шекаралық жағдай теореманың бұл вариациясы үшін төрт бірдей бұрыштық биссектрисасы болғандықтан (екі ішкі, екі сыртқы).^[29]

Радий

Дөңгелек үшбұрыш оның циркуляторын (көк), центроидты (қызыл), инициаторды (жасыл) және симметрия осін (күлгін) көрсетеді

Тең бүйірлі үшбұрыштың инрадиусы мен циркумрадиус формулалары олардың ерікті үшбұрыштардың формулаларынан алынуы мүмкін.^[30]Радиусы жазылған шеңбер қабырғасының ұзындығы бар тең бүйірлі үшбұрыштың ${ displaystyle a}$, негіз ${ displaystyle b}$және биіктігі ${ displaystyle h}$ бұл:^[16]

${ displaystyle { frac {2ab-b ^ {2}} {4h}}.}$

Дөңгелектің центрі үшбұрыштың симметрия осінде, табаннан жоғары қашықтықта орналасқан, тең бүйірлі үшбұрыш бірдей табаны мен шыңы бұрышы бар үшбұрыштардың ішіндегі ең үлкен дөңгелекке ие, сонымен қатар ең үлкен ауданы мен периметрі бар. үшбұрыштардың бірдей класы арасында.^[31]

Радиусы айналма шеңбер бұл:^[16]

${ displaystyle { frac {a ^ {2}} {2h}}.}$

Шеңбердің центрі үшбұрыштың симметрия осінде орналасқан, бұл қашықтық шыңнан төмен.

Шаршы жазылды

Кез-келген теңбүйірлі үшбұрыш үшін үшбұрыштың табаны және оның бүйірлерінде қарама-қарсы екі бұрышы бар коллинеарлы ерекше квадрат бар. The Калаби үшбұрышы - бұл қабырғалары үшбұрыштың қабырғаларымен коллинирленген басқа екі квадраттың ішкі квадратымен бірдей қасиеті бар арнайы тең бүйірлі үшбұрыш.^[10] Жұмыстарында сақталған әлдеқайда көне теорема Александрия батыры, табаны бар тең бүйірлі үшбұрыш үшін ${ displaystyle b}$ және биіктігі ${ displaystyle h}$, үшбұрыштың табанына сызылған квадраттың бүйір ұзындығы^[32]

${ displaystyle { frac {bh} {b + h}}.}$

Басқа пішіндердің тең бүйірлік бөлімі

А бөлімі циклды бесбұрыш шеңбердің радиустары бойынша тең бүйірлі үшбұрыштарға айналады

Кез келген бүтін сан үшін ${ displaystyle n geq 4}$, кез келген үшбұрыш бөлуге болады ${ displaystyle n}$ тең бүйірлі үшбұрыштар.^[33]Ішінде тік бұрышты үшбұрыш, гипотенузадан медиана (яғни гипотенузаның ортаңғы нүктесінен тік бұрышты шыңға дейінгі түзу сегменті) тікбұрышты үшбұрышты екі теңбұрышты үшбұрышқа бөледі. Себебі гипотенузаның ортаңғы нүктесі центр болып табылады шеңбер тікбұрышты үшбұрыштың, ал бөлім құрған екі үшбұрыштың әрқайсысының қабырғаларының екеуіндей екі тең радиустары болады.^[34]Сол сияқты сүйір үшбұрыш үш цилиндрден үш дөңгелекке үшбұрышқа бөлінуі мүмкін,^[35] бірақ бұл әдіс доғал үшбұрыштар үшін жұмыс істемейді, өйткені циркулятор үшбұрыштың сыртында орналасқан.^[30]

Өткір үшбұрышты бөлуді жалпылау, кез келген циклді көпбұрыш Айналдыра шеңбердің центрі бар, оны шеңберлері арқылы осы шеңбердің радиустары бойынша тең қабырғалы үшбұрыштарға бөлуге болады. Шеңбердің барлық радиустарының бірдей ұзындыққа ие болуы, осы үшбұрыштардың барлығының тең бүйірлі болатындығын білдіреді. Бұл бөлімді көпбұрыштың формуласын оның шеңбер ұзындығының функциясы ретінде шығару үшін қолдануға болады, тіпті олардың шеңберлері жоқ циклдік көпбұрыштар үшін де. Бұл формула жалпылайды Герон формуласы және үшбұрыштар үшін Брахмагуптаның формуласы үшін циклды төртбұрыштар.^[36]

Не диагональ а ромб оны екіге бөледі үйлесімді тең бүйірлі үшбұрыштар. Сол сияқты, екі диагоналінің бірі батпырауық оны екі теңбұрышты үшбұрышқа бөледі, олар батпырауық ромб болған кезде ғана сәйкес келмейді.^[37]

Қолданбалар

Сәулет және дизайн саласында

Сұйық теңбүйір педименті Пантеон, Рим

Сен-Этьен порталының үстіндегі өткір теңбілдер, Париждегі Нотр-Дам

Екі қабатты үшбұрыштар әдетте пайда болады сәулет формалары ретінде желбезектер және шектер. Жылы ежелгі грек сәулеті және оның кейінгі имитациясы, доғал тең бүйірлі үшбұрыш қолданылды; жылы Готикалық сәулет бұл үшбұрышты үшбұрышпен алмастырылды.^[8]

