Минималды беті - Minimal surface

A геликоид сабын қабығымен бұрандалы жақтауда пайда болатын минималды бет

Жылы математика, а минималды беті бұл өзінің ауданын жергілікті түрде кішірейтетін бет. Бұл нөлге тең қисықтықты білдіреді (төмендегі анықтамаларды қараңыз).

«Минималды бет» термині қолданылады, өйткені бұл беттер бастапқыда белгілі бір шектеулерге ұшыраған жалпы бетінің көлемін минимизациялайтын беттер ретінде пайда болды. Минималды беттерді азайтудың физикалық модельдерін а рамын сабын ерітіндісіне сым рамасын батыру арқылы жасауға болады сабын пленкасы, бұл минималды бет, оның шекарасы сымның жақтауы болып табылады. Дегенмен, бұл термин жалпы мүмкін беттер үшін қолданылады өзіндік қиылысу немесе шектеулер жоқ. Берілген шектеулер үшін әр түрлі аймақтары бар бірнеше минималды беттер болуы мүмкін (мысалы, қараңыз) революцияның минималды беті ): стандартты анықтамалар тек a-ға қатысты жергілікті оңтайлы, а жаһандық оңтайлы.

Анықтамалар

Ер мұнарасы минималды беті. Беттің кез-келген кішігірім өзгерісі оның ауданын көбейтсе, жалпы ауданы аз шекаралары бар басқа беттер болады.

Минималды беттерді бірнеше эквивалентті тәсілдермен анықтауға болады R3. Олардың эквивалентті болуы минималды беттік теорияның бірнеше математикалық пәндердің қиылысында тұрғанын көрсетуге қызмет етеді, әсіресе дифференциалды геометрия, вариацияларды есептеу, потенциалдар теориясы, кешенді талдау және математикалық физика.[1]

Жергілікті аумақтың ең аз анықтамасы: Беті МR3 егер әр нүкте болса ғана минималды бМ бар Көршілестік, қарапайым жабық қисықпен шектелген, оның шекарасы бірдей барлық беттердің ішінде ең аз ауданы бар.

Бұл қасиет жергілікті болып табылады: минималды беткейде және сол шекарамен шектелген кішігірім ауданның басқа беттерімен аймақтар болуы мүмкін. Бұл қасиет сабын пленкаларымен байланыс орнатады; сабын қабығы деформацияланған, сым жақтауы болғандықтан, шекара аумақты азайтады.

Вариациялық анықтама: Беті МR3 минималды болады, егер ол а болса сыни нүкте ауданның функционалды ықшам қолдау көрсетілетіндер үшін вариация.

Бұл анықтама минималды беттерді 2 өлшемді аналогқа айналдырады геодезия, функционалды ұзындықтың критикалық нүктелері ретінде ұқсас анықталған.

Минималды беттік қисықтық жазықтықтары. Минималды бетте негізгі қисықтық жазықтықтары бойындағы қисықтық әр нүктеде тең және қарама-қарсы болады. Бұл орташа қисықтықты нөлге айналдырады.
Қисықтықтың орташа анықтамасы: Беті МR3 егер ол болса ғана минималды қисықтықты білдіреді барлық нүктелерінде нөлге тең.

Бұл анықтаманың тікелей мағынасы жер бетіндегі әр нүкте а ер тоқым тең және қарама-қарсы негізгі қисықтық. Сонымен қатар, бұл статикалық шешімдерге минималды беттерді жасайды қисықтық ағыны. Бойынша Жас - Лаплас теңдеуі, қисықтықты білдіреді сабын қабығының жақтар арасындағы қысым айырмашылығына пропорционалды. Егер сабын пленкасы аймақты қоршамаса, онда бұл орташа қисықтықты нөлге айналдырады. Керісінше, сфералық сабын көпіршігі сыртқы аймағынан өзгеше қысымға ие және осылайша орташа қисықтыққа ие емес аймақты қоршайды.

Дифференциалдық теңдеудің анықтамасы: Беті МR3 минималды болып табылады, егер оны жергілікті түрде график түрінде өрнектеуге болатын болса ғана

Осы анықтамадағы ішінара дифференциалдық теңдеуді бастапқыда 1762 жылы тапқан Лагранж,[2] және Жан Батист Меуснье 1776 жылы оның жоғалып бара жатқан қисықтықты білдіретіндігін анықтады.[3]

Энергияның анықтамасы: A формальды емес батыру X: МR3 минималды, егер бұл тек маңызды нүкте болса Дирихлет энергиясы барлық ықшамдалған вариациялар үшін, немесе егер бар болса, баламалы бМ шекарасына қатысты ең аз энергиясы бар көршілестікке ие.

Бұл анықтама минималды беттерді байланыстырады гармоникалық функциялар және потенциалдар теориясы.

Гармоникалық анықтама: Егер X = (х1, х2, х3): МR3 болып табылады изометриялық батыру а Риман беті 3 кеңістікке, содан кейін X әрқашан минималды деп аталады хмен Бұл гармоникалық функция қосулы М әрқайсысы үшін мен.

Осы анықтаманың тікелей мәні және гармоникалық функциялардың максималды принципі жоқ деген ықшам толық минималды беттер R3.

Гаусс картасын анықтау: Беті МR3 егер ол болса ғана минималды стереографиялық жобаланған Гаусс картасы ж: МC ∪ {∞} болып табылады мероморфты астарына қатысты Риман беті құрылымы, және М сфераның бөлігі емес.

Бұл анықтама орташа қисықтықтың жартысына тең екендігін пайдаланады із туралы форма операторы, ол Гаусс картасының туындыларымен байланысты. Егер жобаланған Гаусс картасы сәйкес болса Коши-Риман теңдеулері содан кейін із жоғалады немесе әр нүкте жоғалады М болып табылады кіндік, бұл жағдайда бұл сфераның бөлігі.

Жергілікті ең кіші аумақ және вариациялық анықтамалар минималды беттерді бір-біріне кеңейтуге мүмкіндік береді Риман коллекторлары қарағанда R3.

Тарих

Минималды беттің теориясы бастау алады Лагранж 1762 жылы бетті табудың вариациялық мәселесін қарастырған кім з = з(х, ж) берілген жабық контур бойынша созылған ең аз аудан. Ол алынған Эйлер – Лагранж теңдеуі шешім үшін

Ол ұшақтан тыс шешім таба алмады. 1776 жылы Жан-Батист Мари Меусньер екенін анықтады геликоид және катеноид теңдеуді және дифференциалдық өрнектің екі есеге сәйкес келетіндігін қанағаттандырады қисықтықты білдіреді нөлдік орташа қисықтыққа ие беттер ауданды минимизациялайды деген қорытындыға келеді.

Лагранж теңдеуін дейін кеңейту арқылы

Гаспард Монге және Легенда 1795 жылы ерітінді беттеріне арналған формулалар шығарылды. Бұл оларды сәтті қолданған кезде Генрих Шерк 1830 жылы оны шығару беттер, олар әдетте іс жүзінде жарамсыз болып саналды. Каталон 1842/43 жылы геликоидтың жалғыз екенін дәлелдеді басқарды минималды беті.

Ғасырдың ортасына дейін прогресс өте баяу болды Бьорлинг проблемасы күрделі әдістерді қолдана отырып шешілді. Минималды беттердің «алғашқы алтын ғасыры» басталды. Шварц шешімін тапты Үстірт проблемасы 1865 жылы тұрақты төртбұрыш үшін және 1867 жылы жалпы төртбұрыш үшін (оның периодты құруға мүмкіндік береді жер бетіндегі отбасылар ) күрделі әдістерді қолдану арқылы. Вейерштрасс және Эннепер неғұрлым пайдалы дамыды ұсыну формулалары, минималды беттерді тығыз байланыстыру кешенді талдау және гармоникалық функциялар. Басқа маңызды салымдар Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret және Weingarten болды.

1925 - 1950 жж., Негізінен, параметрлік емес минималды беттерге бағытталған минималды беттік теория қайта жанданды. Плато проблемасының толық шешімі Джесси Дуглас және Тибор Радо маңызды кезең болды. Бернштейн проблемасы және Роберт Оссерман Соңғы қисықтықтың толық минималды беттеріндегі жұмыс та маңызды болды.