Ішінде орта ғасырлардағы сәулет өнері, тағы бір үшбұрышты үшбұрыш формасы кеңінен танымал болды: мысырлық теңбүйір үшбұрышы. Бұл үшбұрыш сүйір, бірақ тең бүйірлі үшбұрышқа қарағанда аз; оның биіктігі оның табанының 5/8 пропорционалды.^[38] Египеттің теңбүйірлі үшбұрышын заманауи архитектурада голланд сәулетшісі қайтадан қолданды Хендрик Петрус Берлаж.^[39]

Өзгертілген көріністің толық көрінісі Уоррен фермасы тік

Уоррен фермасы көпір тәрізді құрылымдар, әдетте, тең бүйірлі үшбұрыштарда орналасады, дегенмен кейде қосымша беріктікке тік арқалықтар да қосылады.^[40]Беттер жасанды доғал теңбұрышты үшбұрыштар құруға болады орналастырылатын құрылымдар екі тұрақты күйге ие: беті цилиндрлік бағанға дейін ұлғаятын жайылмаған күй және оңай тасымалданатын ықшам призма пішініне айналатын бүктелген күй.^[41]

Гайана туы

Әулие Люсияның туы

Жылы графикалық дизайн және сәндік өнер, теңбұрышты үшбұрыштар, ең болмағанда, бүкіл әлемдегі мәдениеттерде жиі болатын дизайн элементі болды Ерте неолит^[42] қазіргі заманға.^[43] Олар жалпы дизайн элементі жалаушалар және геральдика, тік негізімен, мысалы, Гайана туы, немесе көлденең негізімен Әулие Люсияның туы, онда олар тау аралының стильдендірілген бейнесін құрайды.^[44]

Олар сондай-ақ діни немесе мистикалық маңызы бар дизайндарда қолданылған, мысалы Шри Янтра туралы Үнділік медитация практикасы.^[45]

Математиканың басқа салаларында

Егер а текше теңдеу нақты коэффициенттермен үш түбірден тұрады, барлығы бірдей емес нақты сандар, содан кейін бұл тамырлар кескінделгенде күрделі жазықтық ретінде Арганд диаграммасы олар симметрия осі көлденең (нақты) осімен сәйкес келетін тең бүйірлі үшбұрыштың төбелерін құрайды. Себебі күрделі тамырлар күрделі конъюгаттар және осылайша нақты оське қатысты симметриялы болады.^[46]

Жылы аспан механикасы, үш дене проблемасы үш жағдайда тең бүйірлі үшбұрыш пайда болатындығы ерекше жағдайда зерттелген, өйткені денелер осылай орналасады деп болжану олардың санын азайтады еркіндік дәрежесі оны шешілгенге дейін төмендетпей жүйенің Лагранж нүктесі денелер теңбүйірлі үшбұрыш құрған жағдай. Үш денелі есептің шектері жоқ тербелістер көрсетілген алғашқы даналары үш денелі теңбөлшектердің есептерінде болды.^[47]

Тарих және қателіктер

Тең қабырғалы үшбұрыштарды бұрын зерттеген ежелгі грек математиктері, практиктер Ежелгі Египет математикасы және Вавилондық математика олардың ауданын есептеуді білді. Осы типтегі мәселелер Мәскеу математикалық папирусы және Ринд математикалық папирусы.^[48]

Тең бүйірлі үшбұрыштың базалық бұрыштары тең деген теорема Евклидтегі I.5 ұсыныс ретінде пайда болады.^[49] Бұл нәтиже деп аталды көпір asinorum (есектер көпірі) немесе тең бүйірлі үшбұрыш теоремасы. Бұл атаудың бәсекелестік түсініктемелеріне Евклидтің нәтижені көрсету кезінде қолданған сызбасы көпірге ұқсайтындығынан немесе бұл Евклидтегі алғашқы қиын нәтиже болғандықтан және Евклидтің геометриясын түсінетіндерді солардан бөлуге бағытталған теория кіреді. кім жасай алмайды.^[50]

Белгілі жаңылыс деген тұжырымның жалған дәлелі болып табылады барлық үшбұрыштар тең бүйірлі болып келеді. Робин Уилсон осы аргументті есептейді Льюис Кэрролл,^[51] кім оны 1899 жылы жариялады, бірақ W. W. Rouse Ball оны 1892 жылы жариялады және кейінірек Кэрроллдың дәлелді одан алғанын жазды.^[52] Жаңылысушылық Евклидтің тұжырымдаманы мойындамауынан туындайды аралық және нәтижесінде анықталмаған ішінде қарсы сыртында фигуралар.^[53]

Ескертулер

Әдебиеттер тізімі

Сыртқы сілтемелер

• Вайсштейн, Эрик В., «Тең бүйірлі үшбұрыш», MathWorld