Тағы бір жаңғыру 1980 жылдары басталды. Оның бір себебі 1982 жылы Сельсо Костаның ашуы болды беті жазықтық, катеноид және геликоид тек минималды беткейлерге енеді деген болжамды жоққа шығарды R3 ақырғы топологиялық тип. Бұл ескі параметрлік әдістерді қолдану бойынша жаңа жұмыстарды ынталандырып қана қоймай, сонымен қатар компьютерлік графиканың зерттелген беттерді көрнекі түрде бейнелеудің және «период мәселесін» шешудің сандық әдістерінің маңыздылығын көрсетті ( конъюгаттық беттік әдіс үлкенірек симметриялық бетке жиналатын беттік патчтарды анықтау үшін ендірілген бетті шығару үшін белгілі бір параметрлерді сандық сәйкестендіру қажет). Тағы бір себебі Х.Карчердің бұл тексеруі болды үш рет периодты минималды беттер Алан Шон 1970 жылы эмпирикалық түрде сипаттаған. Бұл беткі отбасылардың бай менеджеріне және жаңа беттерді ескіден алу әдістеріне әкелді, мысалы, тұтқаларды қосу немесе оларды бұрмалау.

Қазіргі уақытта минималды беттер теориясы басқа қоршаған геометриялардың минималды субма қабаттарына дейін әртараптандырылып, математикалық физикаға сәйкес келеді (мысалы, жаппай оң болжам, Пенроздың гипотезасы ) және үш қырлы геометрия (мысалы Смит гипотезасы, Пуанкаре гипотезасы, Thurston геометризациясы туралы болжам ).

Мысалдар

Минималды беттердің классикалық мысалдарына мыналар жатады:

  • The ұшақ, бұл а болмашы іс
  • катеноидтар: айналдыру арқылы жасалған минималды беттер каталог оның директрисінің айналасында
  • геликоидтар: Түзуге перпендикуляр осьтің айналасында біркелкі жылдамдықпен айналатын және бір уақытта біркелкі жылдамдықпен ось бойымен қозғалатын түзу сызылған бет

19 ғасырдың алтын ғасырындағы беттерге мыналар жатады:

Заманауи беттерге мыналар жатады:

Жалпылау және басқа өрістерге сілтемелер

Минималды беттерді басқаларында анықтауға болады коллекторлар қарағанда R3, сияқты гиперболалық кеңістік, жоғары өлшемді кеңістіктер немесе Риман коллекторлары.

Минималды беттердің анықтамасын жалпылауға / кеңейтуге болады тұрақты орташа қисықтық беттер: нөлге тең емес орташа қисықтық тұрақты беттер.

Жылы дискретті дифференциалды геометрия дискретті минималды беттер зерттеледі: қарапайым кешендер олардың шыңдары аз қозғалған кезде олардың ауданын кішірейтетін үшбұрыштар.[4] Мұндай дискреттеу көбінесе жабық формалы өрнектер белгілі болмаса да, минималды беттерді сандық түрде жақындату үшін қолданылады.

Броундық қозғалыс минималды бетте минималды беттердегі бірнеше теоремалардың ықтималдық дәлелдемелеріне әкеледі.[5]

Минималды беттер, әсіресе, аудандарда қарқынды ғылыми зерттеу аймағына айналды молекулалық инженерия және материалтану, олардың күтілетін қосымшаларына байланысты өздігінен құрастыру күрделі материалдар.[дәйексөз қажет ] The эндоплазмалық тор, жасуша биологиясының маңызды құрылымы, эволюциялық қысыммен, нивривиал емес минималды бетке сәйкес келуі ұсынылады.[6]

Өрістерінде жалпы салыстырмалылық және Лоренций геометриясы, белгілі минималды бет ұғымының белгілі кеңейтімдері мен модификациялары айқын көкжиектер, маңызды.[7] Айырмашылығы оқиғалар көкжиегі, олар а қисықтық - түсінуге негізделген тәсіл қара тесік шекаралар.

Цирк шатыры шамамен a минималды беті.

Шатыр ретінде минималды беттері бар құрылымдарды пайдалануға болады.

Минималды беттер генеративті дизайн заманауи дизайнерлер қолданатын құралдар қорабы. Сәулет өнеріне үлкен қызығушылық болды созылу құрылымдары, олар минималды беттермен тығыз байланысты. Атақты мысал Мюнхендегі Олимпиапарк арқылы Фрей Отто, сабын беттерімен шабыттандырылған.

Өнер әлемінде минималды беттер мүсінде кеңінен зерттелген Роберт Энгман (1927– ), Роберт Лонгхурст (1949–), және Чарльз О.Перри (1929–2011), басқалармен қатар.

Сондай-ақ қараңыз

Әдебиеттер тізімі

  1. ^ Микс, Уильям Х., III; Перес, Хоакин (2011). «Минималды беттердің классикалық теориясы». Өгіз. Amer. Математика. Soc. 48 (3): 325–407. дои:10.1090 / s0273-0979-2011-01334-9. МЫРЗА  2801776.
  2. ^ Дж. Лагранж. Essai d'une nouvelle методты құйылатын детерминатор les maxima et les minima des formules integrales indefinies. Miscellanea Taurinensia 2, 325 (1): 173 {199, 1760.
  3. ^ Дж.Б.Меусньер. Mémoire sur la courbure des yüzeyтер. Mém. Матем. Физ. Акад. Ғылыми. Париж, пресстер. абонемент Саванс, 10: 477–510, 1785. 1776 жылы ұсынылған.
  4. ^ Пинкалл, Ульрих; Полтиер, Конрад (1993). «Дискретті минималды беттерді және олардың конъюгаттарын есептеу». Тәжірибелік математика. 2 (1): 15–36. дои:10.1080/10586458.1993.10504266. МЫРЗА  1246481.
  5. ^ Нил, Роберт (2009). «Минималды беттерге мартингалдық тәсіл». Функционалды талдау журналы. 256 (8): 2440–2472. arXiv:0805.0556. дои:10.1016 / j.jfa.2008.06.033. МЫРЗА  2502522.
  6. ^ Терасаки, Марк; Шемеш, Том; Кастури, Нараянан; Клемм, Робин В .; Шалек, Ричард; Хейворт, Кеннет Дж .; Қол, Артур Р .; Янкова, Майя; Хубер, Грег (2013-07-18). «Эндоплазмалық ретикулум парақтары геликоидты мембраналық мотивтермен біріктірілген». Ұяшық. 154 (2): 285–296. дои:10.1016 / j.cell.2013.06.031. ISSN  0092-8674. PMC  3767119. PMID  23870120.
  7. ^ Ивон Шокет-Брухат. Жалпы салыстырмалылық және Эйнштейн теңдеулері. Оксфордтың математикалық монографиялары. Оксфорд университетінің баспасы, Оксфорд, 2009. xxvi + 785 бб. ISBN  978-0-19-923072-3 (417 бет)

Әрі қарай оқу

Оқулықтар

  • Тобиас Холк Колдинг және Уильям П. Миникоцци, II. Минималды беттердегі курс. Математика бойынша магистратура, 121. Американдық математикалық қоғам, Провиденс, RI, 2011. xii + 313 бб. ISBN  978-0-8218-5323-8
  • Р.Курант. Дирихлеттің принципі, конформды карта және минималды беттер. М.Шиффердің қосымшасы. Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1950. xiii + 330 бб.
  • Ульрих Диркес, Стефан Хильдебрандт және Фридрих Сувиньи. Минималды беттер. Қайта өңделген және үлкейтілген екінші басылым. А.Кюстер мен Р.Якобтың көмегі мен үлесімен. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Спрингер, Гейдельберг, 2010. xvi + 688 бб. ISBN  978-3-642-11697-1, дои:10.1007/978-3-642-11698-8 жабық қатынас, МЫРЗА2566897
  • Х.Блейн Лоусон, кіші. Минималды қосалқы қатпарлар туралы дәрістер. Том. I. Екінші басылым. Математика дәрістер сериясы, 9. Publish or Perish, Inc., Уилмингтон, Дел., 1980. iv + 178 бб. ISBN  0-914098-18-7
  • Йоханнес Nitsche. Минималды беттердегі дәрістер. Том. 1. Кіріспе, негіздер, геометрия және негізгі шекаралық есептер. Неміс тілінен аударған Джерри М.Фейнберг. Немістің алғысөзімен. Cambridge University Press, Кембридж, 1989. xxvi + 563 бб. ISBN  0-521-24427-7
  • Роберт Оссерман. Минималды беттерді зерттеу. Екінші басылым. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1986. vi + 207 бб. ISBN  0-486-64998-9, МЫРЗА0852409

Интернеттегі ресурстар

Сыртқы сілтемелер